Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2024 · Extraordinaria 2024

1. Planteamiento. En el triángulo rectángulo formado por el segmento PQ (hipotenusa 40), su proyección sobre r y la perpendicular desde Q a r, el ángulo en P es 45°: la distancia de Q a r es h = 40·sen 45° = 28,3 mm. Para obtenerla sin calcular, se traza desde un punto O de r un segmento de 40 mm a 45° con r (con el compás: bisectriz de un ángulo recto) y se baja la perpendicular desde su extremo M a r: esa altura es h.

2. Se trazan las dos paralelas a r a distancia h (una a cada lado). Cortan a s en Q1 y Q2: son los únicos puntos de s desde los que puede salir un segmento de 40 mm que forme 45° con r.

3. Con centro en cada Q y radio 40 mm se traza una circunferencia que corta a r en dos puntos P. Cada pareja (P, Q) es una solución: de Q1 salen dos segmentos (uno a cada lado de la perpendicular a r), y lo mismo de Q2.

1. Datos. La circunferencia de centro C1 (radio 15) y la de centro C2 (radio 25) están a 90 mm; T está a 20 mm a la derecha y 65 mm por debajo de C1 (cotas del dibujo de referencia, que está a escala 1:2). El arco puente ya dibujado es tangente exterior a las dos circunferencias. Se mide su radio (40) y se obtiene su centro como corte de dos circunferencias de radios 15 + 40 = 55 y 25 + 40 = 65.

2. Tangente desde T a C1. Se traza la circunferencia de diámetro C1T (centro el punto medio, radio la mitad); corta a la de C1 en dos puntos, desde los que se ve C1T bajo un ángulo recto (arco capaz de 90°): son los puntos de tangencia. Se toma el de la izquierda, W.

1. Arco por T tangente a la recta TW en T. Su centro O está en la normal a TW por T. Para que además sea tangente interior a la circunferencia de centro C2 (radio 25), se lleva sobre la normal, hacia el interior, T → M con TM = 25: si O equidista de M y C2, entonces OC2 = OM = R − 25 con R = OT.

2. Puntos de tangencia y arco. El arco grande de radio R y centro O pasa por T (tangente a la recta) y toca a la circunferencia de C2 en U, en la recta OC2 prolongada. Se traza el contorno: arco de C1 desde Ka hasta W, recta WT, arco grande de T a U, arco de C2 de U a Kb y arco puente de Kb a Ka.

1. Lugar geométrico del ángulo. Los puntos desde los que se ve AB bajo 45° forman dos arcos capaces (uno a cada lado de AB). Cada uno es un arco de la circunferencia de radio R = AB/(2·sen 45°) cuyo centro está en la mediatriz de AB, a AB/2 del punto medio. (Se obtienen con el ángulo de 45° en A: perpendicular a la bisectriz del recto en B.)

2. Condición AC = 60. Con centro en A y radio 60 se corta cada arco capaz. De los puntos obtenidos (solo valen los que están en el arco mayor, donde el ángulo es 45° y no 135°) se elige el más bajo del papel (menor y).

1. Centro de homología. Cada punto, su homólogo y el centro están alineados: O = AA′ ∩ BB′.

2. Eje de homología. Dos rectas homólogas se cortan en el eje: AB y A′B′ se cortan en X. El eje pasa por X y por el punto doble D.

3. Triángulo homólogo. La recta AC corta al eje en Y; su homóloga A′C′ pasa por A′ e Y. C′ está también en la recta OC. Se obtiene C′ = OC ∩ A′Y y se une con A′ y B′.

1. Directriz. Todo punto X de la parábola cumple XF = d(X, directriz). Para A y B: la directriz es tangente a las circunferencias de centro A y radio AF y de centro B y radio BF (ambas pasan por F). Esas circunferencias tienen dos tangentes comunes exteriores; se elige la que queda por debajo del foco. Se construye: circunferencia auxiliar de centro A y radio AF − BF; las tangentes desde B a ella se trasladan después a distancia BF.

2. Eje y vértice. El eje es la perpendicular a la directriz por F; corta a la directriz en K. El vértice V es el punto medio de FK, porque está a igual distancia del foco que de la directriz.

1. Tangente en A. La tangente es la bisectriz del ángulo FAA′ (A′ es la proyección de A sobre la directriz), y como AF = AA′, es la mediatriz del segmento FA′. Se proyecta A sobre d en A′, se une con F y se traza su mediatriz, que pasa por A.

1. Plano y prisma. α2 forma 35,4° con LT hacia arriba y α1 53,0° hacia abajo. La base rectangular de 40 × 20 mm está en el plano horizontal (por eso en el alzado el prisma es un rectángulo de 60 mm de alto con una arista discontinua). Las cuatro aristas verticales se proyectan en la planta como puntos (los vértices del rectángulo).

2. Sección. Cada arista vertical corta al plano α en un punto. Se traza por su proyección horizontal la recta horizontal del plano (paralela a α1) hasta la línea de tierra y se sube a la traza α2: la cota del punto de α sobre cada vértice. Como las cuatro cotas están entre 0 y 60, la sección es un cuadrilátero con un vértice en cada arista.

1. Verdadera magnitud. Se abate el plano α sobre el horizontal o, equivalentemente, se calculan las coordenadas planas del cuadrilátero (a lo largo de α1 y de la línea de máxima pendiente): resulta un paralelogramo.

1. Visibilidad de la pirámide. En cada proyección una arista es oculta si, mirando hacia el observador (desde delante en el alzado, desde arriba en la planta), la tapa alguna cara. Se comprueba arista a arista (cruces de proyecciones y cota o alejamiento relativo de los dos puntos que coinciden); las ocultas se dibujan discontinuas.

1. Plano α. α2 forma 38,2° y α1 45,5° con LT, a la izquierda de su vértice (x = 103,2 mm sobre LT). Como A, B y C están del lado de LT-izquierda y V del otro, α corta a las tres aristas VA, VB y VC: la sección es un triángulo.

2. Puntos de corte. Para cada arista se usa un plano proyectante auxiliar que la contiene (o el método de la recta horizontal del plano) y se halla su intersección con α; analíticamente SA = V + t(A − V) con g(SA) = 0.

3. Visibilidad de la sección. Un lado de la sección es visible si está sobre una cara visible; se comprueba con rayos: en el alzado se ven 1 tramos y 2 están ocultos; en la planta 1 vistos y 2 ocultos.

1. Plano α. Sus trazas α1 y α2 son perpendiculares a LT y coinciden con la recta vertical por A: es un plano de perfil (x constante). Todo lo que está en α se proyecta en esa recta, por lo que para ver la intersección hay que usar la vista de perfil.

2. Rectas en α. β es paralelo a LT (β1 y β2 paralelas a LT): corta a α en r, la recta de perfil que une su traza horizontal (alej. 47,1) y su traza vertical (cota 31,4). γ corta a α en s, que une γ1 en x_A (alej. -43,0) y γ2 en x_A (cota -11,6).

3. Punto I. En la vista de perfil r y s se cortan en I; sus coordenadas (y, z) dan I1 = (x_A ; y) e I2 = (x_A ; z).

1. Lectura de las vistas (escala 1:1; O en el vértice posterior, derecho e inferior). Placa base de 60 (Y) × 50 (X) × 10 (Z). Sobre ella, a la izquierda: un bloque (Y 40 a 60, X 0 a 15, Z 10 a 40) y, pegado a él hacia el centro, un saliente colgante (Y 30 a 40, X 0 a 15, Z 30 a 40) que deja un hueco por debajo. A la derecha: una cuña triangular (Y 0 a 20, X 30 a 50) con cara vertical en X = 30 y plano inclinado hasta Z = 10 en X = 50, vista como triángulo en el perfil.

2. Ejes y medidas. En isométrico los tres ejes forman 120° y se miden en verdadera magnitud (sin coeficientes de reducción). Z vertical, X a 30° hacia abajo y la derecha, Y a 30° hacia abajo y la izquierda. Se sitúa O en la posición indicada y se llevan las medidas: X 50, Y 60, Z 10 para la placa.

3. Se añaden el bloque, el saliente y la cuña llevando sus cotas desde las vistas. Las caras inclinadas (plano de la cuña) se construyen uniendo sus vértices ya situados.

4. Líneas ocultas. Con el observador en la dirección (1, 1, 1) se ven las caras superiores, la frontal (X máx) y la izquierda (Y máx). Quedan ocultas las aristas traseras y del lado derecho; se dibujan discontinuas: 13 tramos ocultos y 24 vistos.

1. Lectura de la pieza. El isométrico muestra una base inclinada por delante, un soporte vertical con un agujero circular pasante y la parte superior redondeada (semicilindro), y una nervadura triangular a un lado. Las líneas de trazo y punto son los ejes del agujero, que se dibujan en las vistas en que aparece como círculo y como rectángulo (aristas ocultas).

2. Se dibujan alzado (vista según A), planta debajo y vista lateral izquierda a la derecha del alzado, alineadas; el semicilindro superior aparece como arco en la vista perpendicular a su eje y como rectángulo en las otras.

1. Acotación. Medidas generales, diámetro del agujero (Ø) y posición de su eje, radio de la cabeza, altura y espesor del soporte y de la base, y la nervadura; una sola vez cada cota.

1. Conversión de escala. El dibujo está a 2:3: cada medida real es 1,5 veces la dibujada. Alzado: bloque izquierdo de 48 × 48 (con una arista discontinua a x = 24 que es la unión del cuarto de cilindro frontal con el bloque) y bloque derecho de 48 de ancho y 24 de alto, con una línea visible a z = 16. Planta: el bloque izquierdo ocupa 24 de ancho y 48 de fondo, con un cuarto de círculo de radio 24 en el vértice frontal izquierdo; el bloque derecho mide 48 × 42 y está alineado por detrás.

2. Vista lateral derecha (se coloca a la izquierda del alzado, con el frente a la izquierda). Silueta exterior de 48 × 48 (el bloque izquierdo, de 48 de fondo); sobre ella se ve el bloque derecho, que mide 42 de fondo y 24 de alto y está pegado por detrás, de modo que en la parte delantera (6 mm) queda a la vista la cara del bloque izquierdo. La línea del alzado a z = 16 se dibuja como arista visible de 42 de largo.

1. Acotación. 48 (ancho/alto totales), 48 (fondo), 24 (altura del bloque derecho), 42 (fondo del bloque derecho), 16 (posición de la línea) y R 24 del cuarto de cilindro: medidas reales, sin repetir.

1. Croquis axonométrico: se dibuja un prisma 48 × 48 × 48 con el vértice frontal izquierdo redondeado (R 24) y a su derecha el prisma más bajo (24 de alto), marcando como aristas finas lo oculto necesario.