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Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2025 (Especial DANA) · Extraordinaria 2025 (Especial DANA)
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 5 resultados comprobados en 2 apartados
- Revisión humana pendiente
Dados los puntos A′ y B′, afines de A y B respectivamente, y sabiendo que la afinidad es ortogonal: represente el eje y la dirección de afinidad (0,7 p.) y obtenga la figura afín a la ABCDEF (0,8 p.). Datos (mm, origen en A): A = A′ = (0 ; 0), B = (24,2 ; 36,3), C = (−13,6 ; 61,8), D = (−51,4 ; 5,4), E = (−41,1 ; −9,3), F = (−27,1 ; 17,8), B′ = (42,6 ; 16,8).
- a)Represente el eje y la dirección de afinidad (0,7 p.).
- b)Obtenga la figura afín a la ABCDEF (0,8 p.).
Apartado a
1. Dirección de afinidad. Cada punto y su afín están en una recta de dirección d: d es la recta que une B con B′. Se traza BB′.
d = BB′
d forma 46,5° con la horizontal (apunta a la derecha y abajo); |BB′| = 26,8 mm
Dos puntos afines determinan la dirección de afinidad.
2. Eje. A coincide con A′ (A = A′): un punto que se corresponde consigo mismo está en el eje, así que el eje pasa por A. Al ser ortogonal la afinidad, el eje es perpendicular a la dirección d: se traza por A la perpendicular a BB′.
e ⟂ d, e ∋ A
Eje e por A con dirección (0,726 ; 0,688). B está a 9,7 mm del eje y B′ a 17,1 mm al otro lado
B y B′ quedan a distinto lado del eje: la razón de afinidad es negativa, k = −1,761, y la figura se refleja respecto del eje además de alargarse.
Apartado b
1. Afín de cada vértice. Se une cada vértice X con B y se prolonga hasta cortar al eje en Q (punto doble). La recta QB′ es la afín de XB, y el afín X′ es el corte de QB′ con la recta por X paralela a d (perpendicular al eje).
Q = XB ∩ e ; X′ = QB′ ∩ (X + t·d)
Se repite para C, D, E y F; A′ = A (está en el eje)
Las rectas afines se cortan en el eje: así se garantiza la conservación del paralelismo y de la razón de segmentos.
2. Resultado numérico. La distancia de cada vértice al eje se multiplica por k = −1,761 y cambia de lado: X′ = X + (k − 1)·[(X − A)·n]·n, con n = d.
X′ = X + (k − 1)·dist·n
A′ = (0,0 ; 0,0) ; B′ = (42,6 ; 16,8) ; C′ = (89,3 ; −46,8) ; D′ = (23,2 ; −73,3) ; E′ = (−0,2 ; −52,4) ; F′ = (32,8 ; −45,4) mm
Comprobado: la construcción gráfica con la pareja B–B′ da exactamente estos puntos (error < 1e-9).
3. Se unen los afines en el mismo orden: A′B′C′D′E′F′. Es un hexágono cóncavo con los lados paralelos a los de ABCDEF cuyas rectas se cortan en el eje.
Polígono A′B′C′D′E′F′
Figura afín como en la figura 3
Los lados de ABCDEF y sus afines se cortan sobre el eje, y los lados paralelos siguen siendo paralelos.
Respuesta final
Dirección de afinidad d = BB′; eje e perpendicular a d por A (k = −1,761, afinidad ortogonal de razón negativa). Figura afín: A′ = (0,0 ; 0,0) ; B′ = (42,6 ; 16,8) ; C′ = (89,3 ; −46,8) ; D′ = (23,2 ; −73,3) ; E′ = (−0,2 ; −52,4) ; F′ = (32,8 ; −45,4) mm (respecto de A).
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 4 resultados comprobados en 1 apartado
- Revisión humana pendiente
La recta d es la directriz de una parábola y t₁ y t₂ dos tangentes a la misma. Determine el eje (0,2 p.), el foco (0,5 p.) y el vértice de la parábola (0,2 p.) y obtenga los puntos de tangencia de la parábola contenidos en t₁ y t₂ (0,6 p.). Datos (mm, origen en el punto medio de d): d es x = 0; t₁ pasa por (75,7 ; 43,6) con inclinación 19,5°; t₂ pasa por (80,3 ; −57,7) con inclinación −17,5°.
1. Propiedad de la tangente. La tangente a una parábola es mediatriz del segmento que une el foco con su simétrico respecto de la tangente, y ese simétrico está en la directriz (reflexión: la tangente es bisectriz del ángulo entre el radio vector y la perpendicular a la directriz). Por tanto, F está en la simétrica de d respecto de t₁ y también en la simétrica de d respecto de t₂.
F ∈ s_{t₁}(d) ∩ s_{t₂}(d)
Se trazan las simétricas de d (basta con dos de sus puntos) respecto de t₁ y t₂
Si F′ es el simétrico de F respecto de una tangente t y está en d, entonces F está en el simétrico de d.
2. Foco. Las dos rectas simétricas se cortan en F.
F = s_{t₁}(d) ∩ s_{t₂}(d)
F = (18,5 ; −6,0) mm
Comprobado: los simétricos de F respecto de t₁ y t₂ caen sobre d (x = 0): F₁ = (−0,0 ; 46,0) y F₂ = (−0,0 ; −64,5) mm.
3. Eje y vértice. El eje es la perpendicular a d por F. El vértice V es el punto medio entre F y el pie de esa perpendicular sobre d (la parábola equidista de F y de d).
e ⟂ d por F ; V = punto medio de F y su proyección sobre d
Eje: recta horizontal y = −6,0 mm. V = (9,2 ; −6,0) mm; distancia vértice-foco p = 9,2 mm
La ecuación de la parábola es (y − −6,0)² = 4p·(x − 9,2), con p = 9,2 mm.
4. Puntos de tangencia. Si F′ es el simétrico de F respecto de la tangente, el punto de tangencia T está en la perpendicular a d por F′ (porque TF = TF′ = distancia de T a d, y la perpendicular a d por F′ es el lugar de los puntos cuya distancia a la directriz sale del pie F′). Se corta esa perpendicular (paralela al eje) con la tangente correspondiente.
T_i = (paralela al eje por F_i′) ∩ t_i
T₁ = (82,6 ; 46,0) mm ; T₂ = (101,8 ; −64,5) mm
Comprobado: TF = 82,6 mm = distancia de T₁ a d, y 101,8 mm = distancia de T₂ a d.
Respuesta final
Eje: la recta por F perpendicular a d (y = −6,0 mm). Foco F = (18,5 ; −6,0) mm; vértice V = (9,2 ; −6,0) mm (p = 9,2 mm). Puntos de tangencia: T₁ = (82,6 ; 46,0) mm en t₁ y T₂ = (101,8 ; −64,5) mm en t₂ (coordenadas respecto del punto medio de d).
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 4 resultados comprobados en 1 apartado
- Revisión humana pendiente
Realice a escala 1:1 el dibujo de la pieza propuesta a partir del croquis (cotas: 30 mm de recta superior, 40 mm de m a la recta superior, 55 mm de m al fondo, R10, R60), indicando todos los centros y puntos de tangencia. El centro del arco de radio 60 mm está situado sobre la recta m. No borrar ninguna línea auxiliar.
1. Trazado de las rectas. Se dibuja la recta m (horizontal), el borde derecho (vertical) y la recta superior horizontal a 40 mm por encima de m y de 30 mm de longitud desde el borde. El extremo izquierdo de esa recta es el punto de tangencia T_a del arco R10 con ella.
T_a = (borde − 30 ; m + 40)
Con O (centro de R60) como origen y el borde en x = −10 mm: T_a = (−40,0 ; 40,0) mm
El arco R10 es tangente a la recta superior, así que su centro está en la perpendicular por T_a, a 10 mm por debajo: C₁₀ = (−40,0 ; 30,0) mm.
2. Centro O del arco R60. Los arcos R10 y R60 son tangentes interiores: la distancia entre sus centros es 60 − 10 = 50 mm. Con centro en C₁₀ y radio 50 mm se corta la recta m: el centro O de R60 queda en m, a 10 mm a la derecha del borde derecho (el otro corte, a 70 mm a la izquierda del borde, no da el arco que dibuja el croquis).
O ∈ m ∩ c(C₁₀ ; 50)
O = (0 ; 0) (origen), |O C₁₀| = 50,0 mm
Los centros de dos arcos tangentes y su punto de tangencia están alineados.
3. Punto de tangencia T_b entre R10 y R60. Está en la recta O C₁₀, a 60 mm de O (a 10 mm de C₁₀ hacia fuera).
T_b = O + 60·(C₁₀ − O)/|C₁₀ − O|
T_b = (−48,0 ; 36,0) mm
Comprobado: |T_b C₁₀| = 10 y |O T_b| = 60.
4. Arcos. Arco R10 de centro C₁₀ de T_a (90°) a T_b (143,1°). Arco R60 de centro O de T_b (143,1°) hasta el borde derecho: lo corta en E = (−10,0 ; −59,2) mm, a 59,2 mm por debajo de m. De E sube el borde vertical hasta la recta superior, que cierra la pieza.
R10: C₁₀, T_a → T_b ; R60: O, T_b → E
Altura total de la pieza: 99,2 mm (40 + 59,2)
El croquis rotula como T₁ el extremo inferior del borde (aquí E) y como T₂ un punto del arco R60; este último no es un punto de tangencia con otra línea en la solución adoptada.
Respuesta final
Pieza con T_a = (−40,0 ; 40,0), T_b = (−48,0 ; 36,0), E = (−10,0 ; −59,2) mm y centros C₁₀ = (−40,0 ; 30,0), O = (0 ; 0) mm (origen en O, borde derecho en x = −10): recta superior de 30 mm, arco R10 (C₁₀) hasta T_b, arco R60 (O) hasta E y borde vertical.
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 4 resultados comprobados en 1 apartado
- Revisión humana pendiente
Dadas las proyecciones de los puntos A, B y C, determine las proyecciones del incentro del triángulo formado por dichos puntos. Datos (mm, x respecto de A; alejamiento ; cota): A = (0 ; 11,8 ; 0), B = (42,4 ; 11,8 ; 42,6), C = (97,5 ; 73,8 ; 0).
1. Charnela. A y C tienen cota 0: están en el plano horizontal, y la recta AC es la traza horizontal del plano del triángulo. Por eso se abate el plano alrededor de A₁C₁, la única recta que no cambia de longitud.
Charnela = A₁C₁
|A₁C₁| = 115,6 mm; el triángulo no está en verdadera magnitud en ninguna proyección
Si ninguno de los lados es paralelo a un plano de proyección salvo AC (horizontal), conviene abatir sobre la charnela AC.
2. Abatimiento de B. B describe un arco en un plano perpendicular a la charnela, de radio igual a la distancia real de B a AC: hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos d (distancia de B₁ a A₁C₁) y la cota de B (se lleva la cota sobre la perpendicular a A₁C₁ por B₁).
d_real = √(d² + z_B²)
d = 22,8 mm ; z_B = 42,6 mm ; d_real = 48,3 mm. B* queda en (56,1 ; −9,8) mm (x ; alejamiento)
El triángulo abatido A C B* tiene los lados verdaderos: a = 93,3, b = 115,6, c = 60,1 mm.
3. Incentro del triángulo abatido. Se trazan las bisectrices de dos ángulos (por ejemplo en A y en C) del triángulo A C B*; su corte es I*, equidistante de los tres lados (centro de la circunferencia inscrita, de radio r = 20,8 mm).
I* = bisectriz(A) ∩ bisectriz(C)
I* = (45,9 ; 16,4) mm (en el plano abatido); radio de la inscrita r = 20,8 mm
El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices interiores.
4. Desabatimiento. I* está a s = 20,8 mm de la charnela; se deshace el giro sobre la perpendicular a A₁C₁ por I*: I₁ queda sobre esa misma perpendicular, a la distancia s·d/d_real de la charnela (proporcional); la cota de I es s·z_B/d_real. I₂ está en la perpendicular a LT por I₁, a esa cota.
I₁ = A₁ + (s·d/d_real)·n ; z_I = s·z_B/d_real
I₁ = (40,0 ; 25,6) mm (x ; alejamiento) ; I₂ = (40,0 ; 18,3) mm (x ; cota)
Comprobado en 3D: I = (aA + bB + cC)/(a+b+c) = (40,0 ; 25,6 ; 18,3) mm; diferencia con el método gráfico 0,000 mm.
Respuesta final
Incentro I = (40,0 ; 25,6 ; 18,3) mm (x ; alejamiento ; cota, respecto de A): I₁ = (40,0 ; 25,6) mm e I₂ = (40,0 ; 18,3) mm (x ; cota). Radio de la circunferencia inscrita r = 20,8 mm.
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 5 resultados comprobados en 1 apartado
- Revisión humana pendiente
Dadas las aristas AB y BC de un cubo contenido en el primer diedro, complete sus proyecciones e indique la visibilidad. Datos (mm, x respecto de A): A = (0 ; 11,1 ; 57,7), B = (29,4 ; 32,8 ; 34,7), C = (47,9 ; 46,6 ; 71,3) (alejamiento ; cota).
1. Datos. En un cubo, AB y BC son dos aristas que parten del mismo vértice B: tienen la misma longitud y son perpendiculares. A₁, B₁ y C₁ están alineados: el plano ABC contiene a AB y BC y es perpendicular al plano horizontal (proyectante horizontal); su traza horizontal es la recta A₁B₁C₁.
A₁, B₁, C₁ alineados ⟹ plano ABC proyectante horizontal
Plano ABC ⟂ plano horizontal; traza horizontal = recta A₁C₁
Con un plano proyectante, los cálculos se simplifican: las distancias horizontales se ven en verdadera magnitud en planta.
2. Verdadera magnitud de la arista. La arista se obtiene con el triángulo rectángulo de catetos la longitud de su proyección horizontal y su diferencia de cotas. AB: 36,6 y 23,0 mm → 43,2 mm; BC: 23,0 y 36,6 mm → 43,2 mm. Coinciden (a = 43,2 mm), y el abatimiento del plano ABC da un ángulo en B de 90°.
a = √(Δh² + Δz²)
a = 43,2 mm
Si no coincidieran, los datos no corresponderían a un cubo.
3. Tercera arista BD. Es perpendicular al plano ABC. Como ABC es proyectante horizontal, la perpendicular al plano es una recta horizontal perpendicular a la traza horizontal: B₁D₁ ⟂ A₁C₁ y B₂D₂ ∥ LT. Se lleva sobre B₁D₁ la longitud a (se ve en verdadera magnitud porque BD es horizontal), hacia el lado de mayor alejamiento para que el cubo quede en el primer diedro.
BD ⟂ α₁ ; |BD| = a ; sentido: alejamiento creciente
D = (3,7 ; 67,6 ; 34,6) mm (x ; alejamiento ; cota). El sentido contrario saca al cubo del primer diedro (alejamiento negativo)
Comprobado: con el sentido opuesto, el vértice más atrasado queda a −23,6 mm de alejamiento (negativo).
4. Resto de vértices. E = A + BD, G = C + BD, H = A + C − B (opuesto de B en la cara ABC) y K = H + BD. Se trazan paralelas a las aristas dadas: en cada proyección el cubo se completa con paralelogramos.
E = A + (D − B) ; G = C + (D − B) ; H = A + C − B ; K = H + (D − B)
E = (−25,7 ; 45,9 ; 57,7) ; G = (22,2 ; 81,3 ; 71,2) ; H = (18,5 ; 24,9 ; 94,3) ; K = (−7,2 ; 59,6 ; 94,2) mm
Las 12 aristas miden a = 43,2 mm.
5. Visibilidad. Se miran las proyecciones con trazado de rayos sobre las 6 caras. En la proyección vertical (mirando desde delante) se ven las caras de mayor alejamiento hacia el observador; en la horizontal (desde arriba), las de mayor cota. Resultado: vertical, 9 tramos vistos y 3 ocultos; horizontal, 9 vistos y 3 ocultos. Las aristas AB y BC, dibujadas a trazos en el enunciado, pasan a ser vistas o ocultas según la figura final.
Ray-tracing arista a arista
Visibilidad como en las figuras 2 y 3
Una arista es oculta si hay una cara por delante (mayor alejamiento en alzado, mayor cota en planta).
Respuesta final
Cubo de arista 43,2 mm con vértices (x ; alejamiento ; cota, mm, respecto de A): A = (0,0 ; 11,1 ; 57,7), B = (29,4 ; 32,8 ; 34,7), C = (47,9 ; 46,6 ; 71,3), D = (3,7 ; 67,6 ; 34,6), E = (−25,7 ; 45,9 ; 57,7), G = (22,2 ; 81,3 ; 71,2), H = (18,5 ; 24,9 ; 94,3), K = (−7,2 ; 59,6 ; 94,2). Visibilidad: vertical 9 vistas + 3 ocultas; horizontal 9 + 3.
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 4 resultados comprobados en 1 apartado
- Revisión humana pendiente
Dados el alzado, la planta y el perfil de una pieza, represente la vista directa de esta en perspectiva caballera a la misma escala que las vistas, con CR = 0,6 y líneas ocultas (escala gráfica para la reducción).
1. Interpretar la pieza. Cuerpo posterior: prisma de 50 × 20 × 45 con un bloque en cuña a la izquierda (x de 0 a 20) cuya cara superior baja de z = 60 (atrás) a z = 45 (delante). Pieza delantera: un cilindro de radio 15 (eje paralelo a Y, centro en x = 25, z = 25) pegado a la cara frontal del cuerpo, del que solo existen la mitad inferior (30 mm de fondo, y de 20 a 50) y el cuarto superior izquierdo (15 mm de fondo, y de 20 a 35); falta el cuarto superior derecho. Las líneas del alzado, planta y perfil dadas se reproducen con este modelo.
Cuerpo + cuña + semicilindro inferior + cuarto superior izquierdo
Volumen aproximado: cuerpo 45000 mm³ más cuña 3000 mm³ y las piezas cilíndricas
El perfil (rectángulos de 15 de alto y de 30 y 15 de fondo) y la planta (cuadrado de 15 × 15 dentro del rectángulo de 30 × 30) definen esa pieza delantera.
2. Escala gráfica de reducción. Las medidas de Y se multiplican por 0,6 = 3/5: sobre una semirrecta auxiliar desde el origen se marcan 5 divisiones iguales; se une la quinta con el extremo de la medida y se traza la paralela por la tercera. Profundidades reducidas: 20 → 12, 35 → 21, 50 → 30 mm.
y′ = 0,6·y
Y: 20 → 12 mm ; 35 → 21 mm ; 50 → 30 mm
3. Ejes y cara de verdadera forma. X horizontal, Z vertical, Y a 45° hacia abajo y a la izquierda. Las caras paralelas al plano XZ (alzado) se dibujan en verdadera forma, también las circunferencias: la cara posterior del cuerpo con la cuña y las caras circulares a y = 20, 35 y 50 son iguales, desplazadas por la reducción.
Proyección: (x ; y ; z) → (x − 0,6·y·cos 45° ; z − 0,6·y·sen 45°)
Cara frontal del cuerpo en y = 20 y arcos en y = 20, 35 y 50
El desplazamiento de una cara a la siguiente es el vector (−0,424 ; −0,424) por cada mm de y.
4. Completar y visibilidad. Se unen las caras con paralelas al eje Y (aristas del cuerpo, cuña y generatrices del cilindro: las tangentes a los arcos son paralelas a Y y en la proyección caben solo las generatrices de contorno). El observador ve las caras frontal, superior y derecha: quedan ocultos los tramos de aristas y arcos tapados por otras caras. Resultado: 31 tramos vistos y 10 ocultos.
Trazado de rayos con la dirección (0,424 ; 1 ; 0,424)
31 vistos y 10 ocultos (incluye arcos)
Respuesta final
Perspectiva caballera (figura 3): cuerpo 50 × 20 × 45 con cuña, semicilindro inferior de radio 15 y 30 de fondo y cuarto superior izquierdo de 15 de fondo, con Y reducida a 0,6 (profundidades 12, 21 y 30 mm); 31 tramos vistos y 10 ocultos.
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 3 resultados comprobados en 2 apartados
- Revisión humana pendiente
PREGUNTA 5 (3 puntos). Dada la pieza representada a escala 1:1 en dibujo isométrico (sin coeficientes de reducción): - Dibuje en croquis (a mano alzada) en sistema diédrico europeo, el alzado (según A), la planta y la vista lateral derecha, con todas sus líneas ocultas (2 p.). - Acote las vistas según las normas (1 p.).
Apartado a
1. Lectura de la pieza. En el isométrico sin reducción las medidas sobre los ejes a 30° y vertical se toman en verdadera magnitud (1:1). Pieza en forma de U asimétrica con un brazo largo inclinado, una parte central escalonada y un tope en el extremo derecho; las caras ocultas se dibujan con trazos finos.
Medir sobre las rectas paralelas a los tres ejes
Medidas tomadas del dibujo: forma general en U con dos brazos de espesor constante; no se leyeron cotas numéricas del isométrico
Las aristas que no son paralelas a un eje (rampas e inclinaciones) se miden por sus extremos, llevando cada coordenada sobre los ejes.
2. Vistas. Se elige como alzado la vista según la flecha A (la que mira la cara con más información), la planta debajo y la vista lateral derecha a la izquierda del alzado, todas con las aristas ocultas en trazo discontinuo y las coincidencias de visto y oculto resueltas a favor del visto.
Sistema europeo: planta bajo el alzado, lateral derecha a la izquierda
Tres vistas coordinadas por las líneas de referencia a 45°
Cada arista de una vista debe tener su proyección en las otras dos.
Apartado b
1. Acotación. Una sola vez cada medida, fuera de las vistas, en la vista que mejor define el elemento; cota total de ancho, alto y fondo; cotas de las rampas por sus dos catetos; sin cotar aristas ocultas.
Cotas según norma
Cotas de longitud, altura y profundidad de cada elemento (ver medidas del paso 1)
Respuesta final
Alzado según A, planta y vista lateral derecha del sólido leído en el isométrico (ver medidas del paso 1), con todas las aristas ocultas y acotación completa de cada elemento. Reconstrucción pendiente de revisión humana.