Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2022 · Extraordinaria 2022

110 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 2 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Dado el sistema de ecuaciones: $⎩ ⎨ ⎧ a x + y = 1 x + z = 1 x + a y + (a - 1) z = a$ .

a)Discutir el sistema en función del parámetro real $a$ .
b)Encontrar todas las soluciones del sistema cuando este sea compatible.

Apartado a

1. Matriz de coeficientes $M$ y ampliada $M^{*}$ . Calculamos $det M$ desarrollando por la segunda fila.
$det M = a 11 10 a 01 a - 1 = - (a - 1) (a + 2) = - a^{2} - a + 2$
2. Si $a \neq = 1, - 2$ : $det M \neq = 0$ , $rg M = rg M^{*} = 3$ = número de incógnitas.
Sistema compatible determinado (SCD).
3. Caso $a = 1$ : el menor $1110 = - 1 \neq = 0$ da $rg M = 2$ , y en la ampliada las filas 1 y 3 coinciden.
$M^{*} = 111101010111$ (filas 1 y 3 iguales)
$rg M = rg M^{*} = 2 < 3$ : compatible indeterminado (SCI).
4. Caso $a = - 2$ : $rg M = 2$ pero el menor de la ampliada con la columna de términos independientes es distinto de cero.
$- 2 11 10 - 2 11 - 2 = - 3 \neq = 0 \Rightarrow rg M^{*} = 3$
Sistema incompatible (SI).

Apartado b

1. Para $a \neq = 1, - 2$ resolvemos por sustitución: de la segunda, $z = 1 - x$ ; de la primera, $y = 1 - a x$ .
$z = 1 - x, y = 1 - a x$
2. Sustituimos en la tercera: $x + a (1 - a x) + (a - 1) (1 - x) = a$ .
$x (1 - a^{2} - a + 1) + a + a - 1 = a \Rightarrow x (2 - a - a^{2}) = 1 - a \Rightarrow x = \frac{1 - a}{( 1 - a ) ( a + 2 )} = \frac{1}{a + 2}$
3. Con $x = \frac{1}{a + 2}$ obtenemos $y$ y $z$ .
$y = 1 - \frac{a}{a + 2} = \frac{2}{a + 2}, z = 1 - \frac{1}{a + 2} = \frac{a + 1}{a + 2}$
Si $a \neq = 1, - 2$ : $(x, y, z) = (\frac{1}{a + 2}, \frac{2}{a + 2}, \frac{a + 1}{a + 2})$
4. Para $a = 1$ el sistema se reduce a dos ecuaciones: $x + y = 1$ , $x + z = 1$ . Parámetro $x = λ$ (equivalente: $z = λ$ ).
$(x, y, z) = (1 - λ, λ, λ)$
Si $a = 1$ : $(1 - λ, λ, λ)$ , $λ \in R$ . Si $a = - 2$ no hay solución.

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Dada la matriz $A = (a + b 0 1 a - b)$ :

a)Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla $A^{- 1} = (10 - 1 1)$ .
b)Para los valores $a$ y $b$ obtenidos en el apartado anterior, calcular $A^{3}$ y $A^{4}$ .
c)Calcular $det (A^{- 50})$ cuando $a^{2} - b^{2} \neq = 0$ .

Apartado a

1. Invertimos $A^{- 1}$ para obtener $A$ (la inversa de una inversa): $A = (10 - 1 1)^{- 1}$ .
$A = (1011)$
2. Igualamos con $A = (a + b 0 1 a - b)$ .
${a + b = 1 a - b = 1 \Rightarrow a = 1, b = 0$
$a = 1, b = 0$

Apartado b

1. Con $a = 1$ , $b = 0$ calculamos las potencias: $A^{2} = (1021)$ y se ve el patrón $A^{n} = (10 n 1)$ .
$A^{3} = A^{2} A = (1031), A^{4} = A^{3} A = (1041)$
$A^{3} = (1031), A^{4} = (1041)$

Apartado c

1. $det A = (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ , y $det (A^{- 1}) = 1/ det A$ ; para potencias, $det (A^{k}) = (det A)^{k}$ .
$det (A^{- 50}) = (det A)^{- 50} = \frac{1}{( a ^{2} - b ^{2} ) ^{50}}$
$det (A^{- 50}) = \frac{1}{( a ^{2} - b ^{2} ) ^{50}}$
La condición $a^{2} - b^{2} \neq = 0$ garantiza que $A$ es invertible.

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Dados los puntos $A = (2, 0, 0)$ y $B = (0, 1, 0)$ , y la recta $s : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{3} = z$ :

a)Hallar la ecuación de la recta $r$ que pasa por los puntos $A$ y $B$ .
b)Determinar la ecuación implícita del plano que contiene a la recta $s$ y es paralelo a la recta $r$ .
c)Calcular la distancia del punto $A$ a la recta $s$ .

Apartado a

1. Recta por $A (2, 0, 0)$ y $B (0, 1, 0)$ : dirección $A B = (- 2, 1, 0)$ .
$r : (x, y, z) = (2, 0, 0) + λ (- 2, 1, 0)$ , es decir, $\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y}{1}, z = 0$
$r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 - 2 λ y = λ z = 0$

Apartado b

1. El plano contiene a $s$ (punto $S (1, 1, 0)$ , dirección $d_{s} = (2, 3, 1)$ ) y es paralelo a $r$ (dirección $(- 2, 1, 0)$ ): su normal es el producto vectorial.
$n = (2, 3, 1) \times (- 2, 1, 0) = (- 1, - 2, 8)$
2. Ecuación con el punto $S (1, 1, 0)$ .
$- (x - 1) - 2 (y - 1) + 8 z = 0 ⟺ x + 2 y - 8 z - 3 = 0$
$π : x + 2 y - 8 z - 3 = 0$
Comprobación: el punto de $s$ con $μ = 1$ , $(3, 4, 1)$ , cumple $3 + 8 - 8 - 3 = 0$ .

Apartado c

1. Distancia punto-recta: $d = \frac{∣ S A \times d _{s} ∣}{∣ d _{s} ∣}$ con $S A = (1, - 1, 0)$ .
$S A \times d_{s} = (1, - 1, 0) \times (2, 3, 1) = (- 1, - 1, 5)$
2. Módulos.
$d = \frac{1 + 1 + 25}{4 + 9 + 1} = \frac{27}{14} = \frac{3 3}{14} = \frac{3 42}{14} \approx 1, 39$
$d (A, s) = \frac{3 42}{14} \approx 1, 39$

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Dados los puntos $A = (2, 1, - 2)$ y $B = (3, 2, 3)$ , y el plano $π$ definido por $2 x + 2 y + z = 3$ , obtener:

a)El punto de corte $C$ entre el plano $π$ y la recta perpendicular a $π$ que pasa por $B$ .
b)El área del triángulo cuyos vértices son $A$ , $B$ y $C$ .

Apartado a

1. Recta perpendicular a $π$ por $B$ : dirección $n = (2, 2, 1)$ .
$(3 + 2 λ, 2 + 2 λ, 3 + λ)$
2. Imponemos que cumpla $2 x + 2 y + z = 3$ .
$2 (3 + 2 λ) + 2 (2 + 2 λ) + 3 + λ = 3 \Rightarrow 13 + 9 λ = 3 \Rightarrow λ = - \frac{10}{9}$
3. Punto $C$ .
$C = (3 - \frac{20}{9}, 2 - \frac{20}{9}, 3 - \frac{10}{9}) = (\frac{7}{9}, - \frac{2}{9}, \frac{17}{9})$
$C = (\frac{7}{9}, - \frac{2}{9}, \frac{17}{9})$

Apartado b

1. Área del triángulo: $\frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣$ , con $A B = (1, 1, 5)$ y $A C = (- \frac{11}{9}, - \frac{11}{9}, \frac{35}{9})$ .
$A B \times A C = (10, - 10, 0)$
2. Módulo y mitad.
$\overset{ˊ}{A} rea = \frac{1}{2} 100 + 100 = \frac{1}{2} \cdot 102 = 52 \approx 7, 07 u^{2}$
$\overset{ˊ}{A} rea = 52 u^{2}$

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Se considera la función $f (x) = \frac{18}{x ^{2} - 5 x - 14}$ .

a)Calcular, indicando todos los pasos, la siguiente integral indefinida: $\int \frac{18}{x ^{2} - 5 x - 14} d x$ .
b)Determinar, en función de $t$ , el valor $\int_{8}^{t} \frac{18}{x ^{2} - 5 x - 14} d x$ .
c)Determinar el valor de $t$ mayor que 8 para que $\int_{8}^{t} \frac{18}{x ^{2} - 5 x - 14} d x$ sea igual a $ln \frac{25}{4}$ .

Apartado a

1. Factorizamos el denominador: raíces de $x^{2} - 5 x - 14 = 0$ en $x = 7$ y $x = - 2$ .
$x^{2} - 5 x - 14 = (x - 7) (x + 2)$
2. Fracciones simples: $\frac{18}{( x - 7 ) ( x + 2 )} = \frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x + 2}$ . Con $x = 7$ : $A = 18/9 = 2$ ; con $x = - 2$ : $B = 18/ (- 9) = - 2$ .
$\frac{18}{x ^{2} - 5 x - 14} = \frac{2}{x - 7} - \frac{2}{x + 2}$
3. Integramos.
$\int \frac{18}{x ^{2} - 5 x - 14} d x = 2 ln ∣ x - 7∣ - 2 ln ∣ x + 2∣ + C = 2 ln \frac{x - 7}{x + 2} + C$
$2 ln \frac{x - 7}{x + 2} + C$

Apartado b

1. Regla de Barrow en $[8, t]$ con $t > 8$ (no hay raíces del denominador dentro del intervalo). $F (8) = 2 ln \frac{1}{10}$ .
$\int_{8}^{t} = 2 ln \frac{t - 7}{t + 2} - 2 ln \frac{1}{10} = 2 ln \frac{10 ( t - 7 )}{t + 2}$
$\int_{8}^{t} \frac{18}{x ^{2} - 5 x - 14} d x = 2 ln \frac{10 ( t - 7 )}{t + 2}$

Apartado c

1. Igualamos a $ln \frac{25}{4}$ y usamos $2 ln u = ln u^{2}$ .
$2 ln \frac{10 ( t - 7 )}{t + 2} = ln \frac{25}{4} \Rightarrow (\frac{10 ( t - 7 )}{t + 2})^{2} = \frac{25}{4} \Rightarrow \frac{10 ( t - 7 )}{t + 2} = \frac{5}{2}$
Se toma la raíz positiva porque para $t > 8$ el cociente es positivo.
2. Resolvemos.
$20 (t - 7) = 5 (t + 2) \Rightarrow 15 t = 150 \Rightarrow t = 10$
$t = 10$

610 puntos

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Considerar la función $f (x) = e^{- x^{2}}$ para los valores positivos de $x$ . Por cada punto $M = (x, f (x))$ de la gráfica de $f$ se trazan dos rectas paralelas a los ejes de coordenadas, $O X$ y $O Y$ . Estas dos rectas, junt con los ejes de coordenadas, definen un rectángulo.

a)Determinar el área del rectángulo en función de $x$ .
b)Encontrar el punto $M$ que proporciona mayor área y calcular esta área.

Apartado a

1. El punto $M = (x, e^{- x^{2}})$ con $x > 0$ . El rectángulo tiene vértices $O$ , $(x, 0)$ , $M$ y $(0, e^{- x^{2}})$ : base $x$ y altura $e^{- x^{2}}$ .
$A (x) = x e^{- x^{2}}, x > 0$
$A (x) = x e^{- x^{2}}$

Apartado b

1. Derivamos con el producto.
$A^{'} (x) = e^{- x^{2}} - 2 x^{2} e^{- x^{2}} = e^{- x^{2}} (1 - 2 x^{2}) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}$
2. Es máximo: $A^{'} > 0$ en $(0, \frac{2}{2})$ y $A^{'} < 0$ para $x > \frac{2}{2}$ (o $A^{''} (\frac{2}{2}) = - 22 e^{- 1/2} < 0$ ).
$A^{''} (x) = e^{- x^{2}} (4 x^{3} - 6 x)$
3. Punto y área máxima.
$M = (\frac{2}{2}, e^{- 1/2}), A_{m a x} = \frac{2}{2} e^{- 1/2} = \frac{1}{2 e} \approx 0, 429$
$M = (\frac{2}{2}, \frac{1}{e})$ , área máxima $\frac{1}{2 e} \approx 0, 429 u^{2}$