Estática y estructuras · Tecnología e Ingeniería (con soluciones)

1. 1. 2026 · Extraordinaria 2026 · Ejercicio 2A · Opción A

   En la figura siguiente se representa una viga con dos apoyos en los puntos A y B que soporta un bloque 1 que tiene un peso de 500 kg (repartido uniformemente sobre toda su longitud), y un bloque 2 de 250 kg, que se encuentra suspendido mediante dos cables en los puntos C y D. Considerando despreciable el peso propio de la viga: [Figura: viga horizontal de 5 m con cotas de 1 m. Apoyo A a 1 m del extremo izquierdo y apoyo B en el extremo derecho (x=5 m). El bloque 1 (ancho 1 m) descansa sobre la viga entre x=1 y x=2 m. El bloque 2 cuelga de los puntos C (x=3 m) y D (x=4 m) mediante dos cables.]

   • a)Dibujar el diagrama de cuerpo libre indicando todas las fuerzas que actúan sobre la viga.
   • b)Calcular las reacciones en los apoyos.

   Apartado a

   1. 1. Datos y pesos

      $W_1=m_{1}g=500\cdot 9,81=4905$ N (repartido en 1 m, resultante en $x=1,5$ m); $W_2=250\cdot 9,81=2452,5$ N, que se reparte en dos cables: $T_C=T_D=1226,25$ N en $x=3$ m y $x=4$ m

      —

   2. 2. Diagrama de cuerpo libre

      Sobre la viga actúan hacia abajo: la carga repartida de 4905 N (bloque 1, entre $x=1$ y $2$ m), y las tensiones de los cables $T_C$ y $T_D$; hacia arriba: las reacciones $R_A$ (en $x=1$ m) y $R_B$ (en $x=5$ m). Sin fuerzas horizontales; el peso de la viga se desprecia

      —

   Apartado b

   1. 1. Momentos respecto de A

      $\sum M_A=0:R_B\cdot 4=4905\cdot 0,5+1226,25\cdot 2+1226,25\cdot 3=2452,5+2452,5+3678,75$

      $R_B=\frac{8583,75}{4}=2146$ N

   2. 2. Equilibrio vertical

      $R_A+R_B=W_1+W_2=4905+2452,5=7357,5$ N

      $R_A=7357,5-2146=5212$ N

   Respuesta final: $R_A=5212$ N ($531,3$ kgf), $R_B=2146$ N ($218,8$ kgf); sin reacciones horizontales.

2. 2. 2026 · Ordinaria 2026 · Ejercicio 3B · Opción B

   Se proyecta un soporte triangular asimétrico (ABC) de barras de acero de sección circular para un equipo de inspección industrial. Es necesario validar que la estructura es estable y que las barras no fallarán bajo las cargas de servicio. Datos de la estructura:

   • Triángulo con base horizontal AB = 1.2 m y el vértice C a una altura de 0.8 m y a 0.4 m (en horizontal) del apoyo A.
   • En el punto C se aplican dos fuerzas: una vertical de 600 N hacia abajo y una horizontal de 100 N hacia la derecha.
   • Acero con un límite elástico σe = 240 MPa. [Figura: triángulo ABC con A (apoyo fijo) y B (apoyo móvil con rodillos) en la base, C en el vértice; fuerzas de 600 N hacia abajo y 100 N hacia la derecha en C; reacciones RAx (dibujada hacia la derecha), RAy y RBy hacia arriba; cotas 0.8 m (altura), 0.4 m y 0.8 m (horizontales) y 1.2 m (base).]
   • a)Representar el Diagrama de Cuerpo Rígido (DCR) de la estructura completa y calcular el valor de las reacciones externas (RAx, RAy, RBy) necesarias para el equilibrio.
   • b)Determinar el esfuerzo axial que soporta la barra AB y representar su diagrama de sólido rígido para justificar razonadamente si la barra trabaja a tracción o a compresión.
   • c)Suponiendo que las barras tienen una sección circular sólida, determinar el diámetro mínimo (en mm) que debe tener la barra AB para que no se produzca el fallo del material, cumpliendo con un coeficiente de seguridad n = 3.

   Apartado a

   1. 1. DCR

      Estructura completa libre con sus cargas en C y reacciones: apoyo fijo en A ($R_{Ax},R_{Ay}$) y apoyo móvil en B (solo $R_{By}$ vertical). A $(0;0)$, B $(1,2;0)$, C $(0,4;0,8)$ m

      Ver figura

   2. 2. $\sum F_x=0$

      $R_{Ax}+100=0$

      $R_{Ax}=-100$ N

   3. 3. $\sum M_A=0$

      $R_{By}\cdot 1,2-600\cdot 0,4-100\cdot 0,8=0$

      $R_{By}=\frac{240+80}{1,2}=266,7$ N

   4. 4. $\sum F_y=0$

      $R_{Ay}+R_{By}-600=0$

      $R_{Ay}=333,3$ N

   Apartado b

   1. 1. Método de los nudos en A

      Barra AC forma $\alpha$ con la horizontal ($\sin \alpha =0,8/0,894$, $\cos \alpha =0,4/0,894$). Se supone cada barra a tracción (sale del nudo)

      —

   2. 2. $\sum F_y=0$ en A

      $R_{Ay}+F_{AC}\sin \alpha =0\Rightarrow F_{AC}=-\frac{333,3}{0,894}$

      $F_{AC}=-372,7$ N (compresión)

   3. 3. $\sum F_x=0$ en A

      $R_{Ax}+F_{AC}\cos \alpha +F_{AB}=0\Rightarrow F_{AB}=100-(-372,7)(0,447)$

      $F_{AB}=+266,7$ N

   4. 4. Tracción o compresión

      Signo positivo: la fuerza sobre el nudo apunta hacia fuera de la barra. DSR de AB: dos fuerzas iguales y opuestas en sus extremos que tiran de la barra hacia fuera (figura)

      TRACCIÓN, $N_{AB}=266,7$ N

   Apartado c

   1. 1. Tensión admisible

      ${\sigma }_{adm}=\frac{{\sigma }_e}{n}=\frac{240}{3}$

      ${\sigma }_{adm}=80$ MPa

   2. 2. Sección mínima

      $S\ge \frac{N_{AB}}{{\sigma }_{adm}}=\frac{266,7\text{N}}{80{\text{N/mm}}^2}$

      $S_{min}=3,33$ mm${}^2$

   3. 3. Diámetro

      $d=\sqrt{\frac{4S}{\pi }}=\sqrt{\frac{4\cdot 3,33}{\pi }}$

      $d_{min}\approx 2,06$ mm

   Respuesta final: $R_{Ax}=-100$ N, $R_{Ay}=333,3$ N, $R_{By}=266,7$ N; AB a tracción con $N=266,7$ N; $d_{min}\approx 2,06$ mm.

3. 3. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 4B · Opción B

   Dada la viga de la figura, donde se indica la distribución de cargas y apoyos, se pide: [Figura: viga horizontal de 10 m con apoyo fijo en A (x=0) y apoyo móvil en B (x=6 m). Carga repartida de 600 N/m sobre los primeros 3 m (de A a x=3); fuerza puntual de 450 N hacia abajo en x=5 m (a 2 m del final de la carga repartida); fuerza de 300 N hacia abajo en el extremo derecho (x=10 m). Cotas: 3 m, 2 m, 1 m y 4 m.]

   • a)Dibujar el diagrama de cuerpo libre de la viga.
   • b)Calcular las reacciones en los apoyos.
   • c)Indicar dos tratamientos térmicos que podrías aplicar a esta viga de acero estructural para mejorar sus propiedades mecánicas, e indica qué se mejoraría con estos tratamientos.

   Apartado a

   1. 1. Diagrama de cuerpo libre

      Se quitan los apoyos y se sustituyen por sus reacciones: apoyo fijo en A ($R_{Ax}$, $R_{Ay}$), apoyo móvil en B ($R_{By}$ vertical). Carga repartida $600$ N/m sobre 3 m = fuerza equivalente $F_q=600\cdot 3=1800$ N en su centro ($x=1,5$ m); 450 N en $x=5$ m; 300 N en $x=10$ m

      —

   Apartado b

   1. 1. Equilibrio horizontal

      $\sum F_x=0\Rightarrow R_{Ax}=0$

      $R_{Ax}=0$

   2. 2. Momentos respecto de A

      $\sum M_A=0:R_{By}\cdot 6=1800\cdot 1,5+450\cdot 5+300\cdot 10=2700+2250+3000$

      $R_{By}=\frac{7950}{6}=1325$ N

   3. 3. Equilibrio vertical

      $\sum F_y=0:R_{Ay}+R_{By}=1800+450+300=2550$

      $R_{Ay}=2550-1325=1225$ N

   Apartado c

   1. 1. Tratamientos térmicos

      Temple (calentar por encima de la temperatura crítica y enfriar rápido) y revenido posterior

      Temple: aumenta dureza y resistencia, pero fragiliza; revenido: reduce la fragilidad y las tensiones internas y devuelve tenacidad

   Respuesta final: $R_{Ax}=0$, $R_{Ay}=1225$ N, $R_{By}=1325$ N; tratamientos: temple y revenido (o normalizado/recocido).

4. 4. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio 2

   La imagen muestra el sistema de soporte de una indicación de tráfico formado por una barra horizontal articulada en A a la estructura principal (no representada en la imagen), y un cable unido al extremo de la barra B y a la estructura principal en C. La indicación de tráfico está hecha con una plancha metálica homogénea de 4 m de ancho, 2 m de alto y 2 mm de espesor. El anclaje de la plancha a la barra horizontal AB se realiza de tal forma que todo su peso actúa en el punto medio de la barra AB (a 2.25 m de A). Datos: densidad del material de la plancha, 7.85 g/cm${}^3$. Considera despreciables los pesos propios de la barra horizontal AB y del cable. [Figura: barra horizontal AB de 4,5 m (cota superior), articulada en A a la pared; el cable une B con el punto C de la pared, por encima de A, y forma 30° con la barra en B. Del punto medio de AB cuelga la plancha rectangular de 4 m de ancho y 2 m de alto con la señal EXIT.]

   • a)Obtener el peso de la plancha metálica.
   • b)Representa el diagrama de cuerpo libre de la barra horizontal AB.
   • c)Determinar, aplicando las ecuaciones de equilibrio, las reacciones sobre la barra horizontal AB en A y la fuerza que realiza el cable sobre la barra en B.

   Apartado a

   1. 1. Volumen de la plancha

      $V=4\cdot 2\cdot 0,002=0,016{\text{m}}^3$

      $V=16000{\text{cm}}^3$

   2. 2. Masa y peso

      $m=\rho V=7850{\text{kg/m}}^3\cdot 0,016{\text{m}}^3$; $W=mg=125,6\cdot 9,81$

      $m=125,6$ kg; $W\approx 1232$ N

   Apartado b

   1. 1. Fuerzas sobre la barra AB

      Peso $W$ de la plancha en el punto medio (a 2,25 m de A, hacia abajo); tensión $T$ del cable en B, dirigida de B hacia C y formando $30^{\circ }$ con la horizontal; reacción de la articulación en A con dos componentes $A_x$ y $A_y$

      Ver figura (diagrama de cuerpo libre)

   Apartado c

   1. 1. Momentos respecto de A

      $\sum M_A=0:T\sin 30^{\circ }\cdot 4,5-W\cdot 2,25=0$

      $T=\frac{W\cdot 2,25}{4,5\cdot 0,5}=W\approx 1232$ N

   2. 2. Equilibrio horizontal

      $\sum F_x=0:A_x-T\cos 30^{\circ }=0$

      $A_x=1232\cdot 0,866\approx 1067$ N (hacia la derecha)

   3. 3. Equilibrio vertical

      $\sum F_y=0:A_y+T\sin 30^{\circ }-W=0$

      $A_y=1232-616=616$ N (hacia arriba)

   Respuesta final: $W=1232$ N; $T=1232$ N; $A_x=1067$ N, $A_y=616$ N ($A\approx 1232$ N).

5. 5. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio C1

   Indica cuáles son las condiciones necesarias para que un sólido rígido (sólido considerado indeformable) esté en equilibrio y explica cómo pueden utilizarse estas condiciones para obtener las reacciones externas en el empotramiento A de la siguiente viga de peso despreciable sometida a una carga puntual de 800 N en su extremo. [Figura: viga horizontal de 2 m empotrada en A por la izquierda; carga de 800 N hacia abajo en el extremo C.]

   • a)Condiciones de equilibrio y reacciones en A.

   Apartado a

   1. 1. Condiciones de equilibrio

      Un sólido rígido está en equilibrio si la resultante de las fuerzas es nula y el momento resultante respecto de cualquier punto es nulo: $\sum \vec{F}=\vec{0}$ y $\sum \vec{M}=\vec{0}$. En el plano: $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$, $\sum M_z=0$

      Tres ecuaciones en el plano

   2. 2. Aplicación al empotramiento

      El empotramiento A impide desplazarse y girar: reacciones $A_x$, $A_y$ y momento $M_A$. Se dibuja el DCL de la viga con la carga de 800 N en C (2 m de A) y se plantean las tres ecuaciones

      Ver figura

   3. 3. Resolución

      $\sum F_x=0\Rightarrow A_x=0$; $\sum F_y=0\Rightarrow A_y-800=0\Rightarrow A_y=800$ N (hacia arriba); $\sum M_A=0\Rightarrow M_A-800\cdot 2=0$

      $A_x=0$; $A_y=800$ N; $M_A=1600\text{N⋅m}$ (antihorario)

   Respuesta final: $\sum \vec{F}=0$ y $\sum \vec{M}=0$; en A: $A_x=0$, $A_y=800$ N y $M_A=1600$ N·m.

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