Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2024 · Extraordinaria 2024

12.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Se considera la matriz $A = 0 k 2 k \frac{1}{3} - 1 31 - 1$ donde $k$ es un número real.

a)¿Para qué valores del parámetro $k$ la matriz $A$ es invertible?
b)Para $k = 0$ , si existe, calcular la matriz inversa de $A$ .
c)Para $k = 0$ , hallar las matrices diagonales $D$ que verifican $A D = D A$ .

Apartado a

1. $A$ es invertible si y solo si $det A \neq = 0$ . Desarrollamos por la primera fila.
$det A = - k (- k - 2) + 3 (- k - \frac{2}{3}) = k^{2} + 2 k - 3 k - 2 = k^{2} - k - 2$
$det A = (k - 2) (k + 1)$
Cálculos: $k 2 1 - 1 = - k - 2$ y $k 2 \frac{1}{3} - 1 = - k - \frac{2}{3}$ .
2. El determinante se anula en $k = 2$ y $k = - 1$ .
$(k - 2) (k + 1) \neq = 0 ⟺ k \neq = 2 y k \neq = - 1$
$A$ es invertible para $k \in R ∖ {- 1, 2}$

Apartado b

1. Para $k = 0$ : $A = 002 0 \frac{1}{3} - 1 31 - 1$ con $det A = - 2 \neq = 0$ , luego existe $A^{- 1} = \frac{1}{det A} (Adj A)^{t}$ .
$Adj A = \frac{2}{3} - 3 - 1 2 - 6 0 - \frac{2}{3} 00$
2. Trasponemos la adjunta y dividimos entre $- 2$ .
$A^{- 1} = \frac{1}{- 2} \frac{2}{3} 2 - \frac{2}{3} - 3 - 6 0 - 1 00 = - \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{3} \frac{3}{2} 30 \frac{1}{2} 00$
$A^{- 1} = - \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{3} \frac{3}{2} 30 \frac{1}{2} 00$
Comprobación: $A A^{- 1} = I$ .

Apartado c

1. Sea $D = diag (d_{1}, d_{2}, d_{3})$ . El elemento $(i, j)$ de $A D$ es $a_{ij} d_{j}$ y el de $D A$ es $d_{i} a_{ij}$ , luego $A D = D A$ equivale a $a_{ij} (d_{j} - d_{i}) = 0$ para todo $i, j$ .
$a_{ij} (d_{j} - d_{i}) = 0$
2. En $A$ ( $k = 0$ ) hay elementos no nulos fuera de la diagonal: $a_{13} = 3$ , $a_{23} = 1$ , $a_{31} = 2$ , $a_{32} = - 1$ . Cada uno obliga a que dos elementos de la diagonal sean iguales.
$a_{13} \neq = 0 \Rightarrow d_{1} = d_{3}; a_{23} \neq = 0 \Rightarrow d_{2} = d_{3}$
$D = λ I = diag (λ, λ, λ), λ \in R$
Solo conmutan las matrices diagonales escalares (múltiplos de la identidad).

22.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 2 apartados
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Sean las matrices $A = 13 a 020213$ y $B = α β γ$ . Se pide:

a)Estudiar los valores del parámetro real $a$ para los que la ecuación matricial $A^{2} X = B$ tiene una única solución.
b)Sabiendo que el vector $3 - 2 - 1$ es una solución de la ecuación $A^{2} X = B$ , encontrar el valor de $α$ , $β$ y $γ$ dependiendo del parámetro real $a$ .

Apartado a

1. La ecuación $A^{2} X = B$ tiene una única solución para todo $B$ si y solo si $A^{2}$ es invertible, es decir, $det (A^{2}) = (det A)^{2} \neq = 0$ .
$det A = 13 a 020213 = 2 (3 - 2 a)$ (desarrollo por la columna 2)
$det A = - 2 (2 a - 3)$
2. Entonces $det A^{2} = 4 (2 a - 3)^{2} \neq = 0 ⟺ a \neq = \frac{3}{2}$ .
$det (A^{2}) = 4 (2 a - 3)^{2}$
Solución única si y solo si $a \neq = \frac{3}{2}$
Para $a = \frac{3}{2}$ , $rg A^{2} < 3$ : o no hay solución o hay infinitas (según $B$ ).

Apartado b

1. Si $X_{0} = (3, - 2, - 1)^{t}$ resuelve la ecuación, entonces $B = A^{2} X_{0}$ . Calculamos $A^{2}$ .
$A^{2} = 2 a + 1 a + 9 4 a 040 811 2 a + 9$
2. Multiplicamos por $X_{0}$ .
$B = A^{2} 3 - 2 - 1 = 6 a - 5 3 a + 8 10 a - 9$
$α = 6 a - 5, β = 3 a + 8, γ = 10 a - 9$

32.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se dan las rectas $r : x - 1 = y - 2 = \frac{z - 1}{2}$ y $s : \frac{x - 3}{- 2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 1}{2}$ . Se pide:

a)Comprobar que se cortan y calcular las coordenadas del punto $P$ de intersección.
b)Determinar la ecuación de la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$ y a $s$ .

Apartado a

1. Escribimos $r$ y $s$ en paramétricas: $r : (1 + t, 2 + t, 1 + 2 t)$ y $s : (3 - 2 u, 3 - u, - 1 + 2 u)$ . Igualamos coordenadas.
$⎩ ⎨ ⎧ 1 + t = 3 - 2 u 2 + t = 3 - u 1 + 2 t = - 1 + 2 u$
2. Restando las dos primeras: $1 = u$ ; luego $t = 3 - 2 - 1 = 0$ . Comprobamos con la tercera.
$u = 1, t = 0 : 1 + 2 \cdot 0 = 1 = - 1 + 2 \cdot 1 ✓$
Sistema compatible: las rectas se cortan en $P = (1, 2, 1)$

Apartado b

1. Direcciones: $d_{r} = (1, 1, 2)$ y $d_{s} = (- 2, - 1, 2)$ . La recta pedida pasa por $P$ y es perpendicular a ambas, luego su dirección es el producto vectorial.
$v = d_{r} \times d_{s} = i 1 - 2 j 1 - 1 k 22 = (4, - 6, 1)$
2. Ecuación de la recta por $P$ con dirección $v$ .
$(x, y, z) = (1, 2, 1) + λ (4, - 6, 1)$
$\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{- 6} = \frac{z - 1}{1}$
Comprobación: $v \cdot d_{r} = 4 - 6 + 2 = 0$ y $v \cdot d_{s} = - 8 + 6 + 2 = 0$ .

42.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Sea el plano $π : 6 x + 4 y - 3 z - d = 0$ . Se pide:

a)Calcular los valores de $d$ para que la distancia del plano al origen sea una unidad.
b)Calcular, en función del parámetro $d$ , las coordenadas de los puntos $A$ , $B$ y $C$ que resultan de intersectar el plano $π$ con los ejes de coordenadas, $X$ , $Y$ y $Z$ , respectivamente.
c)Para $d \neq = 0$ , calcular el ángulo formado por los vectores $A B$ y $A C$ determinados por los puntos del apartado anterior.

Apartado a

1. Distancia del origen al plano $6 x + 4 y - 3 z - d = 0$ : $\frac{∣ - d ∣}{6 ^{2} + 4 ^{2} + 3 ^{2}}$ .
$\frac{∣ d ∣}{61} = 1 \Rightarrow ∣ d ∣ = 61$
$d = 61$ o $d = - 61$

Apartado b

1. Corte con el eje $X$ ( $y = z = 0$ ), con el eje $Y$ ( $x = z = 0$ ) y con el eje $Z$ ( $x = y = 0$ ).
$6 x = d \Rightarrow A = (\frac{d}{6}, 0, 0); 4 y = d \Rightarrow B = (0, \frac{d}{4}, 0); - 3 z = d \Rightarrow C = (0, 0, - \frac{d}{3})$
$A = (\frac{d}{6}, 0, 0), B = (0, \frac{d}{4}, 0), C = (0, 0, - \frac{d}{3})$

Apartado c

1. Vectores (con $d \neq = 0$ ):
$A B = (- \frac{d}{6}, \frac{d}{4}, 0), A C = (- \frac{d}{6}, 0, - \frac{d}{3})$
2. Producto escalar y módulos (aparece $d^{2}$ que se simplifica).
$A B \cdot A C = \frac{d ^{2}}{36}, ∣ A B ∣ = ∣ d ∣ \frac{13}{12}, ∣ A C ∣ = ∣ d ∣ \frac{5}{6}$
3. Coseno del ángulo.
$cos θ = \frac{d ^{2} /36}{d ^{2} 13 5 /72} = \frac{2}{65}$
$θ = arccos \frac{2}{65} \approx 75, 6^{\circ}$
No depende de $d$ (los triángulos para distintos $d$ son semejantes).

52.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se considera la función $h (x) = a x + x^{2}$ , donde $a$ es un parámetro real. Se pide:

a)El valor de $a$ que hace que la gráfica de la función $y = h (x)$ tenga un mínimo relativo en la abscisa $x = - \frac{3}{4}$ .
b)Para el valor $a$ del apartado anterior, dibuja las curvas $y = h (x)$ e $y = h^{'} (x)$ .
c)Calcula el área del plano comprendida entre ambas curvas.

Recinto entre h y h′: A = 125/48 u²

Apartado a

1. Un mínimo relativo en $x = - \frac{3}{4}$ exige $h^{'} (- \frac{3}{4}) = 0$ .
$h^{'} (x) = a + 2 x \Rightarrow a + 2 (- \frac{3}{4}) = 0$
$a = \frac{3}{2}$
Es mínimo: $h^{''} = 2 > 0$ .

Apartado b

1. Con $a = \frac{3}{2}$ : $h (x) = x^{2} + \frac{3}{2} x$ y $h^{'} (x) = 2 x + \frac{3}{2}$ . La primera es una parábola con vértice en $(- \frac{3}{4}, - \frac{9}{16})$ que corta al eje $X$ en $x = 0$ y $x = - \frac{3}{2}$ ; la segunda es una recta de pendiente 2 que corta al eje $X$ en $x = - \frac{3}{4}$ y al eje $Y$ en $\frac{3}{2}$ .
$h (x) = x^{2} + \frac{3}{2} x, h^{'} (x) = 2 x + \frac{3}{2}$
Parábola hacia arriba y recta secante a ella en dos puntos (ver el apartado c)
Dibujo: parábola con mínimo en $(- 0, 75; - 0, 56)$ y la recta que pasa por $(- 0, 75; 0)$ y $(0; 1, 5)$ .

Apartado c

1. Puntos de corte: $h (x) = h^{'} (x)$ .
$x^{2} + \frac{3}{2} x = 2 x + \frac{3}{2} \Rightarrow x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2} = 0 \Rightarrow x = - 1, x = \frac{3}{2}$
2. Entre $- 1$ y $\frac{3}{2}$ la recta está por encima de la parábola (p. ej. en $x = 0$ : $\frac{3}{2} > 0$ ). Área = integral de (recta $-$ parábola).
$A = \int_{- 1}^{3/2} (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} x - x^{2}) d x = [\frac{3}{2} x + \frac{x ^{2}}{4} - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{3/2} = \frac{27}{16} + \frac{11}{12}$
$A = \frac{125}{48} u^{2} \approx 2, 604 u^{2}$

62.5 puntos

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3 resultados comprobados en 2 apartados
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Se construye una caja de cartón sin tapa a partir de una hoja rectangular de 16 cm por 10 cm. Esto se hace recortando un cuadrado de longitud $x$ en cada esquina, doblando la hoja y levantando los cuatro laterales de la caja. Calcular:

a)Las dimensiones de la caja para que tenga el mayor volumen posible.
b)Dicho volumen.

Los cuatro cuadrados de lado x se recortan y los laterales se doblan hacia arriba

Apartado a

1. Al recortar cuadrados de lado $x$ , la base de la caja mide $16 - 2 x$ por $10 - 2 x$ y la altura es $x$ , con $0 < x < 5$ .
$V (x) = x (16 - 2 x) (10 - 2 x) = 4 x^{3} - 52 x^{2} + 160 x$
2. Derivamos e igualamos a cero.
$V^{'} (x) = 12 x^{2} - 104 x + 160 = 0 ⟺ 3 x^{2} - 26 x + 40 = 0 ⟺ x = \frac{26 \pm 14}{6}$
$x = 2$ o $x = \frac{20}{3}$
$x = \frac{20}{3} > 5$ queda fuera del dominio.
3. Comprobamos que $x = 2$ es máximo con la segunda derivada.
$V^{''} (x) = 24 x - 104 \Rightarrow V^{''} (2) = - 56 < 0$
Dimensiones: base $12 \times 6$ cm y altura $2$ cm
$V (0) = V (5) = 0$ , así que el máximo absoluto está en $x = 2$ .

Apartado b

1. Volumen en $x = 2$ .
$V (2) = 2 \cdot 12 \cdot 6 = 144$
$V_{m a x} = 144 cm^{3}$

72.5 puntos

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Una empresa tiene 3 máquinas de fabricación de latas de refresco. El 10.25% de las latas que fabrica la empresa son defectuosas. El 30% de las latas las fabrica en la primera máquina, siendo el 10% defectuosas. El 25% de las latas las fabrica en la segunda máquina, siendo el 5% defectuosas. El resto de las latas las fabrica en la tercera máquina.

a)¿Cuál es la probabilidad de que una lata fabricada por la tercera máquina sea defectuosa?
b)Si se escoge una lata al azar y no es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la primera máquina?
c)Si se escoge una lata al azar y es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que no haya sido fabricada en la segunda máquina?

Apartado a

1. Sea $D$ = lata defectuosa y $M_{i}$ = fabricada en la máquina $i$ . Datos: $P (M_{1}) = 0, 30$ , $P (M_{2}) = 0, 25$ , luego $P (M_{3}) = 1 - 0, 30 - 0, 25 = 0, 45$ ; $P (D ∣ M_{1}) = 0, 10$ , $P (D ∣ M_{2}) = 0, 05$ , $P (D) = 0, 1025$ .
$P (D) = P (M_{1}) P (D ∣ M_{1}) + P (M_{2}) P (D ∣ M_{2}) + P (M_{3}) P (D ∣ M_{3})$
Probabilidad total, despejando la incógnita $P (D ∣ M_{3})$ .
2. Sustituimos y despejamos.
$0, 1025 = 0, 03 + 0, 0125 + 0, 45 P (D ∣ M_{3}) \Rightarrow P (D ∣ M_{3}) = \frac{0 , 06}{0 , 45} = \frac{2}{15}$
$P (D ∣ M_{3}) = \frac{2}{15} \approx 0, 1333$

Apartado b

1. Por el teorema de Bayes con el suceso contrario: $P (\overline{D} ∣ M_{1}) = 0, 9$ y $P (\overline{D}) = 1 - 0, 1025 = 0, 8975$ .
$P (M_{1} ∣ \overline{D}) = \frac{P ( M _{1} ) P ( D ∣ M _{1} )}{P ( D )} = \frac{0 , 3 \cdot 0 , 9}{0 , 8975} = \frac{108}{359}$
$P (M_{1} ∣ \overline{D}) \approx 0, 3008$

Apartado c

1. «No fabricada en la 2» es el suceso contrario de $M_{2}$ : $P (\overline{M_{2}} ∣ D) = 1 - P (M_{2} ∣ D)$ .
$P (M_{2} ∣ D) = \frac{0 , 25 \cdot 0 , 05}{0 , 1025} = \frac{5}{41} \Rightarrow P (\overline{M_{2}} ∣ D) = 1 - \frac{5}{41}$
$P (\overline{M_{2}} ∣ D) = \frac{36}{41} \approx 0, 8780$
Comprobación: $P (M_{1} ∣ D) + P (M_{3} ∣ D) = \frac{0 , 03 + 0 , 06}{0 , 1025} = \frac{36}{41}$ .

82.5 puntos

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Se ha determinado que en el 60% de los mensajes enviados por WhatsApp se añade un emoticono. Una persona envía diez mensajes de WhatsApp. Se pide la probabilidad de que:

a)Ningún mensaje de los diez tenga emoticonos.
b)Exactamente dos quintas partes de los mensajes tengan emoticonos.
c)Ocho o más mensajes tengan emoticonos.

Apartado a

1. Cada mensaje lleva emoticono con probabilidad $0, 6$ , de forma independiente: $X \sim B (10; 0, 6)$ . «Ningún mensaje con emoticono» es $X = 0$ .
$P (X = 0) = 0, 4^{10}$
$P (X = 0) \approx 0, 000105$
Es del orden de una entre cien mil.

Apartado b

1. «Dos quintas partes» de 10 mensajes son $\frac{2}{5} \cdot 10 = 4$ mensajes.
$P (X = 4) = (4 10) 0, 6^{4} \cdot 0, 4^{6} = 210 \cdot 0, 1296 \cdot 0, 004096$
$P (X = 4) \approx 0, 1115$

Apartado c

1. «Ocho o más» es $X \geq 8$ : sumamos $k = 8, 9, 10$ .
$P (X \geq 8) = (8 10) 0, 6^{8} 0, 4^{2} + (9 10) 0, 6^{9} 0, 4 + 0, 6^{10}$
$P (X \geq 8) \approx 0, 1673$