Inicia sesión en Selectia para imprimir esta resolución.
Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2024 · Ordinaria 2024
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 6 resultados comprobados en 2 apartados
- Revisión humana pendiente
Dibuje un rombo sabiendo que uno de los ángulos entre sus lados es de 52,5° y que el radio de la circunferencia inscrita es de 30 mm. Obtenga el ángulo de 52,5° con el compás. Deje indicadas todas las líneas auxiliares de construcción. (1,5 puntos)
- a)Obtenga el ángulo de 52,5° con el compás (0,3 p.).
- b)Dibuje el rombo con su circunferencia inscrita de radio 30 mm (1,2 p.).
Apartado a
1. Ángulo de 52,5° con el compás. 52,5° = 60° − 7,5° y 7,5° = 60°/8. Con centro en A se traza un arco de radio cualquiera (aquí 50 mm) que corta a la base en M0; con el mismo radio centrado en M0 se corta el arco y sale M60 (ángulo de 60°).
∠M0 A M60 = 60° (triángulo equilátero A M0 M60)
60°
El triángulo A-M0-M60 es equilátero: tiene los tres lados iguales al radio del arco.
2. Se bisecan tres veces seguidas: bisectriz de 60° (30°), bisectriz de 30° (15°) y bisectriz de 15° (7,5°). Cada bisectriz se obtiene con dos arcos de igual radio centrados en los extremos del ángulo.
60° → 30° → 15° → 7,5°
∠M0 A M7 = 7,5°
Cada bisectriz divide el ángulo en dos iguales; tres divisiones por 2 dan 60°/8 = 7,5°.
3. Con el compás se toma la cuerda del arco de 7,5° (M0 a M7, 6,54 mm si el radio es 50) y se lleva hacia atrás desde M60 sobre el mismo arco. El punto M52 queda a 60° − 7,5° = 52,5° de la base; la recta A–M52 es el segundo lado del rombo.
M52 sobre el arco, con M60–M52 = M0–M7
∠M0 A M52 = 52,5°
Cuerdas iguales en un mismo arco subtienden ángulos iguales.
Apartado b
1. Se dibuja una paralela al lado AB a 30 mm (el radio de la inscrita). La bisectriz del ángulo en A es el lugar de los puntos que equidistan de los dos lados; cortada con esa paralela da el centro O de la circunferencia inscrita.
O = bisectriz ∩ paralela a AB a 30 mm; AO = r/sen(26,25°)
O = (60,8 ; 30,0) mm; AO = 67,8 mm
En un rombo el centro de la circunferencia inscrita es el centro del rombo (punto de corte de las diagonales).
2. Con centro O y radio 30 mm se traza la circunferencia inscrita. Los puntos de tangencia T1 (en AB) y T2 (en AD) son los pies de las perpendiculares desde O a esos lados.
T1 = pie de O en AB; T2 = pie de O en AD
T1 = (60,8 ; 0,0); T2 = (37,0 ; 48,3) mm
Cada lado es tangente a la circunferencia: el radio OT es perpendicular al lado en el punto de tangencia.
3. El centro del rombo es centro de simetría: C es el simétrico de A respecto de O, y T3 y T4 (tangencias de BC y CD) son los simétricos de T1 y T2. Los lados BC y CD son las tangentes a la circunferencia por T3 y T4, paralelas a AD y AB; cortan a los lados iniciales en B y D.
C = 2O − A; T3 = 2O − T1; T4 = 2O − T2
B = (75,6 ; 0,0), D = (46,0 ; 60,0), C = (121,7 ; 60,0) mm; lado = 75,6 mm
Los cuatro lados miden lo mismo (2r/sen 52,5° = 75,6 mm): la altura del rombo es 2r = 60 mm.
Respuesta final
Rombo ABCD con ∠A = 52,5° (60° − 7,5° con compás), lado 75,6 mm y circunferencia inscrita de radio 30 mm de centro O; diagonales AC = 135,7 mm y BD = 66,9 mm. Puntos de tangencia T1–T4 en el punto medio de la altura de cada lado.
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 5 resultados comprobados en 2 apartados
- Revisión humana pendiente
Dado el segmento AB, construya el triángulo equilátero ABC con el vértice C lo más alto posible (0,3 p.). Halle el homólogo de ABC (1,2 p.) sabiendo que: el centro del triángulo es el centro de homología O; la paralela a BC desde el vértice A es el eje de homología E; el homólogo de B está contenido en la recta r dada. (1,5 puntos) Datos de la figura (medidos del PDF a tamaño real; origen en A, x a la derecha, y hacia arriba): B = (92,2 ; −39,1) mm (|AB| = 100,1 mm); la recta r pasa por (156,6 ; −52,0) y (90,6 ; −74,4) mm, con inclinación de unos 18,7° sobre la horizontal.
- a)Construya el triángulo equilátero ABC con C lo más alto posible (0,3 p.).
- b)Halle el homólogo de ABC (1,2 p.).
Apartado a
1. Triángulo equilátero ABC con C lo más alto posible. Con centro en A y en B y radio AB se trazan dos arcos que se cortan en dos puntos (uno por encima de AB y otro por debajo); se toma el de arriba como C.
C = intersección de las circunferencias (A, AB) y (B, AB), la de arriba
C = (80,0 ; 60,3) mm; AB = 100,1 mm (mm, origen en A, y hacia arriba)
El triángulo tiene los tres lados iguales a AB y los tres ángulos de 60° (comprobado).
2. Datos de la homología. El centro O es el centro del triángulo: el baricentro, punto de corte de las medianas (en un equilátero coincide con el incentro y el circuncentro). El eje E es la recta paralela a BC que pasa por A.
O = (A + B + C)/3; E ∥ BC por A
O = (57,4 ; 7,0) mm
Los puntos del eje son dobles: A está en E, así que A′ = A.
Apartado b
1. Homólogo de B. Un punto y su homólogo están alineados con el centro O. Se traza la recta OB y se corta con r, que es donde debe estar B′.
B′ = OB ∩ r
B′ = (113,0 ; -66,8) mm; razón OB′/OB = 1,598
La condición del enunciado (B′ en r) fija la razón de la homología.
2. La recta BC es paralela al eje E, así que se corta con E en el infinito; su homóloga B′C′ también lo hace: es paralela a E (y a BC) y pasa por B′. Se traza esa paralela.
B′C′ ∥ E por B′
Recta B′C′ conocida
Dos rectas homólogas se cortan en el eje; si una es paralela al eje, su homóloga también.
3. Homólogo de C. C′ está alineado con O y C, y sobre la paralela B′C′. Se prolonga OC hasta cortar esa paralela. Se unen A′ (= A), B′ y C′.
C′ = OC ∩ (B′C′)
C′ = (93,5 ; 92,1) mm; lados A′B′ = 131,2, B′C′ = 160,1, A′C′ = 131,2 mm
Comprobación: la homología proyectiva con centro O, eje E y B → B′ transforma C exactamente en C′ (error 0,000 mm).
Respuesta final
ABC equilátero con C = (80,0 ; 60,3) mm (origen en A); centro O = (57,4 ; 7,0) mm. El homólogo es A′B′C′ con A′ = A, B′ = (113,0 ; -66,8) mm (OB ∩ r) y C′ = (93,5 ; 92,1) mm (OC ∩ paralela a BC por B′).
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 6 resultados comprobados en 2 apartados
- Revisión humana pendiente
Determine la circunferencia de centro O3 tangente a la circunferencia de centro O1 y a la semicircunferencia de centro O2 conociendo el punto de tangencia T. El centro O3 está situado a la derecha de O1. (0,9 p.) Determine la circunferencia de radio 18 mm y centro O6 tangente a la circunferencia de centro O4 y a la semicircunferencia de centro O5. El centro O6 está situado a la derecha de O4. (0,6 p.) (1,5 puntos) Datos de la figura (mm, medidos del PDF a tamaño real): en ambos casos la circunferencia pequeña tiene radio 15 y la semicircunferencia (mitad inferior) radio 58,5; O2 queda a (12,3 ; 18,0) de O1 (e igual O5 respecto de O4); T está sobre la circunferencia 1 en la dirección de unos −27° (abajo a la derecha).
- a)Circunferencia de centro O3 tangente conociendo T (0,9 p.).
- b)Circunferencia de radio 18 y centro O6 (0,6 p.).
Apartado a
1. Datos: la circunferencia de centro O1 (radio 15 mm), la semicircunferencia de centro O2 (radio 58,45 mm) y T sobre la circunferencia. Al ser tangente en T, el centro O3 está en la recta O1T (el radio O1T es perpendicular a la tangente común).
O3 ∈ O1T
O1 = (0 ; 0), O2 = (12,31 ; 17,99) mm, T = (13,44 ; -6,67) mm
Dos circunferencias tangentes tienen sus centros y el punto de tangencia alineados.
2. Punto auxiliar M. Con centro en T y radio R = 58,45 mm se marca sobre la recta O1T el punto M del lado en que está O3. Si O3 es el centro buscado, r3 = O3T y la tangencia interior con la semicircunferencia exige O3O2 = R − r3 = O3M.
M ∈ O1T con TM = R
M = (65,79 ; -32,65) mm
Si O3 equidista de M y de O2, entonces O3O2 = O3M = R − r3: justo la condición de tangencia interior.
3. El centro O3 es el punto de la recta O1T equidistante de M y O2: se traza la mediatriz del segmento MO2 y se corta con O1T.
O3 = O1T ∩ mediatriz(MO2)
O3 = (31,29 ; -15,53) mm, radio r3 = O3T = 19,93 mm
O3 queda a la derecha de O1 como pide el enunciado. La otra posición de M (al otro lado de T) da O3 a la izquierda.
4. Se traza la circunferencia de centro O3 que pasa por T (tangente a la primera en T). El punto de tangencia con la semicircunferencia es la intersección de la recta O2O3 con ella.
U = O2 + R·(O3 − O2)/|O3 − O2|
U = (41,11 ; -32,87) mm; |O3O2| = 38,52 = R − r3
Puntos de tangencia: T (con la circunferencia 1) y U (con la semicircunferencia, en su mitad inferior).
Apartado b
1. Centro O6. Tangente exterior a la circunferencia de centro O4 (radio 15): O6 está a 15 + 18 = 33 mm de O4. Tangente interior a la semicircunferencia: O6 está a R − 18 = 40,45 mm de O5. Se trazan las dos circunferencias auxiliares y se cortan.
O6 ∈ C(O4, 33) ∩ C(O5, R − 18)
O6 = (26,27 ; -19,97) mm
De los dos cortes se toma el de la derecha de O4 (el otro queda a la izquierda).
2. Se traza la circunferencia de radio 18 mm y centro O6. Los puntos de tangencia están en las rectas de centros: W = O4O6 ∩ circunferencia de centro O4, y V = O5O6 prolongada hasta la semicircunferencia.
W = O4 + 15·(O6 − O4)/33; V = O5 + R·(O6 − O5)/|O6 − O5|
W = (11,94 ; -9,08) mm; V = (32,48 ; -36,86) mm
En cada tangencia el punto está en la recta que une los centros.
Respuesta final
a) O3 = (31,29 ; -15,53) mm (origen en O1), radio 19,93 mm, tangente a la circunferencia 1 en T y a la semicircunferencia en U = (41,11 ; -32,87) mm. b) O6 = (26,27 ; -19,97) mm (origen en O4), radio 18 mm, tangente en W = (11,94 ; -9,08) mm y en V = (32,48 ; -36,86) mm.
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 4 resultados comprobados en 3 apartados
- Revisión humana pendiente
De una hipérbola se conoce el foco F1, el eje, un punto P de la curva y la tangente en dicho punto tP. Obtenga: el otro foco F2 (0,5 p.), los vértices (0,6 p.) y las asíntotas (0,4 p.). Deje indicadas todas las líneas auxiliares de construcción. (1,5 puntos) Datos de la figura (medidos del PDF a tamaño real; origen en F1, x a la derecha, y hacia arriba): el eje es la recta horizontal y = 0; P = (109,3 ; 64,1) mm; tP pasa por P y corta al eje en (57,4 ; 0), con inclinación de unos 51,0° sobre el eje.
- a)Obtenga el otro foco F2 (0,5 p.).
- b)Obtenga los vértices (0,6 p.).
- c)Obtenga las asíntotas (0,4 p.).
Apartado a
1. Propiedad focal: la tangente en un punto de la hipérbola es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores PF1 y PF2. Por tanto el simétrico F1′ de F1 respecto de tP está en la recta PF2. Se traza por F1 la perpendicular a tP y se lleva la misma distancia al otro lado.
F1′ = simetría de F1 respecto de tP
F1′ = (69,2 ; -56,1) mm (origen en F1, y hacia arriba)
La bisectriz de un ángulo es eje de simetría: refleja un lado en el otro.
2. F2 está a la vez en el eje y en la recta PF1′. Se prolonga PF1′ hasta cortar el eje.
F2 = (P F1′) ∩ eje
F2 = (87,9 ; 0,0) mm; distancia focal 2c = 87,9 mm
Comprobación: |PF1| − |PF2| = 2a (se verifica, ver abajo).
Apartado b
1. Vértices. M, el punto medio de F1F1′, es el pie de la perpendicular desde F1 a la tangente y está en la circunferencia principal (centro O, el punto medio de F1F2, radio a). Se traza la circunferencia de centro O que pasa por M y se corta con el eje.
a = OM; V1,2 = O ± a
O = (44,0 ; 0,0) mm; a = OM = 29,6 mm; V1 = (14,4 ; 0,0), V2 = (73,5 ; 0,0) mm
OM es base media del triángulo F1F1′F2, así que OM = F1′F2/2 = a.
Apartado c
1. Asíntotas. Se traza la circunferencia de diámetro F1F2 (centro O, radio c) y la perpendicular al eje por un vértice V1. Cada punto de corte H cumple OV1² + V1H² = c², así que V1H = b, y OH es una asíntota (pendiente ±b/a). La otra es su simétrica respecto del eje.
b² = c² − a²; asíntotas: rectas por O y (V1 ; ±b)
c = 44,0 mm; b = 32,5 mm; pendiente ±b/a = ±1,100 (ángulo 47,7° con el eje)
El rectángulo de lados 2a y 2b tiene por diagonales las asíntotas.
Respuesta final
F2 = (87,9 ; 0,0) mm (origen en F1; sobre el eje a 87,9 mm de F1). Centro O = (44,0 ; 0,0); vértices V1 = (14,4 ; 0,0) y V2 = (73,5 ; 0,0) mm (a = 29,6); asíntotas por O con pendientes ±1,100 (b = 32,5 mm, ángulo 47,7° con el eje).
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 4 resultados comprobados en 2 apartados
- Revisión humana pendiente
Dada la pirámide recta de base triangular ABC y vértice V, dibuje las proyecciones (1,2 p.) y la verdadera magnitud (0,8 p.) de la sección que le produce el plano α. (2 puntos) Datos de la figura (diédrico europeo, medidos del PDF a tamaño real; x respecto de A; alejamiento y cota): A = (0 ; 28,5 ; 0), B = (30,1 ; 2,9 ; 0), C = (37,2 ; 41,8 ; 0), V = (22,4 ; 24,4 ; 55,0). Las trazas α2 (a 55,0 de LT, por V2) y α1 (a 41,8 de LT, por C1) son paralelas a LT. En el alzado V2B2 es discontinua.
- a)Dibuje las proyecciones de la sección (1,2 p.).
- b)Dibuje la verdadera magnitud de la sección (0,8 p.).
Apartado a
1. Lectura del plano. α2 y α1 son paralelas a la línea de tierra, luego α es paralelo a LT y perpendicular al plano de perfil. α2 pasa por V2 (a 55,0 mm de LT) y α1 pasa por C1 (a 41,8 mm de LT, en el plano horizontal).
α: y/41,8 + z/55,0 = 1 (y = alejamiento, z = cota)
A = (28,5 ; 0,0) (y;z), B = (2,9 ; 0,0), C = (41,8 ; 0,0), V = (24,4 ; 55,0) (y;z); x(A,B,C,V) = 0 ; 30,1 ; 37,2 ; 22,4
En la vista de perfil un plano paralelo a LT se ve como una recta: la sección se resuelve sin cortes auxiliares.
2. Vista de perfil. Se proyecta la pirámide sobre un plano perpendicular a LT: cada punto pasa a (y, z). El plano α es la recta que une (41,8 ; 0) con (0 ; 55,0). A y B quedan a un lado de α (hacia LT) y V al otro, así que α corta a las aristas VA y VB; C está en α.
PA = VA ∩ α ; PB = VB ∩ α ; C ∈ α
En el perfil: PA = (27,0 ; 19,4), PB = (16,1 ; 33,8) (y;z) mm
La sección es un triángulo de 3 vértices: PA, PB y C (el plano α pasa por el vértice C de la base).
3. Se vuelven los puntos al alzado y la planta: PA y PB están en las aristas VA y VB; en el alzado se obtienen sobre V2A2 y V2B2 con la cota del perfil, y en la planta sobre V1A1 y V1B1 con el alejamiento del perfil. Se unen PA, PB y C en cada proyección.
PA = V + t(A − V), t = g(V)/(g(V) − g(A))
PA = (7,9 ; 27,0) (x;y), cota 19,4; PB = (25,4 ; 16,1) (x;y), cota 33,8 mm
Cada punto está en su arista: se cumple la proporción de segmentos en las dos proyecciones.
Apartado b
1. Verdadera magnitud. El plano α es proyectante en perfil, así que se abate sobre el plano horizontal girando alrededor de su traza horizontal α1. Cada vértice conserva su x y su distancia a α1 medida en el plano (en el perfil, a lo largo de la recta α).
w = √((ya − y)² + z²); lados del triángulo abatido
Lados: PA–PB = 25,1, PB–C = 44,0, C–PA = 38,1 mm; área = 476,9 mm²
Se comprueba con el triángulo 3D: mismos lados y misma área.
Respuesta final
Sección triangular PA PB C con PA = (x 7,9; alej. 27,0; cota 19,4), PB = (x 25,4; alej. 16,1; cota 33,8) y C = (x 37,2; alej. 41,8; cota 0) mm. Verdadera magnitud: triángulo de lados 25,1, 44,0 y 38,1 mm, área 476,9 mm².
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 4 resultados comprobados en 2 apartados
- Revisión humana pendiente
Determine las proyecciones de la distancia del punto P al plano definido por los puntos A, B y C. (2 puntos) Datos de la figura (diédrico europeo, medidos del PDF a tamaño real; x respecto de A; alejamiento y cota): A = (0 ; 83,3 ; 61,8), B = (35,9 ; 0 ; 61,8), C = (65,8 ; 0 ; 14,5), P = (8,6 ; 13,1 ; 32,7). B y C están en el plano vertical de proyección; A2 y B2 están a la misma cota.
- a)Determine las proyecciones de la distancia de P al plano ABC (2 p.).
Apartado a
1. Rectas notables del plano. AB tiene sus dos proyecciones paralelas a LT en alzado (A2 y B2 a la misma cota): es una recta horizontal del plano. BC está en el plano vertical de proyección (B1 y C1 sobre LT): es una recta frontal.
AB horizontal; BC frontal
cota A = cota B = 61,8 mm; B y C con alejamiento 0
Con una horizontal y una frontal basta para fijar la dirección perpendicular al plano.
2. Recta perpendicular al plano por P. Una recta perpendicular a un plano lo es a todas sus rectas: su proyección horizontal p1 es perpendicular a la horizontal AB (A1B1) y su proyección vertical p2 es perpendicular a la frontal BC (B2C2). Se trazan p1 por P1 y p2 por P2.
p1 ⟂ A1B1 ; p2 ⟂ B2C2
Dirección de la normal (unitaria): (0,794 ; 0,342 ; 0,503) (x ; alej. ; cota)
Si un ángulo recto tiene un lado paralelo a un plano de proyección, se proyecta en verdadera magnitud sobre ese plano.
3. Punto I de intersección. Se toma el plano proyectante vertical que contiene a p (su traza horizontal es p1). Corta a AB en M (M1 = p1 ∩ A1B1, M2 sobre A2B2) y a BC en N (N1 = p1 ∩ LT, N2 sobre B2C2). En el alzado, la recta M2N2 es la intersección de ese plano con ABC y corta a p2 en I2.
I = p ∩ ABC; I2 = p2 ∩ M2N2
M2 = (26,8 ; 61,8), N2 = (-21,9 ; 152,9); I2 = (33,8 ; 48,7) (x ; cota); I1 = (33,8 ; -24,0)
I1 se baja desde I2 hasta p1.
Apartado b
1. La distancia del punto al plano es el segmento PI. Sus proyecciones son P1I1 y P2I2. Verdadera magnitud (no se pide): la hipotenusa del triángulo cuyos catetos son una proyección y la diferencia de coordenadas en la otra dirección.
d = |PI| = √(Δx² + Δy² + Δz²)
Δx = 25,2, Δy = 10,9, Δz = 16,0 mm; d = 31,8 mm
Comprobación: d = |(P − A)·n| = 31,8 mm.
Respuesta final
Proyecciones de la distancia: P1I1 y P2I2 con I = (x 33,8; alej. 24,0; cota 48,7) mm (origen en A, x hacia la derecha). Distancia real d = 31,8 mm.
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 5 resultados comprobados en 2 apartados
- Revisión humana pendiente
a) Obtenga las proyecciones del cuadrado ABCD (1 p.) sabiendo que está contenido en un plano α perpendicular al Plano Vertical de Proyección y está situado en el primer diedro. b) Siendo el cuadrado ABCD la cara de un hexaedro regular, obtenga las proyecciones del hexaedro sabiendo que está situado por encima del plano α. (1 p.) (2 puntos) Datos de la figura (diédrico europeo, medidos del PDF a tamaño real; x respecto de A, positivo a la derecha; alejamiento y cota): A = (0 ; 38,6 ; 11,4), B = (−29,4 ; 15,6 ; 33,0).
- a)Obtenga las proyecciones del cuadrado ABCD (1 p.).
- b)Obtenga las proyecciones del hexaedro regular situado por encima de α (1 p.).
Apartado a
1. Plano α. Es perpendicular al plano vertical de proyección, así que su traza vertical α2 es una recta cualquiera (aquí la que pasa por A2 y B2, porque A y B están en α) y su traza horizontal α1 es perpendicular a LT por el punto V0 = α2 ∩ LT. Todo lo contenido en α se proyecta en el alzado sobre α2.
α2 = A2B2; α1 ⟂ LT por V0
V0 = (15,4 ; 0) mm; |AB| = 43,2 mm
En el alzado todo el cuadrado queda sobre la recta α2: no se ve su forma real.
2. Abatimiento. Se abate α sobre el plano horizontal girando alrededor de α1. Cada punto, al girar, conserva su alejamiento (se mueve en un plano paralelo al vertical) y se sitúa a una distancia de α1 igual a la que tiene a V0 medida sobre α2. Así (A) y (B) quedan a 19,1 y 55,6 mm de α1.
(P) = (xV0 − |V0P2| ; alejamiento de P)
(A) = (-3,7 ; 38,6), (B) = (-40,2 ; 15,6) mm (abscisa ; alejamiento)
El segmento (A)(B) mide lo mismo que AB: 43,2 mm.
3. Cuadrado abatido. Sobre (A)(B) se construye el cuadrado: perpendiculares por (A) y (B) y distancia |AB|. Se elige el lado que deja el cuadrado en el primer diedro (alejamientos positivos). Se deshace el abatimiento: (C) y (D) vuelven a α2 con su alejamiento (y la misma distancia a V0), y se obtienen C2, D2, C1, D1.
(D) = (A) + giro 90° de ((B) − (A))
(C) = (-63,3 ; 52,1), (D) = (-26,8 ; 75,1) mm → C = (x -47,9; alej. 52,1; cota 46,7), D = (x -18,5; alej. 75,1; cota 25,0)
En el alzado C2 y D2 quedan sobre α2; en la planta ABCD es un paralelogramo (el cuadrado inclinado).
Apartado b
1. Hexaedro regular. El cubo tiene por cara ABCD; sus otras aristas, de longitud |AB| = 43,2 mm, son perpendiculares a α: en el alzado, perpendiculares a α2, hacia arriba (el hexaedro está por encima de α); en la planta, de proyección paralela a la normal del plano. Se trazan EA, FB, GC, HD.
E = A + n·|AB|, F = B + n·|AB|, … con n ⟂ α hacia arriba
n = (0,594 ; 0 ; 0,805); E = (x 25,6; alej. 38,6; cota 46,1) mm
Los vértices de la cara superior son los de la inferior desplazados |AB| en la dirección de la normal.
2. Visibilidad. En el alzado (mirando desde delante) son vistas las aristas de la cara frontal; en la planta (mirando desde arriba) las de la cara superior. Se determina con rayos hacia el observador: cada arista se divide en tramos y se comprueba si algún triángulo del cubo se interpone.
visibilidad por trazado de rayos
Alzado: 5 aristas vistas y 1 ocultas; planta: 9 vistas y 3 ocultas
Las aristas ocultas se dibujan discontinuas.
Respuesta final
Cuadrado ABCD con C = (x -47,9; alej. 52,1; cota 46,7) y D = (x -18,5; alej. 75,1; cota 25,0) mm, de lado 43,2 mm. Hexaedro con E = (x 25,6; alej. 38,6; cota 46,1), F = (-3,8; 15,6; 67,8), G = (-22,3; 52,1; 81,4) y H = (7,1; 75,1; 59,7) mm.
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 4 resultados comprobados en 1 apartado
- Revisión humana pendiente
Dados el alzado, la planta y la vista lateral de una pieza, represente la vista directa de la misma en sistema axonométrico oblicuo (perspectiva caballera), a la misma escala que las vistas sabiendo que el coeficiente de reducción es CR = 0,7. Represente también las líneas ocultas. Se valorará el uso de la escala gráfica para aplicar la reducción. (2 puntos) Datos de las vistas (mm, tomadas del PDF a tamaño real; origen O en el vértice posterior derecho inferior; Y hacia la izquierda, X hacia el observador): alzado: bloque de 40 × 20 y resalte a la izquierda de 20 × 10; planta: bloque de 30 de fondo y resalte trapezoidal de 10 de ancho junto al bloque (X 10–20) y de 20 en el extremo (X 5–25); vista lateral: resalte de 10 de alto con las aristas del lado estrecho ocultas. Ejes dados: Z hacia arriba, Y horizontal a la izquierda y X a 45° hacia abajo y a la derecha.
- a)Dibuje la perspectiva caballera con CR = 0,7 y líneas ocultas (2 p.).
Apartado a
1. Lectura de las vistas. Alzado (plano YZ): bloque de 40 de ancho (Y de 0 a 40) y 20 de alto, con un resalte a su izquierda de 20 de ancho (Y 40 a 60) y 10 de alto. Planta: el bloque mide 30 de fondo (X de 0 a 30) y el resalte es un trapecio, de 10 de ancho junto al bloque (X 10 a 20) y de 20 en su extremo (X 5 a 25). Perfil: el resalte tiene 10 de alto y se ve más ancho en el extremo (aristas del lado estrecho ocultas).
Pieza = prisma 30 × 40 × 20 + tronco de pirámide de 20 de largo y 10 de alto
Bloque (X 0–30, Y 0–40, Z 0–20) y tronco trapezoidal (Y 40–60, Z 0–10)
El trapecio de la planta es la sección horizontal del resalte; las dos caras laterales del resalte son planos inclinados.
2. Ejes y reducción. El eje Y se dibuja horizontal hacia la izquierda y el Z vertical, ambos a escala 1:1 (esa cara es el alzado, en verdadera magnitud). El eje X, de fuga, se dibuja a 45° hacia abajo y a la derecha y las medidas sobre él se multiplican por CR = 0,7: con la escala gráfica (se lleva 30 mm sobre una regla graduada y se pasa a 21 mm) 30 → 21 y 15 → 10,5.
u = −Y + 0,7·X·cos 45°; v = Z − 0,7·X·sen 45°
X = 30 → 21 mm sobre el eje (14,85 mm en horizontal y 14,85 mm en vertical)
La escala gráfica evita multiplicar cada medida: se trazan las medidas reducidas sobre una escala 0,7 y se transportan.
3. Se dibuja la cara de alzado (Y,Z) en verdadera magnitud, se trazan por sus vértices las aristas paralelas a X con longitud 0,7·30 = 21 mm y se une para cerrar el bloque. A partir del lado izquierdo se añaden las aristas del resalte: sus aristas en X no son paralelas a X (el trapecio estrecha hacia el bloque), así que sus vértices se sitúan con X y Y de la planta (X 10 y 20 junto al bloque; 5 y 25 en el extremo).
P(X,Y,Z) → (−Y + 0,495·X ; Z − 0,495·X)
Resultado: 18 aristas vistas y 7 ocultas
Las aristas del resalte que se desplazan en X y en Y a la vez se construyen punto a punto.
4. Líneas ocultas y vistas. Mirando desde delante, la derecha y arriba se ven la cara frontal, la cara de alzado de la izquierda (el resalte) y la cara superior; quedan ocultas las aristas traseras del bloque (las de X = 0 que tapan los costados) y las del resalte que quedan detrás.
Visibilidad por trazado de rayos hacia el observador
18 segmentos vistos y 7 ocultos
Cada arista se dibuja continua si está al descubierto y discontinua si queda tapada por una cara.
Respuesta final
Perspectiva caballera a escala 1:1 en Y y Z y reducción 0,7 en X (45°). Bloque de 30 × 40 × 20 (reducido: fondo 21 mm) con resalte trapezoidal de 20 × 10 y de 10 a 20 de ancho. Aristas: 18 vistas y 7 ocultas (el trazado se detalla en las figuras).
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 3 resultados comprobados en 2 apartados
- Revisión humana pendiente
Dada la pieza representada a escala 1:1 en dibujo isométrico (sin coeficientes de reducción): dibuje en croquis (a mano alzada) en sistema diédrico europeo el alzado, la planta y la vista lateral derecha, con todas sus líneas ocultas (2 p.). Utilice como alzado la vista según A. Acote las vistas según las normas (1 p.). (3 puntos)
- a)Alzado, planta y vista lateral derecha con líneas ocultas (2 p.).
- b)Acotación (1 p.).
Apartado a
1. Lectura de la pieza. El dibujo isométrico (sin coeficiente de reducción) tiene un contorno exterior que corresponde a un cubo de unos 32 mm de arista (el hexágono mide ≈ 56 mm de ancho = 2·arista·cos 30°). Las aristas interiores indican un vaciado diagonal en el centro del cubo y dos chaflanes en las esquinas superiores, con aristas ocultas del vértice posterior (las tres discontinuas).
arista ≈ 55,7/(2 cos 30°) ≈ 32 mm
Cubo envolvente de ≈ 32 mm
En isométrico sin reducción las longitudes paralelas a los ejes se miden directamente.
2. Elección del alzado. La flecha A indica el punto de vista del alzado (la cara que mira hacia abajo-derecha en el isométrico). Se dibujan alzado, planta (debajo) y vista lateral derecha (a la izquierda del alzado), alineadas y con todas las aristas ocultas.
Alzado: vista según A; planta: debajo; lateral derecha: a la izquierda del alzado
Tres vistas de 32 × 32 mm de recuadro
En el sistema europeo la planta va debajo del alzado y la vista lateral derecha a su izquierda.
Apartado b
1. Acotación. Se acotan las vistas con las cotas mínimas necesarias: medidas generales (32 × 32 × 32), posición y tamaño del vaciado y de los chaflanes, una sola vez cada medida y fuera de las vistas.
cotas de forma, tamaño y posición
Acotación completa según norma
No se repiten cotas ni se acota sobre líneas ocultas.
Respuesta final
Método y disposición; la geometría exacta del vaciado no se ha podido reconstruir con fiabilidad desde el raster (ver nota).
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 4 resultados comprobados en 3 apartados
- Revisión humana pendiente
Dados el alzado y el perfil izquierdo de una pieza simétrica representados a escala 2:1, en sistema diédrico europeo, se pide: represente la planta delineada con todas sus aristas ocultas (1 p.). Represente en croquis (a mano alzada) una vista axonométrica de la pieza (1 p.). Se valorará el dibujo de las aristas ocultas necesarias. Acote completamente la pieza según norma (1 p.). (3 puntos) Datos de las vistas (medidas del PDF, dibujo a 2:1; se dan a escala real): base 20 × 15 × 10 con canal inferior pasante de 12 × 6; cuerpo superior trapecial de 14 de alto (ancho de 10 a 16, fondo de 10 a 14, cara posterior vertical) con muesca superior de 6 de ancho.
- a)Planta con aristas ocultas (1 p.).
- b)Croquis axonométrico (1 p.).
- c)Acotación (1 p.).
Apartado a
1. Conversión de escala. El dibujo está a 2:1: cada medida real es la mitad de la dibujada. Alzado: base de 20 × 10 con un canal inferior de 12 × 6 que atraviesa toda la profundidad (línea discontinua a z = 6 en el perfil); cuerpo superior trapecial que pasa de 10 de ancho (z = 10) a 16 (z = 24), con una muesca de 6 de ancho y 8 de profundidad vista desde delante. Perfil: base de 15 de fondo; cuerpo superior con cara posterior vertical y cara frontal inclinada (fondo 10 en z = 10, 14 en z = 24); la arista discontinua es el fondo inclinado de la muesca.
medida real = medida dibujada / 2
Base 20 × 15 × 10; cuerpo 10→16 de ancho, 10→14 de fondo, 14 de alto; canal 12 × 6; muesca 6 de ancho
El perfil izquierdo se coloca a la derecha del alzado: la parte posterior de la pieza queda a la izquierda.
2. Planta. Se proyectan hacia abajo las verticales del alzado y los fondos del perfil. Se ven el contorno de la base (20 × 15), la cara superior del cuerpo (16 de ancho), los bordes de las caras laterales inclinadas que bajan hasta la base (de 16 a 10 de ancho) y la muesca (6 de ancho, desde 4 mm del borde posterior hasta el frente). El canal inferior de 12 mm es oculto: dos aristas discontinuas a x = ±6 en toda la profundidad.
x(base) = ±10; x(cuerpo) = ±5 → ±8; muesca ±3
Aristas: ver figura
El canal es hueco por debajo: se ve desde abajo, no desde arriba.
Apartado b
1. Croquis axonométrico. Se dibuja en isométrico o caballera (sin necesidad de escala) el prisma de la base con el canal visto por delante, el cuerpo trapecial encima con la cara trasera vertical y la muesca; se marcan con trazos finos las aristas ocultas necesarias (el techo del canal y el fondo de la muesca).
croquis a mano alzada
Croquis sin figura numérica
Se valora la forma de todas las partes, no la medida exacta.
Apartado c
1. Acotación completa según norma. Cotas de tamaño (20, 15, 10, 16, 14, 12 × 6, 6 × 8) y de posición, medidas sobre la pieza real (no las dibujadas), una vez cada una, fuera de las vistas y sin cruzarse.
cotas reales
20, 15, 10; 12 × 6; 16 / 10; 14; 6 × 8
Se acota la medida real aunque el dibujo esté a 2:1.
Respuesta final
Planta: base de 20 × 15 con aristas ocultas a x = ±6 (canal), cuerpo superior de 16 × 14 con caras laterales inclinadas hasta 10 de ancho y muesca de 6 mm. Axonometría y acotación como se indica (cotas 20, 15, 10, 16, 14, 12 × 6, 6).