Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2008 · Extraordinaria 2008

1.13.3 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

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Dada la matriz $A = (12 - 1 4)$ y el vector $X = (x y)$ , se pide obtener razonadamente:

a)El vector $X$ tal que $A X = 0 X$ (1,1 puntos).
b)Todos los vectores $X$ tales que $A X = 3 X$ (1,1 puntos).
c)Todos los vectores $X$ tales que $A X = 2 X$ (1,1 puntos).

Apartado a

1. $A X = 0 X$ equivale a $A X = 0$ , un sistema homogéneo. Su determinante es:
$∣ A ∣ = 1 \cdot 4 - (- 1) \cdot 2 = 6 \neq = 0$
El sistema es determinado: la única solución es $X = (00)$ .

Apartado b

1. $A X = 3 X ⟺ (A - 3 I) X = 0$ .
$(- 2 2 - 1 1) (x y) = (00) \Rightarrow 2 x + y = 0$
Las dos ecuaciones son la misma recta: $y = - 2 x$ .
2. Con $x = λ$ como parámetro:
$X = λ (1 - 2)$
$X = λ (1 - 2)$ , $λ \in R$
Comprobación: $A (1 - 2) = (3 - 6) = 3 (1 - 2)$ .

Apartado c

1. $A X = 2 X ⟺ (A - 2 I) X = 0$ .
$(- 1 2 - 1 2) (x y) = (00) \Rightarrow x + y = 0$
Recta $y = - x$ .
2. Con $x = λ$ :
$X = λ (1 - 1)$
$X = λ (1 - 1)$ , $λ \in R$
Comprobación: $A (1 - 1) = (2 - 2)$ .

1.23.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
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Dado el sistema de ecuaciones lineales $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = α + 3 2 x - y + z = α + 1 3 x + α y + 2 z = 4$ , se pide:

a)Probar que es compatible para todo valor de $α$ (1,3 puntos).
b)Obtener razonadamente el valor $α$ para el que el sistema es indeterminado (1 punto).
c)Resolver el sistema cuando $α = 0$ , escribiendo los cálculos necesarios para ello (1 punto).

Apartado a

1. Determinante de la matriz de coeficientes.
$∣ A ∣ = 1 (- 2 - α) - 1 (4 - 3) + 1 (2 α + 3) = - 2 - α - 1 + 2 α + 3 = α$
Si $α \neq = 0$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , rango $3$ : compatible determinado.
2. Si $α = 0$ : el rango de $A$ es $2$ (las dos primeras filas no son proporcionales). La tercera fila de la ampliada es suma de las dos primeras: $(1, 1, 1, 3) + (2, - 1, 1, 1) = (3, 0, 2, 4)$ . Luego el rango de $A^{*}$ también es $2$ .
$α = 0 : F_{3} = F_{1} + F_{2}$ en $A^{*}$ , y $rango (A) = rango (A^{*}) = 2$
El sistema es compatible para todo $α$ .

Apartado b

1. Es indeterminado cuando es compatible con rango menor que $3$ : solo ocurre si $∣ A ∣ = 0$ .
$∣ A ∣ = α = 0$
$α = 0$ (compatible indeterminado, con un parámetro).

Apartado c

1. Con $α = 0$ la tercera ecuación sobra. Resolvemos $x + y + z = 3$ y $2 x - y + z = 1$ . Restando: $- x + 2 y = 2$ .
$x = 2 y - 2, z = 3 - x - y = 3 - (2 y - 2) - y = 5 - 3 y$
2. Tomamos $y = λ$ como parámetro.
$(x, y, z) = (- 2 + 2 λ, λ, 5 - 3 λ)$
$(x, y, z) = (- 2 + 2 λ, λ, 5 - 3 λ)$ , $λ \in R$
Comprobación en la tercera: $3 (- 2 + 2 λ) + 2 (5 - 3 λ) = 4$ .

2.13.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 2 apartados
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Dados los dos planos $π_{1} : x + y + z = 3$ y $π_{2} : x + y - α z = 0$ , se pide calcular razonadamente:

a)El valor de $α$ para que los planos $π_{1}$ y $π_{2}$ sean perpendiculares y, para este valor de $α$ , obtener las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de esos dos planos (1,5 puntos).
b)El valor de $α$ para que los planos $π_{1}$ y $π_{2}$ sean paralelos y, para este valor de $α$ , obtener la distancia entre los dos planos $π_{1}$ y $π_{2}$ (1,8 puntos).

Apartado a

1. Son perpendiculares cuando lo son sus normales $n_{1} = (1, 1, 1)$ y $n_{2} = (1, 1, - α)$ .
$n_{1} \cdot n_{2} = 1 + 1 - α = 0$
$α = 2$
2. Con $α = 2$ resolvemos el sistema $x + y + z = 3$ , $x + y - 2 z = 0$ . Restando: $3 z = 3$ , $z = 1$ , y entonces $x + y = 2$ . Con $x = t$ :
$r : ⎩ ⎨ ⎧ x = t y = 2 - t z = 1$
$r : (t, 2 - t, 1)$
Dirección $(1, - 1, 0) ∥ n_{1} \times n_{2} = (- 3, 3, 0)$ .

Apartado b

1. Son paralelos si los normales son proporcionales: $(1, 1, - α) ∥ (1, 1, 1)$ .
$- α = 1 \Rightarrow α = - 1$
$α = - 1$ : $π_{1} : x + y + z = 3$ y $π_{2} : x + y + z = 0$ (distintos).
2. Distancia entre planos paralelos: la de un punto de $π_{2}$ (el origen) al otro plano.
$d (π_{1}, π_{2}) = d (O, π_{1}) = \frac{∣0 + 0 + 0 - 3∣}{3} = \frac{3}{3}$
$d = 3 \approx 1, 73$

2.23.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Dados el punto $O = (0, 0, 0)$ y el plano $π : x + y + z = 6$ , se pide calcular razonadamente:

a)La ecuación de la recta $r$ que pasa por $O$ y es perpendicular al plano $π$ (1,1 puntos).
b)Las coordenadas del punto simétrico de $O$ respecto del plano $π$ (1,1 puntos).
c)La ecuación del plano que contiene al eje $X$ y a la recta $r$ (1,1 puntos).

Apartado a

1. La recta es perpendicular a $π$ cuando su vector director es el normal del plano, $n = (1, 1, 1)$ , y pasa por $O$ .
$r : (x, y, z) = (0, 0, 0) + t (1, 1, 1)$ , es decir, $x = y = z$
$r : ⎩ ⎨ ⎧ x = t y = t z = t$

Apartado b

1. El pie de la perpendicular es el punto $H$ en que $r$ corta a $π$ : $t + t + t = 6$ .
$3 t = 6 \Rightarrow t = 2 \Rightarrow H = (2, 2, 2)$
2. El simétrico $O^{'}$ cumple que $H$ es el punto medio de $O O^{'}$ : $O^{'} = 2 H - O$ .
$O^{'} = 2 (2, 2, 2) - (0, 0, 0) = (4, 4, 4)$
$O^{'} = (4, 4, 4)$
Comprobación: $4 + 4 + 4 = 12 = 2 \cdot 6$ y $O^{'}$ está sobre $r$ .

Apartado c

1. El plano contiene a $O$ y a las direcciones del eje $X$ , $(1, 0, 0)$ , y de $r$ , $(1, 1, 1)$ . Su normal es el producto vectorial:
$n = (1, 0, 0) \times (1, 1, 1) = (0 \cdot 1 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 0) = (0, - 1, 1)$
2. Pasa por el origen, luego su ecuación es $- y + z = 0$ .
$y - z = 0$
Plano: $y - z = 0$
Comprobación: $r = (t, t, t)$ cumple $y = z$ y el eje $X$ $(s, 0, 0)$ también.

3.13.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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3 resultados comprobados en 3 apartados
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Dada la función $f (t) = a t + b$ (con $a$ y $b$ constantes reales), se define $F (x) = x \int_{1}^{x + 1} f (t) d t$ . Se pide obtener razonadamente:

a)La integral $\int_{1}^{x + 1} f (t) d t$ (1,5 puntos).
b)La expresión de la derivada $F^{'} (x)$ de la función $F (x)$ (0,5 puntos).
c)La relación entre los valores $a$ y $b$ para la que se verifica $F^{''} (0) = 0$ (1,3 puntos).

Apartado a

1. Primitiva de $f (t) = a t + b$ y regla de Barrow entre $t = 1$ y $t = x + 1$ .
$\int_{1}^{x + 1} (a t + b) d t = [\frac{a t ^{2}}{2} + b t]_{1}^{x + 1} = \frac{a ( x + 1 ) ^{2}}{2} + b (x + 1) - \frac{a}{2} - b$
2. Desarrollamos $(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 x + 1$ y simplificamos.
$= \frac{a}{2} x^{2} + a x + \frac{a}{2} + b x + b - \frac{a}{2} - b = \frac{a}{2} x^{2} + (a + b) x$
$\int_{1}^{x + 1} f (t) d t = \frac{a}{2} x^{2} + (a + b) x$

Apartado b

1. Con el resultado anterior, $F (x) = x [\frac{a}{2} x^{2} + (a + b) x] = \frac{a}{2} x^{3} + (a + b) x^{2}$ . Derivamos.
$F^{'} (x) = \frac{3 a}{2} x^{2} + 2 (a + b) x$
$F^{'} (x) = \frac{3 a}{2} x^{2} + 2 (a + b) x$
También se puede derivar con el teorema fundamental: $F^{'} (x) = \int_{1}^{x + 1} f + x f (x + 1)$ .

Apartado c

1. Derivamos otra vez y evaluamos en $0$ .
$F^{''} (x) = 3 a x + 2 (a + b) \Rightarrow F^{''} (0) = 2 (a + b) = 0$
$b = - a$

3.23.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 2 apartados
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Para cada número real positivo $α$ , se considera la función $g (x) = x^{2} + α$ . Se pide calcular razonadamente:

a)El área de la región del plano limitada por el eje $X$ , el eje $Y$ , la recta $x = 6$ y la curva $y = g (x)$ (2 puntos).
b)El valor $α$ para el que la curva $y = x^{2} + α$ divide al rectángulo de vértices $(0, 0)$ , $(6, 0)$ , $(6, 6 + α)$ , $(0, 6 + α)$ en dos regiones de igual área (1,3 puntos).

Rectángulo y curva y = x² + α (α = 2)

Apartado a

1. Para $α > 0$ la curva está por encima del eje $X$ , así que el área es la integral entre $x = 0$ y $x = 6$ .
$S = \int_{0}^{6} (x^{2} + α) d x = [\frac{x ^{3}}{3} + α x]_{0}^{6} = \frac{6 6}{3} + α 6$
$S = 6 (2 + α) u^{2}$

Apartado b

1. El rectángulo tiene área $6 (6 + α)$ . La región inferior (bajo la curva) tiene área $6 (2 + α)$ . Pedimos que sea la mitad del rectángulo.
$6 (2 + α) = \frac{6 ( 6 + α )}{2} \Rightarrow 4 + 2 α = 6 + α$
$α = 2$
Con $α = 2$ : rectángulo de área $86$ ; bajo la curva $46$ y por encima $46$ .

4.13.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
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Un móvil se mueve con velocidad constante de $2 m/s$ , en el primer cuadrante, sobre la recta $x = 1$ , partiendo del punto $M = (1, 0)$ situado a $1 m$ del origen. Se pide obtener razonadamente:

a)Las coordenadas del punto $M (t)$ donde está situado el móvil después de $t$ segundos (1 punto).
b)La función $m (t)$ igual a la pendiente de la recta que pasa por el punto $O = (0, 0)$ y por el punto $M (t)$ (1,3 puntos).
c)La derivada de la función $m (t)$ (1 punto).

Apartado a

1. El móvil se mueve sobre $x = 1$ (la abscisa no cambia) en sentido ascendente (primer cuadrante), con velocidad $2$ m/s: la ordenada aumenta $2 t$ en $t$ segundos.
$M (t) = (1, 0 + 2 t)$
$M (t) = (1, 2 t)$

Apartado b

1. La recta por $O = (0, 0)$ y $M (t) = (1, 2 t)$ tiene como pendiente el cociente entre la variación de $y$ y la de $x$ .
$m (t) = \frac{2 t - 0}{1 - 0} = 2 t$
$m (t) = 2 t$

Apartado c

1. Derivamos respecto del tiempo.
$m^{'} (t) = 2$
$m^{'} (t) = 2$ (constante)
La pendiente crece a ritmo constante de $2$ por segundo, igual que $y$ , porque $x$ no cambia.

4.23.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 2 apartados
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En un terreno con forma de semicírculo de radio $50$ metros, se dibuja un rectángulo que tiene dos vértices sobre la semicircunferencia del perímetro del terreno. Los otros dos vértices del rectángulo están sobre el segmento rectilíneo de dicho perímetro y distan $x$ metros. Obtener razonadamente:

a)El área del rectángulo en función de $x$ (1,3 puntos).
b)El valor de $x$ para el que es máxima el área del rectángulo (2 puntos).

Apartado a

1. Colocamos el centro del semicírculo en el origen. Los dos vértices de la base están sobre el diámetro y distan $x$ metros del centro, uno a cada lado: sus abscisas son $- x$ y $x$ , y la base mide $2 x$ . Los otros dos vértices están en la semicircunferencia $X^{2} + Y^{2} = 50$ con abscisa $\pm x$ .
$base = 2 x, altura = 50 - x^{2}$
2. Área = base por altura, con $0 < x < 50$ .
$A (x) = 2 x 50 - x^{2}$
$A (x) = 2 x 50 - x^{2} m^{2}$

Apartado b

1. Derivamos con la regla del producto y la de la cadena.
$A^{'} (x) = 2 50 - x^{2} - \frac{2 x ^{2}}{50 - x ^{2}} = \frac{2 ( 50 - 2 x ^{2} )}{50 - x ^{2}} = \frac{100 - 4 x ^{2}}{50 - x ^{2}}$
2. Igualamos a cero: $100 - 4 x^{2} = 0$ , $x^{2} = 25$ , $x = 5$ (la solución negativa no sirve). Es máximo porque $A^{'} > 0$ para $x < 5$ y $A^{'} < 0$ para $5 < x < 50$ .
$x = 5 \Rightarrow base = 10, altura = 25 = 5, A = 10 \cdot 5 = 50$
$x = 5 m$ (rectángulo de $10 \times 5$ , área $50 m^{2}$ )