Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2009 · Extraordinaria 2009

1.1Opción A3.3 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 2 apartados
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Dada la matriz $A (α) = 14 α 23 α α - 2 2 - 6$ , se pide:

a)Calcular, en función de $α$ , el determinante de la matriz $A (α)$ , escribiendo los cálculos necesarios (1,3 puntos).
b)Determinar, razonadamente, los números reales $α$ para los que el determinante de la matriz inversa de $A (α)$ es igual a $1/66$ (2 puntos).

Apartado a

1. Desarrollamos por la primera fila.
$∣ A (α) ∣ = 1 3 α 2 - 6 - 2 4 α 2 - 6 + (α - 2) 4 α 3 α = (- 18 - 2 α) - 2 (- 24 - 2 α) + (α - 2) α$
2. Simplificamos.
$= - 18 - 2 α + 48 + 4 α + α^{2} - 2 α = α^{2} + 30$
$∣ A (α) ∣ = α^{2} + 30$

Apartado b

1. Si $A$ es invertible, $∣ A^{- 1} ∣ = \frac{1}{∣ A ∣}$ . Como $α^{2} + 30 \geq 30 > 0$ , $A (α)$ es invertible para todo $α$ .
$∣ A^{- 1} ∣ = \frac{1}{α ^{2} + 30} = \frac{1}{66}$
2. Despejamos $α$ .
$α^{2} + 30 = 66 \Rightarrow α^{2} = 36 \Rightarrow α = \pm 6$
$α = 6$ o $α = - 6$

1.2Opción B3.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Dado el sistema de ecuaciones lineales $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 0 2 x + 3 y + 4 z = 0 5 x + 7 y + α z = 0$ , se pide:

a)Deducir, razonadamente, para qué valores de $α$ el sistema sólo admite la solución $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ (1,5 puntos).
b)Resolver, razonadamente, el sistema para el valor de $α$ que lo hace indeterminado (1,8 puntos).

Apartado a

1. Un sistema homogéneo solo tiene la solución trivial si y solo si el determinante de los coeficientes no se anula.
$∣ A ∣ = 125137 14 α = 1 (3 α - 28) - 1 (2 α - 20) + 1 (14 - 15) = 3 α - 28 - 2 α + 20 - 1 = α - 9$
Solo la solución $(0, 0, 0)$ si y solo si $α \neq = 9$ .

Apartado b

1. El sistema es indeterminado cuando $∣ A ∣ = 0$ , es decir, $α = 9$ . Entonces el rango es $2$ (las dos primeras ecuaciones son independientes) y la tercera sobra. Resolvemos las dos primeras: restamos al segundo renglón el doble del primero.
${x + y + z = 0 2 x + 3 y + 4 z = 0 \Rightarrow y + 2 z = 0 \Rightarrow y = - 2 z, x = - y - z = z$
2. Con $z = λ$ como parámetro:
$(x, y, z) = (λ, - 2 λ, λ)$
$α = 9$ : $(x, y, z) = (λ, - 2 λ, λ)$ , $λ \in R$
Comprobación en la tercera: $5 λ - 14 λ + 9 λ = 0$ .

2.1Opción A3.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
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Dados los puntos $P = (3, - 1, 4)$ y $Q = (1, 0, - 1)$ , y el plano $π$ de ecuación $π : x - 2 y + 2 z + 5 = 0$ , se pide calcular razonadamente:

a)La ecuación de la recta $r$ que pasa por el punto $P$ y es perpendicular al plano $π$ (1,4 puntos).
b)La ecuación de los planos que pasan por el punto $P$ y son perpendiculares al plano $π$ (1 punto).
c)La ecuación del plano $π^{'}$ que pasa por los puntos $P$ y $Q$ y es perpendicular al plano $π$ (0,9 puntos).

Apartado a

1. La recta es perpendicular a $π$ cuando su vector director es el normal del plano, $n = (1, - 2, 2)$ , y pasa por $P = (3, - 1, 4)$ .
$r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 3 + t y = - 1 - 2 t z = 4 + 2 t o bien x - 3 = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z - 4}{2}$
$r : (3 + t, - 1 - 2 t, 4 + 2 t)$

Apartado b

1. Un plano perpendicular a $π$ tiene un normal $m$ ortogonal a $n$ ; si además pasa por $P$ , contiene a la recta $r$ (pues su dirección es $n$ ). Son todos los planos del haz de la recta $r$ . Escribimos $r$ como intersección de dos planos eliminando $t$ .
$2 (x - 3) + (y + 1) = 0 \Rightarrow 2 x + y - 5 = 0, 2 (x - 3) - (z - 4) = 0 \Rightarrow 2 x - z - 2 = 0$
2. Todos los planos que contienen a $r$ se escriben como combinación de los dos.
$a (2 x + y - 5) + b (2 x - z - 2) = 0, (a, b) \neq = (0, 0)$
Haz de planos: $a (2 x + y - 5) + b (2 x - z - 2) = 0$
Equivalente: $a x + b y + cz = d$ con $a - 2 b + 2 c = 0$ y pasando por $P$ .

Apartado c

1. El plano $π^{'}$ contiene a $P$ , a $Q$ y a la dirección $n$ , así que su normal es $P Q \times n$ , con $P Q = (- 2, 1, - 5)$ .
$(- 2, 1, - 5) \times (1, - 2, 2) = (2 - 10, - 5 + 4, 4 - 1) = (- 8, - 1, 3) ∥ (8, 1, - 3)$
2. Imponemos que pase por $P$ : $8 \cdot 3 - 1 - 3 \cdot 4 = 11$ .
$8 x + y - 3 z = 11$
$π^{'} : 8 x + y - 3 z - 11 = 0$
Comprobación con $Q$ : $8 + 0 + 3 = 11$ .

2.2Opción B3.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Sea $π$ el plano de ecuación $π : 3 x + 2 y + 4 z - 12 = 0$ . Calcular razonadamente:

a)Las ecuaciones de los dos planos paralelos a $π$ que distan $5$ unidades de $π$ (1,2 puntos).
b)Los tres puntos $A$ , $B$ y $C$ , intersección del plano $π$ con cada uno de los tres ejes coordenados (0,6 puntos).
c)Los tres ángulos del triángulo $A B C$ (1,5 puntos).

Apartado a

1. Los planos paralelos a $π$ son $3 x + 2 y + 4 z + d = 0$ . Su distancia a $π$ ( $d_{0} = - 12$ ) es $\frac{∣ d - d _{0} ∣}{3 ^{2} + 2 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{∣ d + 12∣}{29}$ .
$\frac{∣ d + 12∣}{29} = 5 \Rightarrow d + 12 = \pm 529 \Rightarrow d = - 12 \pm 529$
$3 x + 2 y + 4 z - 12 + 529 = 0$ y $3 x + 2 y + 4 z - 12 - 529 = 0$

Apartado b

1. Con $y = z = 0$ : $3 x = 12$ ; con $x = z = 0$ : $2 y = 12$ ; con $x = y = 0$ : $4 z = 12$ .
$A = (4, 0, 0), B = (0, 6, 0), C = (0, 0, 3)$
$A = (4, 0, 0)$ , $B = (0, 6, 0)$ , $C = (0, 0, 3)$

Apartado c

1. Vectores: $A B = (- 4, 6, 0)$ , $A C = (- 4, 0, 3)$ , $B C = (0, - 6, 3)$ , con módulos $213$ , $5$ y $35$ .
$cos \hat{A} = \frac{A B \cdot A C}{∣ A B ∣∣ A C ∣} = \frac{16}{2 13 \cdot 5} = \frac{8}{5 13}$
2. En $B$ : $B A = (4, - 6, 0)$ y $B C = (0, - 6, 3)$ . En $C$ : $C A = (4, 0, - 3)$ y $C B = (0, 6, - 3)$ .
$cos \hat{B} = \frac{36}{2 13 \cdot 3 5} = \frac{6}{65}, cos \hat{C} = \frac{9}{5 \cdot 3 5} = \frac{3}{5 5}$
$\hat{A} \approx 63, 7^{\circ}$ , $\hat{B} \approx 41, 9^{\circ}$ , $\hat{C} \approx 74, 4^{\circ}$
Comprobación: suman $18 0^{\circ}$ .

3.1Opción A3.3 puntos

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Se consideran las funciones reales $f (x) = 2 x^{2} + 12 x - 6$ y $g (x) = (x - 2) (x^{2} + 9)$ . Se pide obtener razonadamente:

a)Las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función $\frac{f ( x )}{g ( x )}$ (1,6 puntos).
b)La función $H (x) = \int \frac{f ( x )}{g ( x )} d x$ que cumple $H (3) = \frac{π}{3}$ (1,7 puntos).

Apartado a

1. El denominador $(x - 2) (x^{2} + 9)$ solo se anula en $x = 2$ ( $x^{2} + 9 > 0$ ) y el numerador no: $f (2) = 8 + 24 - 6 = 26 \neq = 0$ .
$x \to 2^{+} lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = + \infty, x \to 2^{-} lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = - \infty$
Asíntota vertical: $x = 2$ .
2. El numerador tiene grado $2$ y el denominador grado $3$ : el límite en $\pm \infty$ es $0$ .
$x \to \pm \infty lim \frac{2 x ^{2} + 12 x - 6}{x ^{3} - 2 x ^{2} + 9 x - 18} = 0$
Asíntota horizontal: $y = 0$ (no hay oblicua).

Apartado b

1. Fracciones simples: $\frac{2 x ^{2} + 12 x - 6}{( x - 2 ) ( x ^{2} + 9 )} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B x + C}{x ^{2} + 9}$ , luego $2 x^{2} + 12 x - 6 = A (x^{2} + 9) + (B x + C) (x - 2)$ . Con $x = 2$ : $26 = 13 A \Rightarrow A = 2$ . Coeficiente de $x^{2}$ : $2 = A + B \Rightarrow B = 0$ . Coeficiente de $x$ : $12 = - 2 B + C \Rightarrow C = 12$ .
$\frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{2}{x - 2} + \frac{12}{x ^{2} + 9}$
Comprobación del término independiente: $9 A - 2 C = 18 - 24 = - 6$ .
2. Integramos: $\int \frac{2}{x - 2} d x = 2 ln ∣ x - 2∣$ y $\int \frac{12}{x ^{2} + 9} d x = 12 \cdot \frac{1}{3} arctan \frac{x}{3} = 4 arctan \frac{x}{3}$ .
$H (x) = 2 ln ∣ x - 2∣ + 4 arctan \frac{x}{3} + K$
3. Condición $H (3) = \frac{π}{3}$ : $2 ln 1 + 4 arctan 1 + K = π + K = \frac{π}{3}$ .
$K = \frac{π}{3} - π = - \frac{2 π}{3}$
$H (x) = 2 ln ∣ x - 2∣ + 4 arctan \frac{x}{3} - \frac{2 π}{3}$

3.2Opción B3.3 puntos

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Dada la función real $f (x) = \frac{8}{1 + x ^{2}}$ , se pide calcular razonadamente:

a)Las derivadas primera y segunda de la función $f (x)$ (0,8 puntos).
b)Los puntos de inflexión de la curva $y = f (x)$ (1 punto).
c)La pendiente máxima de las rectas tangentes a la curva $y = f (x)$ (1,5 puntos).

Apartado a

1. Derivada primera con la regla de la cadena: $f (x) = 8 (1 + x^{2})^{- 1}$ .
$f^{'} (x) = - 8 (1 + x^{2})^{- 2} \cdot 2 x = - \frac{16 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}$
$f^{'} (x) = - \frac{16 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}$
2. Derivada segunda con la regla del cociente.
$f^{''} (x) = \frac{- 16 ( 1 + x ^{2} ) ^{2} + 16 x \cdot 2 ( 1 + x ^{2} ) \cdot 2 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{4}} = \frac{- 16 ( 1 + x ^{2} ) + 64 x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}} = \frac{16 ( 3 x ^{2} - 1 )}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}}$
$f^{''} (x) = \frac{16 ( 3 x ^{2} - 1 )}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}}$

Apartado b

1. $f^{''} (x) = 0 ⟺ 3 x^{2} - 1 = 0 ⟺ x = \pm \frac{3}{3}$ . $f^{''}$ cambia de signo en ambos puntos (negativa entre ellos y positiva fuera), luego son inflexiones. Ordenada: $f (\pm \frac{3}{3}) = \frac{8}{1 + 1/3} = 6$ .
$x = \pm \frac{3}{3} \Rightarrow y = 6$
Puntos de inflexión: $(- \frac{3}{3}, 6)$ y $(\frac{3}{3}, 6)$

Apartado c

1. La pendiente de la tangente en $x$ es $f^{'} (x)$ . Para maximizarla buscamos los máximos de $f^{'}$ : sus puntos críticos son los ceros de $f^{''}$ , $x = \pm \frac{3}{3}$ . Como $f^{'''} (- \frac{3}{3}) < 0$ , $f^{'}$ tiene máximo en $x = - \frac{3}{3}$ ; además $f^{'} \to 0$ en $\pm \infty$ .
$f^{'} (- \frac{3}{3}) = \frac{16 \cdot \frac{3}{3}}{( \frac{4}{3} ) ^{2}} = \frac{16 3}{3} \cdot \frac{9}{16} = 33$
Pendiente máxima: $33 \approx 5, 20$ , en $x = - \frac{3}{3}$ .
En $x = + \frac{3}{3}$ la pendiente es mínima: $- 33$ .

4.1Opción A3.3 puntos

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A las 7 de la mañana, una lancha $A$ está situada a $150 km$ al este de otra lancha $B$ . La lancha $A$ navega hacia el oeste a una velocidad constante de $40 km/h$ y la lancha $B$ se dirige hacia el norte a $30 km/h$ . Si se mantienen estos rumbos, averiguar razonadamente a qué hora estarán ambas lanchas a distancia mínima.

a)Averiguar razonadamente a qué hora estarán ambas lanchas a distancia mínima (3,3 puntos).

Apartado a

1. Tomamos $B$ en el origen a las 7:00 y $A$ en $(150, 0)$ . A las $7 + t$ horas: $A$ se ha movido $40 t$ hacia el oeste y $B$ $30 t$ hacia el norte.
$A (t) = (150 - 40 t, 0), B (t) = (0, 30 t)$
2. Cuadrado de la distancia (tiene el mismo mínimo que la distancia).
$D (t) = (150 - 40 t)^{2} + (30 t)^{2} = 2500 t^{2} - 12000 t + 22500$
3. Derivamos e igualamos a cero: $D^{'} (t) = 5000 t - 12000 = 0$ , $t = 2, 4$ h. Como $D^{''} = 5000 > 0$ , es mínimo.
$t = 2, 4 h = 2 h 24 min$
$7 h + 2 h 24 min = 9 : 24$ h
4. Distancia mínima: $D (2, 4) = 2500 \cdot 5, 76 - 28800 + 22500 = 8100$ .
$d_{m i n} = 8100 = 90 km$
A las $9 : 24$ h, a $90$ km una de otra.

4.2Opción B3.3 puntos

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1 resultado comprobado en 1 apartado
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Una lámina metálica rectangular se dilata uniformemente por calentamiento, aumentando su base y su altura $0, 2 mm$ por minuto. Averiguar la velocidad de crecimiento de la diagonal de dicha lámina cuando la base y la altura de la lámina miden, respectivamente, $8$ y $6 cm$ .

a)Averiguar la velocidad de crecimiento de la diagonal de dicha lámina cuando la base y la altura de la lámina miden, respectivamente, $8$ y $6 cm$ (3,3 puntos).

Apartado a

1. Sean $b (t)$ y $h (t)$ la base y la altura (en cm) y $D (t)$ la diagonal. Por Pitágoras, $D^{2} = b^{2} + h^{2}$ . Los datos: $b^{'} = h^{'} = 0, 2 mm/min = 0, 02 cm/min$ .
$D = b^{2} + h^{2}, b^{'} = h^{'} = 0, 02 cm/min$
2. Derivamos respecto del tiempo: $2 D D^{'} = 2 b b^{'} + 2 h h^{'}$ .
$D^{'} = \frac{b b ^{'} + h h ^{'}}{D}$
3. Cuando $b = 8$ y $h = 6$ , $D = 64 + 36 = 10$ cm.
$D^{'} = \frac{8 \cdot 0 , 02 + 6 \cdot 0 , 02}{10} = \frac{0 , 28}{10} = 0, 028 cm/min$
$D^{'} = 0, 028 cm/min = 0, 28 mm/min$