Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2024 · Ordinaria 2024

1. Matriz de coeficientes $M$ y ampliada $M^{\ast }$. Calculamos $\det M$ para saber cuándo el rango es 3.

2. Si $m\ne 3$ y $m\ne -2$: $\det M\ne 0$, luego $\mathrm{rg}M=\mathrm{rg}{M}^{\ast }=3=$ nº de incógnitas.

3. $m=-2$: $M=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 2& -2& -1\\ -3& 3& -1\end{array}\right)$ tiene rango 2 (el menor de filas 1-2 y columnas 2-3 vale $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& -1\end{array}\right|=1\ne 0$). Ampliada con $b=(-2,-6,4{)}^t$: buscamos un menor de orden 3 no nulo.

4. $m=3$: $M=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 2& 3& -1\\ 2& 3& -1\end{array}\right)$ (filas 2 y 3 iguales) y $b=(3,9,9{)}^t$ (también iguales). El menor $\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 3\end{array}\right|=-5\ne 0$.

1. Con $m=3$ la tercera ecuación repite la segunda; nos quedamos con las dos primeras y tomamos $z=5\lambda$ como parámetro.

2. De la primera, $y=3+x-z$; sustituyendo en la segunda: $2x+9+3x-3z-z=9\Rightarrow 5x=4z$.

1. Determinante: la segunda fila solo tiene el elemento $m$ en la posición $(2,2)$, así que desarrollamos por ella.

2. Si $m\ne 0$ y $m\ne 1$: $\det A\ne 0$ y $\mathrm{rg}A=3$. Veamos $m=0$ y $m=1$.

3. $m=0$: la fila 2 es nula y las filas 1 y 3 son independientes, rango 2. $m=1$: se cumple $F_1=F_2+F_3$ (dependencia) y $F_2,F_3$ independientes, rango 2.

1. Para $m=-1$: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& -1\\ 0& -1& 0\\ -1& 1& -1\end{array}\right)$, con $\det A=-1\cdot (-2)=2\ne 0$, luego es invertible y $X=A^{-1}B$.

2. Calculamos $A^{-1}$ (adjunta traspuesta entre el determinante) y multiplicamos por $B$, lo que equivale a quedarse con sus dos primeras columnas.

1. Para $m=0$: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$. Calculamos $A^2$.

2. Como $A^2\cdot A=A^2$ (la primera fila de $A^2$ es $(1,0,0)$ y se queda con la primera fila de $A$, que también es $(1,0,0)$), todas las potencias desde la segunda son iguales.

1. De $r$: punto $P_r=(1,-1,-2)$ y dirección $\vec{d}=(2,3,-1)$. Normal de $\pi$: $\vec{n}=(3,-m,1)$. Recta y plano son paralelos si $\vec{d}\perp \vec{n}$.

2. Para que $\pi$ contenga a $r$ se necesitan dos cosas: $\vec{d}\cdot \vec{n}=0$ ($m=\frac{5}{3}$) y que $P_r\in \pi$.

1. Con $m=\frac{5}{3}$ el plano $\pi$ tiene normal $\left(3,-\frac{5}{3},1\right)\parallel (9,-5,3)$. Un plano paralelo es $9x-5y+3z=k$; imponemos que contenga a $P_r$.

1. Fórmula de la distancia de $P=(1,-1,-2)$ a $\pi :3x-my+z-1=0$.

1. En un cuadrado los lados opuestos son paralelos. Los otros dos vértices están en el lado opuesto a $PQ$, luego $r$ es paralela a $\overrightarrow{PQ}$ y pasa por $R$.

1. El plano del cuadrado contiene a $P$, $Q$ y $R$ (ya que $r$ es paralela a $PQ$ y pasa por $R$). Su normal es perpendicular a $\overrightarrow{PQ}$ y a $\overrightarrow{PR}=(2,6,3)$.

2. Ecuación del plano por $P=(2,1,3)$.

1. Los vértices pedidos $T$ (contiguo a $P$) y $S$ (contiguo a $Q$) están en $r$ y los lados $PT$, $QS$ son perpendiculares a $PQ$. Calculamos $T$ como el pie de la perpendicular a $PQ$ desde $P$ sobre $r$: quitamos de $\overrightarrow{PR}$ su componente según $\overrightarrow{PQ}$.

2. Los vértices son $T=P+\vec{w}$ y $S=Q+\vec{w}$ (el desplazamiento $\vec{w}$ es perpendicular a $PQ$ y lleva $PQ$ sobre $r$).

3. Aviso sobre los datos del enunciado: para que $PQST$ sea un cuadrado, el lado $PT$ debería medir lo mismo que $PQ$.

1. El producto de un polinomio por una exponencial está definido para todo real, así que no hay asíntotas verticales.

2. Límites en el infinito (suponemos $k\ne 0$; si $k=0$, $f\equiv 0$). En $+\infty$ la exponencial del denominador gana al factor $x$; en $-\infty$ la exponencial $e^{-2x}$ crece.

3. En $-\infty$ no hay asíntota oblicua: $f(x)/x=k{e}^{-2x}\to \pm \infty$, que no es finito.

1. Derivamos con la regla del producto.

2. $e^{-2x}>0$, así que $f^{\prime }(x)=0$ solo en $x=\frac{1}{2}$ y el signo de $f^{\prime }$ lo dan $k$ y $1-2x$. Para $k>0$: $f^{\prime }>0$ si $x<\frac{1}{2}$ y $f^{\prime }<0$ si $x>\frac{1}{2}$. Con $k<0$ los signos se invierten.

3. Valor de la función en el punto crítico: $f(\frac{1}{2})=k\cdot \frac{1}{2}\cdot e^{-1}$.

1. $f(0)=k\cdot 0\cdot e^0=0$ para cualquier valor de $k$, y $0\in [-1,1]$. (Si $k=0$ la función es nula en todo el intervalo.)

1. El rectángulo $R$ tiene base 2 (de $-1$ a $1$) y altura 1, luego área $2$; un tercio es $\frac{2}{3}$.

2. La recta $y=a$ y la parábola $y=x^2$ se cortan en $x=\pm \sqrt{a}$ y entre ambos puntos $a\ge x^2$ (la recta queda por encima). El área encerrada es la integral de la diferencia (función par).

3. Imponemos $A(a)=\frac{2}{3}$ y despejamos.

1. En cada lanzamiento se elige una moneda al azar ($P=\frac{1}{2}$ cada una) y se devuelve a la bolsa, por lo que los tres lanzamientos son independientes con la misma probabilidad de cara. Probabilidad total de cara en un lanzamiento:

2. (a.1) Tres caras seguidas, por independencia:

3. (a.2) Exactamente una cruz: $P(\text{cruz})=0,2$ y hay 3 posiciones posibles para la cruz.

1. Sean $M_1$, $M_2$ las monedas elegidas ($P=\frac{1}{2}$ cada una) y $CC$ = «dos caras en dos lanzamientos». $P(CC\mid M_1)=0,6^2=0,36$ y $P(CC\mid M_2)=1$.

2. Teorema de Bayes para cada moneda.

1. Cada llamada es una venta con probabilidad $0,7$ (no vender: $0,3$), de forma independiente: $X\sim B(10;0,7)$, $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{k}\right)0,7^{k}0,3^{10-k}$. «Más de 7» es $X\ge 8$.

1. «Al menos 5» es $X\ge 5$. Es más corto el suceso contrario $X\le 4$.

1. «Mínimo 3 y máximo 8» es $3\le X\le 8$: sumamos $P(3)+\cdots +P(8)$ (o restamos al total $P(X\le 2)$ y $P(X\ge 9)$).