Optimización · Matemáticas II

PAU Comunitat Valenciana · 40 ejercicios, del más reciente al más antiguo

1. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 4.2 · Opción B
Una costa marítima se extiende en línea recta hacia la derecha desde un punto $P$ de la costa. A 8 km de $P$ hay una refinería situada en la costa. Además, hay una plataforma petrolífera en el mar que está situada a 6 km de distancia de $P$ en la recta perpendicular a la costa desde el punto $P$ . Se construirá un oleoducto desde la plataforma hasta la refinería. El coste de construir el oleoducto bajo el agua es de 1 millón de euros por kilómetro y el de construirlo sobre tierra, de 0,6 millones de euros por kilómetro.
2. 2025 · Extraordinaria 2025 (Reserva) · Ejercicio 4.2 · Opción B
Se quiere construir un bote de refresco cilíndrico de volumen $33 cm^{3}$ que tenga área total (incluyendo las tapas) mínima. Se pide:
3. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 4A · Opción A
Una empresa de paquetería quiere diseñar distintos modelos de cajas. Uno de esos modelos consiste en una caja de 80 cm $^{3}$ de volumen, con base y tapa cuadradas. El precio del material de las paredes laterales es de 1 céntimo por cm $^{2}$ . La base y tapa se construirán con un material de calidad superior a las caras laterales de la caja, siendo éste un 25% más caro.
4. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio 6
Se construye una caja de cartón sin tapa a partir de una hoja rectangular de 16 cm por 10 cm. Esto se hace recortando un cuadrado de longitud $x$ en cada esquina, doblando la hoja y levantando los cuatro laterales de la caja. Calcular:
5. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 6
Una ventana rectangular está coronada por un semicírculo tal y como se indica en la siguiente figura. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 20 metros:
6. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio 6
El corte vertical de la entrada a la plaza amurallada de cierto pueblo tiene forma de parábola con ecuación $y = - x^{2} + 12$ , donde $x$ e $y$ se miden en metros e $y = 0$ representa el suelo. Se desea poner una puerta rectangular de modo que las dos esquinas superiores estén en la parábola y las inferiores en el suelo. El resto de la entrada va cerrado con piedra. Calcular:
7. 2022 · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 6
Considerar la función $f (x) = e^{- x^{2}}$ para los valores positivos de $x$ . Por cada punto $M = (x, f (x))$ de la gráfica de $f$ se trazan dos rectas paralelas a los ejes de coordenadas, $O X$ y $O Y$ . Estas dos rectas, junt con los ejes de coordenadas, definen un rectángulo.
8. 2022 · Ordinaria 2022 · Ejercicio 6
Se desea construir un cuadrado y un triángulo equilátero cortando en dos partes un cable de acero de 240 m de longitud.
9. 2021 · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 6
Queremos diseñar un campo de juego de modo que la parte central sea rectangular, y las partes laterales sean semicircunferencias hacia fuera. La superficie del campo mide $(4 + π)$ metros cuadrados. Se quieren pintar todas las rayas de dicho campo tal y como se observa en la figura. Se pide:
10. 2021 · Ordinaria 2021 · Ejercicio 6
Un espejo plano, cuadrado, de 80 cm de lado, se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 40 cm respectivamente. En el espejo roto recortamos una pieza rectangular $R$ , uno de cuyos vértices es el punto $(x, y)$ (véase la figura).
11. 2020 · Extraordinaria 2020 (Septiembre) · Ejercicio 6
Los vértices de un triángulo son $A (0, 12)$ , $B (- 5, 0)$ y $C (5, 0)$ . Se desea construir un rectángulo inscrito en el triángulo anterior, de lados paralelos a los ejes coordenados y dos de cuyos vértices tienen coordenadas $(- x, 0)$ , $(x, 0)$ , siendo $0 \leq x \leq 5$ . Los otros dos vértices están situados en los segmentos $A B$ y $A C$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
12. 2020 · Ordinaria 2020 (Julio, calendario COVID) · Ejercicio 6
En un triángulo isósceles, los dos lados iguales miden 10 centímetros cada uno. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
13. 2019 · Extraordinaria 2019 · Ejercicio B.3 · Opción B
Un proyectil está unido al punto $(0, 2)$ por una cuerda elástica y tensa. El proyectil recorre la curva $y = 4 - x^{2}$ de extremos $(- 2, 0)$ y $(2, 0)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
14. 2019 · Ordinaria 2019 · Ejercicio B.3 · Opción B
Las coordenadas iniciales de los móviles $A$ y $B$ son $(0, 0)$ y $(250, 0)$ , respectivamente, siendo 1 km la distancia del origen de coordenadas a cada uno de los puntos $(1, 0)$ y $(0, 1)$ . El móvil $A$ se desplaza sobre el eje $O Y$ desde su posición inicial hasta el punto $(0, \frac{375}{2})$ con velocidad de 30 km/h y, simultáneamente, el móvil $B$ se desplaza sobre el eje $O X$ desde su posición inicial hasta el origen de coordenadas con velocidad de 40 km/h. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
15. 2018 · Extraordinaria 2018 · Ejercicio B.3 · Opción B
Dentro de una cartulina rectangular se desea hacer un dibujo que ocupe un rectángulo $R$ de $600 cm^{2}$ de área de manera que: Por encima y por debajo de $R$ deben quedar unos márgenes de 3 cm de altura cada uno. Los márgenes a izquierda y a derecha de $R$ deben tener una anchura de 2 cm cada uno. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
16. 2018 · Ordinaria 2018 · Ejercicio B.3 · Opción B
Se divide un alambre de longitud 100 cm en dos partes. Con una de ellas, de longitud $x$ , se construye un triángulo equilátero y con la otra, de longitud $100 - x$ , se construye un cuadrado.
17. 2017 · Extraordinaria 2017 · Ejercicio B.3 · Opción B
Se considera el triángulo $T$ de vértices $O = (0, 0)$ , $A = (x, y)$ y $B = (0, y)$ , siendo $x > 0$ , $y > 0$ y tal que la suma de las longitudes de los lados $O A$ y $A B$ es 30 metros. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
18. 2017 · Ordinaria 2017 · Ejercicio A.3 · Opción A
Se desea unir un punto $M$ situado en un lado de una calle, de 6 m de anchura, con el punto $N$ situado en el otro lado de la calle, 18 m más abajo, mediante dos cables rectos, uno desde $M$ hasta un punto $P$ , situado al otro lado de la calle, y otro desde el punto $P$ hasta el punto $N$ . Se representó la calle en un sistema cartesiano y resultó que $M = (0, 6)$ , $P = (x, 0)$ y $N = (18, 0)$ . El cable $M P$ tiene que ser más grueso debido a que cruza la calle sin apoyos intermedios, siendo su precio de 10 €/m. El precio del cable $P N$ es de 5 €/m. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
19. 2016 · Extraordinaria 2016 · Ejercicio B.3 · Opción B
La diferencia de potencial $x$ entre dos puntos de un circuito eléctrico provoca el paso de una corriente eléctrica de intensidad $y$ , que está relacionada con la diferencia de potencial $x$ por la ecuación $y = - x^{2} - x + 6$ , siendo $0 \leq x \leq 2$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
20. 2016 · Ordinaria 2016 · Ejercicio B.3 · Opción B
Cada día, una planta productora de acero vende $x$ toneladas de acero de baja calidad e $y$ toneladas de acero de alta calidad. Por restricciones del sistema de producción debe suceder que $y = \frac{23 - 5 x}{10 - x}$ , siendo $0 < x < \frac{23}{5}$ . El precio de una tonelada de acero de alta calidad es de 900 euros y el precio de una tonelada de acero de baja calidad es de 300 euros. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
21. 2015 · Extraordinaria 2015 · Ejercicio B.3 · Opción B
Se va a construir un depósito de $1500 m^{3}$ de capacidad, con forma de caja abierta por la parte superior. Su base es pues un cuadrado y las paredes laterales son cuatro rectángulos iguales perpendiculares a la base. El precio de cada $m^{2}$ de la base es de 15 € y el precio de cada $m^{2}$ de pared lateral es de 5 €. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
22. 2015 · Ordinaria 2015 · Ejercicio B.3 · Opción B
Un pueblo está situado en el punto $A (0, 4)$ de un sistema de referencia cartesiano. El tramo de un río situado en el término municipal del pueblo describe la curva $y = \frac{x ^{2}}{4}$ , siendo $- 6 \leq x \leq 6$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
23. 2014 · Extraordinaria 2014 · Ejercicio B.3 · Opción B
Un club deportivo alquila un avión de 80 plazas para realizar un viaje a la empresa VR. Hay 60 miembros del club que han reservado su billete. En el contrato de alquiler se indica que el precio de un billete será 800 euros si sólo viajan 60 personas, pero que el precio por billete disminuye en 10 euros por cada viajero adicional a partir de esos 60 viajeros que ya han reservado el billete. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
24. 2014 · Ordinaria 2014 · Ejercicio B.3 · Opción B
Se tiene un cuadrado de mármol de lado $80$ cm. Se produce la rotura de una esquina y queda un pentágono de vértices $A = (0, 20)$ , $B = (20, 0)$ , $C = (80, 0)$ , $D = (80, 80)$ y $E = (0, 80)$ . Para obtener una pieza rectangular se elige un punto $P = (x, y)$ del segmento $A B$ y se hacen dos cortes paralelos a los ejes $X$ e $Y$ . Así se obtiene un rectángulo $R$ cuyos vértices son los puntos $P = (x, y)$ , $F = (80, y)$ , $D = (80, 80)$ y $G = (x, 80)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
25. 2013 · Extraordinaria 2013 · Ejercicio B.3 · Opción B
En el plano $X Y$ está dibujada una parcela $A$ cuyos límites son dos calles de ecuaciones $x = 0$ y $x = 40$ , respectivamente, una carretera de ecuación $y = 0$ , y el tramo del curso de un río de ecuación $y = f (x) = 30 2 x + 1$ , con $0 \leq x \leq 40$ , siendo positivo el signo de la raíz cuadrada. Se pretende urbanizar un rectángulo $R$ inscrito en la parcela $A$ , de manera que los vértices de $R$ sean los puntos $(x, 0)$ , $(x, f (x))$ , $(40, f (x))$ y $(40, 0)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
26. 2013 · Ordinaria 2013 · Ejercicio A.3 · Opción A
Se estudió el movimiento de un meteorito del sistema solar durante un mes. Se obtuvo que la ecuación de su trayectoria $T$ es $y^{2} = 2 x + 9$ , siendo $- 4, 5 \leq x \leq 8$ e $y \geq 0$ , estando situado el Sol en el punto $(0, 0)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
27. 2012 · Extraordinaria 2012 · Ejercicio B.3 · Opción B
Se desea construir un depósito cilíndrico de $100 m^{3}$ de capacidad, abierto por la parte superior. Su base es un círculo en posición horizontal de radio $x$ y la pared vertical del depósito es una superficie cilíndrica perpendicular a su base. El precio del material de la base del depósito es 4 euros/m $^{2}$ . El precio del material de la pared vertical es 2 euros/m $^{2}$ . Obtener razonadamente:
28. 2012 · Ordinaria 2012 · Ejercicio B.3 · Opción B
Para diseñar un escudo se dibuja un triángulo $T$ de vértices $A = (0, 12)$ , $B = (- x, x^{2})$ y $C = (x, x^{2})$ , siendo $x^{2} < 12$ . Obtener razonadamente:
29. 2011 · Extraordinaria 2011 · Ejercicio B.3 · Opción B
Un coche recorre el arco de parábola $Γ$ de ecuación $2 y = 36 - x^{2}$ , variando la $x$ de $- 6$ a $6$ . Se representa por $f (x)$ la distancia del punto $(0, 9)$ al punto $(x, y)$ del arco $Γ$ donde está situado el coche. Se pide obtener razonadamente:
30. 2011 · Ordinaria 2011 · Ejercicio B.3 · Opción B
Se desea construir un campo rectangular con vértices $A$ , $B$ , $C$ y $D$ de manera que: los vértices $A$ y $B$ sean puntos del arco de la parábola $y = 4 - x^{2}$ , $- 2 \leq x \leq 2$ , y el segmento de extremos $A$ y $B$ es horizontal; los vértices $C$ y $D$ sean puntos del arco de la parábola $y = x^{2} - 16$ , $- 4 \leq x \leq 4$ , y el segmento de extremos $C$ y $D$ es también horizontal; los puntos $A$ y $C$ deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real positivo $x$ ; los puntos $B$ y $D$ deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real negativo $- x$ . Se pide obtener razonadamente:
31. 2010 · Extraordinaria 2010 · Ejercicio B.3 · Opción B
Dos elementos de un escudo son una circunferencia y un triángulo. La circunferencia tiene centro $(0, 0)$ y radio $5$ . Uno de los vértices del triángulo es el punto $A = (- 5, 0)$ . Los otros dos vértices del triángulo son los puntos de la circunferencia $B = (x, y)$ y $C = (x, - y)$ . Se pide obtener razonadamente:
32. 2010 · Ordinaria 2010 · Ejercicio A.3 · Opción A
Se quiere construir un estadio vallado de $10000$ metros cuadrados de superficie. El estadio está formado por un rectángulo de base $x$ y dos semicírculos exteriores de diámetro $x$ , de manera que cada lado horizontal del rectángulo es diámetro de uno de los semicírculos. El precio de un metro de valla para los lados verticales del rectángulo es de 1 euro y el precio de un metro de valla para las semicircunferencias es de 2 euros. Se pide obtener razonadamente:
33. 2009 · Extraordinaria 2009 · Ejercicio 4.1 · Opción A
A las 7 de la mañana, una lancha $A$ está situada a $150 km$ al este de otra lancha $B$ . La lancha $A$ navega hacia el oeste a una velocidad constante de $40 km/h$ y la lancha $B$ se dirige hacia el norte a $30 km/h$ . Si se mantienen estos rumbos, averiguar razonadamente a qué hora estarán ambas lanchas a distancia mínima.
34. 2009 · Ordinaria 2009 · Ejercicio 4.1 · Opción 4
Se desea construir una bodega con forma de paralelepípedo rectangular de $100 m^{3}$ de volumen de manera que el largo de su base sea $\frac{4}{3}$ de la anchura $x$ de su base. Se sabe que los precios de un metro cuadrado de suelo, de techo y de pared lateral son, respectivamente, $225 €/m^{2}$ , $300 €/m^{2}$ y $256 €/m^{2}$ . Determinar razonadamente:
35. 2009 · Ordinaria 2009 · Ejercicio 4.2 · Opción 4
Un proveedor vende un producto a un comerciante al precio de $300$ euros la unidad. El comerciante incrementa la cantidad de $300$ euros en un $40 %$ para obtener el precio de venta al público. El comerciante sabe que a ese precio venderá $50$ unidades cada mes y que durante el mes de rebajas por cada $3$ euros de reducción en el precio de venta de la unidad conseguirá un incremento de ventas de $5$ unidades. Se pide determinar, razonando las respuestas, el número de unidades que debe pedir al proveedor para venderlas en el mes de rebajas y el precio de venta de cada unidad, para maximizar sus beneficios durante ese periodo.
36. 2008 · Extraordinaria 2008 · Ejercicio 4.2
En un terreno con forma de semicírculo de radio $50$ metros, se dibuja un rectángulo que tiene dos vértices sobre la semicircunferencia del perímetro del terreno. Los otros dos vértices del rectángulo están sobre el segmento rectilíneo de dicho perímetro y distan $x$ metros. Obtener razonadamente:
37. 2008 · Ordinaria 2008 · Ejercicio 4.1
Una empresa decide lanzar una campaña de propaganda de uno de sus productos editando un texto que ocupa $18 cm^{2}$ en hojas rectangulares impresas a una cara, con márgenes superior e inferior de $2 cm$ y laterales de $1 cm$ . Se pide calcular, razonadamente, las dimensiones de la hoja para las que el consumo de papel sea mínimo (3,3 puntos).
38. 2008 · Ordinaria 2008 · Ejercicio 4.2
Una ventana tiene forma de trapecio rectangular. La base menor mide $20 cm$ y el lado oblicuo mide $40 cm$ . Hallar, razonadamente, el ángulo $α$ que debe formar el lado oblicuo con la base mayor para que el área de la ventana sea máxima (2,8 puntos). Calcular este área máxima (0,5 puntos). Nota: un trapecio rectangular es un cuadrilátero con dos lados paralelos y en el que uno de los otros dos lados es perpendicular a estos dos lados paralelos.
39. 2007 · Extraordinaria 2007 · Ejercicio 4.2
El borde de un estanque está formado por el arco de curva $y = 4 - x^{2}$ de extremos $(- 2, 0)$ y $(2, 0)$ y el segmento rectilíneo que une estos dos puntos. Un surtidor está situado en el punto de coordenadas $(0, 2)$ . Se pide:
40. 2007 · Ordinaria 2007 · Ejercicio 4.1
Unos altos hornos producen al día $x$ toneladas de acero de baja calidad y $\frac{40 - 5 x}{10 - x}$ toneladas de acero de alta calidad, siendo $8$ toneladas la producción máxima diaria de acero de baja calidad. Si el precio de una tonelada de acero de baja calidad es $100$ euros y el precio de una tonelada de acero de alta calidad es $250$ euros,