Probabilidad y Estadística · Matemáticas II (con soluciones)

1. 1. 2026 · Ordinaria 2026 · Ejercicio 1

   En un país se ha detectado una enfermedad $X$ transmitida por el virus VirusX. Se sabe que la enfermedad la padece el 20% de la población. Para detectarla, se usa un test de antígenos que, entre personas enfermas da positivo en el 90% de los casos y entre personas sanas da positivo en el 5% de los casos. Se pide:

   • 1.1)Calcular la probabilidad de que, al realizar el test a una persona del país al azar, dicho test dé positivo.
   • 1.2)Calcular la probabilidad de que una persona esté sana sabiendo que ha dado positivo en el test.
   • 1.3)Si tomamos 8 personas de la población al azar, ¿cuál es la probabilidad de que como máximo dos de ellas tengan la enfermedad?

   Apartado 1.1

   1. 1. Definimos los sucesos $E$ = «persona enferma», $S$ = «persona sana», $T^{+}$ = «test positivo». Del enunciado: $P(E)=0,20$, $P(S)=0,80$, $P(T^{+}|E)=0,90$ y $P(T^{+}|S)=0,05$.

      $P(E)=\frac{1}{5},P(S)=\frac{4}{5},P(T^{+}|E)=\frac{9}{10},P(T^{+}|S)=\frac{1}{20}$

   2. 2. Probabilidad total: la gente da positivo o bien estando enferma o bien estando sana, y los dos casos no se solapan.

      $P(T^{+})=P(T^{+}|E)P(E)+P(T^{+}|S)P(S)=0,90\cdot 0,20+0,05\cdot 0,80=0,18+0,04$

      $P(T^{+})=0,22=\frac{11}{50}$

   Apartado 1.2

   1. 1. Se pide $P(S|T^{+})$. Es una probabilidad «al revés» (conocemos $P(T^{+}|S)$), así que usamos el teorema de Bayes.

      $P(S|T^{+})=\frac{P(T^{+}|S)P(S)}{P(T^{+})}$

   2. 2. Sustituimos: el numerador son los falsos positivos ($0,05\cdot 0,80=0,04$).

      $P(S|T^{+})=\frac{0,04}{0,22}=\frac{2}{11}$

      $P(S|T^{+})=\frac{2}{11}\approx 0,1818$

   Apartado 1.3

   1. 1. Cada persona es un ensayo independiente con probabilidad de estar enferma $0,20$. Si $X$ = «n.º de enfermos entre 8», entonces $X\sim B(8;0,2)$ y $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{k}\right)0,2^{k}0,8^{8-k}$.

      $X\sim B(8;0,2)$

   2. 2. «Como máximo dos» significa $X\le 2$: sumamos $k=0,1,2$.

      $P(X\le 2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{0}\right)0,8^8+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{1}\right)0,2\cdot 0,8^7+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)0,2^2\cdot 0,8^6=0,16777+0,33554+0,29360$

      $P(X\le 2)=\frac{311296}{390625}\approx 0,7969$

   Respuesta final: 1.1: $P(T^{+})=0,22$. 1.2: $P(S|T^{+})=\frac{2}{11}\approx 0,182$. 1.3: $P(X\le 2)=\frac{311296}{390625}\approx 0,797$.

2. 2. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 1

   La empresa TikiTak ha realizado un estudio del comportamiento de sus usuarios y ha observado que las $\frac{3}{5}$ partes de sus publicaciones reciben un “Like”. Juana es una usuaria de TikiTak. Se pide:

   • a)¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba ningún “Like” si ha subido a la plataforma TikiTak cuatro publicaciones?
   • b)¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba más de dos “Likes” en sus cuatro publicaciones?
   • c)Juana desea que la probabilidad de recibir al menos un “Like” sea mayor que 0.999. ¿Cuál es el menor número de publicaciones que ha de subir para conseguirlo?

   Apartado a

   1. 1. Cada publicación recibe «Like» con probabilidad $\frac{3}{5}$, de forma independiente. Ninguno en 4 publicaciones: cuatro fracasos seguidos (probabilidad $\frac{2}{5}$ cada uno).

      $P(X=0)={\left(\frac{2}{5}\right)}^4=\frac{16}{625}$

      $\frac{16}{625}=0,0256$

   Apartado b

   1. 1. «No más de dos» es $X\le 2$. Sumamos $k=0,1,2$ con $X\sim B(4;\frac{3}{5})$.

      $P(X\le 2)=\frac{16}{625}+4\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{8}{125}+6\cdot \frac{9}{25}\cdot \frac{4}{25}=\frac{16}{625}+\frac{96}{625}+\frac{216}{625}$

      $P(X\le 2)=\frac{328}{625}=0,5248$

   Apartado c

   1. 1. Con $n$ publicaciones, «al menos un Like» es el contrario de «ninguno».

      $1-{\left(\frac{2}{5}\right)}^n>0,999⟺{\left(\frac{2}{5}\right)}^n<0,001$

   2. 2. Tomamos logaritmos (cambia el sentido porque $\ln \frac{2}{5}<0$).

      $n>\frac{\ln 0,001}{\ln 0,4}=\frac{-6,908}{-0,916}\approx 7,54$

      $n=8$ publicaciones

   Respuesta final: a) $\frac{16}{625}$. b) $\frac{328}{625}$. c) $n=8$.

3. 3. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 1

   Los vuelos que llegan a un aeropuerto se clasifican en tres grupos: vuelos puntuales, vuelos con retrasos de hasta tres horas y vuelos con retrasos de más de tres horas. La puntualidad de los vuelos se ve afectada por las condiciones meteorológicas del momento. Si las condiciones meteorológicas son buenas, el porcentaje de los vuelos que llegan con puntualidad es del 70% mientras que el 10% llegan con más de tres horas de retraso. Si las condiciones meteorológicas son malas, el porcentaje de los vuelos que llegan con puntualidad es del 40% mientras que el 30% llegan con más de tres horas de retraso. Se calcula que el 90% de los días las condiciones meteorológicas son buenas.

   • 1.1)¿Cuál es la probabilidad de que un vuelo llegue con más de 3 horas de retraso?
   • 1.2)Sabiendo que un vuelo ha sido puntual, ¿cuál es la probabilidad de que las condiciones meteorológicas fueran malas?
   • 1.3)Un pasajero realiza un vuelo a dicho aeropuerto, desde donde debe tomar otro vuelo a su destino final. Este segundo vuelo enlaza si el primero llega con 3 horas o menos de retraso. Si realiza este viaje una vez al mes durante un año y viaja siempre en condiciones meteorológicas buenas, ¿cuál es la probabilidad de que pueda enlazar con el vuelo a su destino final en todos sus viajes?

   Apartado 1.1

   1. 1. Definimos los sucesos: $B$ = condiciones buenas, $M$ = malas, $L$ = retraso de más de 3 horas. Datos: $P(B)=0,9$, $P(M)=0,1$, $P(L\mid B)=0,1$, $P(L\mid M)=0,3$.

      $P(L)=P(B)P(L\mid B)+P(M)P(L\mid M)$

   2. 2. Sustituimos.

      $P(L)=0,9\cdot 0,1+0,1\cdot 0,3=0,09+0,03$

      $P(L)=0,12=\frac{3}{25}$

   Apartado 1.2

   1. 1. Sea $Pu$ = vuelo puntual: $P(Pu\mid B)=0,7$ y $P(Pu\mid M)=0,4$. Primero la probabilidad total de ser puntual.

      $P(Pu)=0,9\cdot 0,7+0,1\cdot 0,4=0,63+0,04=0,67$

   2. 2. Aplicamos el teorema de Bayes para invertir el condicionamiento.

      $P(M\mid Pu)=\frac{P(M)P(Pu\mid M)}{P(Pu)}=\frac{0,1\cdot 0,4}{0,67}=\frac{4}{67}$

      $P(M\mid Pu)=\frac{4}{67}\approx 0,0597$

   Apartado 1.3

   1. 1. Con buen tiempo, el vuelo enlaza si llega puntual o con retraso de hasta 3 horas, es decir, si NO llega con más de 3 horas de retraso.

      $P(\text{enlazar}\mid B)=1-P(L\mid B)=1-0,1=0,9$

   2. 2. Los 12 viajes (uno al mes durante un año) son independientes y todos con buen tiempo: $X\sim B(12;0,9)$ y se pide $P(X=12)$.

      $P(X=12)=0,9^{12}$

      $P(X=12)\approx 0,2824$

   Respuesta final: 1.1) $\frac{3}{25}=0,12$. 1.2) $\frac{4}{67}\approx 0,0597$. 1.3) $0,9^{12}\approx 0,2824$.

4. 4. 2025 · Extraordinaria 2025 (Reserva) · Ejercicio 1

   Se ha realizado una encuesta a 120 miembros de un club de lectura sobre sus preferencias literarias. La siguiente tabla muestra los resultados clasificados por edad y tipo de obra preferido.

   Edad/Tipo de obra | Novela | Poesía | Obras de teatro | Ensayos < 25 años | 17 | 6 | 7 | 1 25 – 60 años | 22 | 17 | 10 | 3

   60 años | 8 | 12 | 11 | 6

   • 1.1)¿Cuál es la probabilidad de que el tipo de obra preferido de una persona seleccionada al azar no sea el ensayo?
   • 1.2)Si se sabe que un miembro del club NO tiene como tipo de obra preferido la poesía, ¿cuál es la probabilidad de que tenga 25 años o más?
   • 1.3)Dados 10 miembros del club que tienen entre 25 y 60 años, ambos incluidos. ¿Cuál es la probabilidad de que como mucho 3 de ellos tengan como tipo de obra preferido o bien las obras de teatro o bien los ensayos?

   Apartado 1.1

   1. 1. Total de miembros: $120$. Los que prefieren ensayos suman $1+3+6=10$. Aplicamos el suceso contrario.

      $P(\text{no ensayo})=1-\frac{10}{120}=\frac{110}{120}$

      $P=\frac{11}{12}\approx 0,9167$

   Apartado 1.2

   1. 1. Sea $\overline{Po}$ = no prefiere poesía y $E_{\ge 25}$ = tiene 25 años o más. Casos con preferencia distinta de poesía: $120-(6+17+12)=85$.

      $P(\overline{Po})=\frac{85}{120}$

   2. 2. De esos 85, los de menos de 25 años son $17+7+1=25$; luego los de 25 o más son $85-25=60$. Probabilidad condicionada (casos favorables entre posibles).

      $P(E_{\ge 25}\mid \overline{Po})=\frac{P(E_{\ge 25}\cap \overline{Po})}{P(\overline{Po})}=\frac{60/120}{85/120}=\frac{60}{85}$

      $P=\frac{12}{17}\approx 0,7059$

   Apartado 1.3

   1. 1. Entre los de 25 – 60 años hay $22+17+10+3=52$ personas; teatro o ensayos: $10+3=13$. La probabilidad de que una de ellas prefiera teatro o ensayos es $p=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$.

      $X=\text{nº de los 10 con teatro o ensayos}\sim B\left(10;\frac{1}{4}\right)$

   2. 2. «Como mucho 3» significa $X\le 3$: sumamos $k=0,1,2,3$.

      $P(X\le 3)=\sum _{k=0}^3\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{k}\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^k{\left(\frac{3}{4}\right)}^{10-k}=\frac{3^{10}+10\cdot 3^9+45\cdot 3^8+120\cdot 3^7}{4^{10}}$

      $P(X\le 3)=\frac{203391}{262144}\approx 0,7759$

   Respuesta final: 1.1) $\frac{11}{12}$. 1.2) $\frac{12}{17}$. 1.3) $P(X\le 3)\approx 0,7759$ con $X\sim B(10;\frac{1}{4})$.

5. 5. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 1

   Una pizzería ofrece tres tipos de pizza: margarita, vegetariana y pepperoni. A lo largo de los años, utilizando su aplicación para teléfonos inteligentes, el restaurante ha recopilado datos sobre las preferencias de los clientes, calculando que el 40% de sus clientes piden pizza margarita, el 25% elige la pizza vegetariana y el resto prefiere la pizza pepperoni.

   • 1.1)Si se elige un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya pedido una pizza pepperoni?
   • 1.2)¿Cuál es la probabilidad de que dos clientes elegidos al azar hayan pedido distintos tipos de pizza?
   • 1.3)Para mejorar su servicio y agilizar los tiempos de preparación, la pizzería decide considerar un grupo típico de 10 clientes con el objetivo de decidir cuántas pizzas margarita preparar con antelación y evitar retrasos durante las horas con más demanda, minimizando el desperdicio. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 de los 10 clientes pidan pizzas margarita?
   • 1.4)¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los 10 clientes del grupo pida una pizza margarita?

   Apartado 1.1

   1. 1. Los tres tipos son excluyentes y cubren a todos los clientes, así que las probabilidades suman 1.

      $P(\text{pepperoni})=1-0,40-0,25=0,35$

      $P=0,35=\frac{7}{20}$

   Apartado 1.2

   1. 1. Es más corto calcular el suceso contrario: «mismo tipo» = (ambos margarita) o (ambos vegetariana) o (ambos pepperoni). Los clientes son independientes.

      $P(\text{mismo})=0,4^2+0,25^2+0,35^2=0,16+0,0625+0,1225=0,345$

   2. 2. Restamos de 1.

      $P(\text{distintos})=1-0,345=0,655$

      $P=0,655=\frac{131}{200}$

   Apartado 1.3

   1. 1. Sea $X$ = «n.º de clientes con margarita entre 10»: $X\sim B(10;0,4)$.

      $P(X=4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)0,4^{4}0,6^6=210\cdot 0,0256\cdot 0,046656$

      $P(X=4)\approx 0,2508$

   Apartado 1.4

   1. 1. «Al menos uno» es el contrario de «ninguno».

      $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-0,6^{10}=1-0,00605$

      $P(X\ge 1)\approx 0,9940$

   Respuesta final: 1.1: $0,35$. 1.2: $0,655$. 1.3: $\approx 0,2508$. 1.4: $\approx 0,9940$.

6. 6. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio 7

   Una empresa tiene 3 máquinas de fabricación de latas de refresco. El 10.25% de las latas que fabrica la empresa son defectuosas. El 30% de las latas las fabrica en la primera máquina, siendo el 10% defectuosas. El 25% de las latas las fabrica en la segunda máquina, siendo el 5% defectuosas. El resto de las latas las fabrica en la tercera máquina.

   • a)¿Cuál es la probabilidad de que una lata fabricada por la tercera máquina sea defectuosa?
   • b)Si se escoge una lata al azar y no es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la primera máquina?
   • c)Si se escoge una lata al azar y es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que no haya sido fabricada en la segunda máquina?

   Apartado a

   1. 1. Sea $D$ = lata defectuosa y $M_i$ = fabricada en la máquina $i$. Datos: $P(M_1)=0,30$, $P(M_2)=0,25$, luego $P(M_3)=1-0,30-0,25=0,45$; $P(D\mid M_1)=0,10$, $P(D\mid M_2)=0,05$, $P(D)=0,1025$.

      $P(D)=P(M_1)P(D\mid M_1)+P(M_2)P(D\mid M_2)+P(M_3)P(D\mid M_3)$

      Probabilidad total, despejando la incógnita $P(D\mid M_3)$.

   2. 2. Sustituimos y despejamos.

      $0,1025=0,03+0,0125+0,45P(D\mid M_3)\Rightarrow P(D\mid M_3)=\frac{0,06}{0,45}=\frac{2}{15}$

      $P(D\mid M_3)=\frac{2}{15}\approx 0,1333$

   Apartado b

   1. 1. Por el teorema de Bayes con el suceso contrario: $P(\overline{D}\mid M_1)=0,9$ y $P(\overline{D})=1-0,1025=0,8975$.

      $P(M_1\mid \overline{D})=\frac{P(M_1)P(\overline{D}\mid M_1)}{P(\overline{D})}=\frac{0,3\cdot 0,9}{0,8975}=\frac{108}{359}$

      $P(M_1\mid \overline{D})\approx 0,3008$

   Apartado c

   1. 1. «No fabricada en la 2» es el suceso contrario de $M_2$: $P(\overline{M_2}\mid D)=1-P(M_2\mid D)$.

      $P(M_2\mid D)=\frac{0,25\cdot 0,05}{0,1025}=\frac{5}{41}\Rightarrow P(\overline{M_2}\mid D)=1-\frac{5}{41}$

      $P(\overline{M_2}\mid D)=\frac{36}{41}\approx 0,8780$

   Respuesta final: a) $\frac{2}{15}$. b) $\frac{108}{359}\approx 0,3008$. c) $\frac{36}{41}\approx 0,8780$.

7. 7. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio 8

   Se ha determinado que en el 60% de los mensajes enviados por WhatsApp se añade un emoticono. Una persona envía diez mensajes de WhatsApp. Se pide la probabilidad de que:

   • a)Ningún mensaje de los diez tenga emoticonos.
   • b)Exactamente dos quintas partes de los mensajes tengan emoticonos.
   • c)Ocho o más mensajes tengan emoticonos.

   Apartado a

   1. 1. Cada mensaje lleva emoticono con probabilidad $0,6$, de forma independiente: $X\sim B(10;0,6)$. «Ningún mensaje con emoticono» es $X=0$.

      $P(X=0)=0,4^{10}$

      $P(X=0)\approx 0,000105$

   Apartado b

   1. 1. «Dos quintas partes» de 10 mensajes son $\frac{2}{5}\cdot 10=4$ mensajes.

      $P(X=4)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)0,6^4\cdot 0,4^6=210\cdot 0,1296\cdot 0,004096$

      $P(X=4)\approx 0,1115$

   Apartado c

   1. 1. «Ocho o más» es $X\ge 8$: sumamos $k=8,9,10$.

      $P(X\ge 8)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{8}\right)0,6^{8}0,4^2+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{9}\right)0,6^{9}0,4+0,6^{10}$

      $P(X\ge 8)\approx 0,1673$

   Respuesta final: a) $0,4^{10}\approx 0,000105$. b) $\approx 0,1115$. c) $\approx 0,1673$.

8. 8. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio 7

   Una bolsa contiene dos monedas que llamamos $M1$ y $M2$. La moneda $M1$ es una moneda trucada que tiene impresa una cara en uno de sus lados y una cruz en el otro. La probabilidad de obtener cara con la moneda $M1$ es de $0.6$. La moneda $M2$ tiene una cara impresa en ambos lados.

   • a)Escogemos una moneda al azar de la bolsa, la lanzamos, anotamos el resultado y la devolvemos a la bolsa. Repetimos esta acción tres veces. 1. ¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido tres caras? 2. ¿Cuál es la probabilidad de haber obtenido exactamente una cruz?
   • b)Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza dos veces observándose dos caras. Calcular la probabilidad de que la moneda seleccionada sea la moneda $M1$. Responder a la misma pregunta para la moneda $M2$.

   Apartado a

   1. 1. En cada lanzamiento se elige una moneda al azar ($P=\frac{1}{2}$ cada una) y se devuelve a la bolsa, por lo que los tres lanzamientos son independientes con la misma probabilidad de cara. Probabilidad total de cara en un lanzamiento:

      $P(C)=\frac{1}{2}\cdot 0,6+\frac{1}{2}\cdot 1=0,3+0,5=0,8$

   2. 2. (a.1) Tres caras seguidas, por independencia:

      $P(CCC)=0,8^3=0,512$

      $P(\text{tres caras})=0,512$

   3. 3. (a.2) Exactamente una cruz: $P(\text{cruz})=0,2$ y hay 3 posiciones posibles para la cruz.

      $P(X=2\text{ caras})=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)0,8^2\cdot 0,2=3\cdot 0,64\cdot 0,2=0,384$

      $P(\text{exactamente una cruz})=0,384$

   Apartado b

   1. 1. Sean $M_1$, $M_2$ las monedas elegidas ($P=\frac{1}{2}$ cada una) y $CC$ = «dos caras en dos lanzamientos». $P(CC\mid M_1)=0,6^2=0,36$ y $P(CC\mid M_2)=1$.

      $P(CC)=\frac{1}{2}\cdot 0,36+\frac{1}{2}\cdot 1=0,18+0,5=0,68$

   2. 2. Teorema de Bayes para cada moneda.

      $P(M_1\mid CC)=\frac{0,18}{0,68}=\frac{9}{34},P(M_2\mid CC)=\frac{0,5}{0,68}=\frac{25}{34}$

      $P(M_1\mid CC)=\frac{9}{34}\approx 0,2647,P(M_2\mid CC)=\frac{25}{34}\approx 0,7353$

   Respuesta final: a) $0,512$ y $0,384$. b) $P(M_1\mid CC)=\frac{9}{34}$, $P(M_2\mid CC)=\frac{25}{34}$.

9. 9. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio 8

   Un comercial de venta por teléfono sabe que en el 30% de sus llamadas no consigue una venta. Este comercial realiza 10 llamadas.

   • a)Calcular la probabilidad de que consiga más de 7 ventas.
   • b)Calcular la probabilidad de que consiga al menos 5 ventas.
   • c)Calcular la probabilidad de que consiga un mínimo de 3 ventas y un máximo de 8 ventas.

   Apartado a

   1. 1. Cada llamada es una venta con probabilidad $0,7$ (no vender: $0,3$), de forma independiente: $X\sim B(10;0,7)$, $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{k}\right)0,7^{k}0,3^{10-k}$. «Más de 7» es $X\ge 8$.

      $P(X>7)=P(8)+P(9)+P(10)=45\cdot 0,7^8\cdot 0,3^2+10\cdot 0,7^9\cdot 0,3+0,7^{10}$

      $P(X>7)\approx 0,3828$

   Apartado b

   1. 1. «Al menos 5» es $X\ge 5$. Es más corto el suceso contrario $X\le 4$.

      $P(X\ge 5)=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)]=1-0,0473$

      $P(X\ge 5)\approx 0,9527$

   Apartado c

   1. 1. «Mínimo 3 y máximo 8» es $3\le X\le 8$: sumamos $P(3)+\cdots +P(8)$ (o restamos al total $P(X\le 2)$ y $P(X\ge 9)$).

      $P(3\le X\le 8)=1-P(X\le 2)-P(X\ge 9)=1-0,00159-0,14931$

      $P(3\le X\le 8)\approx 0,8491$

   Respuesta final: a) $\approx 0,3828$. b) $\approx 0,9527$. c) $\approx 0,8491$.

10. 10. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 7

    Una urna tiene tres bolas verdes, cuatro rojas y cinco amarillas. Todas de igual tamaño.

    • a)Se extrae una bola de la urna, se mira su color y se devuelve a la urna. Se repite de nuevo, una vez más, esta operación. ¿Cuál es la probabilidad de que los colores de las dos bolas extraídas sean el mismo? ¿Y la probabilidad de que sean distintos?
    • b)Se extraen al mismo tiempo tres bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean de distinto color?

    Apartado a

    1. 1. Hay $12$ bolas: $3$ verdes, $4$ rojas, $5$ amarillas. Con devolución, las dos extracciones son independientes: $P(V)=\frac{3}{12}$, $P(R)=\frac{4}{12}$, $P(A)=\frac{5}{12}$.

       $P(\text{mismo color})={\left(\frac{3}{12}\right)}^2+{\left(\frac{4}{12}\right)}^2+{\left(\frac{5}{12}\right)}^2=\frac{9+16+25}{144}=\frac{50}{144}$

       $P(\text{mismo color})=\frac{25}{72}\approx 0,3472$

    2. 2. «Distintos» es el suceso contrario.

       $P(\text{distintos})=1-\frac{25}{72}$

       $P(\text{distintos})=\frac{47}{72}\approx 0,6528$

    Apartado b

    1. 1. Sin orden y sin devolución (a la vez): casos posibles $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3}\right)=220$. Favorables: una de cada color, $3\cdot 4\cdot 5=60$.

       $P=\frac{3\cdot 4\cdot 5}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3}\right)}=\frac{60}{220}$

       $P(\text{tres colores distintos})=\frac{3}{11}\approx 0,2727$

    Respuesta final: a) Mismo color $\frac{25}{72}$; distintos $\frac{47}{72}$. b) $\frac{3}{11}$.

11. 11. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 8

    Una empresa tiene dos plantas de producción de teléfonos móviles. La primera planta produce móviles defectuosos con probabilidad 0,02 y la segunda planta con probabilidad 0,06. Al comprar un móvil de esa empresa, la probabilidad de que sea de la primera planta es de 0,7. Compramos un móvil. Se pide determinar:

    • a)La probabilidad de que proceda de la segunda planta de producción y sea defectuoso.
    • b)Sabiendo que el móvil comprado es defectuoso, la probabilidad de que lo haya fabricado la primera planta de producción.

    Apartado a

    1. 1. Sea $P_1$ = móvil de la primera planta ($0,7$), $P_2$ = de la segunda ($0,3$) y $D$ = defectuoso, con $P(D\mid P_1)=0,02$, $P(D\mid P_2)=0,06$.

       $P(P_2\cap D)=P(P_2)P(D\mid P_2)=0,3\cdot 0,06$

       $P(P_2\cap D)=0,018$

    Apartado b

    1. 1. Probabilidad total de defectuoso.

       $P(D)=0,7\cdot 0,02+0,3\cdot 0,06=0,014+0,018=0,032$

    2. 2. Teorema de Bayes.

       $P(P_1\mid D)=\frac{P(P_1)P(D\mid P_1)}{P(D)}=\frac{0,014}{0,032}=\frac{7}{16}$

       $P(P_1\mid D)=\frac{7}{16}=0,4375$

    Respuesta final: a) $0,018$. b) $\frac{7}{16}=0,4375$.

12. 12. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio 7

    Tenemos dos monedas distintas $M_1$ y $M_2$. La probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda $M_1$ es $x$ y la probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda $M_2$ es $y$.

    • a)Si lanzamos las dos monedas al mismo tiempo, calcular las probabilidades de no obtener ninguna cara, de obtener solo una cara y de obtener dos caras.
    • b)Después de lanzar las dos monedas, volvemos a lanzar solamente las monedas en las que no hemos obtenido cara. Calcular las probabilidades de que el resultado final haya sido obtener ninguna cara, obtener solo una cara y obtener dos caras.

    Apartado a

    1. 1. Los lanzamientos de las dos monedas son independientes: $P(C_1)=x$, $P(\overline{C_1})=1-x$, $P(C_2)=y$, $P(\overline{C_2})=1-y$.

       $P(\text{0 caras})=(1-x)(1-y)$

    2. 2. Una sola cara: cara en la primera y cruz en la segunda, o al revés (sucesos incompatibles). Dos caras: ambas.

       $P(\text{1 cara})=x(1-y)+(1-x)y,P(\text{2 caras})=xy$

       $P_0=(1-x)(1-y),P_1=x(1-y)+y(1-x),P_2=xy$

    Apartado b

    1. 1. Cada moneda se lanza una segunda vez solo si salió cruz. Una moneda con probabilidad de cara $p$ acaba con cara con probabilidad $1-(1-p{)}^2$ (cara en el primer o en el segundo lanzamiento) y sin cara con $(1-p{)}^2$. Las dos monedas son independientes.

       $M_1:c_1=1-(1-x{)}^2=x(2-x);M_2:c_2=y(2-y)$

    2. 2. Resultado final: ninguna cara, solo una o dos.

       $P(\text{0})=(1-x{)}^2(1-y{)}^2$

       $P_0=(1-x{)}^2(1-y{)}^2$

    3. 3. Una cara: la primera termina con cara y la segunda sin cara, o al revés.

       $P(\text{1})=x(2-x)(1-y{)}^2+(1-x{)}^{2}y(2-y)$

       $P_1=x(2-x)(1-y{)}^2+y(2-y)(1-x{)}^2$

    4. 4. Dos caras: ambas terminan con cara.

       $P(\text{2})=x(2-x)\cdot y(2-y)$

       $P_2=xy(2-x)(2-y)$

    Respuesta final: a) $(1-x)(1-y)$; $x(1-y)+y(1-x)$; $xy$. b) $(1-x{)}^2(1-y{)}^2$; $x(2-x)(1-y{)}^2+y(2-y)(1-x{)}^2$; $xy(2-x)(2-y)$.

13. 13. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio 8

    Cada fin de semana llegan al aeropuerto de Alicante 161 vuelos. De estos 161 vuelos, 95 proceden del territorio nacional, 50 proceden de la Unión Europea y 16 proceden de países de fuera de la Unión Europea. Sabiendo que el 5% de los vuelos con procedencia nacional, el 4% de los vuelos con procedencia de la Unión Europea y el 6.25% del resto de vuelos se retrasan:

    • a)Calcular la probabilidad de que durante el fin de semana un vuelo se retrase.
    • b)Sabiendo que un vuelo concreto se ha retrasado, calcular la probabilidad de que este vuelo proceda de la Unión Europea.

    Apartado a

    1. 1. Sea $N$ = vuelo nacional, $U$ = de la UE, $O$ = de fuera de la UE y $T$ = vuelo retrasado. $P(N)=\frac{95}{161}$, $P(U)=\frac{50}{161}$, $P(O)=\frac{16}{161}$; $P(T\mid N)=0,05$, $P(T\mid U)=0,04$, $P(T\mid O)=0,0625$.

       $P(T)=\frac{95}{161}\cdot 0,05+\frac{50}{161}\cdot 0,04+\frac{16}{161}\cdot 0,0625=\frac{4,75+2+1}{161}$

       $P(T)=\frac{7,75}{161}=\frac{31}{644}\approx 0,0481$

    Apartado b

    1. 1. Teorema de Bayes.

       $P(U\mid T)=\frac{P(U)P(T\mid U)}{P(T)}=\frac{2/161}{7,75/161}=\frac{2}{7,75}$

       $P(U\mid T)=\frac{8}{31}\approx 0,2581$

    Respuesta final: a) $\frac{31}{644}\approx 0,0481$. b) $\frac{8}{31}\approx 0,2581$.

selectia · resolución completa en https://tuselectividad.com/selectividad/comunitat-valenciana/matematicas/math-ii-probability