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Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2025 · Ordinaria 2025
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 6 resultados comprobados en 2 apartados
- Revisión humana pendiente
Determine el punto C′, transformado de C en la afinidad de eje e y dirección de afinidad d, de forma que el rombo representado se transforme en un rectángulo (0,9 p.). Represente el rectángulo afín (0,6 p.). Datos de la figura (mm sobre el enunciado a tamaño real; origen en C, x a la derecha, y hacia arriba): rombo de diagonales horizontal 59,8 y vertical 34,6; el eje e es una recta horizontal a 27,2 por encima de C; la dirección de afinidad d forma 70,0° con la horizontal (baja hacia la derecha).
- a)Determine el punto C′ (0,9 p.).
- b)Represente el rectángulo afín (0,6 p.).
Apartado a
1. Lectura de la afinidad. Los puntos del eje e son dobles (se transforman en sí mismos) y cada punto X y su afín X′ están en una recta de dirección d. Para que el rombo L-T-R-B pase a ser un rectángulo hay que conseguir que, en el vértice transformado T′, los dos lados formen 90°.
Datos: eje e (horizontal), dirección d, rombo con C centro.
Condición: ∠L′T′R′ = 90°
Una afinidad conserva el paralelismo y la razón de segmentos de una misma recta, así que basta fijar T′ y el resto se obtiene por afinidad.
2. Se prolongan los lados TL y TR hasta cortar el eje e: son los puntos dobles P y Q, por los que pasarán los lados afines T′L′ y T′R′.
P = TL ∩ e ; Q = TR ∩ e
P = (17,1 ; 27,2), Q = (−17,1 ; 27,2) mm
Un punto del eje es doble: la recta TL y su afín T′L′ se cortan en el eje, en el mismo punto P.
3. Arco capaz de 90° sobre el segmento PQ: la circunferencia de diámetro PQ (centro el punto medio M de PQ). Cualquier punto X de ella cumple ∠PXQ = 90°, que es justo la condición del paso 1.
M = (P+Q)/2, radio = |PQ|/2
M = (0,0 ; 27,2) mm, radio 17,1 mm
Teorema de Tales: el ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
4. T′ está en la recta de afinidad que pasa por T (dirección d). Se corta esa recta con la circunferencia de diámetro PQ: salen dos puntos; se toma el del mismo lado del eje que T, de modo que la afinidad conserve la orientación (razón positiva).
T′ = (recta por T con dirección d) ∩ circunferencia de diámetro PQ
T′ = (2,6 ; 10,3) mm. Razón de afinidad k = 1,709
La otra intersección, (−8,9 ; 41,8), da una afinidad de razón negativa (invierte el rombo respecto de e): también válida, pero menos natural.
5. Punto C′. C′ está en la recta de afinidad por C. Como C es el punto medio de la diagonal TB y la afinidad conserva los puntos medios, C′ es el punto medio de T′B′ (B′ se obtiene en el paso siguiente). Equivale a trasladar C a lo largo de d la misma razón k.
B′ = B + t·d con t = s(k−1)/|dy| ; C′ = (T′+B′)/2
C′ = (7,0 ; −19,3) mm respecto de C, a 20,5 mm de C sobre la recta de dirección d
Apartado b
1. Rectángulo afín. Los lados T′L′ y T′R′ van de T′ a P y a Q; L′, R′ y B′ están en las rectas por L, R y B paralelas a d. Se cierra con paralelas (los lados opuestos de un rectángulo son paralelos).
L′, R′, B′ por intersección de T′P y T′Q con las rectas de afinidad
L′ = (−22,9 ; −19,3), R′ = (36,9 ; −19,3), B′ = (11,5 ; −48,9) mm. Lados 39,0 × 45,3 mm
Se comprueba que los cuatro ángulos valen 90,000° y que C′ es el centro del rectángulo.
Respuesta final
C′ = (7,0 ; −19,3) mm respecto de C (sobre la recta de dirección d por C, a 20,5 mm). El rectángulo afín es L′T′R′B′ con T′ = (2,6 ; 10,3) sobre la circunferencia de diámetro PQ (arco capaz de 90°), de lados 39,0 y 45,3 mm.
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 4 resultados comprobados en 1 apartado
- Revisión humana pendiente
Obtenga todos los puntos (y nómbrelos con 1, 2, 3, etc.), situados en tierra firme (fuera del cauce del río), que cumplan simultáneamente las dos condiciones siguientes: a) distan 85 m del punto A, y b) distan 10 m del borde del río. Para cada punto solución, dibuje los segmentos distancia que justifican el cumplimiento de las dos condiciones indicadas. Datos de la figura: plano con escala gráfica 0-50 m (1 m = 1 mm del dibujo, escala 1:1000); río de 20 m de anchura con dos curvas de sentido contrario (centros O₁ y O₂ marcados con una cruz, a 56 m entre sí) y dos tramos rectos; el punto A está en la orilla izquierda, a unos 35 m del río.
1. Condición a). Los puntos que distan 85 m de A forman la circunferencia de centro A y radio 85 m. Con la escala gráfica: 85 m = 85 mm en el dibujo (escala 1:1000).
Circunferencia c(A; 85 m)
Radio 85 mm en el papel
Es la primera condición: el punto solución está en esta circunferencia.
2. Condición b). Los puntos que distan 10 m de una orilla forman una paralela a la orilla a 10 m (si la orilla es recta) o una concéntrica (si es un arco). Como el punto debe estar en tierra firme, hay que trazarlas solo por el lado de tierra, una a cada lado del río: así el lugar es una línea a cada lado.
Rectas paralelas a 10 m de los tramos rectos; arcos concéntricos de radio R±10 m
Orilla izquierda: recta a 10 m, arco concéntrico de centro O₁ y radio 36+10 = 46 m, arco de centro O₂ y radio 20−10 = 10 m. Orilla derecha: recta a 10 m, arco de centro O₁ y radio 16−10 = 6 m, arco de centro O₂ y radio 40+10 = 50 m
Los arcos de la orilla tienen radios (36, 16) en torno a O₁ y (20, 40) en torno a O₂; el río mide 36−16 = 40−20 = 20 m de ancho. Si la tierra queda del lado del centro, el radio se reduce 10 m; si queda por fuera, se aumenta.
3. Las dos condiciones a la vez: se cortan la circunferencia de 85 m y las líneas a 10 m, descartando los cortes dentro del cauce (donde estaría el río; el eje del río está a 10 m de ambas orillas) y los cortes en la prolongación de una recta más allá de su punto de tangencia con el arco. Quedan exactamente cuatro puntos.
c(A;85) ∩ líneas a 10 m, solo por el lado de tierra
1 = (46,4 ; 71,2) m ; 2 = (75,7 ; 38,6) m ; 3 = (85,0 ; −0,8) m ; 4 = (73,7 ; −42,4) m (coordenadas respecto de A, x a la derecha, y hacia arriba)
Punto 1: recta a 10 m de la orilla izquierda. Punto 2: recta a 10 m de la orilla derecha. Punto 3: arco de radio 50 m en torno a O₂. Punto 4: arco de radio 10 m en torno a O₂ (bolsa de tierra del interior de la curva).
4. Segmentos distancia que justifican cada punto: de A al punto (85 m) y del punto a su pie sobre la orilla (10 m): perpendicular a la recta en los tramos rectos y radial (por el centro del arco) en los arcos.
d(A,i) = 85 m ; d(i,pie) = 10 m
Pies: 1 → (55,6 ; 67,1) ; 2 → (66,6 ; 42,7) ; 3 → (80,9 ; −10,0) ; 4 → (82,8 ; −38,2) m
La mínima distancia de un punto a una circunferencia se mide sobre el radio; a una recta, sobre la perpendicular.
Respuesta final
Hay 4 puntos solución: 1 (46,4 ; 71,2) m, 2 (75,7 ; 38,6) m, 3 (85,0 ; −0,8) m y 4 (73,7 ; −42,4) m respecto de A. Los cuatro distan 85 m de A y 10 m de la orilla, medidos sobre la perpendicular (puntos 1 y 2) o sobre el radio (puntos 3 y 4).
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 4 resultados comprobados en 1 apartado
- Revisión humana pendiente
Dadas las circunferencias de centros O₁ y O₂ de la figura, dibuje todas las circunferencias tangentes a ambas por el punto T indicado. Indique los centros y los puntos de tangencia. No borre las construcciones auxiliares. Datos de la figura (mm, origen en O₁, x a la derecha, y hacia arriba): circunferencia 1 de centro O₁ (0 ; 0) y radio 50; circunferencia 2 de centro O₂ (19,5 ; −13,5) y radio 15, interior a la primera sin tocarla; T es un punto de la circunferencia 2, T = (8,2 ; −23,4).
1. Lugar de los centros. Una circunferencia tangente a la circunferencia 2 en T tiene su centro en la recta O₂T (el radio hasta el punto de tangencia pasa por el centro de la otra), y su radio es XT.
X ∈ recta O₂T ; r = |XT|
Recta O₂T: dirección (−0,754 ; −0,657)
En una tangencia, los dos centros y el punto de tangencia están alineados.
2. Se aplica la homotecia centrada en el punto de tangencia N con la circunferencia 1: lleva la solución en la circunferencia 1 y T en un punto M de ella, y el radio XT en un radio O₁M paralelo. Por eso se traza por O₁ el radio O₁M paralelo a O₂T; hay dos radios, uno por cada sentido.
O₁M ∥ O₂T, M = O₁ ± 50·u
M₁ = (−37,7 ; −32,9) ; M₂ = (37,7 ; 32,9)
M y T están en la misma recta que el punto de tangencia N (centro de homotecia).
3. Se une M con T y se prolonga hasta cortar de nuevo a la circunferencia 1: ese corte es el punto de tangencia N con la circunferencia 1. El centro de la solución está en la recta O₁N y en la recta O₂T.
N = (recta MT) ∩ circunferencia 1 (distinto de M)
N₁ = (47,6 ; −15,2) ; N₂ = (−5,6 ; −49,7)
Los centros de dos circunferencias tangentes y su punto de tangencia están alineados: O₁, X y N.
4. Centro de cada solución: X = (O₂T) ∩ (O₁N). El radio es XT (que también es XN).
X = O₂T ∩ O₁N
Solución 1: C₁ = (25,6 ; −8,2), r₁ = 23,1 mm (contiene a la circunferencia 2: tangente interior en T, tangente interior a la 1 en N₁). Solución 2: C₂ = (−3,8 ; −33,8), r₂ = 15,9 mm (exterior a la 2: tangente exterior en T, tangente interior a la 1 en N₂)
Comprobado: |C₁O₁| = 50−r₁, |C₁O₂| = r₁−15; |C₂O₁| = 50−r₂, |C₂O₂| = r₂+15.
Respuesta final
Dos circunferencias solución: C₁ = (25,6 ; −8,2) mm, r = 23,1 mm, tangencias T y N₁ = (47,6 ; −15,2); C₂ = (−3,8 ; −33,8) mm, r = 15,9 mm, tangencias T y N₂ = (−5,6 ; −49,7) (coordenadas respecto de O₁).
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 5 resultados comprobados en 3 apartados
- Revisión humana pendiente
Se define una pirámide recta de base hexagonal regular y de altura 70 mm contenida en el primer diedro. Su base está contenida en el plano vertical de proyección y AB es uno de sus lados. Represente las proyecciones de la pirámide (1 p.). Dibuje las proyecciones (0,4 p.) y la verdadera magnitud de la sección que le produce el plano α (0,6 p.). Datos de la figura (mm, sistema diédrico europeo): A₂B₂ horizontal, de 40 mm, a 10 mm por encima de la línea de tierra (LT); el plano α tiene la traza vertical α₂ perpendicular a LT en el punto situado 66 mm a la derecha de A₂ y la traza horizontal α₁ a 45° con LT, bajando hacia la izquierda en la proyección horizontal.
- a)Represente las proyecciones de la pirámide (1 p.).
- b)Dibuje las proyecciones de la sección que produce el plano α (0,4 p.).
- c)Dibuje la verdadera magnitud de la sección (0,6 p.).
Apartado a
1. Base. Al estar en el plano vertical, la proyección vertical del hexágono es su verdadera forma y la horizontal es un segmento sobre LT. Como la pirámide debe estar en el primer diedro, el hexágono se construye hacia arriba desde AB (cotas ≥ 0). Con compás de abertura AB se trazan arcos desde A y B para hallar el centro O del hexágono y, con la misma abertura desde O, los vértices.
Hexágono regular de lado 40: centro O₂ = (20 ; 44,6)
A₂ (0;10), B₂ (40;10), C₂ (60;44,6), D₂ (40;79,3), E₂ (0;79,3), F₂ (−20;44,6) (x respecto de A₂, cota z)
El lado del hexágono regular es igual a su radio; la altura total es 2·apotema = 40√3 = 69,3 mm.
2. Pirámide recta: el vértice V está en la perpendicular al plano de la base (el plano vertical) por el centro O, a 70 mm hacia delante (primer diedro). V₂ coincide con O₂ y V₁ está a 70 mm por debajo de LT sobre la vertical de O. Se unen V con los vértices.
V = (20 ; alejamiento 70 ; cota 44,6)
V₂ = (20 ; 44,6), V₁ = (20 ; −70). La proyección horizontal es el triángulo F₁C₁V₁ con aristas auxiliares a A₁=E₁ y B₁=D₁
Los vértices B y D tienen la misma proyección horizontal (misma x y alejamiento 0), igual que A y E.
Apartado b
1. El plano α es proyectante horizontal (α₂ ⟂ LT): todos sus puntos se proyectan horizontalmente sobre α₁. Por tanto la proyección horizontal de la sección es el segmento de α₁ interior a la pirámide. Se cortan α₁ con las proyecciones horizontales de las aristas V₁A₁, V₁B₁, V₁C₁, V₁D₁, V₁E₁ y V₁F₁ para obtener los puntos 1 a 6 (con 1=5 y 2=4 en proyección horizontal).
Punto i = α₁ ∩ aristas horizontales; el plano corta las 6 aristas laterales (el vértice queda de un lado del plano y la base del otro)
Puntos de la sección (x, alejamiento, cota) en mm: 1=(14,7,51,3,35,4); 2=(29,6,36,4,28,0); 3=(52,0,14,0,44,6); 4=(29,6,36,4,61,3); 5=(14,7,51,3,53,9); 6=(11,3,54,7,44,6)
Comprobación: el vértice V cumple x+alej−66 = +24 (lado positivo) y los seis vértices de la base valen negativo, así que las seis aristas laterales se cortan.
2. Las proyecciones verticales se obtienen subiendo cada punto por su línea de referencia hasta la proyección vertical de la misma arista (V₂A₂, V₂B₂…). El polígono 1₂…6₂ es la proyección vertical de la sección.
Línea de referencia desde i₁ hasta la arista V₂X₂
Proyección vertical: 1₂ (14,7 ; 35,4), 2₂ (29,6 ; 28,0), 3₂ (52,0 ; 44,6), 4₂ (29,6 ; 61,3), 5₂ (14,7 ; 53,9), 6₂ (11,3 ; 44,6)
Apartado c
1. Verdadera magnitud por abatimiento: se gira el plano α alrededor de su traza horizontal α₁ hasta el plano horizontal. Cada punto describe un arco perpendicular a α₁ cuyo radio es su distancia a la charnela, que (por ser α proyectante horizontal) es su cota. Se lleva la cota de cada punto, perpendicular a α₁, desde su proyección horizontal.
P̃ᵢ = Pᵢ₁ + zᵢ·(perpendicular unitario a α₁)
Hexágono abatido con lados 22,4 ; 35,8 ; 35,8 ; 22,4 ; 10,4 ; 10,4 mm (1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-1) y área 1117 mm²
Es un hexágono con dos ejes de simetría; los lados 1-2 = 4-5 y 2-3 = 3-4 coinciden, igual que 5-6 = 6-1.
Respuesta final
Pirámide: hexágono ABCDEF (lado 40 mm, cota inferior 10 mm) en el plano vertical y vértice V a 70 mm de alejamiento sobre el centro. La sección es un hexágono de vértices 1…6 (puntos del paso b), cuya verdadera magnitud, por abatimiento sobre α₁, tiene lados 22,4 ; 35,8 ; 35,8 ; 22,4 ; 10,4 ; 10,4 mm y área 1117 mm².
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 4 resultados comprobados en 1 apartado
- Revisión humana pendiente
Dados los puntos A, B, C y D, determine el ángulo que forman los planos ABC y BCD. Datos de la figura (diédrico, mm, a tamaño real; coordenadas x respecto de A, alejamiento y cota): A (0,0 ; 13,7 ; 52,5), B (18,3 ; 59,6 ; 0,0), C (61,0 ; 13,7 ; 0,0), D (61,0 ; 13,7 ; 41,7). B₂ y C₂ están sobre LT y C₁ = D₁.
1. Intersección de los planos (0,3 p.). ABC y BCD comparten los puntos B y C, así que su intersección es la recta BC. Además B₂ y C₂ están en LT (cota 0): BC está en el plano horizontal, y C₁ = D₁ indica que CD es perpendicular al plano horizontal, de modo que BCD es proyectante horizontal.
Intersección = recta BC (B y C comunes)
BC ⊂ plano horizontal; BCD ⟂ plano horizontal
Dos planos que comparten dos puntos se cortan en la recta que los une.
2. Cambio de plano vertical (0,3 p.). Se traza una nueva línea de tierra LT′ perpendicular a B₁C₁: la recta BC, vista en la dirección de la intersección, se proyecta como un punto B′=C′ y los dos planos se proyectan como rectas (de canto). El ángulo entre planos es entonces el ángulo entre esas rectas en verdadera magnitud.
LT′ ⟂ B₁C₁
B′ = C′ sobre LT′ (cota 0)
Un plano que contiene a la recta cuya proyección es un punto se ve como una recta.
3. Planos en la nueva proyección (2 × 0,5 p.). Cada punto conserva su cota. A′ está a cota 52,5 y a 44,7 mm de B′C′ (distancia lateral de A₁ a la recta B₁C₁); D′ está sobre la vertical de C′ a cota 41,7. Las rectas B′A′ y B′D′ son los planos ABC y BCD de canto.
A′ = (u=−44,7 ; z=52,5); D′ = (0 ; z=41,7)
Plano ABC: recta B′A′. Plano BCD: recta vertical B′D′
Como BCD es proyectante horizontal, su proyección de canto tras el cambio de plano es la vertical por B′.
4. Ángulo (0,4 p.): se mide el ángulo entre B′A′ y la vertical B′D′. El ángulo diedro entre dos planos es ≤ 90° por convención; el suplementario vale 180° − φ.
φ = arctan(|u_A| / z_A) = arctan(44,7 / 52,5)
φ = 40,4° (también 139,6° el suplementario)
Control con vectores normales: cos φ = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|) da el mismo ángulo.
Respuesta final
El ángulo entre los planos ABC y BCD es φ ≈ 40,4° (agudo), siendo el suplementario 139,6°. Se obtiene con un cambio de plano vertical con LT′ ⟂ B₁C₁.
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 6 resultados comprobados en 1 apartado
- Revisión humana pendiente
Dado un sólido por sus vistas en el sistema diédrico europeo, dibuje la perspectiva caballera a escala 3:2, siendo el coeficiente de reducción en el eje Y de ¾ y el ángulo de fuga XOY de 135º. Se valorará el uso de la escala gráfica para aplicar la reducción en el eje Y. Tomar las medidas directamente del dibujo. Datos de las vistas (mm, tomadas del dibujo a tamaño real, aprox. ±0,3 mm): alzado en forma de trapecio isósceles con base inferior 53,5, base superior 18,5 y altura 47,5, y un trapecio interior invertido (anchura 20,0 arriba a 22,5 de altura y 11,0 abajo); perfil con el borde posterior vertical (Y=0), cara superior de profundidad 14,0, cara inclinada que desciende hasta profundidad 33,5 en la base, y un resalte rectangular de 22,5 de alto que sobresale hasta profundidad 42,0.
1. Interpretar el sólido. El alzado es un trapecio isósceles y el perfil muestra el borde posterior vertical; es un tronco de pirámide (cara posterior vertical y plano frontal inclinado) al que se adosa en la parte frontal inferior un resalte de sección trapecial invertida (más ancho arriba). Medidas en X, Y, Z: base 53,5 × 33,5, cara superior 18,5 × 14,0 a altura 47,5; resalte hasta Y = 42,0 y Z = 22,5.
Identificación de caras con alzado + perfil
Cara posterior: trapecio (53,5 · 18,5 · 47,5); cara superior: rectángulo 18,5 × 14; plano frontal inclinado; resalte trapecial
El eje Y del sistema diédrico apunta hacia el observador del alzado, de modo que el borde posterior vertical del perfil es Y = 0 y las partes más a la izquierda del perfil son las más adelantadas.
2. Ejes. X horizontal hacia la derecha, Z vertical hacia arriba, e Y formando 135° con X: el semieje Y positivo (hacia el observador) baja hacia la izquierda, a 45° con la horizontal.
Ángulo XOY = 135° (Y a 225° sobre el eje X)
OY: dirección (−0,707 ; −0,707)
Con estos ejes se ven la cara frontal, la derecha y la superior del sólido.
3. Escala 3:2 y reducción 3/4. Las medidas de X y Z se multiplican por 3/2. Las de Y se multiplican por 3/2 y por 3/4 (= 9/8 = 1,125). Se aplica la escala gráfica: sobre una semirrecta auxiliar se marcan 4 divisiones iguales, se une la cuarta con el extremo de la medida y se traza la paralela por la tercera: da los 3/4. Ejemplo con la profundidad máxima 42 × 3/2 = 63 mm → 47,25 mm.
X′ = 1,5·X ; Z′ = 1,5·Z ; Y′ = 1,5·0,75·Y = 1,125·Y
Base: 80,25 mm; cara superior: 27,75 mm; altura: 71,25 mm; profundidades reducidas: 15,75 (Y=14,0), 37,69 (Y=33,5), 47,25 (Y=42,0) mm
4. Cara posterior (Y=0) en verdadera forma a escala 3:2. Desde O: base de 80,25 mm; la cara superior se levanta 71,25 mm y empieza a 26,25 mm de O. Todas las verticales son paralelas a Z.
Vértices (X′ ; Z′) con Y=0: (0;0), (80,25;0), (54;71,25), (26,25;71,25)
Cara posterior trazada
5. Profundidades. Por cada vértice de la cara posterior se trazan paralelas al eje Y (a 225°) y se lleva la profundidad reducida: cara superior (Y=14,0 → 15,75 mm), base (Y=33,5 → 37,69 mm) y resalte (Y=42,0 → 47,25 mm). Se unen los puntos con las aristas del tronco y del resalte.
Punto (X,Y,Z) → (1,5X − 1,125·Y·cos45° ; 1,5Z − 1,125·Y·sen45°)
Frente del resalte: (−1,5 ; −33,4) a (15,0 ; −33,4) en la base
Los puntos del plano inclinado se obtienen interpolando la profundidad con la altura.
6. Aristas vistas y ocultas. El observador ve las caras frontal (+Y), derecha (+X) y superior (+Z). Se dibujan continuas las aristas vistas (19 tramos) y discontinuas las ocultas (6 tramos): la arista posterior inferior, la inferior izquierda y la vertical posterior izquierda del tronco, la arista inferior izquierda del resalte y su encuentro izquierdo con el plano inclinado, y el trozo de la arista frontal de la base tapado por el resalte.
Visibilidad: una arista es oculta si un rayo hacia el observador (dirección (0,53 ; 1 ; 0,53) en X, Y, Z) atraviesa el sólido
Perspectiva final
Se ha comprobado con un algoritmo de rayos sobre las caras del sólido.
Respuesta final
Perspectiva caballera con ejes X (derecha), Z (arriba) e Y a 225° (abajo-izquierda), con X y Z a escala 3:2 e Y a 3:2 × ¾ = 1,125; cara posterior a 80,25 × 71,25 mm (base × altura), profundidad del resalte reducida a 47,25 mm. Aristas vistas continuas y ocultas discontinuas como en la figura final.
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 4 resultados comprobados en 3 apartados
- Revisión humana pendiente
Dados el alzado y la planta de una pieza representados a escala 1:2, con todas sus líneas ocultas, se pide: Represente el perfil izquierdo delineado con todas sus aristas ocultas (1 p.). Represente en croquis (a mano alzada) una vista axonométrica de la pieza (1 p.). Se valorará el dibujo de aristas ocultas necesarias para mostrar la forma de todas las partes de la pieza. Acote completamente la pieza según norma (1 p.). Datos de las vistas (milímetros reales; la figura está a 1:2): alzado de 150 × 100 con prisma izquierdo (x 0-40), línea oblicua desde (40;100) hasta (150;0), rectángulo de x 84-150 hasta z=60 y línea horizontal en z=25 de x 122,5 a 150; planta de 150 × 80 con líneas en x=40, y=44 (x 0-40), x=84 (y 0-30), y=30 (x 84-150), oblicua de (84;30) a (122,5;54) e y=54 (x 122,5-150).
- a)Represente el perfil izquierdo delineado con todas sus aristas ocultas (1 p.).
- b)Represente en croquis una vista axonométrica de la pieza (1 p.).
- c)Acote completamente la pieza según norma (1 p.).
Apartado a
1. Reconstrucción del sólido a partir de las vistas (a mano, con el cuerpo en tres partes). (1) Prisma izquierdo (x 0-40): altura 100, con la cara frontal inclinada desde y=44 (cota 100) hasta y=80 (cota 0): es la raya de y=44 de la planta, sin línea nueva en el alzado porque acaba en la base. (2) Cuña (x 40-150, profundidad 80): la oblicua del alzado, de (40;100) a (150;0); la planta es un rectángulo. (3) Bloque (x 84-150, y 0-30, altura 60): sobre la cuña, cuyo plano superior corta la cota 60 en x=84; delante tiene una rampa que baja de cota 60 (y=30) a cota 25 (y=54) y luego una cara vertical frontal en y=54 hasta la cuña: las líneas oblicua e y=54 de la planta y z=25 del alzado.
Sólido = prisma ∪ cuña ∪ bloque con rampa
Volumen ≈ 773 cm³ (comprobado con dos métodos); sus proyecciones en alzado y planta reproducen exactamente las 8 líneas del alzado y las 10 de la planta medidas (desviación 0,0 mm)
La línea oblicua de la planta (84;30) → (122,5;54) es la intersección del plano de la cuña con la rampa del bloque; x=122,5 es donde el plano de la cuña llega a cota 25.
2. Perfil izquierdo (vista desde la izquierda, mirando hacia +X; el frente queda a la derecha). Alturas del alzado y profundidades de la planta (se pasan con la recta a 45° o con el compás). La silueta es un rectángulo de 80 × 100: el prisma tapa su parte y, por delante de su rampa, se ve la cara x=40 de la cuña (de ahí la línea oblicua continua de (y=44 ; z=100) a (y=80 ; z=0)). Se dibujan en trazo discontinuo las aristas del bloque, que quedan detrás de la cuña.
Visibles: contorno 80 × 100 y oblicua (44;100)–(80;0). Ocultas: (0;60)–(30;60), (30;60)–(54;25) y (54;25)–(54;0)
Perfil izquierdo: 5 líneas continuas y 3 discontinuas
El contorno derecho y la base se dibujan una sola vez; las ocultas que coinciden con visibles se omiten.
Apartado b
1. Croquis axonométrico (isométrico, mirando desde delante, la derecha y arriba): se dibujan el prisma alto a la izquierda con su cara frontal inclinada, la cuña que desciende hacia la derecha y el bloque con su cara superior, la rampa y la cara frontal vertical. Las aristas ocultas necesarias (las del encuentro del prisma con la cuña y la base) se dibujan discontinuas.
Isométrico: x → (cos30°, −sen30°), y → (−cos30°, −sen30°), z → (0, 1)
Croquis con 22 tramos visibles y 4 ocultos
Las aristas se clasifican como vistas u ocultas con un trazado de rayos hacia el observador (1,1,1).
Apartado c
1. Acotación. Cada elemento se acota una sola vez, fuera de las vistas, con cotas en mm reales (la escala 1:2 solo afecta al dibujo, no a la cifra). Alzado: longitudes 40, 44 y 66 (suman la longitud total 150, que no se repite), altura total 100 a la izquierda y alturas 25 y 35 (hasta 60) a la derecha. Planta: profundidades 30, 24 y 26 (suman 80) y la rampa inicial del prisma, 44, entre el borde posterior y la línea y=44.
Cadena de cotas con la última omitida por redundancia
Cotas del alzado: 40, 44, 66, 100, 25, 35; cotas de la planta: 30, 24, 26 y 44
Las cotas derivadas (122,5; la posición de la oblicua) se omiten porque se deducen de la pendiente de la cuña (100/110).
Respuesta final
Perfil izquierdo: contorno de 80 × 100 con una arista continua oblicua de (44;100) a (80;0) y aristas discontinuas (0;60)–(30;60), (30;60)–(54;25), (54;25)–(54;0). Axonometría isométrica y acotación como en las figuras (cotas 40, 44, 66, 100, 25, 35 en el alzado y 30, 24, 26, 44 en la planta).