Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2006 · Ordinaria 2006

A.1Opción A3.3 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Dado el sistema de ecuaciones con incógnitas $x$ , $y$ , $z$ , $⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - 3 z = α 2 x + 6 y - 11 z = 2 x - 2 y + 7 z = 1$ se pide:

a)Determinar razonadamente el valor de $α$ para el cual el sistema es compatible.
b)Para ese valor obtenido en $a)$ de $α$ , calcular el conjunto de soluciones del sistema.
c)Explicar la posición relativa de los tres planos definidos por cada una de las tres ecuaciones del sistema, en función de los valores de $α$ .

Apartado a

1. Calculamos el rango de la matriz de coeficientes $A$ . Su determinante es:
$∣ A ∣ = 121 26 - 2 - 3 - 11 7 = 1 (42 - 22) - 2 (14 + 11) - 3 (- 4 - 6) = 20 - 50 + 30 = 0$
$∣ A ∣ = 0$ ; como las dos primeras filas no son proporcionales, $rango (A) = 2$ .
2. Por Rouché–Frobenius el sistema es compatible si y solo si el rango de la ampliada también es $2$ , es decir, si se anula el menor de orden 3 que lleva la columna de términos independientes (columnas $x$ , $y$ y términos).
$121 26 - 2 α 21 = 1 (6 + 4) - 2 (2 - 2) + α (- 4 - 6) = 10 - 10 α = 0$
Compatible $⟺ α = 1$ .

Apartado b

1. Con $α = 1$ el rango es $2$ y hay una ecuación sobrante. Nos quedamos con la primera y la tercera (la segunda es $\frac{5}{2} E_{1} - \frac{1}{2} E_{3}$ ) y las restamos para eliminar $x$ .
${x + 2 y - 3 z = 1 x - 2 y + 7 z = 1 \Rightarrow 4 y - 10 z = 0 \Rightarrow y = \frac{5}{2} z$
2. Sustituimos $y$ en la primera ecuación y dejamos $z = λ$ como parámetro.
$x = 1 - 2 y + 3 z = 1 - 5 z + 3 z = 1 - 2 z$
Soluciones: $(x, y, z) = (1 - 2 λ, \frac{5}{2} λ, λ)$ , $λ \in R$ (una recta).
Comprobación en la ecuación $2$ : $2 (1 - 2 λ) + 15 λ - 11 λ = 2$ .

Apartado c

1. Los vectores normales $(1, 2, - 3)$ , $(2, 6, - 11)$ y $(1, - 2, 7)$ no son proporcionales dos a dos: ningún par de planos es paralelo. Como $rango (A) = 2$ , los tres normales son coplanarios.
2. Si $α \neq = 1$ , $rango (A^{*}) = 3 > rango (A)$ : sistema incompatible, los planos se cortan dos a dos en tres rectas paralelas (superficie prismática triangular). Si $α = 1$ , sistema compatible indeterminado con un parámetro: los tres planos (distintos) comparten una recta (haz de planos).
$α \neq = 1$ : prisma triangular. $α = 1$ : tres planos que se cortan en una recta.

A.2Opción A3.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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En el espacio se consideran la recta $r$ intersección de dos planos de ecuaciones implícitas $x + y - z = 5$ y $2 x + y - 2 z = 2$ , y la recta $s$ que pasa por los puntos $P = (3, 10, 5)$ y $Q = (5, 12, 6)$ . Se pide:

a)Calcular las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ (0,6 puntos) y de la recta $s$ (0,4 puntos).
b)Calcular el punto $H$ intersección de $r$ y $s$ (0,6 puntos) y el ángulo $α$ que determinan $r$ y $s$ (0,4 puntos).
c)Calcular los puntos $M$ y $N$ de la recta $r$ para los que el área de cada uno de los triángulos de vértices $P QM$ y $P QN$ es 3 unidades de área.

Apartado a

1. Dirección de $r$ : producto vectorial de los normales de los dos planos.
$d_{r} = (1, 1, - 1) \times (2, 1, - 2) = (- 1, 0, - 1) ∥ (1, 0, 1)$
2. Un punto de $r$ : con $z = 0$ queda $x + y = 5$ y $2 x + y = 2$ , de donde $x = - 3$ , $y = 8$ . Para $s$ usamos $P$ y el vector $P Q = (2, 2, 1)$ .
$r : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 3 + t y = 8 z = t s : ⎩ ⎨ ⎧ x = 3 + 2 u y = 10 + 2 u z = 5 + u$
$r : (x, y, z) = (- 3 + t, 8, t)$ y $s : (x, y, z) = (3 + 2 u, 10 + 2 u, 5 + u)$ .
Comprobación: $(- 3 + t) + 8 - t = 5$ y $2 (- 3 + t) + 8 - 2 t = 2$ .

Apartado b

1. Igualamos las coordenadas de $r$ y $s$ y resolvemos el sistema en $t$ y $u$ .
$⎩ ⎨ ⎧ - 3 + t = 3 + 2 u 8 = 10 + 2 u t = 5 + u \Rightarrow u = - 1, t = 4$
$H = (1, 8, 4)$
Las tres ecuaciones se cumplen, luego las rectas se cortan.
2. El ángulo entre rectas es el menor ángulo entre sus vectores directores $(1, 0, 1)$ y $(2, 2, 1)$ .
$cos α = \frac{∣ ( 1 , 0 , 1 ) \cdot ( 2 , 2 , 1 ) ∣}{2 \cdot 3} = \frac{3}{3 2} = \frac{2}{2}$
$α = 4 5^{\circ}$

Apartado c

1. Un punto genérico de $r$ es $M = (- 3 + t, 8, t)$ . Calculamos $P M$ y el producto vectorial con $P Q$ .
$P M = (t - 6, - 2, t - 5), P Q \times P M = (2 t - 8, 4 - t, 8 - 2 t)$
2. El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial.
$\overset{ˊ}{A} rea = \frac{1}{2} (2 t - 8)^{2} + (t - 4)^{2} + (2 t - 8)^{2} = \frac{1}{2} 9 (t - 4)^{2} = \frac{3}{2} ∣ t - 4∣$
3. Imponemos área $3$ : $\frac{3}{2} ∣ t - 4∣ = 3 \Rightarrow ∣ t - 4∣ = 2$ , que da $t = 6$ y $t = 2$ .
$t = 6 \Rightarrow M = (3, 8, 6) t = 2 \Rightarrow N = (- 1, 8, 2)$
$M = (3, 8, 6)$ y $N = (- 1, 8, 2)$
Los dos puntos están a ambos lados de $H$ ( $t = 4$ ), a la misma distancia de la recta $s$ .

A.3Opción A3.3 puntos

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Se consideran las funciones $g (x) = x^{2} - 4$ y $f (x) = ∣ x^{2} - 4∣$ en el intervalo $[- 1, 4]$ . Se pide:

a)Dibujar razonadamente la gráfica de la función $g (x) = x^{2} - 4$ , cuando $- 1 \leq x \leq 4$ .
b)Obtener razonadamente los valores máximo y mínimo absolutos de la función $f (x) = ∣ x^{2} - 4∣$ en el intervalo $[- 1, 4]$ .
c)Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación $y = f (x)$ y las rectas $x = - 1$ , $x = 4$ e $y = 0$ .

g(x) = x² − 4 en [−1, 4]

Área bajo f(x) = |x² − 4| en [−1, 4]

Apartado a

1. $g (x) = x^{2} - 4$ es una parábola de vértice $(0, - 4)$ que corta al eje $X$ en $x = \pm 2$ (solo $x = 2$ está en el intervalo). Tabla de valores en $[- 1, 4]$ :
$g (- 1) = - 3, g (0) = - 4, g (1) = - 3, g (2) = 0, g (3) = 5, g (4) = 12$
Arco de parábola de $(- 1, - 3)$ a $(4, 12)$ pasando por el vértice $(0, - 4)$ y por $(2, 0)$ .

Apartado b

1. Como $x^{2} - 4 < 0$ en $(- 2, 2)$ y $\geq 0$ fuera, en el intervalo $[- 1, 4]$ la función se parte en dos trozos.
$f (x) = {4 - x^{2}, x^{2} - 4, - 1 \leq x \leq 2 2 \leq x \leq 4$
2. Los candidatos a extremos absolutos son los extremos del intervalo, el punto $x = 0$ donde $f^{'} = 0$ en el primer trozo y el punto $x = 2$ donde $f$ no es derivable (pico).
$f (- 1) = 3, f (0) = 4, f (2) = 0, f (4) = 12$
Máximo absoluto $12$ en $x = 4$ ; mínimo absoluto $0$ en $x = 2$ .
El máximo relativo $f (0) = 4$ no es el absoluto.

Apartado c

1. La curva toca al eje $X$ en $x = 2$ , así que el área se calcula en dos trozos con $f \geq 0$ .
$A = \int_{- 1}^{2} (4 - x^{2}) d x + \int_{2}^{4} (x^{2} - 4) d x$
2. Primitivas y regla de Barrow en cada trozo.
$[4 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{2} = \frac{16}{3} - (- \frac{11}{3}) = 9, [\frac{x ^{3}}{3} - 4 x]_{2}^{4} = (\frac{64}{3} - 16) - (\frac{8}{3} - 8) = \frac{32}{3}$
$A = 9 + \frac{32}{3} = \frac{59}{3} \approx 19, 67 u^{2}$

A.4Opción A3.3 puntos

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Una persona camina a la velocidad constante de $3 m/s$ alejándose horizontalmente en línea recta desde la base de un farol cuyo foco luminoso está a $10 m$ de altura. Sabiendo que la persona mide $1, 70 m$ , calcular:

a)La longitud de la sombra cuando la persona está a $5 m$ de la base del farol.
b)La velocidad de crecimiento de la sombra a los $t$ segundos de comenzar a caminar.

Farol, persona y sombra

Apartado a

1. Sea $x$ la distancia de la persona a la base del farol y $s$ la longitud de su sombra (desde los pies hasta la punta). El rayo que pasa por la cabeza y el foco da dos triángulos semejantes: el del farol (altura $10$ , base $x + s$ ) y el de la persona (altura $1, 7$ , base $s$ ).
$\frac{10}{x + s} = \frac{1 , 7}{s} \Rightarrow 10 s = 1, 7 x + 1, 7 s \Rightarrow s = \frac{1 , 7}{8 , 3} x = \frac{17}{83} x$
2. Con $x = 5 m$ :
$s = \frac{17}{83} \cdot 5 = \frac{85}{83}$
$s = \frac{85}{83} \approx 1, 02 m$

Apartado b

1. Como la persona anda a $3 m/s$ , en el instante $t$ está a $x = 3 t$ metros del farol, y la sombra vale:
$s (t) = \frac{17}{83} \cdot 3 t = \frac{51}{83} t$
2. La velocidad de crecimiento es la derivada respecto del tiempo.
$s^{'} (t) = \frac{51}{83}$
$\frac{51}{83} \approx 0, 61 m/s$ , constante
Es la velocidad a la que crece la longitud de la sombra; la punta de la sombra avanza a $3 + \frac{51}{83} \approx 3, 61 m/s$ respecto del suelo.

B.1Opción B3.3 puntos

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Dadas las matrices $A = 2 - 1 2 2 - 1 4 1 - 1 3$ y $T = 2 - 1 1 4 - 3 2 1 - 1 1$ se pide:

a)Probar que la matriz $T$ tiene matriz inversa, $T^{- 1}$ , y calcular dicha matriz inversa $T^{- 1}$ .
b)Dada la ecuación con matriz incógnita $B$ , $A = T^{- 1} B T$ , calcular el determinante de $B$ .
c)Obtener los elementos de la matriz $B$ considerada en el apartado $b)$ .

Apartado a

1. Calculamos el determinante de $T$ (desarrollo por la primera fila).
$∣ T ∣ = 2 (- 3 + 2) - 4 (- 1 + 1) + 1 (- 2 + 3) = - 2 - 0 + 1 = - 1 \neq = 0$
$∣ T ∣ = - 1 \neq = 0$ : $T$ es invertible.
2. Matriz de cofactores, traspuesta (adjunta) y división por $∣ T ∣$ .
$Cof (T) = - 1 - 2 - 1 011 10 - 2, T^{- 1} = \frac{1}{- 1} Cof (T)^{t} = 10 - 1 2 - 1 0 1 - 1 2$
$T^{- 1} = 10 - 1 2 - 1 0 1 - 1 2$
Comprobación: $T T^{- 1} = I$ .

Apartado b

1. De $A = T^{- 1} B T$ se despeja $B = T A T^{- 1}$ . El determinante de un producto es el producto de determinantes y $∣ T^{- 1} ∣ = 1/∣ T ∣$ .
$∣ B ∣ = ∣ T ∣ ∣ A ∣ ∣ T^{- 1} ∣ = ∣ A ∣$ , con $∣ A ∣ = 2 (- 3 + 4) - 2 (- 3 + 2) + 1 (- 4 + 2) = 2 + 2 - 2 = 2$
$∣ B ∣ = 2$

Apartado c

1. Multiplicamos $B = T A T^{- 1}$ (primero $T A$ y luego por $T^{- 1}$ ).
$T A = 2 - 1 2 4 - 3 4 1 - 1 2, B = T A T^{- 1} = 100010002$
$B = 100010002$
Es diagonal y su determinante es $2$ , como en el apartado $b)$ .

B.2Opción B3.3 puntos

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5 resultados comprobados en 3 apartados
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Dados los puntos $A = (4, - 4, 9)$ , $B = (2, 0, 5)$ , $C = (4, 2, 6)$ , $L = (1, 1, 4)$ , $M = (0, 2, 3)$ y $N = (3, 0, 5)$ , se pide:

a)Calcular la distancia $d$ del punto $C$ al punto medio del segmento de extremos $A$ , $B$ (0,5 puntos) y el área $S$ del triángulo de vértices $A$ , $B$ , $C$ (1 punto).
b)Calcular las ecuaciones implícitas del plano $π$ que pasa por los puntos $A$ , $B$ , $C$ (0,4 puntos) y del plano $π^{'}$ que pasa por los puntos $L$ , $M$ , $N$ (0,4 puntos).
c)Calcular la ecuación paramétrica de la recta $r$ intersección de los planos $π$ y $π^{'}$ (0,6 puntos) y el ángulo $α$ que determinan los planos $π$ y $π^{'}$ (0,4 puntos).

Apartado a

1. Punto medio de $A B$ y distancia a $C$ .
$M_{A B} = (\frac{4 + 2}{2}, \frac{- 4 + 0}{2}, \frac{9 + 5}{2}) = (3, - 2, 7), d = ∣ (4 - 3, 2 + 2, 6 - 7) ∣ = 1 + 16 + 1$
$d = 18 = 32 \approx 4, 24$
2. El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de $A B = (- 2, 4, - 4)$ y $A C = (0, 6, - 3)$ .
$A B \times A C = (- 12 + 24, 0 - 6, - 12 - 0) = (12, - 6, - 12), S = \frac{1}{2} 144 + 36 + 144 = \frac{18}{2}$
$S = 9 u^{2}$

Apartado b

1. Normal de $π$ : el producto vectorial anterior, $(12, - 6, - 12) ∥ (2, - 1, - 2)$ . Imponemos que pase por $A$ .
$2 x - y - 2 z = 2 \cdot 4 + 4 - 18 = - 6$
$π : 2 x - y - 2 z + 6 = 0$
Comprobación con $B$ : $4 - 0 - 10 + 6 = 0$ ; con $C$ : $8 - 2 - 12 + 6 = 0$ .
2. Para $π^{'}$ : $L M = (- 1, 1, - 1)$ y $L N = (2, - 1, 1)$ ; su producto vectorial es el normal.
$L M \times L N = (1 - 1, - 2 + 1, 1 - 2) = (0, - 1, - 1) ∥ (0, 1, 1)$ , y con $L$ : $y + z = 1 + 4 = 5$
$π^{'} : y + z - 5 = 0$
Comprobación con $M$ : $2 + 3 - 5 = 0$ ; con $N$ : $0 + 5 - 5 = 0$ .

Apartado c

1. Dirección de $r$ : producto vectorial de los normales.
$(2, - 1, - 2) \times (0, 1, 1) = (- 1 + 2, 0 - 2, 2 - 0) = (1, - 2, 2)$
2. Un punto de $r$ : $B = (2, 0, 5)$ cumple las dos ecuaciones ( $4 - 0 - 10 + 6 = 0$ y $0 + 5 - 5 = 0$ ).
$r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = - 2 t z = 5 + 2 t$
3. El ángulo entre planos es el ángulo agudo entre sus normales.
$cos α = \frac{∣ ( 2 , - 1 , - 2 ) \cdot ( 0 , 1 , 1 ) ∣}{3 \cdot 2} = \frac{3}{3 2} = \frac{2}{2}$
$α = 4 5^{\circ}$

B.3Opción B3.3 puntos

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Dada la función $f (x) = ln x$ en el intervalo cerrado $[1, e]$ , siendo $e = 2, 718281 \dots$ :

a)Razonar que existe un punto $P$ de la gráfica $y = ln x$ en el que la recta tangente a ella es paralela a la recta que pasa por los puntos $A = (1, 0)$ y $B = (e, 1)$ (1 punto).
b)Obtener el punto $P$ considerado en $a)$ (1,8 puntos).
c)Calcular la pendiente de la recta tangente a $y = ln x$ en ese punto $P$ (0,5 puntos).

Apartado a

1. $f (x) = ln x$ es continua en $[1, e]$ y derivable en $(1, e)$ (su derivada $1/ x$ existe para $x > 0$ ). Por el teorema del valor medio de Lagrange existe $c \in (1, e)$ con $f^{'} (c) = \frac{f ( e ) - f ( 1 )}{e - 1}$ .
$m_{A B} = \frac{1 - 0}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}$
Existe $P = (c, ln c)$ con tangente paralela a $A B$ .

Apartado b

1. Imponemos que la pendiente de la tangente, $f^{'} (x) = 1/ x$ , valga $m_{A B}$ .
$\frac{1}{x} = \frac{1}{e - 1} \Rightarrow x = e - 1 \approx 1, 718 \in (1, e)$
$P = (e - 1, ln (e - 1)) \approx (1, 718; 0, 541)$

Apartado c

1. La pendiente en $P$ es $f^{'} (e - 1)$ , igual que la de la recta $A B$ .
$m = \frac{1}{e - 1} \approx 0, 582$
$m = \frac{1}{e - 1}$

B.4Opción B3.3 puntos

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El coste del marco de una ventana rectangular es $12, 5 €$ por metro lineal de los lados verticales y $8 €$ por metro lineal de los lados horizontales.

a)Calcular razonadamente las dimensiones que debe tener el marco de una ventana de $1 m^{2}$ de superficie para que resulte lo más económico posible (2,3 puntos).
b)Calcular, además, el coste de ese marco más económico posible considerado en $a)$ (1 punto).

Apartado a

1. Sea $b$ la base (lados horizontales) y $h$ la altura (lados verticales). Superficie: $bh = 1$ , luego $h = 1/ b$ . Coste: dos lados horizontales a $8 €/m$ y dos verticales a $12, 5 €/m$ .
$C (b) = 2 b \cdot 8 + 2 h \cdot 12, 5 = 16 b + \frac{25}{b}, b > 0$
2. Derivamos e igualamos a cero.
$C^{'} (b) = 16 - \frac{25}{b ^{2}} = 0 \Rightarrow b^{2} = \frac{25}{16} \Rightarrow b = \frac{5}{4}$
3. $C^{''} (b) = \frac{50}{b ^{3}} > 0$ para $b > 0$ : es un mínimo. La altura correspondiente es $h = 1/ b = 4/5$ .
$C^{''} (\frac{5}{4}) = \frac{50}{( 5/4 ) ^{3}} > 0$
Dimensiones: base $1, 25 m$ y altura $0, 8 m$ .

Apartado b

1. Sustituimos $b = 5/4$ en la función de coste.
$C (\frac{5}{4}) = 16 \cdot \frac{5}{4} + \frac{25}{5/4} = 20 + 20 = 40$
Coste mínimo: $40 €$