Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2025 · Ordinaria 2025

12.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 4 apartados
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Una pizzería ofrece tres tipos de pizza: margarita, vegetariana y pepperoni. A lo largo de los años, utilizando su aplicación para teléfonos inteligentes, el restaurante ha recopilado datos sobre las preferencias de los clientes, calculando que el 40% de sus clientes piden pizza margarita, el 25% elige la pizza vegetariana y el resto prefiere la pizza pepperoni.

1.1)Si se elige un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya pedido una pizza pepperoni?
1.2)¿Cuál es la probabilidad de que dos clientes elegidos al azar hayan pedido distintos tipos de pizza?
1.3)Para mejorar su servicio y agilizar los tiempos de preparación, la pizzería decide considerar un grupo típico de 10 clientes con el objetivo de decidir cuántas pizzas margarita preparar con antelación y evitar retrasos durante las horas con más demanda, minimizando el desperdicio. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 de los 10 clientes pidan pizzas margarita?
1.4)¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los 10 clientes del grupo pida una pizza margarita?

Apartado 1.1

1. Los tres tipos son excluyentes y cubren a todos los clientes, así que las probabilidades suman 1.
$P (pepperoni) = 1 - 0, 40 - 0, 25 = 0, 35$
$P = 0, 35 = \frac{7}{20}$

Apartado 1.2

1. Es más corto calcular el suceso contrario: «mismo tipo» = (ambos margarita) o (ambos vegetariana) o (ambos pepperoni). Los clientes son independientes.
$P (mismo) = 0, 4^{2} + 0, 2 5^{2} + 0, 3 5^{2} = 0, 16 + 0, 0625 + 0, 1225 = 0, 345$
2. Restamos de 1.
$P (distintos) = 1 - 0, 345 = 0, 655$
$P = 0, 655 = \frac{131}{200}$

Apartado 1.3

1. Sea $X$ = «n.º de clientes con margarita entre 10»: $X \sim B (10; 0, 4)$ .
$P (X = 4) = (4 10) 0, 4^{4} 0, 6^{6} = 210 \cdot 0, 0256 \cdot 0, 046656$
$P (X = 4) \approx 0, 2508$
Exacto: $\frac{489888}{1953125}$ .

Apartado 1.4

1. «Al menos uno» es el contrario de «ninguno».
$P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - 0, 6^{10} = 1 - 0, 00605$
$P (X \geq 1) \approx 0, 9940$

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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En un sistema de procesamiento de imágenes se utiliza una matriz para transformar ciertos datos. La matriz depende del parámetro real $α$ y es: $A = 100 α α 0 00 1 - α$ .

2.1.1)En uno de los procesos, para que el sistema funcione, se necesita que la matriz sea idempotente, es decir que su cuadrado coincida con ella, $A^{2} = A$ . Obtener los valores $α$ que permitan funcionar a este proceso.
2.1.2)En otro proceso diferente, se necesita utilizar la matriz inversa de $A$ . Obtener los valores de $α$ para los cuales existe la inversa y calcular esta inversa en función de $α$ .

Apartado 2.1.1

1. Calculamos $A^{2}$ multiplicando filas por columnas.
$A^{2} = 100 α + α^{2} α^{2} 0 00 (1 - α)^{2}$
2. Igualamos $A^{2} = A$ elemento a elemento: $α + α^{2} = α$ , $α^{2} = α$ y $(1 - α)^{2} = 1 - α$ .
$α^{2} = 0, α (α - 1) = 0, α (α - 1) = 0$
Solo $α = 0$
La primera ecuación ( $α^{2} = 0$ ) ya fuerza $α = 0$ ; con él se cumplen las otras. Con $α = 1$ falla el elemento (1,2): $1 + 1 \neq = 1$ .

Apartado 2.1.2

1. $A$ es triangular superior (en realidad casi diagonal): $∣ A ∣ = 1 \cdot α \cdot (1 - α)$ .
$∣ A ∣ = α (1 - α) \neq = 0 ⟺ α \neq = 0, α \neq = 1$
Existe $A^{- 1}$ para $α \in / {0, 1}$
2. La matriz está formada por bloques: el bloque $(10 α α)$ y el elemento $1 - α$ . Invertimos el bloque ( $∣ \cdot ∣ = α$ , adjunta traspuesta) y el elemento.
$A^{- 1} = 100 - 1 \frac{1}{α} 0 00 \frac{1}{1 - α}$
$A^{- 1} = 100 - 1 1/ α 0 00 1/ (1 - α)$
Comprobación: $A A^{- 1} = I$ .

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Sea el sistema de ecuaciones lineales: $⎩ ⎨ ⎧ 3 x - 2 y - 3 z = 0 2 x + a y - 5 z = - 3 x + y + 2 z = 3$ , donde $a$ es un parámetro real.

2.2.1)Discutir el sistema en función del parámetro $a$ .
2.2.2)Calcular las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado.
2.2.3)Calcular la solución del sistema para $a = 0$ .

Apartado 2.2.1

1. Determinante de la matriz de coeficientes (regla de Sarrus o filas).
$∣ A ∣ = 321 - 2 a 1 - 3 - 5 2 = 6 a + 10 - 6 + 3 a + 15 + 8 = 9 a + 27 = 9 (a + 3)$
2. Si $a \neq = - 3$ : $rg A = rg (A ∣ b) = 3$ .
$a \neq = - 3$
Compatible determinado
3. Si $a = - 3$ : reducimos por Gauss usando la 3.ª fila como pivote ( $F_{2} - 2 F_{3}$ y $F_{1} - 3 F_{3}$ ) y luego $F_{3} - F_{2}$ .
$321 - 2 - 3 1 - 3 - 5 2 0 - 3 3 \to 100 1 - 5 - 5 2 - 9 - 9 3 - 9 - 9 \to 100 1 - 5 0 2 - 9 0 3 - 9 0$
$a = - 3$ : $rg A = rg (A ∣ b) = 2 < 3$ , compatible indeterminado

Apartado 2.2.2

1. Con $a = - 3$ el sistema equivale a las dos ecuaciones no nulas. Tomamos $z$ como parámetro.
${x + y + 2 z = 3 - 5 y - 9 z = - 9 \Rightarrow y = \frac{9 - 9 z}{5}, x = 3 - y - 2 z = \frac{6 - z}{5}$
$(x, y, z) = (\frac{6 - z}{5}, \frac{9 - 9 z}{5}, z), z \in R$

Apartado 2.2.3

1. Con $a = 0$ el sistema es de Cramer ( $∣ A ∣ = 27 \neq = 0$ ). Despejamos: de la 3.ª, $y = 3 - x - 2 z$ ; sustituyendo en la 1.ª y la 2.ª.
${5 x + z = 6 2 x - 5 z = - 3 \Rightarrow 27 x = 27$
$(x, y, z) = (1, 0, 1)$
Comprobación: $3 - 0 - 3 = 0$ ; $2 - 5 = - 3$ ; $1 + 0 + 2 = 3$ .

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Dada la recta $r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 λ y = λ z = 2 - λ$ y la recta $s : {x = - 1 x + 2 y + z = 0$ , calcular:

3.1.1)Si existen, las coordenadas del punto de corte de ambas rectas.
3.1.2)La ecuación del plano que contiene a ambas rectas.
3.1.3)La distancia del punto $P = (1, 0, 2)$ a dicho plano.

Apartado 3.1.1

1. Un punto de $s$ cumple $x = - 1$ . Imponemos $x = - 1$ también en $r$ : $1 + 2 λ = - 1$ .
$λ = - 1$
Candidato: $r (- 1) = (- 1, - 1, 3)$
2. Comprobamos que ese punto cumple la segunda ecuación de $s$ : $x + 2 y + z = 0$ .
$- 1 + 2 (- 1) + 3 = 0 ✓$
Punto de corte: $(- 1, - 1, 3)$
Sin esta comprobación no sabemos si las rectas se cortan o se cruzan.

Apartado 3.1.2

1. Dirección de $s$ : producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen, $(1, 0, 0) \times (1, 2, 1)$ .
$d_{s} = (0, - 1, 2)$ ; $d_{r} = (2, 1, - 1)$
2. Las rectas son secantes, así que el plano que las contiene tiene normal $d_{r} \times d_{s}$ y pasa por el punto de corte.
$n = i 20 j 1 - 1 k - 1 2 = (1, - 4, - 2)$
3. Ecuación $x - 4 y - 2 z + D = 0$ por $(- 1, - 1, 3)$ : $- 1 + 4 - 6 + D = 0 \Rightarrow D = 3$ .
$x - 4 y - 2 z + 3 = 0$
$π : x - 4 y - 2 z + 3 = 0$

Apartado 3.1.3

1. Fórmula de la distancia punto-plano con $P = (1, 0, 2)$ .
$d = \frac{∣1 - 0 - 4 + 3∣}{1 + 16 + 4} = \frac{0}{21} = 0$
$d = 0$
Es lógico: $P$ es el punto de $r$ con $λ = 0$ , y $r$ está contenida en el plano.

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Se consideran el plano $π : 3 x - y + 2 z = 4$ y el punto $P = (- 1, 0, 1)$ . Se pide:

3.2.1)La ecuación del plano perpendicular a $π$ que pasa por $P$ y por $Q = (2, 1, 2)$ .
3.2.2)La distancia del punto $Q$ al plano $π$ .
3.2.3)El punto simétrico de $P$ respecto al plano $π$ .

Apartado 3.2.1

1. El plano pedido contiene a $P Q = (3, 1, 1)$ y es perpendicular a $π$ , luego contiene también a $n_{π} = (3, - 1, 2)$ . Su normal es el producto vectorial.
$n = P Q \times n_{π} = (3, 1, 1) \times (3, - 1, 2) = (3, - 3, - 6) ∥ (- 1, 1, 2)$
2. Plano $- x + y + 2 z + D = 0$ por $P$ : $1 + 0 + 2 + D = 0 \Rightarrow D = - 3$ .
$- x + y + 2 z - 3 = 0$
$π^{'} : - x + y + 2 z - 3 = 0$
Comprobamos $Q$ : $- 2 + 1 + 4 - 3 = 0$ .

Apartado 3.2.2

1. Distancia de $Q$ a $π : 3 x - y + 2 z - 4 = 0$ .
$d = \frac{∣3 \cdot 2 - 1 + 2 \cdot 2 - 4∣}{9 + 1 + 4} = \frac{5}{14}$
$d = \frac{5}{14} = \frac{5 14}{14} \approx 1, 34$ u

Apartado 3.2.3

1. Recta $r$ por $P$ perpendicular a $π$ : $P + λ n_{π} = (- 1 + 3 λ, - λ, 1 + 2 λ)$ . Su corte con $π$ es el pie $M$ de la perpendicular.
$3 (- 1 + 3 λ) - (- λ) + 2 (1 + 2 λ) = 4 \Rightarrow 14 λ = 5 \Rightarrow λ = \frac{5}{14}$
2. $M = (\frac{1}{14}, - \frac{5}{14}, \frac{12}{7})$ es el punto medio entre $P$ y su simétrico $P^{'}$ , luego $P^{'} = 2 M - P$ .
$P^{'} = (\frac{1}{7} + 1, - \frac{5}{7}, \frac{24}{7} - 1)$
$P^{'} = (\frac{8}{7}, - \frac{5}{7}, \frac{17}{7})$
Comprobación: la distancia de $P^{'}$ al plano es la misma que la de $P$ y está al otro lado.

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Una empresa de paquetería quiere diseñar distintos modelos de cajas. Uno de esos modelos consiste en una caja de 80 cm $^{3}$ de volumen, con base y tapa cuadradas. El precio del material de las paredes laterales es de 1 céntimo por cm $^{2}$ . La base y tapa se construirán con un material de calidad superior a las caras laterales de la caja, siendo éste un 25% más caro.

4.1.1)La función $P (x)$ que proporciona el precio del material de la caja en función del lado de la base $x$ .
4.1.2)Las dimensiones de la caja para que la función $P (x)$ tenga el menor valor posible.
4.1.3)El precio del material en el caso anterior.

Apartado 4.1.1

1. Base cuadrada de lado $x$ y altura $h$ : volumen $x^{2} h = 80 \Rightarrow h = \frac{80}{x ^{2}}$ .
$h = \frac{80}{x ^{2}}$
2. Paredes laterales: $4 x h = \frac{320}{x}$ cm $^{2}$ a 1 cént/cm $^{2}$ . Base y tapa: $2 x^{2}$ cm $^{2}$ a $1, 25$ cént/cm $^{2}$ .
$P (x) = \frac{320}{x} + 2, 5 x^{2} c \overset{e}{ˊ} ntimos, x > 0$
$P (x) = 2, 5 x^{2} + \frac{320}{x}$

Apartado 4.1.2

1. Derivamos e igualamos a cero.
$P^{'} (x) = 5 x - \frac{320}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow x^{3} = 64 \Rightarrow x = 4$
2. Es mínimo: $P^{''} (x) = 5 + \frac{640}{x ^{3}} > 0$ para $x > 0$ (en $x = 4$ vale $15 > 0$ ). Altura: $h = 80/16 = 5$ .
$P^{''} (4) = 15 > 0$
Base cuadrada de $4 \times 4$ cm y altura $5$ cm

Apartado 4.1.3

1. Sustituimos $x = 4$ en $P$ .
$P (4) = 2, 5 \cdot 16 + \frac{320}{4} = 40 + 80 = 120$
$120$ céntimos $= 1, 20$ €

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Dada la función real de variable real $f (x) = x ∣ x - 2∣$ .

4.2.1)Representar la región comprendida entre la gráfica de la función $f$ , el eje de abscisas (eje OX) y las rectas $x = - 1$ y $x = 5$ .
4.2.2)Calcular el área de la región anterior.

Región entre f, el eje X y las rectas x = -1 y x = 5

Apartado 4.2.1

1. Quitamos el valor absoluto: si $x \geq 2$ , $f (x) = x (x - 2) = x^{2} - 2 x$ ; si $x < 2$ , $f (x) = x (2 - x) = 2 x - x^{2}$ .
$f (x) = {2 x - x^{2}, x^{2} - 2 x, x < 2 x \geq 2$
2. Dibujo: en $x < 2$ es una parábola cóncava (corta a OX en $0$ y $2$ , vértice $(1, 1)$ ); en $x \geq 2$ es convexa (sube desde $(2, 0)$ : $f (3) = 3$ , $f (5) = 15$ ). En $x = - 1$ , $f = - 3$ . La región está entre la gráfica, OX, $x = - 1$ y $x = 5$ .
$f (- 1) = - 3, f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (5) = 15$
Región bajo OX en $[- 1, 0]$ , sobre OX en $[0, 2]$ y en $[2, 5]$

Apartado 4.2.2

1. Cortes con OX en $x = 0$ y $x = 2$ : separamos el área en tres trozos y usamos valor absoluto en el que queda bajo el eje. Primitivas: $\int (2 x - x^{2}) = x^{2} - \frac{x ^{3}}{3}$ y $\int (x^{2} - 2 x) = \frac{x ^{3}}{3} - x^{2}$ .
$A_{1} = \int_{- 1}^{0} (2 x - x^{2}) d x = \frac{4}{3}, A_{2} = \int_{0}^{2} (2 x - x^{2}) d x = \frac{4}{3}, A_{3} = \int_{2}^{5} (x^{2} - 2 x) d x = 18$
2. Sumamos.
$A = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + 18 = \frac{62}{3}$
$A = \frac{62}{3} \approx 20, 67 u^{2}$