Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2010 · Extraordinaria 2010

A.1Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Dado el sistema de ecuaciones lineales $⎩ ⎨ ⎧ α x + α^{3} y + z = 1 α x + α y + z = 1 α^{3} x + α y + z = 1$ donde $α$ es un parámetro real, se pide:

a)Deducir, razonadamente, para qué valores de $α$ es compatible determinado.
b)Deducir, razonadamente, para qué valores de $α$ es compatible indeterminado.
c)Resolver el sistema en todos los casos en que es compatible indeterminado.

Apartado a

1. Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes. Restamos la fila 2 a la fila 1 y a la fila 3 (no cambia el determinante) y desarrollamos.
$∣ A ∣ = α α α^{3} α^{3} α α 111 = 0 α α^{3} - α α^{3} - α α 0 010$
2. Desarrollamos por la tercera columna (solo el 1 de la fila 2 es distinto de cero).
$∣ A ∣ = 1 \cdot (- 1)^{2 + 3} 0 α^{3} - α α^{3} - α 0 = - (- (α^{3} - α)^{2}) = α^{2} (α - 1)^{2} (α + 1)^{2}$
3. El sistema es compatible determinado cuando $∣ A ∣ \neq = 0$ (rango 3 igual al de la ampliada).
$∣ A ∣ = 0 ⟺ α \in {- 1, 0, 1}$
Compatible determinado $⟺ α \in / {- 1, 0, 1}$ .

Apartado b

1. Estudiamos los tres valores que anulan el determinante. Para $α = 0$ las tres ecuaciones son $z = 1$ ; para $α = 1$ las tres son $x + y + z = 1$ ; para $α = - 1$ las tres son $- x - y + z = 1$ . En cada caso las tres ecuaciones coinciden.
$rg A = rg (A ∣ B) = 1 < 3$ para $α = 0, 1, - 1$
Compatible indeterminado $⟺ α \in {- 1, 0, 1}$ (con 2 grados de libertad).

Apartado c

1. $α = 0$ : $z = 1$ , con $x, y$ libres.
$(x, y, z) = (λ, μ, 1)$
2. $α = 1$ : $x + y + z = 1$ , dos parámetros.
$(x, y, z) = (1 - λ - μ, λ, μ)$
3. $α = - 1$ : $- x - y + z = 1$ , o sea $x = - 1 - y + z$ .
$(x, y, z) = (- 1 - λ + μ, λ, μ)$
En los tres casos el conjunto de soluciones es un plano (dos parámetros).

A.2Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

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Se pide obtener razonadamente:

a)La ecuación del plano $π$ que pasa por los puntos $O = (0, 0, 0)$ , $A = (6, - 3, 0)$ y $B = (3, 0, 1)$ .
b)La ecuación de la recta $r$ que pasa por el punto $P = (8, 7, - 2)$ y es perpendicular al plano $π$ .
c)El punto $Q$ del plano $π$ cuya distancia al punto $P$ es menor que la distancia de cualquier otro punto del plano $π$ al punto $P$ .

Apartado a

1. Vectores del plano: $O A = (6, - 3, 0)$ y $O B = (3, 0, 1)$ . Su producto vectorial es normal al plano.
$n = O A \times O B = i 63 j - 3 0 k 01 = (- 3, - 6, 9) ∥ (1, 2, - 3)$
2. El plano pasa por el origen, así que no tiene término independiente.
$π : x + 2 y - 3 z = 0$
$π : x + 2 y - 3 z = 0$
Comprobación: $A$ : $6 - 6 + 0 = 0$ ; $B$ : $3 + 0 - 3 = 0$ .

Apartado b

1. La recta perpendicular a $π$ tiene como dirección el vector normal $(1, 2, - 3)$ .
$r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 8 + λ y = 7 + 2 λ z = - 2 - 3 λ o \frac{x - 8}{1} = \frac{y - 7}{2} = \frac{z + 2}{- 3}$
$r : \frac{x - 8}{1} = \frac{y - 7}{2} = \frac{z + 2}{- 3}$

Apartado c

1. El punto del plano más cercano a $P$ es el pie de la perpendicular: la intersección de $r$ con $π$ . (Es el punto que minimiza la distancia porque el segmento $P Q$ es perpendicular al plano y cualquier otro punto $X$ cumple $P X^{2} = P Q^{2} + Q X^{2}$ .)
$(8 + λ) + 2 (7 + 2 λ) - 3 (- 2 - 3 λ) = 0 \Rightarrow 28 + 14 λ = 0 \Rightarrow λ = - 2$
2. Sustituimos $λ = - 2$ en la recta.
$Q = (8 - 2, 7 - 4, - 2 + 6) = (6, 3, 4)$
$Q = (6, 3, 4)$
Comprobación: $6 + 6 - 12 = 0$ , así que $Q \in π$ . La distancia mínima es $∣ P Q ∣ = ∣ (2, 4, - 6) ∣ = 214 \approx 7, 48$ .

A.3Opción A10 puntos

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Dadas las funciones $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 2 x^{2} - x$ , se pide:

a)Obtener razonadamente los puntos de intersección $A$ y $B$ de las curvas $y = f (x)$ e $y = g (x)$ .
b)Demostrar que $f (x) \geq g (x)$ cuando $x \geq 0$ .
c)Calcular razonadamente el área de la superficie limitada por las dos curvas entre los puntos $A$ y $B$ .

Área entre f = x³ y g = 2x² − x: 1/12

Apartado a

1. Igualamos las dos funciones y factorizamos.
$x^{3} = 2 x^{2} - x ⟺ x^{3} - 2 x^{2} + x = 0 ⟺ x (x - 1)^{2} = 0$
$x = 0$ y $x = 1$
2. Calculamos las ordenadas.
$f (0) = 0, f (1) = 1$
$A = (0, 0)$ y $B = (1, 1)$
En $x = 1$ las curvas son tangentes (raíz doble), no se cruzan.

Apartado b

1. Hallamos la diferencia y la factorizamos.
$f (x) - g (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x = x (x - 1)^{2}$
2. Si $x \geq 0$ , el factor $x$ es no negativo y $(x - 1)^{2}$ es un cuadrado, también no negativo; el producto es $\geq 0$ .
$x \geq 0 \Rightarrow x (x - 1)^{2} \geq 0 \Rightarrow f (x) \geq g (x)$
Queda demostrado (la igualdad solo en $x = 0$ y $x = 1$ ).

Apartado c

1. En $[0, 1]$ la curva $f$ está por encima de $g$ , luego el área es la integral de la diferencia.
$\overset{ˊ}{A} rea = \int_{0}^{1} (x^{3} - 2 x^{2} + x) d x = [\frac{x ^{4}}{4} - \frac{2 x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{1}$
2. Regla de Barrow.
$\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3 - 8 + 6}{12} = \frac{1}{12}$
Área $= \frac{1}{12} u^{2} \approx 0, 083 u^{2}$

B.1Opción B10 puntos

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Dadas las matrices $A (x) = x + 2 x + 2 x + 3 468322$ y $B (y) = y + 1 y + 2 y + 3 468321$ , se pide:

a)Obtener razonadamente el valor de $x$ para que el determinante de la matriz $A (x)$ sea 6.
b)Calcular razonadamente el determinante de la matriz $2 A (x)$ .
c)Demostrar que la matriz $B (y)$ no tiene matriz inversa para ningún valor real de $y$ .

Apartado a

1. Restamos la fila 1 a la fila 2 y a la fila 3 (no cambia el determinante) para quitar la incógnita de la primera columna salvo en la primera fila.
$x + 2 x + 2 x + 3 468322 = F_{2} - F_{1}, F_{3} - F_{1} x + 2 01 424 3 - 1 - 1$
2. Desarrollamos por la primera fila.
$∣ A (x) ∣ = (x + 2) (- 2 + 4) - 4 (0 + 1) + 3 (0 - 2) = 2 x + 4 - 4 - 6 = 2 x - 6$
3. Imponemos $∣ A (x) ∣ = 6$ .
$2 x - 6 = 6 \Rightarrow x = 6$
$x = 6$

Apartado b

1. Al multiplicar toda una matriz $3 \times 3$ por un escalar $k$ , el determinante se multiplica por $k^{3}$ : $∣2 A ∣ = 2^{3} ∣ A ∣$ .
$∣2 A (x) ∣ = 8 (2 x - 6) = 16 x - 48$
$∣2 A (x) ∣ = 16 x - 48$ ; para $x = 6$ vale $48$ .
Con $x = 6$ : $8 \cdot 6 = 48$ .

Apartado c

1. Hacemos operaciones entre filas del mismo tipo: $F_{3} \leftarrow F_{3} - F_{2}$ y $F_{2} \leftarrow F_{2} - F_{1}$ .
$∣ B (y) ∣ = y + 1 y + 2 y + 3 468321 = y + 1 11 422 3 - 1 - 1$
2. Las filas 2 y 3 son iguales, luego el determinante vale 0 para todo $y$ . Una matriz con determinante nulo no tiene inversa.
$∣ B (y) ∣ = 0 \forall y \in R$
$B (y)$ no tiene inversa para ningún $y$ .

B.2Opción B10 puntos

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Dadas las dos rectas $r$ y $s$ de ecuaciones $r : \frac{x - 4}{3} = \frac{y - 4}{2} = z - 4$ y $s : x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ , se pide calcular razonadamente:

a)Las coordenadas del punto $P$ de intersección de las rectas $r$ y $s$ .
b)El ángulo que forman las rectas $r$ y $s$ .
c)Ecuación implícita $A x + B y + C z + D = 0$ del plano $π$ que contiene a las rectas $r$ y $s$ .

Apartado a

1. Escribimos las rectas en paramétricas: $r : (4 + 3 t, 4 + 2 t, 4 + t)$ y $s : (μ, 2 μ, 3 μ)$ . Igualamos coordenadas.
$⎩ ⎨ ⎧ 4 + 3 t = μ 4 + 2 t = 2 μ 4 + t = 3 μ$
2. De las dos primeras: $4 + 2 t = 2 (4 + 3 t) \Rightarrow - 4 t = 4 \Rightarrow t = - 1$ y $μ = 1$ . Comprobamos en la tercera: $4 - 1 = 3 = 3 \cdot 1$ . Se cumple.
$t = - 1, μ = 1 \Rightarrow P = (1, 2, 3)$
$P = (1, 2, 3)$

Apartado b

1. El ángulo entre rectas es el que forman sus directores $d_{r} = (3, 2, 1)$ y $d_{s} = (1, 2, 3)$ .
$cos α = \frac{∣ d _{r} \cdot d _{s} ∣}{∣ d _{r} ∣∣ d _{s} ∣} = \frac{3 + 4 + 3}{14 14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$
2. Despejamos.
$α = arccos \frac{5}{7} \approx 44, 4 2^{\circ}$
$α \approx 44, 4 2^{\circ}$

Apartado c

1. El plano contiene a ambas rectas (que se cortan), luego su normal es perpendicular a las dos direcciones.
$n = d_{r} \times d_{s} = (3, 2, 1) \times (1, 2, 3) = (4, - 8, 4) ∥ (1, - 2, 1)$
2. Imponemos que pase por $P (1, 2, 3)$ (o por el origen, que está en $s$ ): $x - 2 y + z + D = 0$ .
$1 - 4 + 3 + D = 0 \Rightarrow D = 0$
$π : x - 2 y + z = 0$
Comprobación: $(4, 4, 4) \in r$ : $4 - 8 + 4 = 0$ ✓; $(1, 2, 3) \in s$ : $1 - 4 + 3 = 0$ ✓.

B.3Opción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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3 resultados comprobados en 3 apartados
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Dos elementos de un escudo son una circunferencia y un triángulo. La circunferencia tiene centro $(0, 0)$ y radio $5$ . Uno de los vértices del triángulo es el punto $A = (- 5, 0)$ . Los otros dos vértices del triángulo son los puntos de la circunferencia $B = (x, y)$ y $C = (x, - y)$ . Se pide obtener razonadamente:

a)El área del triángulo en función de $x$ .
b)Los vértices $B$ y $C$ para los que es máxima el área del triángulo.
c)El valor máximo del área del triángulo.

Apartado a

1. Como $B$ y $C$ tienen la misma abscisa, el lado $B C$ es vertical, de longitud $2 y$ . La altura desde $A$ es la distancia horizontal de $A$ a la recta $x = const.$ : $x - (- 5) = x + 5$ . Además $B$ está en la circunferencia: $y = 25 - x^{2}$ .
$S (x) = \frac{1}{2} \cdot 2 y \cdot (x + 5) = (x + 5) 25 - x^{2}, x \in (- 5, 5)$
$S (x) = (x + 5) 25 - x^{2}$

Apartado b

1. Derivamos con la regla del producto y simplificamos.
$S^{'} (x) = 25 - x^{2} - \frac{x ( x + 5 )}{25 - x ^{2}} = \frac{25 - 2 x ^{2} - 5 x}{25 - x ^{2}}$
2. Anulamos el numerador: $2 x^{2} + 5 x - 25 = 0$ .
$x = \frac{- 5 \pm 25 + 200}{4} = \frac{- 5 \pm 15}{4} \Rightarrow x = \frac{5}{2} o x = - 5$
$x = - 5$ está fuera del dominio abierto $(- 5, 5)$ (triángulo degenerado).
3. Signo de $S^{'}$ : el numerador $25 - 5 x - 2 x^{2}$ es positivo para $- 5 < x < 5/2$ y negativo para $5/2 < x < 5$ . Por tanto $S$ crece y luego decrece: máximo en $x = 5/2$ .
$y = 25 - \frac{25}{4} = \frac{5 3}{2}$
$B = (\frac{5}{2}, \frac{5 3}{2}), C = (\frac{5}{2}, - \frac{5 3}{2})$
El triángulo resulta equilátero, de lado $53$ .

Apartado c

1. Sustituimos en $S$ .
$S (\frac{5}{2}) = \frac{15}{2} \cdot \frac{5 3}{2} = \frac{75 3}{4}$
Área máxima $= \frac{75 3}{4} \approx 32, 48 u^{2}$