Tangencias · Dibujo Técnico II (con soluciones)

1. 1. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 1A · Opción A

   Determine todas las circunferencias tangentes a la circunferencia de mayor diámetro y que pasen por los puntos A y B. Indique los centros de las circunferencias y los puntos de tangencia (1,5 p.). Datos de la figura (mm sobre el enunciado a tamaño real, origen en O): circunferencias concéntricas de centro O y radios 69,9 y 43,2; A y B están sobre la pequeña, A = (16,4 ; 40,0) y B = (40,2 ; −15,9).

   1. 1. Datos. A y B están sobre la circunferencia pequeña, que es concéntrica con la grande (centro O): por tanto OA = OB y la mediatriz de AB pasa por O. Se traza la mediatriz m de AB y se prolonga hasta cortar la circunferencia grande en T₁ y T₂.

      m = mediatriz(AB) ; T = m ∩ c(O; 69,9)

      M = (28,3 ; 12,1) (punto medio de AB), |OM| = 30,8 mm; T₁ = (64,3 ; 27,4) ; T₂ = (−64,3 ; −27,4)

   2. 2. Circunferencia 1. Su centro C₁ está en m y en la mediatriz del segmento AT₁ (porque C₁A = C₁T₁ = radio). Se traza esa mediatriz y se corta con m; el radio es C₁T₁.

      C₁ = m ∩ mediatriz(AT₁) ; r₁ = C₁T₁

      C₁ = (35,5 ; 15,1) mm, r₁ = 31,4 mm (tangente interior a la grande en T₁)

   3. 3. Circunferencia 2. Misma construcción con el otro extremo T₂ de la mediatriz: C₂ = m ∩ mediatriz(AT₂).

      C₂ = m ∩ mediatriz(AT₂) ; r₂ = C₂T₂

      C₂ = (−13,8 ; −5,9) mm, r₂ = 54,9 mm (tangente interior a la grande en T₂)

   4. 4. Resultado: dos circunferencias que pasan por A y B y tocan a la grande por dentro en T₁ y T₂. No hay más: la tangente exterior no es posible porque A y B están dentro de la circunferencia grande (una circunferencia exterior a ella no puede contener puntos interiores).

      —

      Dos soluciones

   Respuesta final: Hay dos circunferencias: C₁ = (35,5 ; 15,1) mm, r₁ = 31,4 mm, tangente a la dada en T₁ = (64,3 ; 27,4); y C₂ = (−13,8 ; −5,9) mm, r₂ = 54,9 mm, tangente en T₂ = (−64,3 ; −27,4) (coordenadas respecto de O).

2. 2. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 2

   Dibuje la circunferencia C₂ tangente en T a la recta r y a la circunferencia C₁ que tenga el mayor radio posible (0,9 p.). Dibuje la recta o rectas que pasan por T y distan 15 mm de la circunferencia C₁ (0,6 p.). Determine los centros y los puntos de tangencia de todas las construcciones. Datos (mm, origen en O₁): C₁ de radio 33,9; r a 67,1 mm de O₁; T = (−63,8 ; −26,4).

   1. 1. Lugar de los centros. Una circunferencia tangente a la recta r en T tiene su centro en la perpendicular p a r por T, y su radio es la distancia del centro a T. Se traza p.

      X ∈ p ⟂ r por T ; ρ = |XT|

      T = (−63,8 ; −26,4) mm; la distancia de O₁ a r es 67,1 mm

   2. 2. Punto de tangencia con C₁ por homotecia. Las dos circunferencias tangentes (C₂ y C₁) son homotéticas desde su punto de tangencia N, y esa homotecia lleva la tangente r (en T) a una tangente de C₁ paralela a r, que toca a C₁ en un extremo del diámetro perpendicular a r. Así T, N y ese extremo están alineados. Se traza por O₁ el diámetro de C₁ perpendicular a r (paralelo a p) con extremos Z_n (cercano a r) y Z_f (lejano), y se unen con T.

      N ∈ T Z_n o T Z_f, N ∈ C₁

      Z_n = (−27,4 ; −19,9) ; Z_f = (27,4 ; 19,9) mm. T Z_n corta de nuevo a C₁ en N_i = (32,6 ; −9,3) ; T Z_f lo corta en N_e = (−32,3 ; −10,4) mm

   3. 3. Centros. Se une O₁ con cada punto de tangencia; el centro de la solución es el corte de la recta O₁N con la perpendicular p (centros y punto de tangencia alineados).

      X = O₁N ∩ p

      Tangente exterior: X_e = (−49,3 ; −15,9), radio 17,9 mm. Tangente interior (envuelve a C₁): X_i = (−19,8 ; 5,6), radio 54,5 mm

   4. 4. Elección. El enunciado pide la de mayor radio posible: es la que envuelve a C₁ (ρ = 54,5 mm frente a 17,9 mm). Se dibuja C₂ con centro X_i y radio X_iT; sus puntos de tangencia son T (con r) y N_i (con C₁).

      C₂ = c(X_i; X_iT)

      C₂: centro (−19,8 ; 5,6) mm, radio 54,5 mm; tangencias T y N = (32,6 ; −9,3) mm

   5. 5. Rectas por T a 15 mm de C₁. Los puntos a 15 mm de la circunferencia (por fuera) están a r₁ + 15 = 48,9 mm de O₁, es decir, en una circunferencia concéntrica con C₁ de ese radio. Las rectas pedidas son las tangentes a esa circunferencia desde T: se traza la circunferencia de diámetro O₁T, que corta a la concéntrica en los puntos de tangencia P₁ y P₂ (arco capaz de 90°).

      Tangentes desde T a c(O₁; 48,9)

      P₁ = (−18,7 ; −45,1) ; P₂ = (−45,2 ; 18,7) mm. Rectas TP₁ y TP₂; pies sobre C₁ (N₁ y N₂): (−13,0 ; −31,3) y (−31,3 ; 12,9) mm

   Respuesta final: C₂: centro (−19,8 ; 5,6) mm, radio 54,5 mm, tangente a r en T y a C₁ (interior) en N = (32,6 ; −9,3) mm. Rectas por T a 15 mm de C₁: TP₁ y TP₂ con P₁ = (−18,7 ; −45,1) mm y P₂ = (−45,2 ; 18,7) mm (tangencias con la concéntrica) y pies N₁ = (−13,0 ; −31,3) mm, N₂ = (−31,3 ; 12,9) mm en C₁ (coordenadas respecto de O₁).

3. 3. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 2

   Realice a escala 1:1 el dibujo de la pieza propuesta a partir del croquis (cotas: 30 mm de recta superior, 40 mm de m a la recta superior, 55 mm de m al fondo, R10, R60), indicando todos los centros y puntos de tangencia. El centro del arco de radio 60 mm está situado sobre la recta m. No borrar ninguna línea auxiliar.

   1. 1. Trazado de las rectas. Se dibuja la recta m (horizontal), el borde derecho (vertical) y la recta superior horizontal a 40 mm por encima de m y de 30 mm de longitud desde el borde. El extremo izquierdo de esa recta es el punto de tangencia T_a del arco R10 con ella.

      T_a = (borde − 30 ; m + 40)

      Con O (centro de R60) como origen y el borde en x = −10 mm: T_a = (−40,0 ; 40,0) mm

   2. 2. Centro O del arco R60. Los arcos R10 y R60 son tangentes interiores: la distancia entre sus centros es 60 − 10 = 50 mm. Con centro en C₁₀ y radio 50 mm se corta la recta m: el centro O de R60 queda en m, a 10 mm a la derecha del borde derecho (el otro corte, a 70 mm a la izquierda del borde, no da el arco que dibuja el croquis).

      O ∈ m ∩ c(C₁₀ ; 50)

      O = (0 ; 0) (origen), |O C₁₀| = 50,0 mm

   3. 3. Punto de tangencia T_b entre R10 y R60. Está en la recta O C₁₀, a 60 mm de O (a 10 mm de C₁₀ hacia fuera).

      T_b = O + 60·(C₁₀ − O)/|C₁₀ − O|

      T_b = (−48,0 ; 36,0) mm

   4. 4. Arcos. Arco R10 de centro C₁₀ de T_a (90°) a T_b (143,1°). Arco R60 de centro O de T_b (143,1°) hasta el borde derecho: lo corta en E = (−10,0 ; −59,2) mm, a 59,2 mm por debajo de m. De E sube el borde vertical hasta la recta superior, que cierra la pieza.

      R10: C₁₀, T_a → T_b ; R60: O, T_b → E

      Altura total de la pieza: 99,2 mm (40 + 59,2)

   Respuesta final: Pieza con T_a = (−40,0 ; 40,0), T_b = (−48,0 ; 36,0), E = (−10,0 ; −59,2) mm y centros C₁₀ = (−40,0 ; 30,0), O = (0 ; 0) mm (origen en O, borde derecho en x = −10): recta superior de 30 mm, arco R10 (C₁₀) hasta T_b, arco R60 (O) hasta E y borde vertical.

4. 4. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 2

   Dadas las circunferencias de centros O₁ y O₂ de la figura, dibuje todas las circunferencias tangentes a ambas por el punto T indicado. Indique los centros y los puntos de tangencia. No borre las construcciones auxiliares. Datos de la figura (mm, origen en O₁, x a la derecha, y hacia arriba): circunferencia 1 de centro O₁ (0 ; 0) y radio 50; circunferencia 2 de centro O₂ (19,5 ; −13,5) y radio 15, interior a la primera sin tocarla; T es un punto de la circunferencia 2, T = (8,2 ; −23,4).

   1. 1. Lugar de los centros. Una circunferencia tangente a la circunferencia 2 en T tiene su centro en la recta O₂T (el radio hasta el punto de tangencia pasa por el centro de la otra), y su radio es XT.

      X ∈ recta O₂T ; r = |XT|

      Recta O₂T: dirección (−0,754 ; −0,657)

   2. 2. Se aplica la homotecia centrada en el punto de tangencia N con la circunferencia 1: lleva la solución en la circunferencia 1 y T en un punto M de ella, y el radio XT en un radio O₁M paralelo. Por eso se traza por O₁ el radio O₁M paralelo a O₂T; hay dos radios, uno por cada sentido.

      O₁M ∥ O₂T, M = O₁ ± 50·u

      M₁ = (−37,7 ; −32,9) ; M₂ = (37,7 ; 32,9)

   3. 3. Se une M con T y se prolonga hasta cortar de nuevo a la circunferencia 1: ese corte es el punto de tangencia N con la circunferencia 1. El centro de la solución está en la recta O₁N y en la recta O₂T.

      N = (recta MT) ∩ circunferencia 1 (distinto de M)

      N₁ = (47,6 ; −15,2) ; N₂ = (−5,6 ; −49,7)

   4. 4. Centro de cada solución: X = (O₂T) ∩ (O₁N). El radio es XT (que también es XN).

      X = O₂T ∩ O₁N

      Solución 1: C₁ = (25,6 ; −8,2), r₁ = 23,1 mm (contiene a la circunferencia 2: tangente interior en T, tangente interior a la 1 en N₁). Solución 2: C₂ = (−3,8 ; −33,8), r₂ = 15,9 mm (exterior a la 2: tangente exterior en T, tangente interior a la 1 en N₂)

   Respuesta final: Dos circunferencias solución: C₁ = (25,6 ; −8,2) mm, r = 23,1 mm, tangencias T y N₁ = (47,6 ; −15,2); C₂ = (−3,8 ; −33,8) mm, r = 15,9 mm, tangencias T y N₂ = (−5,6 ; −49,7) (coordenadas respecto de O₁).

5. 5. 2025 · Reserva 2025 (Junio) · Ejercicio 2

   Complete la representación de tangencias de la figura, determinando las construcciones geométricas, los centros y los puntos de tangencia. Datos (mm, origen en O₁): r₁ = 25,0, A = (−37,6 ; −60,0), T a 45° de la vertical descendente.

   1. 1. Punto T. Desde la vertical descendente por O₁ se mide 45° hacia la derecha: la recta O₁T corta a C₁ en T.

      T = O₁ + r·(sen 45°, −cos 45°)

      T = (17,7 ; −17,7) mm

   2. 2. Segundo arco, tangente a C₁ en T y a la horizontal. Su centro O₂ está en la recta O₁T (más allá de T, tangente exterior) y a una distancia ρ de la recta horizontal: O₂ = (r+ρ)·u con O₂ a ρ sobre la horizontal. Gráficamente: se traza la paralela a la horizontal a distancia ρ y se prueba ρ con una homotecia desde T, o se resuelve con O₂y − ρ = y_recta.

      ρ = (y_recta − r·u_y)/(u_y − 1)

      ρ = 24,8 mm ; O₂ = (35,2 ; −35,2) mm ; tangencia con la horizontal T₂ = (35,2 ; −60,0) mm

   3. 3. Tangente desde A a C₁. Se traza la circunferencia de diámetro AO₁, que corta a C₁ en los puntos de tangencia (arco capaz de 90°). Se toma el de la izquierda, T_L.

      T_L ∈ c(AO₁) ∩ C₁

      T_L = (−24,5 ; 4,9) mm; |AT_L| = 66,2 mm

   4. 4. Contorno. Recta A–T_L; arco de C₁ desde T_L, por arriba, hasta T; arco de C₂ (O₂, ρ) desde T hasta T₂ por la derecha y abajo; y recta horizontal T₂–A.

      —

      Centros O₁ = (0 ; 0) y O₂ = (35,2 ; −35,2); puntos de tangencia T_L, T y T₂

   Respuesta final: T = (17,7 ; −17,7); C₂: centro O₂ = (35,2 ; −35,2) mm, radio 24,8 mm, tangente a C₁ en T y a la horizontal en T₂ = (35,2 ; −60,0); tangente desde A: A–T_L con T_L = (−24,5 ; 4,9) mm (respecto de O₁).

6. 6. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio 2

   Complete, a escala 1:1, el trazado de tangencias de la figura. Indique los centros de los arcos y los puntos de tangencia. No borre las operaciones auxiliares que permitan determinarlos. (1,5 puntos) Datos de la figura (mm, medidos del PDF a tamaño real; origen en C1, x a la derecha, y hacia arriba): circunferencia de centro C1 y radio 15; circunferencia de centro C2 = (90 ; 0) y radio 25; arco puente de radio 40 ya dibujado, tangente exterior a ambas por arriba. En el dibujo de referencia (a escala 1:2) T está a 20 mm a la derecha de la vertical por C1 y 65 mm por debajo del nivel de los centros: T = (20 ; −65).

   • a)Recta tangente desde T a la circunferencia de centro C1 (0,5 p.).
   • b)Arco tangente en T y a la circunferencia de centro C2 (1,0 p.).

   Apartado a

   1. 1. Datos. La circunferencia de centro C1 (radio 15) y la de centro C2 (radio 25) están a 90 mm; T está a 20 mm a la derecha y 65 mm por debajo de C1 (cotas del dibujo de referencia, que está a escala 1:2). El arco puente ya dibujado es tangente exterior a las dos circunferencias. Se mide su radio (40) y se obtiene su centro como corte de dos circunferencias de radios 15 + 40 = 55 y 25 + 40 = 65.

      Ca = C(C1,55) ∩ C(C2,65) (el de arriba)

      Ca = (38,33 ; 39,44) mm; tangencias Ka = (10,45 ; 10,76) (con C1) y Kb = (70,13 ; 15,17) (con C2)

   2. 2. Tangente desde T a C1. Se traza la circunferencia de diámetro C1T (centro el punto medio, radio la mitad); corta a la de C1 en dos puntos, desde los que se ve C1T bajo un ángulo recto (arco capaz de 90°): son los puntos de tangencia. Se toma el de la izquierda, W.

      W ∈ C(C1,15) ∩ C(medio de C1T, |C1T|/2)

      W = (-13,01 ; -7,46) mm; |TW| = 66,33 mm

   Apartado b

   1. 1. Arco por T tangente a la recta TW en T. Su centro O está en la normal a TW por T. Para que además sea tangente interior a la circunferencia de centro C2 (radio 25), se lleva sobre la normal, hacia el interior, T → M con TM = 25: si O equidista de M y C2, entonces OC2 = OM = R − 25 con R = OT.

      O ∈ normal en T y mediatriz de MC2

      M = (41,68 ; -52,56) mm; O = (74,16 ; -33,93) mm; R = 62,44 mm

   2. 2. Puntos de tangencia y arco. El arco grande de radio R y centro O pasa por T (tangente a la recta) y toca a la circunferencia de C2 en U, en la recta OC2 prolongada. Se traza el contorno: arco de C1 desde Ka hasta W, recta WT, arco grande de T a U, arco de C2 de U a Kb y arco puente de Kb a Ka.

      U = O + R·(C2 − O)/|C2 − O|

      U = (100,58 ; 22,65) mm. Puntos de tangencia: W, T, U, Kb y Ka. Centros: C1, O, C2 y Ca.

   Respuesta final: Tangente TW con W = (-13,01 ; -7,46) mm (origen en C1) y T = (20 ; −65); arco grande de centro O = (74,16 ; -33,93) mm y radio 62,44 mm, tangente interior a C2 en U = (100,58 ; 22,65) mm; arco puente de centro Ca = (38,33 ; 39,44) mm (radio 40), tangente en Ka = (10,45 ; 10,76) y Kb = (70,13 ; 15,17) mm.

7. 7. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio 3

   Determine la circunferencia de centro O3 tangente a la circunferencia de centro O1 y a la semicircunferencia de centro O2 conociendo el punto de tangencia T. El centro O3 está situado a la derecha de O1. (0,9 p.) Determine la circunferencia de radio 18 mm y centro O6 tangente a la circunferencia de centro O4 y a la semicircunferencia de centro O5. El centro O6 está situado a la derecha de O4. (0,6 p.) (1,5 puntos) Datos de la figura (mm, medidos del PDF a tamaño real): en ambos casos la circunferencia pequeña tiene radio 15 y la semicircunferencia (mitad inferior) radio 58,5; O2 queda a (12,3 ; 18,0) de O1 (e igual O5 respecto de O4); T está sobre la circunferencia 1 en la dirección de unos −27° (abajo a la derecha).

   • a)Circunferencia de centro O3 tangente conociendo T (0,9 p.).
   • b)Circunferencia de radio 18 y centro O6 (0,6 p.).

   Apartado a

   1. 1. Datos: la circunferencia de centro O1 (radio 15 mm), la semicircunferencia de centro O2 (radio 58,45 mm) y T sobre la circunferencia. Al ser tangente en T, el centro O3 está en la recta O1T (el radio O1T es perpendicular a la tangente común).

      O3 ∈ O1T

      O1 = (0 ; 0), O2 = (12,31 ; 17,99) mm, T = (13,44 ; -6,67) mm

   2. 2. Punto auxiliar M. Con centro en T y radio R = 58,45 mm se marca sobre la recta O1T el punto M del lado en que está O3. Si O3 es el centro buscado, r3 = O3T y la tangencia interior con la semicircunferencia exige O3O2 = R − r3 = O3M.

      M ∈ O1T con TM = R

      M = (65,79 ; -32,65) mm

   3. 3. El centro O3 es el punto de la recta O1T equidistante de M y O2: se traza la mediatriz del segmento MO2 y se corta con O1T.

      O3 = O1T ∩ mediatriz(MO2)

      O3 = (31,29 ; -15,53) mm, radio r3 = O3T = 19,93 mm

   4. 4. Se traza la circunferencia de centro O3 que pasa por T (tangente a la primera en T). El punto de tangencia con la semicircunferencia es la intersección de la recta O2O3 con ella.

      U = O2 + R·(O3 − O2)/|O3 − O2|

      U = (41,11 ; -32,87) mm; |O3O2| = 38,52 = R − r3

   Apartado b

   1. 1. Centro O6. Tangente exterior a la circunferencia de centro O4 (radio 15): O6 está a 15 + 18 = 33 mm de O4. Tangente interior a la semicircunferencia: O6 está a R − 18 = 40,45 mm de O5. Se trazan las dos circunferencias auxiliares y se cortan.

      O6 ∈ C(O4, 33) ∩ C(O5, R − 18)

      O6 = (26,27 ; -19,97) mm

   2. 2. Se traza la circunferencia de radio 18 mm y centro O6. Los puntos de tangencia están en las rectas de centros: W = O4O6 ∩ circunferencia de centro O4, y V = O5O6 prolongada hasta la semicircunferencia.

      W = O4 + 15·(O6 − O4)/33; V = O5 + R·(O6 − O5)/|O6 − O5|

      W = (11,94 ; -9,08) mm; V = (32,48 ; -36,86) mm

   Respuesta final: a) O3 = (31,29 ; -15,53) mm (origen en O1), radio 19,93 mm, tangente a la circunferencia 1 en T y a la semicircunferencia en U = (41,11 ; -32,87) mm. b) O6 = (26,27 ; -19,97) mm (origen en O4), radio 18 mm, tangente en W = (11,94 ; -9,08) mm y en V = (32,48 ; -36,86) mm.

selectia · resolución completa en https://tuselectividad.com/selectividad/comunitat-valenciana/dibujo-tecnico/dite-tangencias