Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2008 · Ordinaria 2008

1.13.3 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Dado el sistema dependiente del parámetro real $α$ : $⎩ ⎨ ⎧ α x + y + z = 1 x + α y + z = 1 x + y + α z = 1$ , se pide:

a)Determinar, razonadamente, los valores de $α$ para los que el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible (1,3 puntos).
b)Resolver el sistema cuando es compatible determinado (1,3 puntos).
c)Obtener, razonadamente, la solución del sistema cuando $α = 0$ (0,7 puntos).

Apartado a

1. Determinante de la matriz de coeficientes: sumamos las columnas 2 y 3 a la primera (queda el factor $α + 2$ ) y restamos la fila 1 a las otras.
$∣ A ∣ = (α + 2) 111 1 α 1 11 α = (α + 2) 100 1 α - 1 0 10 α - 1 = (α + 2) (α - 1)^{2}$
Si $α \neq = 1$ y $α \neq = - 2$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , rango $3$ : compatible determinado.
2. $α = 1$ : las tres ecuaciones son $x + y + z = 1$ , así que $rango (A) = rango (A^{*}) = 1 < 3$ . $α = - 2$ : $rango (A) = 2$ (el menor $- 2 1 1 - 2 = 3 \neq = 0$ ), pero al sumar las tres ecuaciones queda $0 = 3$ , luego $rango (A^{*}) = 3$ .
$α = - 2 : (- 2 x + y + z) + (x - 2 y + z) + (x + y - 2 z) = 0 \neq = 1 + 1 + 1$
$α \neq = 1, - 2$ : compatible determinado. $α = 1$ : compatible indeterminado (dos parámetros). $α = - 2$ : incompatible.

Apartado b

1. Sumamos las tres ecuaciones: $(α + 2) (x + y + z) = 3$ . Restando la 1.ª y la 2.ª: $(α - 1) (x - y) = 0$ , y como $α \neq = 1$ , $x = y$ ; igual con las demás, $x = y = z$ .
$(α + 2) \cdot 3 x = 3 \Rightarrow x = \frac{1}{α + 2}$
$(x, y, z) = (\frac{1}{α + 2}, \frac{1}{α + 2}, \frac{1}{α + 2})$
Comprobación: $α x + y + z = \frac{α + 2}{α + 2} = 1$ .

Apartado c

1. Para $α = 0$ es compatible determinado ( $0 \neq = 1, - 2$ ) y la solución anterior da:
$x = y = z = \frac{1}{0 + 2} = \frac{1}{2}$
$(x, y, z) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$
Comprobación: $y + z = 1$ , $x + z = 1$ , $x + y = 1$ .

1.23.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Sean $I$ y $A$ las matrices cuadradas siguientes: $I = (1001)$ , $A = (17 - 10 29 - 17)$ . Se pide calcular, escribiendo explícitamente las operaciones necesarias:

a)Las matrices $A^{2}$ y $A^{3}$ (1,5 puntos).
b)Los números reales $α$ y $β$ para los que se verifica $(I + A)^{3} = α I + β A$ (1,8 puntos).

Apartado a

1. Multiplicamos fila por columna.
$A^{2} = (17 - 10 29 - 17) (17 - 10 29 - 17) = (289 - 290 - 170 + 170 493 - 493 - 290 + 289) = (- 1 0 0 - 1) = - I$
$A^{2} = - I$
2. Con $A^{2} = - I$ : $A^{3} = A \cdot A^{2} = A \cdot (- I)$ .
$A^{3} = A A^{2} = - A = (- 17 10 - 29 17)$
$A^{3} = - A = (- 17 10 - 29 17)$

Apartado b

1. $I$ y $A$ commutan (la identidad conmuta con todo), así que vale el binomio de Newton.
$(I + A)^{3} = I + 3 A + 3 A^{2} + A^{3}$
2. Sustituimos $A^{2} = - I$ y $A^{3} = - A$ .
$(I + A)^{3} = I + 3 A - 3 I - A = - 2 I + 2 A$
$α = - 2, β = 2$
Comprobación numérica: $(I + A)^{3} = (- 2 + 34 - 20 58 - 2 - 34) = (32 - 20 58 - 36)$ coincide con $- 2 I + 2 A$ .

2.13.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se dan los puntos $A = (2, 1, 1)$ y $B = (1, 0, - 1)$ , y la recta $r$ de ecuación $r : x - 5 = y = \frac{z + 2}{- 2}$ . Se pide calcular razonadamente:

a)El punto $C$ de $r$ que equidista de $A$ y $B$ (2 puntos).
b)El área del triángulo $A B C$ (1,3 puntos).

Apartado a

1. Ecuaciones paramétricas de $r$ : $x - 5 = y = \frac{z + 2}{- 2} = t$ .
$C = (5 + t, t, - 2 - 2 t)$
2. Imponemos $∣ C A ∣^{2} = ∣ C B ∣^{2}$ (las distancias al cuadrado, para evitar raíces).
$(3 + t)^{2} + (t - 1)^{2} + (3 + 2 t)^{2} = (4 + t)^{2} + t^{2} + (1 + 2 t)^{2} \Rightarrow 6 t^{2} + 16 t + 19 = 6 t^{2} + 12 t + 17$
3. Despejamos $t$ y sustituimos.
$4 t = - 2 \Rightarrow t = - \frac{1}{2} \Rightarrow C = (\frac{9}{2}, - \frac{1}{2}, - 1)$
$C = (\frac{9}{2}, - \frac{1}{2}, - 1)$
Comprobación: $∣ C A ∣^{2} = ∣ C B ∣^{2} = \frac{25}{2}$ .

Apartado b

1. El área es la mitad del módulo del producto vectorial de $A B = (- 1, - 1, - 2)$ y $A C = (\frac{5}{2}, - \frac{3}{2}, - 2)$ .
$A B \times A C = (2 - 3, - 5 - 2, \frac{3}{2} + \frac{5}{2}) = (- 1, - 7, 4)$
2. Módulo y mitad.
$S = \frac{1}{2} 1 + 49 + 16 = \frac{66}{2}$
$S = \frac{66}{2} \approx 4, 06 u^{2}$

2.23.3 puntos

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Dadas la recta $r$ , intersección de los planos $y + z = 0$ y $x - 2 y - 1 = 0$ , y la recta $s$ de ecuación $\frac{x}{2} = y - 1 = - z + 3$ , se pide:

a)Obtener, razonadamente, ecuaciones paramétricas de $r$ y $s$ (1,1 puntos).
b)Explicar de un modo razonado cuál es la posición relativa de las rectas $r$ y $s$ (1,1 puntos).
c)Calcular la distancia entre las rectas $r$ y $s$ (1,1 puntos).

Apartado a

1. Recta $r$ : llamamos $y = t$ . De $y + z = 0$ , $z = - t$ ; de $x - 2 y - 1 = 0$ , $x = 1 + 2 t$ . Recta $s$ : $\frac{x}{2} = y - 1 = - z + 3 = u$ .
$r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 t y = t z = - t s : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 u y = 1 + u z = 3 - u$
$r : (1 + 2 t, t, - t)$ y $s : (2 u, 1 + u, 3 - u)$

Apartado b

1. Los vectores directores son $d_{r} = (2, 1, - 1)$ y $d_{s} = (2, 1, - 1)$ : iguales, luego las rectas son paralelas o coincidentes. Miramos si el punto $(1, 0, 0) \in r$ está en $s$ : $x = 1$ exige $u = \frac{1}{2}$ , pero entonces $y = \frac{3}{2} \neq = 0$ .
$d_{r} = d_{s} = (2, 1, - 1)$ y $(1, 0, 0) \in / s$
Las rectas son paralelas y distintas (no coincidentes).

Apartado c

1. Para rectas paralelas, la distancia es la de un punto de $s$ a la recta $r$ . Tomamos $P_{r} = (1, 0, 0)$ , $P_{s} = (0, 1, 3)$ y $P_{r} P_{s} = (- 1, 1, 3)$ .
$P_{r} P_{s} \times d = (- 1, 1, 3) \times (2, 1, - 1) = (- 1 - 3, 6 - 1, - 1 - 2) = (- 4, 5, - 3)$
2. Módulos y cociente.
$d (r, s) = \frac{∣ ( - 4 , 5 , - 3 ) ∣}{∣ ( 2 , 1 , - 1 ) ∣} = \frac{50}{6} = \frac{5}{3}$
$d (r, s) = \frac{5 3}{3} \approx 2, 89$

3.13.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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2 resultados comprobados en 2 apartados
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Se considera, en el primer cuadrante, la región $R$ del plano limitada por el eje $X$ , el eje $Y$ , la recta $x = 2$ y la curva $y = \frac{1}{4 + x ^{2}}$ .

a)Calcular razonadamente el área de la región $R$ (1,5 puntos).
b)Encontrar el valor de $α$ para que la recta $x = α$ divida la región $R$ en dos partes $A$ (izquierda) y $B$ (derecha) tales que el área de $A$ sea el doble que la de $B$ (1,8 puntos).

Región R y recta x = α

Apartado a

1. En el primer cuadrante la curva queda por encima del eje $X$ , así que el área es la integral entre $x = 0$ y $x = 2$ . Con el cambio $x = 2 u$ o la fórmula de la arcotangente: $\int \frac{d x}{4 + x ^{2}} = \frac{1}{2} arctan \frac{x}{2}$ .
$S = \int_{0}^{2} \frac{d x}{4 + x ^{2}} = [\frac{1}{2} arctan \frac{x}{2}]_{0}^{2} = \frac{1}{2} (arctan 1 - arctan 0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4}$
$S = \frac{π}{8} \approx 0, 39 u^{2}$

Apartado b

1. El área de $A$ es $\int_{0}^{α} \frac{d x}{4 + x ^{2}} = \frac{1}{2} arctan \frac{α}{2}$ . Como $A = 2 B$ y $A + B = \frac{π}{8}$ , se tiene $A = \frac{2}{3} \cdot \frac{π}{8} = \frac{π}{12}$ .
$\frac{1}{2} arctan \frac{α}{2} = \frac{π}{12} \Rightarrow arctan \frac{α}{2} = \frac{π}{6}$
2. Tomamos la tangente: $\frac{α}{2} = tan \frac{π}{6} = \frac{3}{3}$ .
$α = \frac{2 3}{3} \approx 1, 155 \in (0, 2)$
$α = \frac{2 3}{3} \approx 1, 155$
Comprobación: $B = \frac{π}{8} - \frac{π}{12} = \frac{π}{24}$ y $A = \frac{π}{12} = 2 B$ .

3.23.3 puntos

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Se considera la función real $f (x) = x^{2} - 4$ . Obtener, explicando el proceso de cálculo:

a)La gráfica de la curva $y = f (x)$ (0,7 puntos).
b)Los valores de $x$ para los que está definida la función real $g (x) = ln f (x)$ (1,3 puntos).
c)Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $g (x)$ , razonando si tiene, o no, máximo absoluto (1,3 puntos).

f(x) = x² − 4

Apartado a

1. Parábola con las ramas hacia arriba, vértice en $(0, - 4)$ y cortes con el eje $X$ en $x = \pm 2$ (de $x^{2} - 4 = 0$ ).
$f (0) = - 4, f (\pm 1) = - 3, f (\pm 2) = 0, f (\pm 3) = 5$
Parábola de vértice $(0, - 4)$ que corta al eje $X$ en $(- 2, 0)$ y $(2, 0)$ .

Apartado b

1. El logaritmo solo está definido si su argumento es positivo.
$f (x) > 0 ⟺ x^{2} - 4 > 0 ⟺ (x - 2) (x + 2) > 0$
2. La parábola es positiva fuera de las raíces.
$x < - 2 o x > 2$
$Dom g = (- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$

Apartado c

1. Derivada: $g^{'} (x) = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} = \frac{2 x}{x ^{2} - 4}$ . En el dominio el denominador es positivo, luego el signo de $g^{'}$ es el de $x$ .
$x < - 2 : g^{'} < 0 (decrece); x > 2 : g^{'} > 0 (crece)$
$g$ decrece en $(- \infty, - 2)$ y crece en $(2, + \infty)$ .
2. No tiene máximo absoluto: $g (x) \to + \infty$ cuando $x \to \pm \infty$ , así que no está acotada superiormente. Tampoco hay máximos relativos: $g^{'}$ no se anula en el dominio.
$x \to \pm \infty lim ln (x^{2} - 4) = + \infty$
No hay máximo absoluto (ni relativo); además $g \to - \infty$ cerca de $x = \pm 2$ .

4.13.3 puntos

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1 resultado comprobado en 1 apartado
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Una empresa decide lanzar una campaña de propaganda de uno de sus productos editando un texto que ocupa $18 cm^{2}$ en hojas rectangulares impresas a una cara, con márgenes superior e inferior de $2 cm$ y laterales de $1 cm$ . Se pide calcular, razonadamente, las dimensiones de la hoja para las que el consumo de papel sea mínimo (3,3 puntos).

1. Sea $a$ el ancho del texto y $b$ su alto (en cm), con $ab = 18$ , luego $b = 18/ a$ . La hoja añade $1$ cm a cada lado ( $+ 2$ en el ancho) y $2$ cm arriba y abajo ( $+ 4$ en el alto).
$S (a) = (a + 2) (\frac{18}{a} + 4) = 18 + 4 a + \frac{36}{a} + 8 = 26 + 4 a + \frac{36}{a}, a > 0$
2. Derivamos e igualamos a cero.
$S^{'} (a) = 4 - \frac{36}{a ^{2}} = 0 \Rightarrow a^{2} = 9 \Rightarrow a = 3$
3. $S^{''} (a) = \frac{72}{a ^{3}} > 0$ : mínimo. Con $a = 3$ : $b = 6$ . Dimensiones de la hoja: $a + 2 = 5$ y $b + 4 = 10$ .
$S (3) = 26 + 12 + 12 = 50$
Hoja de $5 cm \times 10 cm$ (área $50 cm^{2}$ ).

4.23.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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2 resultados comprobados en 2 apartados
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Una ventana tiene forma de trapecio rectangular. La base menor mide $20 cm$ y el lado oblicuo mide $40 cm$ . Hallar, razonadamente, el ángulo $α$ que debe formar el lado oblicuo con la base mayor para que el área de la ventana sea máxima (2,8 puntos). Calcular este área máxima (0,5 puntos). Nota: un trapecio rectangular es un cuadrilátero con dos lados paralelos y en el que uno de los otros dos lados es perpendicular a estos dos lados paralelos.

a)Hallar, razonadamente, el ángulo $α$ que debe formar el lado oblicuo con la base mayor para que el área de la ventana sea máxima (2,8 puntos).
b)Calcular este área máxima (0,5 puntos).

Ventana: trapecio rectangular

Apartado a

1. El lado perpendicular a las bases es la altura $h$ . El lado oblicuo ( $40$ ) forma $α$ con la base mayor: $h = 40 sen α$ , y la base mayor excede a la menor en la proyección del lado oblicuo, $40 cos α$ .
$h = 40 sen α, B = 20 + 40 cos α, b = 20$
2. Área del trapecio: $\frac{B + b}{2} \cdot h$ .
$A (α) = \frac{( 20 + 40 cos α ) + 20}{2} \cdot 40 sen α = 800 sen α (1 + cos α), α \in (0, π)$
3. Derivamos: $A^{'} (α) = 800 [cos α (1 + cos α) - sen^{2} α] = 800 (2 cos^{2} α + cos α - 1) = 800 (2 cos α - 1) (cos α + 1)$ . Se anula con $cos α = \frac{1}{2}$ (y con $cos α = - 1$ , que no está en $(0, π)$ ).
$cos α = \frac{1}{2} \Rightarrow α = 6 0^{\circ} = \frac{π}{3}$
$α = 6 0^{\circ}$
Es máximo: $A^{'} > 0$ para $α < 6 0^{\circ}$ y $A^{'} < 0$ para $α > 6 0^{\circ}$ (o $A^{''} (\frac{π}{3}) < 0$ ).

Apartado b

1. Sustituimos $α = 6 0^{\circ}$ : $sen 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ y $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
$A_{m a x} = 800 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = 6003$
$A_{m a x} = 6003 \approx 1039, 2 cm^{2}$
Con $α = 6 0^{\circ}$ : $h = 203 \approx 34, 6$ cm y la base mayor es $40$ cm.