Tangencias: pack de clase de Dibujo Técnico II

Cuatro piezas para dar o repasar este tema con ejercicios reales de la PAU de la Comunitat Valenciana. Se leen y se imprimen sin registro.

Procedencia de las resoluciones. Construcción revisada · revisión humana pendiente. Los enunciados son de las pruebas oficiales; las resoluciones son de Tu Selectividad. Si ves un fallo, usa «Reportar error» en la resolución.

Chuleta de una página

Ideas clave y fórmulas del apunte del tema, en una hoja A4. Leer el apunte completo.

Tangencias

Dibujo Técnico II · PAU Comunitat Valenciana

Ideas clave

Aplicar las dos reglas de oro de la tangencia (radio perpendicular a la tangente en el punto de contacto; centros alineados con el punto de contacto) para hallar centros y puntos de tangencia.
Resolver enlaces entre circunferencias con un radio dado y circunferencias por dos puntos tangentes a una recta o a otra circunferencia.
Usar la potencia de un punto (centro radical) para resolver tangencias que de otro modo exigen tanteo.
Plantear una tangencia por inversión: transformar el problema en uno de rectas y deshacer la transformación.
Calcular los elementos de una elipse, una parábola y una hipérbola (focos, vértices, directrices, asíntotas, excentricidad) y trazarlas por puntos.
Hallar la tangente a una cónica en un punto, el otro foco a partir de una tangente, y la intersección con una recta.

Fórmulas

Tangencia circ.–circ.: exterior: $d = R_{1} + R_{2}$ ; interior: $d = ∣ R_{1} - R_{2} ∣$
Potencia y tangente: $P T^{2} = P A \cdot P B$
Inversión: $O P \cdot O P_{1} = k$
Elipse: $P F_{1} + P F_{2} = 2 a$ ; $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ ; $e = c / a < 1$
Hipérbola: $∣ P F_{1} - P F_{2} ∣ = 2 a$ ; $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ; $e = c / a > 1$
Parábola: $P F = d (P, d)$ ; $y^{2} = 2 p x$ ; foco $(p /2, 0)$
Directrices (elipse e hipérbola): $x = \pm a^{2} / c$
Asíntotas de la hipérbola: $y = \pm \frac{b}{a} x$
Tangente a la elipse: bisectriz exterior de $F_{1} P F_{2}$
Tangente a la hipérbola: bisectriz interior de $F_{1} P F_{2}$
Tangente a la parábola: mediatriz de $F$ y su proyección $Q$ en la directriz
Recta y cónica: sustituir: $Δ > 0$ dos puntos, $Δ = 0$ tangente, $Δ < 0$ ninguno

Errores típicos

Los errores que declaran las resoluciones publicadas de este tema, agrupados por frecuencia y con el ejercicio donde ocurren.

Las resoluciones de este tema todavía no declaran errores típicos, así que no mostramos ninguno. Los iremos añadiendo cuando las resoluciones los incluyan.

Ejercicios tipo

7 ejercicios oficiales del tema, del más reciente al más antiguo.

Hoja para el alumnado, sin soluciones Hoja para el profesor, con soluciones

Extraordinaria 2025 2025

Ejercicio 1A, opción A. Determine todas las circunferencias tangentes a la circunferencia de mayor diámetro y que pasen por los puntos A y B. Indique los centros de… Ver resolución paso a paso
Ejercicio 2. Dibuje la circunferencia C₂ tangente en T a la recta r y a la circunferencia C₁ que tenga el mayor radio posible (0,9 p.). Dibuje la recta o… Ver resolución paso a paso

Extraordinaria 2025 (Especial DANA) 2025

Ejercicio 2. Realice a escala 1:1 el dibujo de la pieza propuesta a partir del croquis (cotas: 30 mm de recta superior, 40 mm de m a la recta superior, 5… Ver resolución paso a paso

Ordinaria 2025 2025

Ejercicio 2. Dadas las circunferencias de centros O₁ y O₂ de la figura, dibuje todas las circunferencias tangentes a ambas por el punto T indicado. Indiq… Ver resolución paso a paso

Reserva 2025 (Junio) 2025

Ejercicio 2. Complete la representación de tangencias de la figura, determinando las construcciones geométricas, los centros y los puntos de tangencia. D… Ver resolución paso a paso

Extraordinaria 2024 2024

Ejercicio 2. Complete, a escala 1:1, el trazado de tangencias de la figura. Indique los centros de los arcos y los puntos de tangencia. No borre las oper… Ver resolución paso a paso

Ordinaria 2024 2024

Ejercicio 3. Determine la circunferencia de centro O3 tangente a la circunferencia de centro O1 y a la semicircunferencia de centro O2 conociendo el punt… Ver resolución paso a paso

Mini-examen de 20 minutos

Tres ejercicios oficiales de convocatorias distintas, los más recientes del tema, con el baremo de cada apartado. Una hoja para el alumnado, sin soluciones, y otra para ti.

Mini-examen: Tangencias

Dibujo Técnico II

20 minutos · 3 ejercicios de la PAU · Total: 4,5 puntos

Nombre y grupo: ______________________________ Fecha: ____________

Ejercicio 1
PAU Comunitat Valenciana, Extraordinaria 2025 2025, ejercicio 1A, opción A · 1,5 puntos
Determine todas las circunferencias tangentes a la circunferencia de mayor diámetro y que pasen por los puntos A y B. Indique los centros de las circunferencias y los puntos de tangencia (1,5 p.). Datos de la figura (mm sobre el enunciado a tamaño real, origen en O): circunferencias concéntricas de centro O y radios 69,9 y 43,2; A y B están sobre la pequeña, A = (16,4 ; 40,0) y B = (40,2 ; −15,9).
Ejercicio 2
PAU Comunitat Valenciana, Extraordinaria 2025 (Especial DANA) 2025, ejercicio 2 · 1,5 puntos
Realice a escala 1:1 el dibujo de la pieza propuesta a partir del croquis (cotas: 30 mm de recta superior, 40 mm de m a la recta superior, 55 mm de m al fondo, R10, R60), indicando todos los centros y puntos de tangencia. El centro del arco de radio 60 mm está situado sobre la recta m. No borrar ninguna línea auxiliar.
Ejercicio 3
PAU Comunitat Valenciana, Ordinaria 2025 2025, ejercicio 2 · 1,5 puntos
Dadas las circunferencias de centros O₁ y O₂ de la figura, dibuje todas las circunferencias tangentes a ambas por el punto T indicado. Indique los centros y los puntos de tangencia. No borre las construcciones auxiliares. Datos de la figura (mm, origen en O₁, x a la derecha, y hacia arriba): circunferencia 1 de centro O₁ (0 ; 0) y radio 50; circunferencia 2 de centro O₂ (19,5 ; −13,5) y radio 15, interior a la primera sin tocarla; T es un punto de la circunferencia 2, T = (8,2 ; −23,4).

Mini-examen: Tangencias (hoja del profesor)

Dibujo Técnico II

20 minutos · 3 ejercicios de la PAU · Total: 4,5 puntos

Ejercicio 1
PAU Comunitat Valenciana, Extraordinaria 2025 2025, ejercicio 1A, opción A · 1,5 puntos
1. Datos. A y B están sobre la circunferencia pequeña, que es concéntrica con la grande (centro O): por tanto OA = OB y la mediatriz de AB pasa por O. Se traza la mediatriz m de AB y se prolonga hasta cortar la circunferencia grande en T₁ y T₂.
  M = (28,3 ; 12,1) (punto medio de AB), |OM| = 30,8 mm; T₁ = (64,3 ; 27,4) ; T₂ = (−64,3 ; −27,4)
2. Circunferencia 1. Su centro C₁ está en m y en la mediatriz del segmento AT₁ (porque C₁A = C₁T₁ = radio). Se traza esa mediatriz y se corta con m; el radio es C₁T₁.
  C₁ = (35,5 ; 15,1) mm, r₁ = 31,4 mm (tangente interior a la grande en T₁)
3. Circunferencia 2. Misma construcción con el otro extremo T₂ de la mediatriz: C₂ = m ∩ mediatriz(AT₂).
  C₂ = (−13,8 ; −5,9) mm, r₂ = 54,9 mm (tangente interior a la grande en T₂)
4. Resultado: dos circunferencias que pasan por A y B y tocan a la grande por dentro en T₁ y T₂. No hay más: la tangente exterior no es posible porque A y B están dentro de la circunferencia grande (una circunferencia exterior a ella no puede contener puntos interiores).
  Dos soluciones
Respuesta final: Hay dos circunferencias: C₁ = (35,5 ; 15,1) mm, r₁ = 31,4 mm, tangente a la dada en T₁ = (64,3 ; 27,4); y C₂ = (−13,8 ; −5,9) mm, r₂ = 54,9 mm, tangente en T₂ = (−64,3 ; −27,4) (coordenadas respecto de O).
Ejercicio 2
PAU Comunitat Valenciana, Extraordinaria 2025 (Especial DANA) 2025, ejercicio 2 · 1,5 puntos
1. Trazado de las rectas. Se dibuja la recta m (horizontal), el borde derecho (vertical) y la recta superior horizontal a 40 mm por encima de m y de 30 mm de longitud desde el borde. El extremo izquierdo de esa recta es el punto de tangencia T_a del arco R10 con ella.
  Con O (centro de R60) como origen y el borde en x = −10 mm: T_a = (−40,0 ; 40,0) mm
2. Centro O del arco R60. Los arcos R10 y R60 son tangentes interiores: la distancia entre sus centros es 60 − 10 = 50 mm. Con centro en C₁₀ y radio 50 mm se corta la recta m: el centro O de R60 queda en m, a 10 mm a la derecha del borde derecho (el otro corte, a 70 mm a la izquierda del borde, no da el arco que dibuja el croquis).
  O = (0 ; 0) (origen), |O C₁₀| = 50,0 mm
3. Punto de tangencia T_b entre R10 y R60. Está en la recta O C₁₀, a 60 mm de O (a 10 mm de C₁₀ hacia fuera).
  T_b = (−48,0 ; 36,0) mm
4. Arcos. Arco R10 de centro C₁₀ de T_a (90°) a T_b (143,1°). Arco R60 de centro O de T_b (143,1°) hasta el borde derecho: lo corta en E = (−10,0 ; −59,2) mm, a 59,2 mm por debajo de m. De E sube el borde vertical hasta la recta superior, que cierra la pieza.
  Altura total de la pieza: 99,2 mm (40 + 59,2)
Respuesta final: Pieza con T_a = (−40,0 ; 40,0), T_b = (−48,0 ; 36,0), E = (−10,0 ; −59,2) mm y centros C₁₀ = (−40,0 ; 30,0), O = (0 ; 0) mm (origen en O, borde derecho en x = −10): recta superior de 30 mm, arco R10 (C₁₀) hasta T_b, arco R60 (O) hasta E y borde vertical.
Ejercicio 3
PAU Comunitat Valenciana, Ordinaria 2025 2025, ejercicio 2 · 1,5 puntos
1. Lugar de los centros. Una circunferencia tangente a la circunferencia 2 en T tiene su centro en la recta O₂T (el radio hasta el punto de tangencia pasa por el centro de la otra), y su radio es XT.
  Recta O₂T: dirección (−0,754 ; −0,657)
2. Se aplica la homotecia centrada en el punto de tangencia N con la circunferencia 1: lleva la solución en la circunferencia 1 y T en un punto M de ella, y el radio XT en un radio O₁M paralelo. Por eso se traza por O₁ el radio O₁M paralelo a O₂T; hay dos radios, uno por cada sentido.
  M₁ = (−37,7 ; −32,9) ; M₂ = (37,7 ; 32,9)
3. Se une M con T y se prolonga hasta cortar de nuevo a la circunferencia 1: ese corte es el punto de tangencia N con la circunferencia 1. El centro de la solución está en la recta O₁N y en la recta O₂T.
  N₁ = (47,6 ; −15,2) ; N₂ = (−5,6 ; −49,7)
4. Centro de cada solución: X = (O₂T) ∩ (O₁N). El radio es XT (que también es XN).
  Solución 1: C₁ = (25,6 ; −8,2), r₁ = 23,1 mm (contiene a la circunferencia 2: tangente interior en T, tangente interior a la 1 en N₁). Solución 2: C₂ = (−3,8 ; −33,8), r₂ = 15,9 mm (exterior a la 2: tangente exterior en T, tangente interior a la 1 en N₂)
Respuesta final: Dos circunferencias solución: C₁ = (25,6 ; −8,2) mm, r = 23,1 mm, tangencias T y N₁ = (47,6 ; −15,2); C₂ = (−3,8 ; −33,8) mm, r = 15,9 mm, tangencias T y N₂ = (−5,6 ; −49,7) (coordenadas respecto de O₁).

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