Integrales: pack de clase de Matemáticas II

Cuatro piezas para dar o repasar este tema con ejercicios reales de la PAU de la Comunitat Valenciana. Se leen y se imprimen sin registro.

Procedencia de las resoluciones. Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar. Los enunciados son de las pruebas oficiales; las resoluciones son de Tu Selectividad. Si ves un fallo, usa «Reportar error» en la resolución.

Chuleta de una página

Ideas clave y fórmulas del apunte del tema, en una hoja A4. Leer el apunte completo.

Integrales

Matemáticas II · PAU Comunitat Valenciana

Ideas clave

Reconocer una primitiva, escribir la familia $F (x) + C$ y comprobar el resultado derivando.
Resolver integrales inmediatas (potencia, logaritmo, exponencial, seno, coseno, tangente, arcoseno y arcotangente), ajustando constantes cuando el integrando va «camuflado».
Integrar funciones racionales dividiendo y descomponiendo en fracciones simples.
Elegir $u$ y $d v$ con la regla ALPES y aplicar integración por partes, incluidas las repetidas y las cíclicas.
Resolver integrales con cambio de variable y deshacer el cambio.
Hallar la primitiva que cumple una condición (pasa por un punto, valores de $f^{'}$ o $f^{''}$ ).

Fórmulas

Potencia: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ $(n \neq = - 1)$
Logaritmo: $\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣ + C$
Exponencial: $\int u^{'} e^{u} d x = e^{u} + C$ ; $\int u^{'} a^{u} d x = \frac{a ^{u}}{ln a} + C$
Seno y coseno: $\int u^{'} sen u = - cos u + C$ ; $\int u^{'} cos u = sen u + C$
Tangente: $\int \frac{u ^{'}}{cos ^{2} u} = tg u + C$
Arcoseno: $\int \frac{u ^{'}}{1 - u ^{2}} = arcsen u + C$
Arcotangente: $\int \frac{u ^{'}}{1 + u ^{2}} = arctg u + C$
Por partes: $\int u d v = uv - \int v d u$ (orden ALPES)
Primitiva con condición: integrar, imponer la condición y despejar $C$

Errores típicos

Los errores que declaran las resoluciones publicadas de este tema, agrupados por frecuencia y con el ejercicio donde ocurren.

Las resoluciones de este tema todavía no declaran errores típicos, así que no mostramos ninguno. Los iremos añadiendo cuando las resoluciones los incluyan.

Ejercicios tipo

16 ejercicios oficiales del tema, del más reciente al más antiguo.

Hoja para el alumnado, sin soluciones Hoja para el profesor, con soluciones

Ordinaria 2026 2026

Ejercicio 4.2, opción B. Un decorador desea pintar una pared rectangular de 12 metros de largo por 3 de alto. Para ello supone que la esquina inferior izquierda de l… Ver resolución paso a paso

Extraordinaria 2025 2025

Ejercicio 4B, opción B. Dadas las funciones reales de variable real y , se pide: Ver resolución paso a paso

Ordinaria 2025 2025

Ejercicio 4B, opción B. Dada la función real de variable real . Ver resolución paso a paso

Extraordinaria 2024 2024

Ejercicio 5. Se considera la función , donde es un parámetro real. Se pide: Ver resolución paso a paso

Ordinaria 2024 2024

Ejercicio 6. Sea el rectángulo definido por los puntos del plano , , y . Se consideran las gráficas de las funciones y , , contenidas dentro de . Obtener… Ver resolución paso a paso

Extraordinaria 2022 2022

Ejercicio 5. Se considera la función . Ver resolución paso a paso

Ordinaria 2020 (Julio, calendario COVID) 2020

Ejercicio 3. Se da la función real definida por . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: Ver resolución paso a paso

Extraordinaria 2010 2010

Ejercicio A.3, opción A. Dadas las funciones y , se pide: Ver resolución paso a paso

Extraordinaria 2009 2009

Ejercicio 3.1, opción A. Se consideran las funciones reales y . Se pide obtener razonadamente: Ver resolución paso a paso

Extraordinaria 2008 2008

Ejercicio 3.1. Dada la función (con y constantes reales), se define . Se pide obtener razonadamente: Ver resolución paso a paso
Ejercicio 3.2. Para cada número real positivo , se considera la función . Se pide calcular razonadamente: Ver resolución paso a paso

Ordinaria 2008 2008

Ejercicio 3.1. Se considera, en el primer cuadrante, la región del plano limitada por el eje , el eje , la recta y la curva . Ver resolución paso a paso

Extraordinaria 2007 2007

Ejercicio 3.1. Dadas las funciones reales y . Se pide: Ver resolución paso a paso

Ordinaria 2007 2007

Ejercicio 3.1. Se consideran las funciones reales y . Se pide: Ver resolución paso a paso

Extraordinaria 2006 2006

Ejercicio A.3, opción A. Dadas las funciones y , se pide: Ver resolución paso a paso

Ordinaria 2006 2006

Ejercicio A.3, opción A. Se consideran las funciones y en el intervalo . Se pide: Ver resolución paso a paso

Mini-examen de 20 minutos

Tres ejercicios oficiales de convocatorias distintas, los más recientes del tema, con el baremo de cada apartado. Una hoja para el alumnado, sin soluciones, y otra para ti.

Mini-examen: Integrales

Matemáticas II

20 minutos · 3 ejercicios de la PAU · Total: 7,5 puntos

Nombre y grupo: ______________________________ Fecha: ____________

Ejercicio 1
PAU Comunitat Valenciana, Ordinaria 2026 2026, ejercicio 4.2, opción B · 2,5 puntos
Un decorador desea pintar una pared rectangular de 12 metros de largo por 3 de alto. Para ello supone que la esquina inferior izquierda de la pared corresponde al origen de coordenadas de un plano y pinta en la pared la curva de ecuación $f (x) = cos (\frac{π x}{9}) + 2$ . A continuación, el decorador colorea en rojo la parte de la pared que queda por encima de la curva y en verde la que queda por debajo. Se pide:
- 4.2.1)Dibujar la parte de la curva anterior que corresponde a la pared, detallando los cortes con los ejes, los extremos absolutos, y la monotonía de la función en el intervalo $[0, 12]$ . (1,25 puntos)
- 4.2.2)Calcular el área de la pared que tiene color verde y la que tiene color rojo. (1 punto)
- 4.2.3)La parte verde se pinta usando botes de pintura capaces de cubrir 3 metros cuadrados cada uno. ¿Cuál es el mínimo número de botes que vamos a necesitar para pintar la parte verde? (0,25 puntos)
Ejercicio 2
PAU Comunitat Valenciana, Extraordinaria 2025 2025, ejercicio 4B, opción B · 2,5 puntos
Dadas las funciones reales de variable real $f (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ y $g (x) = 8 x$ , se pide:
- a)Hallar el dominio, las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$ . (0,5 puntos)
- b)Dibujar las gráficas de ambas funciones. (0,25 puntos)
- c)Calcular el área del recinto delimitado por el eje de abscisas, la recta $x = 1$ y las gráficas de las dos funciones $y = f (x)$ e $y = g (x)$ . (1,75 puntos)
Ejercicio 3
PAU Comunitat Valenciana, Ordinaria 2025 2025, ejercicio 4B, opción B · 2,5 puntos
Dada la función real de variable real $f (x) = x ∣ x - 2∣$ .
- 4.2.1)Representar la región comprendida entre la gráfica de la función $f$ , el eje de abscisas (eje OX) y las rectas $x = - 1$ y $x = 5$ . (1 punto)
- 4.2.2)Calcular el área de la región anterior. (1,5 puntos)

Mini-examen: Integrales (hoja del profesor)

Matemáticas II

20 minutos · 3 ejercicios de la PAU · Total: 7,5 puntos

Ejercicio 1
PAU Comunitat Valenciana, Ordinaria 2026 2026, ejercicio 4.2, opción B · 2,5 puntos
Baremo: 4.2.1) 1,25 · 4.2.2) 1 · 4.2.3) 0,25
Apartado 4.2.1
1. Cortes con los ejes: con OY, $f (0) = cos 0 + 2 = 3$ . Con OX: $f (x) = 0$ exigiría $cos \frac{π x}{9} = - 2$ , imposible porque $cos \geq - 1$ (de hecho $1 \leq f \leq 3$ ).
  Corta a OY en $(0, 3)$ y no corta a OX.
2. Derivamos.
3. En $[0, 12]$ se anula cuando $\frac{π x}{9} = 0, π$ , es decir, $x = 0$ y $x = 9$ . Signo: $sin > 0$ si $x \in (0, 9)$ y $sin < 0$ si $x \in (9, 12]$ , porque $\frac{π x}{9} \in (0, π)$ y luego $\in (π, \frac{4 π}{3}]$ .
  Decrece en $[0, 9]$ y crece en $[9, 12]$ .
4. Extremos absolutos: comparamos los valores en los extremos del intervalo y en el punto crítico.
  Máximo absoluto 3 en $x = 0$ y mínimo absoluto 1 en $x = 9$ ; la gráfica baja de $(0, 3)$ a $(9, 1)$ y sube hasta $(12, \frac{3}{2})$ .
Apartado 4.2.2
1. El área verde es la que queda bajo la curva: $\int_{0}^{12} f (x) d x$ .
2. Evaluamos: $sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}$ .
  Área verde $= 24 - \frac{9 3}{2 π} \approx 21, 52 m^{2}$ .
3. El área roja es el resto de la pared, de $12 \cdot 3 = 36 m^{2}$ .
  Área roja $= 12 + \frac{9 3}{2 π} \approx 14, 48 m^{2}$ .
Apartado 4.2.3
1. Cada bote cubre $3 m^{2}$ : dividimos el área verde y redondeamos hacia arriba.
  Hacen falta 8 botes.
Respuesta final: 4.2.1: $(0, 3)$ , sin cortes con OX; máximo absoluto 3 en $x = 0$ , mínimo absoluto 1 en $x = 9$ ; decrece en $[0, 9]$ y crece en $[9, 12]$ . 4.2.2: verde $24 - \frac{9 3}{2 π} \approx 21, 52 m^{2}$ ; roja $12 + \frac{9 3}{2 π} \approx 14, 48 m^{2}$ . 4.2.3: 8 botes.
Ejercicio 2
PAU Comunitat Valenciana, Extraordinaria 2025 2025, ejercicio 4B, opción B · 2,5 puntos
Baremo: a) 0,5 · b) 0,25 · c) 1,75
Apartado a
1. $f$ no existe en $x = 0$ .
2. Límites: $lim_{x \to 0} \frac{1}{x ^{2}} = + \infty$ (AV $x = 0$ ) y $lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x ^{2}} = 0$ (AH $y = 0$ ). Derivada $f^{'} (x) = - \frac{2}{x ^{3}}$ : positiva si $x < 0$ , negativa si $x > 0$ .
  AV: $x = 0$ ; AH: $y = 0$ . Crece en $(- \infty, 0)$ y decrece en $(0, + \infty)$
Apartado b
1. $f$ : hipérbola tipo « $1/ x^{2}$ », positiva, simétrica respecto del eje OY, con ramas en los cuadrantes I y II que se pegan a los ejes. $g$ : recta por el origen de pendiente 8. Se cortan en $\frac{1}{x ^{2}} = 8 x \Rightarrow x^{3} = \frac{1}{8} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ , punto $(\frac{1}{2}, 4)$ .
  Gráficas dibujadas; se cortan solo en $(\frac{1}{2}, 4)$ para $x > 0$
Apartado c
1. El recinto (entre OX, $x = 1$ y las dos curvas) está limitado por arriba por la recta $g$ de $x = 0$ a $x = \frac{1}{2}$ y por $f$ de $x = \frac{1}{2}$ a $x = 1$ (ahora $f \leq g$ ).
2. Dos integrales.
  $A = 2 u^{2}$
Respuesta final: a) $R ∖ {0}$ ; AV $x = 0$ , AH $y = 0$ ; crece en $x < 0$ , decrece en $x > 0$ . b) corte en $(\frac{1}{2}, 4)$ . c) $A = 2$ u $^{2}$ .
Ejercicio 3
PAU Comunitat Valenciana, Ordinaria 2025 2025, ejercicio 4B, opción B · 2,5 puntos
Baremo: 4.2.1) 1 · 4.2.2) 1,5
Apartado 4.2.1
1. Quitamos el valor absoluto: si $x \geq 2$ , $f (x) = x (x - 2) = x^{2} - 2 x$ ; si $x < 2$ , $f (x) = x (2 - x) = 2 x - x^{2}$ .
2. Dibujo: en $x < 2$ es una parábola cóncava (corta a OX en $0$ y $2$ , vértice $(1, 1)$ ); en $x \geq 2$ es convexa (sube desde $(2, 0)$ : $f (3) = 3$ , $f (5) = 15$ ). En $x = - 1$ , $f = - 3$ . La región está entre la gráfica, OX, $x = - 1$ y $x = 5$ .
  Región bajo OX en $[- 1, 0]$ , sobre OX en $[0, 2]$ y en $[2, 5]$
Apartado 4.2.2
1. Cortes con OX en $x = 0$ y $x = 2$ : separamos el área en tres trozos y usamos valor absoluto en el que queda bajo el eje. Primitivas: $\int (2 x - x^{2}) = x^{2} - \frac{x ^{3}}{3}$ y $\int (x^{2} - 2 x) = \frac{x ^{3}}{3} - x^{2}$ .
2. Sumamos.
  $A = \frac{62}{3} \approx 20, 67 u^{2}$
Respuesta final: 4.2.1: región por tramos (cortes en $x = 0, 2$ ). 4.2.2: $A = \frac{62}{3} u^{2}$ .

Hojas pensadas para papel A4. Aula es gratis y no pide cuentas a tu alumnado. Ver el tema en Selectividad CV.