Geometría · Matemáticas II (con soluciones)

PAU Comunitat Valenciana · 40 ejercicios, del más reciente al más antiguo

1. 2026 · Ordinaria 2026 · Ejercicio 3.1 · Opción A
Dada la recta $r : \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ y el plano $π : 2 x + m y + z - 3 = 0$ , se pide:
- 3.1.1)El valor de $m$ para el que $π$ y $r$ son perpendiculares.
- 3.1.2)El valor de $m$ para el que $π$ y $r$ son paralelos.
- 3.1.3)Calcular, cuando sea posible, el punto de intersección entre $π$ y $r$ en función del parámetro real $m$ .
Caso general (m ≠ 5): r corta a π en un punto
Paralelos (m = 5): d·n = 0
Apartado 3.1.1
1. 1. De $r$ leemos un punto $A = (0, - 1, 1)$ y la dirección $d = (2, - 1, 1)$ ; del plano, la normal $n = (2, m, 1)$ . Perpendiculares significa que $d$ y $n$ son paralelos.
  $\frac{2}{2} = \frac{m}{- 1} = \frac{1}{1}$
2. 2. Las razones primera y tercera valen 1, luego la segunda también.
  $m = - 1$
  $m = - 1$
Apartado 3.1.2
1. 1. Paralelos: $d$ perpendicular a $n$ .
  $d \cdot n = 4 - m + 1 = 5 - m = 0 \Rightarrow m = 5$
2. 2. Comprobamos que $r$ no está contenida en $π$ : sustituimos $A = (0, - 1, 1)$ en $π$ con $m = 5$ .
  $2 \cdot 0 + 5 \cdot (- 1) + 1 - 3 = - 7 \neq = 0$
  Para $m = 5$ la recta es paralela al plano y no está contenida en él: $m = 5$ .
Apartado 3.1.3
1. 1. Ponemos $r$ en paramétricas, $(x, y, z) = (2 λ, - 1 - λ, 1 + λ)$ , y sustituimos en $π$ .
  $4 λ + m (- 1 - λ) + (1 + λ) - 3 = 0$
2. 2. Agrupamos y despejamos $λ$ : $(5 - m) λ = m + 2$ . Solo se puede dividir si $m \neq = 5$ .
  $λ = \frac{m + 2}{5 - m}$
3. 3. Sustituimos $λ$ en la recta.
  $P = (\frac{2 ( m + 2 )}{5 - m}, - 1 - \frac{m + 2}{5 - m}, 1 + \frac{m + 2}{5 - m}) = (\frac{2 ( m + 2 )}{5 - m}, \frac{- 7}{5 - m}, \frac{7}{5 - m})$
  Si $m \neq = 5$ : $P = (\frac{2 ( m + 2 )}{5 - m}, \frac{- 7}{5 - m}, \frac{7}{5 - m})$ .
4. 4. Si $m = 5$ la ecuación queda $0 \cdot λ = 7$ : imposible, la recta es paralela y no corta al plano.
  $m = 5 \Rightarrow 0 = 7$
  Con $m = 5$ no hay punto de intersección.
Respuesta final: 3.1.1: $m = - 1$ . 3.1.2: $m = 5$ . 3.1.3: $P = (\frac{2 ( m + 2 )}{5 - m}, \frac{- 7}{5 - m}, \frac{7}{5 - m})$ si $m \neq = 5$ ; sin corte si $m = 5$ .
2. 2026 · Ordinaria 2026 · Ejercicio 3.2 · Opción B
Consideramos la recta $s$ del espacio con ecuación: $\frac{x - 1}{0} = y - 1 = \frac{z - 1}{- 1}$ .
- 3.2.1)Encontrar una ecuación del plano que pasa por el punto $(1, 1, 1)$ y es perpendicular a $s$ .
- 3.2.2)Encontrar los puntos de la recta $s$ que están a distancia 4 del origen.
- 3.2.3)Calcular el ángulo que forma la recta $s$ con el eje Z.
Apartado 3.2.1
1. 1. De $\frac{x - 1}{0} = y - 1 = \frac{z - 1}{- 1}$ leemos un punto $(1, 1, 1)$ y el vector director $d_{s} = (0, 1, - 1)$ . Un plano perpendicular a $s$ tiene como normal a $d_{s}$ .
  $0 \cdot x + 1 \cdot y - 1 \cdot z + D = 0$
2. 2. Imponemos que pase por $(1, 1, 1)$ .
  $1 - 1 + D = 0 \Rightarrow D = 0$
  $π : y - z = 0$
Apartado 3.2.2
1. 1. Los puntos de $s$ son $(1, 1 + t, 1 - t)$ . Imponemos que su distancia al origen sea 4 (elevamos al cuadrado).
  $1^{2} + (1 + t)^{2} + (1 - t)^{2} = 16$
2. 2. Desarrollamos: los términos en $t$ se cancelan.
  $3 + 2 t^{2} = 16 \Rightarrow t^{2} = \frac{13}{2}$
  $t = \pm \frac{26}{2}$
3. 3. Sustituimos los dos valores de $t$ .
  $P_{1, 2} = (1, 1 \pm \frac{26}{2}, 1 \mp \frac{26}{2})$
  $P_{1} = (1, 1 + \frac{26}{2}, 1 - \frac{26}{2}), P_{2} = (1, 1 - \frac{26}{2}, 1 + \frac{26}{2})$
Apartado 3.2.3
1. 1. El ángulo entre una recta y un eje (que es otra recta con vector $k = (0, 0, 1)$ ) cumple $cos θ = \frac{∣ d _{s} \cdot k ∣}{∣ d _{s} ∣∣ k ∣}$ .
  $cos θ = \frac{∣ - 1∣}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2}$
  $θ = 4 5^{\circ} = \frac{π}{4}$ rad
Respuesta final: 3.2.1: $y - z = 0$ . 3.2.2: $(1, 1 \pm \frac{26}{2}, 1 \mp \frac{26}{2})$ . 3.2.3: $4 5^{\circ}$ .
3. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 3A · Opción A
Dados los planos $π_{1} : x + 2 y + m z = - 1$ , donde $m$ es un parámetro real, y $π_{2} : x + z = 6$ .
- a)Encontrar el valor de $m$ , si existe, para el que $π_{1}$ y $π_{2}$ son perpendiculares.
- b)Encontrar el valor de $m$ para el que $π_{1}$ y $π_{2}$ forman un ángulo de 45 grados.
- c)Calcular la ecuación paramétrica de la recta intersección de $π_{1}$ y $π_{2}$ .
El ángulo entre planos es el ángulo entre sus normales
Apartado a
1. 1. Dos planos son perpendiculares si sus normales lo son: $n_{1} = (1, 2, m)$ , $n_{2} = (1, 0, 1)$ .
  $n_{1} \cdot n_{2} = 1 + m = 0$
  $m = - 1$
Apartado b
1. 1. El ángulo entre planos es el de sus normales: $cos 4 5^{\circ} = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣}$ .
  $\frac{2}{2} = \frac{∣1 + m ∣}{5 + m ^{2} 2}$
2. 2. Simplificamos y elevamos al cuadrado.
  $5 + m^{2} = ∣1 + m ∣ \Rightarrow 5 + m^{2} = 1 + 2 m + m^{2} \Rightarrow 2 m = 4$
  $m = 2$
Apartado c
1. 1. Resolvemos el sistema de los dos planos con $z = λ$ como parámetro. De $π_{2}$ : $x = 6 - λ$ .
  $x = 6 - λ$
2. 2. En $π_{1}$ : $6 - λ + 2 y + mλ = - 1$ , luego $y = \frac{- 7 + ( 1 - m ) λ}{2}$ .
  $y = - \frac{7}{2} + \frac{1 - m}{2} λ$
  $r : (x, y, z) = (6, - \frac{7}{2}, 0) + λ (- 1, \frac{1 - m}{2}, 1)$
Respuesta final: a) $m = - 1$ . b) $m = 2$ . c) $(6, - \frac{7}{2}, 0) + λ (- 1, \frac{1 - m}{2}, 1)$ .
4. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 3B · Opción B
Dado el plano $π : 3 x + y - z = 2$ y los puntos $P = (0, 1, - 1)$ y $Q = (1, a, 1)$ , calcular:
- a)Los valores del parámetro $a$ , si existen, para los que la recta que pasa por $P$ y $Q$ está contenida en el plano $π$ .
- b)Para $a = 1$ , el punto simétrico de $Q$ respecto del plano $π$ .
Apartado a
1. 1. $P \in π$ : $3 \cdot 0 + 1 - (- 1) = 2$ ✓. Una recta con un punto en el plano está contenida en él si otro de sus puntos también lo está (o su dirección es perpendicular a $n_{π}$ ).
  $P \in π ✓$
2. 2. Imponemos que $Q = (1, a, 1)$ cumpla la ecuación de $π$ .
  $3 \cdot 1 + a - 1 = 2 \Rightarrow a = 0$
  $a = 0$
Apartado b
1. 1. Recta perpendicular a $π$ por $Q = (1, 1, 1)$ : $(1 + 3 λ, 1 + λ, 1 - λ)$ . Corte con $π$ :
  $3 (1 + 3 λ) + (1 + λ) - (1 - λ) = 2 \Rightarrow 11 λ = - 1 \Rightarrow λ = - \frac{1}{11}$
2. 2. El pie $M = Q - \frac{1}{11} n = (\frac{8}{11}, \frac{10}{11}, \frac{12}{11})$ es el punto medio entre $Q$ y $Q^{'}$ , de modo que $Q^{'} = 2 M - Q$ .
  $Q^{'} = (\frac{16}{11} - 1, \frac{20}{11} - 1, \frac{24}{11} - 1)$
  $Q^{'} = (\frac{5}{11}, \frac{9}{11}, \frac{13}{11})$
Respuesta final: a) $a = 0$ . b) $Q^{'} = (\frac{5}{11}, \frac{9}{11}, \frac{13}{11})$ .
5. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 3.1 · Opción A
Dados los planos $π_{1} : 2 x - a^{2} y - a z = a - 1$ y $π_{2} : (a - 1) x - a y - z = a$ , se pide:
- 3.1.1)Estudiar en función de $a$ si los planos anteriores coinciden, son paralelos no coincidentes o se cortan.
- 3.1.2)Calcular, para $a = 0$ , el ángulo entre los planos $π_{1}$ y $π_{2}$ .
- 3.1.3)Calcular, para $a = 0$ , la distancia entre el punto $P = (1, 0, - 1)$ y el plano $π_{1}$ .
Apartado 3.1.1
1. 1. Dos planos se cortan en una recta si sus vectores normales no son proporcionales, es decir, si el rango de la matriz de coeficientes es 2. Calculamos los menores $2 \times 2$ de $M = (2 a - 1 - a^{2} - a - a - 1)$ .
  $2 a - 1 - a^{2} - a = a (a - 2) (a + 1), 2 a - 1 - a - 1 = (a - 2) (a + 1), - a^{2} - a - a - 1 = 0$
2. 2. El rango de $M$ es 1 solo si se anulan los tres menores a la vez, es decir, si $(a - 2) (a + 1) = 0$ : $a = 2$ o $a = - 1$ . Para cualquier otro $a$ el rango es 2.
  $a \neq = 2, - 1 \Rightarrow rg M = 2$
  Si $a \neq = 2$ y $a \neq = - 1$ : los planos se cortan en una recta.
3. 3. $a = 2$ : $π_{1} : 2 x - 4 y - 2 z = 1$ y $π_{2} : x - 2 y - z = 2$ . Los coeficientes son proporcionales ( $2 : 1$ ) pero los términos independientes no ( $1 \neq = 2 \cdot 2$ ).
  $(2, - 4, - 2 ∣ 1) vs 2 (1, - 2, - 1 ∣ 2) = (2, - 4, - 2 ∣ 4)$
  $a = 2$ : planos paralelos no coincidentes.
4. 4. $a = - 1$ : $π_{1} : 2 x - y + z = - 2$ y $π_{2} : - 2 x + y - z = - 1$ . Los coeficientes son proporcionales (razón $- 1$ ) pero los términos independientes no: $- 1 \cdot (- 1) = 1 \neq = - 2$ .
  $(2, - 1, 1 ∣ - 2) vs - (- 2, 1, - 1 ∣ - 1) = (2, - 1, 1 ∣ 1)$
  $a = - 1$ : planos paralelos no coincidentes.\quad Nunca coinciden.
Apartado 3.1.2
1. 1. Para $a = 0$ : $π_{1} : 2 x = - 1$ (normal $n_{1} = (2, 0, 0)$ ) y $π_{2} : - x - z = 0$ (normal $n_{2} = (- 1, 0, - 1)$ ). El ángulo entre planos es el agudo entre normales.
  $cos θ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣} = \frac{∣ - 2∣}{2 \cdot 2} = \frac{2}{2}$
  $θ = 4 5^{\circ}$
Apartado 3.1.3
1. 1. Para $a = 0$ , $π_{1} : 2 x + 1 = 0$ . Distancia de $P = (1, 0, - 1)$ con la fórmula $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
  $d (P, π_{1}) = \frac{∣2 \cdot 1 + 0 + 0 + 1∣}{4} = \frac{3}{2}$
  $d = \frac{3}{2}$
Respuesta final: 3.1.1) Se cortan si $a \neq = 2, - 1$ ; paralelos no coincidentes si $a = 2$ o $a = - 1$ ; nunca coinciden. 3.1.2) $4 5^{\circ}$ . 3.1.3) $\frac{3}{2}$ .
6. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 3.2 · Opción B
Dado el plano $π : 2 x + y - 3 = 0$ y la recta $r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + α y = - 1 - 2 α z = 1$ , se pide:
- 3.2.1)Obtener la ecuación del plano perpendicular a $π$ y que contiene a $r$ .
- 3.2.2)Calcular, si existe, un plano paralelo a $π$ y que contenga a $r$ .
Apartado 3.2.1
1. 1. La recta $r$ pasa por $P_{0} = (1, - 1, 1)$ con dirección $d = (1, - 2, 0)$ . El plano pedido $π_{1}$ contiene a $r$ (su normal $n_{1}$ es perpendicular a $d$ ) y es perpendicular a $π$ (su normal es perpendicular a $n_{π} = (2, 1, 0)$ ).
  $n_{1} = n_{π} \times d = i 21 j 1 - 2 k 00 = (0, 0, - 5)$
  $n_{1} ∥ (0, 0, 1)$
2. 2. Plano de normal $(0, 0, 1)$ que pasa por $P_{0} = (1, - 1, 1)$ .
  $0 (x - 1) + 0 (y + 1) + 1 (z - 1) = 0$
  $π_{1} : z = 1$
Apartado 3.2.2
1. 1. Un plano paralelo a $π$ tiene la forma $2 x + y + k = 0$ . Contendrá a $r$ solo si $d$ es perpendicular a $n_{π}$ .
  $d \cdot n_{π} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (- 2) + 0 = 0$
  Se cumple: $r$ es paralela a $π$ , así que sí existe.
2. 2. Imponemos que $P_{0} = (1, - 1, 1)$ esté en el plano.
  $2 \cdot 1 + (- 1) + k = 0 \Rightarrow k = - 1$
  $π_{2} : 2 x + y - 1 = 0$
Respuesta final: 3.2.1) $z = 1$ . 3.2.2) Sí existe: $2 x + y - 1 = 0$ .
7. 2025 · Extraordinaria 2025 (Reserva) · Ejercicio 3.1 · Opción A
Dado el plano $π : 2 x - z = 1$ , calcular:
- 3.1.1)Si existe, el plano perpendicular a $π$ que contiene a la recta $r : {2 x - y = 0 z = y$ .
- 3.1.2)Los planos paralelos a $π$ cuya distancia al punto $P = (0, 1, 2)$ es 2.
Apartado 3.1.1
1. 1. Pasamos $r$ a paramétricas: con $x = t$ , $y = 2 x = 2 t$ , $z = y = 2 t$ . Pasa por $O = (0, 0, 0)$ con dirección $d = (1, 2, 2)$ . La normal de $π$ es $n_{π} = (2, 0, - 1)$ .
  $r : (x, y, z) = (t, 2 t, 2 t)$
2. 2. El plano buscado contiene a $r$ (su normal es perpendicular a $d$ ) y es perpendicular a $π$ (su normal es perpendicular a $n_{π}$ ). Como $d$ y $n_{π}$ no son paralelos, el plano es único y su normal es el producto vectorial.
  $n = d \times n_{π} = i 12 j 20 k 2 - 1 = (- 2, 5, - 4)$
3. 3. Plano por $O$ con normal $(2, - 5, 4)$ (proporcional a la anterior).
  $2 x - 5 y + 4 z = 0$
  Plano: $2 x - 5 y + 4 z = 0$
Apartado 3.1.2
1. 1. Los planos paralelos a $π$ son $2 x - z = k$ , es decir, $2 x - z - k = 0$ . Imponemos la distancia a $P = (0, 1, 2)$ .
  $d (P, π_{k}) = \frac{∣2 \cdot 0 - 2 - k ∣}{2 ^{2} + 1} = \frac{∣ - 2 - k ∣}{5} = 2$
2. 2. Resolvemos el valor absoluto: $- 2 - k = \pm 25$ .
  $k = - 2 \mp 25$
  $2 x - z = - 2 + 25 y 2 x - z = - 2 - 25$
Respuesta final: 3.1.1) $2 x - 5 y + 4 z = 0$ . 3.1.2) $2 x - z = - 2 + 25$ y $2 x - z = - 2 - 25$ .
8. 2025 · Extraordinaria 2025 (Reserva) · Ejercicio 3.2 · Opción B
Se considera el plano $π$ con ecuación $2 x + 3 y - z = 0$ y los cuatro puntos $A = (0, 0, 0)$ , $B = (10, 0, - 20)$ , $C = (0, 15, - 30)$ y $D = (1, 2, - 1)$ .
- 3.2.1)Comprobar si el triángulo $A B C$ pertenece al plano $π$ .
- 3.2.2)Calcular la distancia del punto $D$ al plano $π$ .
- 3.2.3)Calcular las coordenadas de la proyección del punto $D$ sobre el plano formado por los puntos $A$ , $B$ y $C$ .
Apartado 3.2.1
1. 1. Un punto pertenece a $π : 2 x + 3 y - z = 0$ si sus coordenadas cumplen la ecuación. $A$ sí; probamos $B$ y $C$ .
  $A : 0 = 0 ✓ B : 2 \cdot 10 + 0 + 20 = 40 \neq = 0 C : 0 + 45 + 30 = 75 \neq = 0$
  El triángulo $A B C$ no pertenece a $π$ (solo el vértice $A$ está en él).
Apartado 3.2.2
1. 1. Fórmula de la distancia de un punto a un plano con $D = (1, 2, - 1)$ .
  $d (D, π) = \frac{∣2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 - ( - 1 ) ∣}{4 + 9 + 1} = \frac{9}{14}$
  $d = \frac{9}{14} = \frac{9 14}{14} \approx 2, 405$
Apartado 3.2.3
1. 1. Primero el plano que forman $A$ , $B$ y $C$ : normal por el producto vectorial de dos vectores del plano.
  $A B \times A C = (10, 0, - 20) \times (0, 15, - 30) = (300, 300, 150) ∥ (2, 2, 1)$
2. 2. Pasa por $A = (0, 0, 0)$ , luego el plano es $π_{A B C} : 2 x + 2 y + z = 0$ . Proyectamos $D$ restando su componente en la dirección de la normal $n = (2, 2, 1)$ .
  $n \cdot D = 2 + 4 - 1 = 5, ∣ n ∣^{2} = 9$
  $π_{A B C} : 2 x + 2 y + z = 0$
3. 3. $D^{'} = D - \frac{n \cdot D}{∣ n ∣ ^{2}} n$ .
  $D^{'} = (1, 2, - 1) - \frac{5}{9} (2, 2, 1) = (- \frac{1}{9}, \frac{8}{9}, - \frac{14}{9})$
  $D^{'} = (- \frac{1}{9}, \frac{8}{9}, - \frac{14}{9})$
Respuesta final: 3.2.1) No. 3.2.2) $\frac{9}{14}$ . 3.2.3) $(- \frac{1}{9}, \frac{8}{9}, - \frac{14}{9})$ .
9. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 3A · Opción A
Dada la recta $r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 2 λ y = λ z = 2 - λ$ y la recta $s : {x = - 1 x + 2 y + z = 0$ , calcular:
- 3.1.1)Si existen, las coordenadas del punto de corte de ambas rectas.
- 3.1.2)La ecuación del plano que contiene a ambas rectas.
- 3.1.3)La distancia del punto $P = (1, 0, 2)$ a dicho plano.
Apartado 3.1.1
1. 1. Un punto de $s$ cumple $x = - 1$ . Imponemos $x = - 1$ también en $r$ : $1 + 2 λ = - 1$ .
  $λ = - 1$
  Candidato: $r (- 1) = (- 1, - 1, 3)$
2. 2. Comprobamos que ese punto cumple la segunda ecuación de $s$ : $x + 2 y + z = 0$ .
  $- 1 + 2 (- 1) + 3 = 0 ✓$
  Punto de corte: $(- 1, - 1, 3)$
Apartado 3.1.2
1. 1. Dirección de $s$ : producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen, $(1, 0, 0) \times (1, 2, 1)$ .
  $d_{s} = (0, - 1, 2)$ ; $d_{r} = (2, 1, - 1)$
2. 2. Las rectas son secantes, así que el plano que las contiene tiene normal $d_{r} \times d_{s}$ y pasa por el punto de corte.
  $n = i 20 j 1 - 1 k - 1 2 = (1, - 4, - 2)$
3. 3. Ecuación $x - 4 y - 2 z + D = 0$ por $(- 1, - 1, 3)$ : $- 1 + 4 - 6 + D = 0 \Rightarrow D = 3$ .
  $x - 4 y - 2 z + 3 = 0$
  $π : x - 4 y - 2 z + 3 = 0$
Apartado 3.1.3
1. 1. Fórmula de la distancia punto-plano con $P = (1, 0, 2)$ .
  $d = \frac{∣1 - 0 - 4 + 3∣}{1 + 16 + 4} = \frac{0}{21} = 0$
  $d = 0$
Respuesta final: 3.1.1: $(- 1, - 1, 3)$ . 3.1.2: $x - 4 y - 2 z + 3 = 0$ . 3.1.3: $d = 0$ (P está en el plano).
10. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 3B · Opción B
Se consideran el plano $π : 3 x - y + 2 z = 4$ y el punto $P = (- 1, 0, 1)$ . Se pide:
- 3.2.1)La ecuación del plano perpendicular a $π$ que pasa por $P$ y por $Q = (2, 1, 2)$ .
- 3.2.2)La distancia del punto $Q$ al plano $π$ .
- 3.2.3)El punto simétrico de $P$ respecto al plano $π$ .
Apartado 3.2.1
1. 1. El plano pedido contiene a $P Q = (3, 1, 1)$ y es perpendicular a $π$ , luego contiene también a $n_{π} = (3, - 1, 2)$ . Su normal es el producto vectorial.
  $n = P Q \times n_{π} = (3, 1, 1) \times (3, - 1, 2) = (3, - 3, - 6) ∥ (- 1, 1, 2)$
2. 2. Plano $- x + y + 2 z + D = 0$ por $P$ : $1 + 0 + 2 + D = 0 \Rightarrow D = - 3$ .
  $- x + y + 2 z - 3 = 0$
  $π^{'} : - x + y + 2 z - 3 = 0$
Apartado 3.2.2
1. 1. Distancia de $Q$ a $π : 3 x - y + 2 z - 4 = 0$ .
  $d = \frac{∣3 \cdot 2 - 1 + 2 \cdot 2 - 4∣}{9 + 1 + 4} = \frac{5}{14}$
  $d = \frac{5}{14} = \frac{5 14}{14} \approx 1, 34$ u
Apartado 3.2.3
1. 1. Recta $r$ por $P$ perpendicular a $π$ : $P + λ n_{π} = (- 1 + 3 λ, - λ, 1 + 2 λ)$ . Su corte con $π$ es el pie $M$ de la perpendicular.
  $3 (- 1 + 3 λ) - (- λ) + 2 (1 + 2 λ) = 4 \Rightarrow 14 λ = 5 \Rightarrow λ = \frac{5}{14}$
2. 2. $M = (\frac{1}{14}, - \frac{5}{14}, \frac{12}{7})$ es el punto medio entre $P$ y su simétrico $P^{'}$ , luego $P^{'} = 2 M - P$ .
  $P^{'} = (\frac{1}{7} + 1, - \frac{5}{7}, \frac{24}{7} - 1)$
  $P^{'} = (\frac{8}{7}, - \frac{5}{7}, \frac{17}{7})$
Respuesta final: 3.2.1: $- x + y + 2 z - 3 = 0$ . 3.2.2: $\frac{5}{14}$ . 3.2.3: $P^{'} = (\frac{8}{7}, - \frac{5}{7}, \frac{17}{7})$ .
11. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio 3
Se dan las rectas $r : x - 1 = y - 2 = \frac{z - 1}{2}$ y $s : \frac{x - 3}{- 2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 1}{2}$ . Se pide:
- a)Comprobar que se cortan y calcular las coordenadas del punto $P$ de intersección.
- b)Determinar la ecuación de la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$ y a $s$ .
Apartado a
1. 1. Escribimos $r$ y $s$ en paramétricas: $r : (1 + t, 2 + t, 1 + 2 t)$ y $s : (3 - 2 u, 3 - u, - 1 + 2 u)$ . Igualamos coordenadas.
  $⎩ ⎨ ⎧ 1 + t = 3 - 2 u 2 + t = 3 - u 1 + 2 t = - 1 + 2 u$
2. 2. Restando las dos primeras: $1 = u$ ; luego $t = 3 - 2 - 1 = 0$ . Comprobamos con la tercera.
  $u = 1, t = 0 : 1 + 2 \cdot 0 = 1 = - 1 + 2 \cdot 1 ✓$
  Sistema compatible: las rectas se cortan en $P = (1, 2, 1)$
Apartado b
1. 1. Direcciones: $d_{r} = (1, 1, 2)$ y $d_{s} = (- 2, - 1, 2)$ . La recta pedida pasa por $P$ y es perpendicular a ambas, luego su dirección es el producto vectorial.
  $v = d_{r} \times d_{s} = i 1 - 2 j 1 - 1 k 22 = (4, - 6, 1)$
2. 2. Ecuación de la recta por $P$ con dirección $v$ .
  $(x, y, z) = (1, 2, 1) + λ (4, - 6, 1)$
  $\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{- 6} = \frac{z - 1}{1}$
Respuesta final: a) $P = (1, 2, 1)$ . b) $(x, y, z) = (1, 2, 1) + λ (4, - 6, 1)$ .
12. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio 4
Sea el plano $π : 6 x + 4 y - 3 z - d = 0$ . Se pide:
- a)Calcular los valores de $d$ para que la distancia del plano al origen sea una unidad.
- b)Calcular, en función del parámetro $d$ , las coordenadas de los puntos $A$ , $B$ y $C$ que resultan de intersectar el plano $π$ con los ejes de coordenadas, $X$ , $Y$ y $Z$ , respectivamente.
- c)Para $d \neq = 0$ , calcular el ángulo formado por los vectores $A B$ y $A C$ determinados por los puntos del apartado anterior.
Apartado a
1. 1. Distancia del origen al plano $6 x + 4 y - 3 z - d = 0$ : $\frac{∣ - d ∣}{6 ^{2} + 4 ^{2} + 3 ^{2}}$ .
  $\frac{∣ d ∣}{61} = 1 \Rightarrow ∣ d ∣ = 61$
  $d = 61$ o $d = - 61$
Apartado b
1. 1. Corte con el eje $X$ ( $y = z = 0$ ), con el eje $Y$ ( $x = z = 0$ ) y con el eje $Z$ ( $x = y = 0$ ).
  $6 x = d \Rightarrow A = (\frac{d}{6}, 0, 0); 4 y = d \Rightarrow B = (0, \frac{d}{4}, 0); - 3 z = d \Rightarrow C = (0, 0, - \frac{d}{3})$
  $A = (\frac{d}{6}, 0, 0), B = (0, \frac{d}{4}, 0), C = (0, 0, - \frac{d}{3})$
Apartado c
1. 1. Vectores (con $d \neq = 0$ ):
  $A B = (- \frac{d}{6}, \frac{d}{4}, 0), A C = (- \frac{d}{6}, 0, - \frac{d}{3})$
2. 2. Producto escalar y módulos (aparece $d^{2}$ que se simplifica).
  $A B \cdot A C = \frac{d ^{2}}{36}, ∣ A B ∣ = ∣ d ∣ \frac{13}{12}, ∣ A C ∣ = ∣ d ∣ \frac{5}{6}$
3. 3. Coseno del ángulo.
  $cos θ = \frac{d ^{2} /36}{d ^{2} 13 5 /72} = \frac{2}{65}$
  $θ = arccos \frac{2}{65} \approx 75, 6^{\circ}$
Respuesta final: a) $d = \pm 61$ . b) $A = (d /6, 0, 0)$ , $B = (0, d /4, 0)$ , $C = (0, 0, - d /3)$ . c) $θ = arccos \frac{2}{65} \approx 75, 6^{\circ}$ .
13. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio 3
Se considera la recta $r : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z + 2}{- 1}$ y el plano $π : 3 x - m y + z = 1$ . Se pide:
- a)Determinar el valor del parámetro real $m$ para que $r$ y $π$ sean paralelos. Obtener además los valores de $m$ para los que el plano $π$ contiene a la recta $r$ .
- b)Para los valores $m$ del apartado anterior, hallar un plano paralelo a $π$ , que contenga a la recta $r$ .
- c)Calcular, en función de $m$ , la distancia entre $π$ y el punto $P = (1, - 1, - 2)$ .
Apartado a
1. 1. De $r$ : punto $P_{r} = (1, - 1, - 2)$ y dirección $d = (2, 3, - 1)$ . Normal de $π$ : $n = (3, - m, 1)$ . Recta y plano son paralelos si $d ⊥ n$ .
  $d \cdot n = 6 - 3 m - 1 = 5 - 3 m = 0$
  $m = \frac{5}{3}$ (paralelos)
2. 2. Para que $π$ contenga a $r$ se necesitan dos cosas: $d \cdot n = 0$ ( $m = \frac{5}{3}$ ) y que $P_{r} \in π$ .
  $P_{r} \in π : 3 \cdot 1 - m (- 1) + (- 2) = 1 ⟺ 3 + m - 2 = 1 ⟺ m = 0$
  No existe ningún $m$ que haga que $π$ contenga a $r$
Apartado b
1. 1. Con $m = \frac{5}{3}$ el plano $π$ tiene normal $(3, - \frac{5}{3}, 1) ∥ (9, - 5, 3)$ . Un plano paralelo es $9 x - 5 y + 3 z = k$ ; imponemos que contenga a $P_{r}$ .
  $9 \cdot 1 - 5 \cdot (- 1) + 3 \cdot (- 2) = 9 + 5 - 6 = 8 = k$
  $9 x - 5 y + 3 z = 8$
Apartado c
1. 1. Fórmula de la distancia de $P = (1, - 1, - 2)$ a $π : 3 x - m y + z - 1 = 0$ .
  $d (P, π) = \frac{∣3 \cdot 1 - m \cdot ( - 1 ) + ( - 2 ) - 1∣}{9 + m ^{2} + 1} = \frac{∣ m ∣}{m ^{2} + 10}$
  $d = \frac{∣ m ∣}{m ^{2} + 10}$
Respuesta final: a) Paralelos si $m = \frac{5}{3}$ ; ningún $m$ hace que $π$ contenga a $r$ . b) $9 x - 5 y + 3 z = 8$ . c) $d = \frac{∣ m ∣}{m ^{2} + 10}$ .
14. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio 4
Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos $P = (2, 1, 3)$ y $Q = (1, 3, 1)$ , y los otros dos sobre una recta $r$ que pasa por el punto $R = (4, 7, 6)$ .
- a)Calcular la ecuación de la recta $r$ .
- b)Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado.
- c)Hallar las coordenadas de los otros dos vértices.
Apartado a
1. 1. En un cuadrado los lados opuestos son paralelos. Los otros dos vértices están en el lado opuesto a $P Q$ , luego $r$ es paralela a $P Q$ y pasa por $R$ .
  $P Q = Q - P = (- 1, 2, - 2), r : (x, y, z) = (4, 7, 6) + t (- 1, 2, - 2)$
  $r : \frac{x - 4}{- 1} = \frac{y - 7}{2} = \frac{z - 6}{- 2}$
Apartado b
1. 1. El plano del cuadrado contiene a $P$ , $Q$ y $R$ (ya que $r$ es paralela a $P Q$ y pasa por $R$ ). Su normal es perpendicular a $P Q$ y a $P R = (2, 6, 3)$ .
  $n = P Q \times P R = i - 1 2 j 26 k - 2 3 = (18, - 1, - 10)$
2. 2. Ecuación del plano por $P = (2, 1, 3)$ .
  $18 (x - 2) - (y - 1) - 10 (z - 3) = 0 ⟺ 18 x - y - 10 z = 5$
  $π : 18 x - y - 10 z - 5 = 0$
Apartado c
1. 1. Los vértices pedidos $T$ (contiguo a $P$ ) y $S$ (contiguo a $Q$ ) están en $r$ y los lados $P T$ , $QS$ son perpendiculares a $P Q$ . Calculamos $T$ como el pie de la perpendicular a $P Q$ desde $P$ sobre $r$ : quitamos de $P R$ su componente según $P Q$ .
  $P R \cdot P Q = - 2 + 12 - 6 = 4, ∣ P Q ∣^{2} = 9 \Rightarrow w = P R - \frac{4}{9} P Q = (\frac{22}{9}, \frac{46}{9}, \frac{35}{9})$
2. 2. Los vértices son $T = P + w$ y $S = Q + w$ (el desplazamiento $w$ es perpendicular a $P Q$ y lleva $P Q$ sobre $r$ ).
  $T = (\frac{40}{9}, \frac{55}{9}, \frac{62}{9}), S = (\frac{31}{9}, \frac{73}{9}, \frac{44}{9})$
  $T = (\frac{40}{9}, \frac{55}{9}, \frac{62}{9}), S = (\frac{31}{9}, \frac{73}{9}, \frac{44}{9})$
3. 3. Aviso sobre los datos del enunciado: para que $P QS T$ sea un cuadrado, el lado $P T$ debería medir lo mismo que $P Q$ .
  $∣ P Q ∣ = 3, ∣ w ∣ = \frac{484 + 2116 + 1225}{81} = \frac{5 17}{3} \approx 6, 87 \neq = 3$
  Con $R = (4, 7, 6)$ la figura es un rectángulo, no un cuadrado: los datos son incompatibles.
Respuesta final: a) $r : (4, 7, 6) + t (- 1, 2, - 2)$ . b) $18 x - y - 10 z = 5$ . c) $T = (\frac{40}{9}, \frac{55}{9}, \frac{62}{9})$ , $S = (\frac{31}{9}, \frac{73}{9}, \frac{44}{9})$ (pies de las perpendiculares); con los datos dados el lado no mide 3 y la figura es un rectángulo.
15. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 3
Dados los puntos $A = (2, - 1, 0)$ , $B = (1, 2, 3)$ y $C = (- 1, 0, 0)$ :
- a)Hallar la ecuación implícita de la recta $r$ que contiene a los puntos $A$ y $B$ .
- b)Hallar la ecuación del plano $π$ que es perpendicular a la recta anterior $r$ y que contiene al punto $C$ .
- c)Calcular la distancia del punto $A$ al plano $π$ .
Apartado a
1. 1. Dirección de la recta: $A B = B - A = (- 1, 3, 3)$ . Paramétricas desde $A$ .
  $r : x = 2 - t, y = - 1 + 3 t, z = 3 t$
2. 2. Eliminamos $t$ : de la primera, $t = 2 - x$ ; en la segunda y la tercera.
  $y = - 1 + 3 (2 - x) \Rightarrow 3 x + y - 5 = 0; z = 3 (2 - x) \Rightarrow 3 x + z - 6 = 0$
  $r : {3 x + y - 5 = 0 3 x + z - 6 = 0$
Apartado b
1. 1. El plano perpendicular a $r$ tiene por normal la dirección de $r$ y pasa por $C = (- 1, 0, 0)$ .
  $- 1 (x + 1) + 3 (y - 0) + 3 (z - 0) = 0 ⟺ - x + 3 y + 3 z - 1 = 0$
  $π : x - 3 y - 3 z + 1 = 0$
Apartado c
1. 1. Distancia de $A = (2, - 1, 0)$ al plano $x - 3 y - 3 z + 1 = 0$ .
  $d (A, π) = \frac{∣2 - 3 ( - 1 ) - 3 \cdot 0 + 1∣}{1 + 9 + 9} = \frac{6}{19}$
  $d = \frac{6}{19} = \frac{6 19}{19} \approx 1, 376$
Respuesta final: a) $3 x + y = 5, 3 x + z = 6$ . b) $x - 3 y - 3 z + 1 = 0$ . c) $\frac{6}{19}$ .
16. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 4
Dada la recta $r : (x, y, z) = (1, 1, 0) + λ (- 1, - 1, 2)$ y el plano $π : 5 x + m y + z = 2$ :
- a)Obtener la posición relativa de $r$ y $π$ en función de $m$ .
- b)Para $m = 1$ , calcular el plano $π^{'}$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $π$ .
Apartado a
1. 1. Recta: punto $P_{0} = (1, 1, 0)$ y dirección $d = (- 1, - 1, 2)$ . Plano: normal $n = (5, m, 1)$ . Estudiamos $d \cdot n$ .
  $d \cdot n = - 5 - m + 2 = - 3 - m$
  Si $m \neq = - 3$ : $d \cdot n \neq = 0$ , la recta y el plano son secantes (se cortan en un punto).
2. 2. Si $m = - 3$ : $d ⊥ n$ , la recta es paralela al plano o está contenida. Comprobamos si $P_{0} \in π$ .
  $5 \cdot 1 + (- 3) \cdot 1 + 0 = 2$ (coincide con el término independiente $2$ )
  Si $m = - 3$ : la recta está contenida en el plano.
Apartado b
1. 1. Con $m = 1$ : $π : 5 x + y + z = 2$ , normal $n = (5, 1, 1)$ . El plano buscado $π_{1}$ contiene a $r$ (su normal es perpendicular a $d$ ) y es perpendicular a $π$ (su normal es perpendicular a $n$ ).
  $n_{1} = d \times n = i - 1 5 j - 1 1 k 21 = (- 3, 11, 4)$
2. 2. Plano por $P_{0} = (1, 1, 0)$ con normal $(- 3, 11, 4)$ .
  $- 3 (x - 1) + 11 (y - 1) + 4 z = 0 ⟺ - 3 x + 11 y + 4 z - 8 = 0$
  $π_{1} : 3 x - 11 y - 4 z + 8 = 0$
Respuesta final: a) $m \neq = - 3$ : secantes; $m = - 3$ : $r \subset π$ . b) $3 x - 11 y - 4 z + 8 = 0$ .
17. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio 3
Dada la recta $r : {x - y = 1 x + 2 y + z = 0$ y los puntos $P = (0, 0, 3)$ y $Q = (2, 2, a)$ , obtener:
- a)Los valores del parámetro real $a$ , si existen, para los que son paralelas la recta $r$ y la recta que pasa por los puntos $P$ y $Q$ .
- b)La ecuación del plano perpendicular a $r$ y que pasa por $P$ .
Esquema: PQ paralela a r (a = −3) y plano π perpendicular a r por P
Apartado a
1. 1. Dirección de $r$ : producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen.
  $d_{r} = (1, - 1, 0) \times (1, 2, 1) = i 11 j - 1 2 k 01 = (- 1, - 1, 3)$
2. 2. La recta $P Q$ tiene dirección $P Q = (2, 2, a - 3)$ . Es paralela a $r$ si es proporcional a $d_{r}$ .
  $\frac{2}{- 1} = \frac{2}{- 1} = \frac{a - 3}{3} \Rightarrow a - 3 = - 6$
  $a = - 3$
Apartado b
1. 1. El plano perpendicular a $r$ tiene como normal la dirección de $r$ y pasa por $P = (0, 0, 3)$ .
  $- 1 (x - 0) - 1 (y - 0) + 3 (z - 3) = 0 ⟺ - x - y + 3 z - 9 = 0$
  $x + y - 3 z + 9 = 0$
Respuesta final: a) $a = - 3$ . b) $x + y - 3 z + 9 = 0$ .
18. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio 4
Dada la recta $r : {5 x + y + 7 z = 16 9 x - y + 7 z = 12$ y el punto $P = (0, 5, 2)$ se pide:
- a)Comprobar que el punto $Q = (2, 6, 0)$ pertenece a la recta $r$ y encontrar la recta $s$ que pasa por los puntos $P$ y $Q$ .
- b)Obtener el ángulo que forman la recta $r$ y la recta $s$ .
- c)Obtener la proyección ortogonal del punto $P$ en la recta $r$ .
Apartado a
1. 1. Sustituimos $Q = (2, 6, 0)$ en las dos ecuaciones de $r$ .
  $5 \cdot 2 + 6 + 0 = 16 ✓, 9 \cdot 2 - 6 + 0 = 12 ✓$
  $Q \in r$
2. 2. La recta $s$ pasa por $P = (0, 5, 2)$ y $Q$ : dirección $P Q = (2, 1, - 2)$ .
  $s : (x, y, z) = (0, 5, 2) + μ (2, 1, - 2) ⟺ \frac{x}{2} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z - 2}{- 2}$
  $s : \frac{x}{2} = y - 5 = \frac{z - 2}{- 2}$
Apartado b
1. 1. Dirección de $r$ : producto vectorial de las normales $(5, 1, 7)$ y $(9, - 1, 7)$ .
  $d_{r} = (5, 1, 7) \times (9, - 1, 7) = (14, 28, - 14) ∥ (1, 2, - 1)$
2. 2. Ángulo entre rectas: el agudo entre sus direcciones.
  $cos θ = \frac{∣ ( 1 , 2 , - 1 ) \cdot ( 2 , 1 , - 2 ) ∣}{6 \cdot 3} = \frac{6}{3 6} = \frac{6}{3}$
  $θ = arccos \frac{6}{3} \approx 35, 2 6^{\circ}$
Apartado c
1. 1. La proyección $P^{'}$ de $P$ sobre $r$ es el pie de la perpendicular. Tomamos $r$ por $Q$ con $d = (1, 2, - 1)$ : $P^{'} = Q + λ d$ con $P^{'} P \cdot d = 0$ .
  $λ = \frac{QP \cdot d}{∣ d ∣ ^{2}} = \frac{( - 2 , - 1 , 2 ) \cdot ( 1 , 2 , - 1 )}{6} = \frac{- 6}{6} = - 1$
2. 2. Sustituimos $λ = - 1$ en $Q + λ d$ .
  $P^{'} = (2, 6, 0) - (1, 2, - 1) = (1, 4, 1)$
  $P^{'} = (1, 4, 1)$
Respuesta final: a) $Q \in r$ ; $s : \frac{x}{2} = y - 5 = \frac{z - 2}{- 2}$ . b) $arccos \frac{6}{3} \approx 35, 2 6^{\circ}$ . c) $(1, 4, 1)$ .
19. 2022 · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 3
Dados los puntos $A = (2, 0, 0)$ y $B = (0, 1, 0)$ , y la recta $s : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{3} = z$ :
- a)Hallar la ecuación de la recta $r$ que pasa por los puntos $A$ y $B$ .
- b)Determinar la ecuación implícita del plano que contiene a la recta $s$ y es paralelo a la recta $r$ .
- c)Calcular la distancia del punto $A$ a la recta $s$ .
Apartado a
1. 1. Recta por $A (2, 0, 0)$ y $B (0, 1, 0)$ : dirección $A B = (- 2, 1, 0)$ .
  $r : (x, y, z) = (2, 0, 0) + λ (- 2, 1, 0)$ , es decir, $\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y}{1}, z = 0$
  $r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 - 2 λ y = λ z = 0$
Apartado b
1. 1. El plano contiene a $s$ (punto $S (1, 1, 0)$ , dirección $d_{s} = (2, 3, 1)$ ) y es paralelo a $r$ (dirección $(- 2, 1, 0)$ ): su normal es el producto vectorial.
  $n = (2, 3, 1) \times (- 2, 1, 0) = (- 1, - 2, 8)$
2. 2. Ecuación con el punto $S (1, 1, 0)$ .
  $- (x - 1) - 2 (y - 1) + 8 z = 0 ⟺ x + 2 y - 8 z - 3 = 0$
  $π : x + 2 y - 8 z - 3 = 0$
Apartado c
1. 1. Distancia punto-recta: $d = \frac{∣ S A \times d _{s} ∣}{∣ d _{s} ∣}$ con $S A = (1, - 1, 0)$ .
  $S A \times d_{s} = (1, - 1, 0) \times (2, 3, 1) = (- 1, - 1, 5)$
2. 2. Módulos.
  $d = \frac{1 + 1 + 25}{4 + 9 + 1} = \frac{27}{14} = \frac{3 3}{14} = \frac{3 42}{14} \approx 1, 39$
  $d (A, s) = \frac{3 42}{14} \approx 1, 39$
Respuesta final: a) $r : (2, 0, 0) + λ (- 2, 1, 0)$ . b) $x + 2 y - 8 z - 3 = 0$ . c) $\frac{3 42}{14}$ .
20. 2022 · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 4
Dados los puntos $A = (2, 1, - 2)$ y $B = (3, 2, 3)$ , y el plano $π$ definido por $2 x + 2 y + z = 3$ , obtener:
- a)El punto de corte $C$ entre el plano $π$ y la recta perpendicular a $π$ que pasa por $B$ .
- b)El área del triángulo cuyos vértices son $A$ , $B$ y $C$ .
Apartado a
1. 1. Recta perpendicular a $π$ por $B$ : dirección $n = (2, 2, 1)$ .
  $(3 + 2 λ, 2 + 2 λ, 3 + λ)$
2. 2. Imponemos que cumpla $2 x + 2 y + z = 3$ .
  $2 (3 + 2 λ) + 2 (2 + 2 λ) + 3 + λ = 3 \Rightarrow 13 + 9 λ = 3 \Rightarrow λ = - \frac{10}{9}$
3. 3. Punto $C$ .
  $C = (3 - \frac{20}{9}, 2 - \frac{20}{9}, 3 - \frac{10}{9}) = (\frac{7}{9}, - \frac{2}{9}, \frac{17}{9})$
  $C = (\frac{7}{9}, - \frac{2}{9}, \frac{17}{9})$
Apartado b
1. 1. Área del triángulo: $\frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣$ , con $A B = (1, 1, 5)$ y $A C = (- \frac{11}{9}, - \frac{11}{9}, \frac{35}{9})$ .
  $A B \times A C = (10, - 10, 0)$
2. 2. Módulo y mitad.
  $\overset{ˊ}{A} rea = \frac{1}{2} 100 + 100 = \frac{1}{2} \cdot 102 = 52 \approx 7, 07 u^{2}$
  $\overset{ˊ}{A} rea = 52 u^{2}$
Respuesta final: a) $C = (\frac{7}{9}, - \frac{2}{9}, \frac{17}{9})$ . b) $52 u^{2}$ .
21. 2022 · Ordinaria 2022 · Ejercicio 3
Dadas las rectas $r : {x = z - 1 y = 2 - 3 z$ y $s : {x = 4 - 5 z y = 4 z - 3$ .
- a)Indicar justificadamente la posición relativa de $r$ y $s$ .
- b)Hallar la ecuación de la recta $l$ que pasa por el origen y corta a $r$ y $s$ .
Apartado a
1. 1. Tomamos $z = λ$ como parámetro en cada recta y leemos un punto y un vector director.
  $r : (x, y, z) = (- 1, 2, 0) + λ (1, - 3, 1), s : (x, y, z) = (4, - 3, 0) + μ (- 5, 4, 1)$
  $d_{r} = (1, - 3, 1)$ , $d_{s} = (- 5, 4, 1)$
2. 2. Los vectores no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas ni coincidentes.
  $\frac{1}{- 5} \neq = \frac{- 3}{4}$
3. 3. Vector que une los puntos: $P_{r} P_{s} = (5, - 5, 0)$ . Calculamos el determinante de los tres vectores.
  $1 - 5 5 - 3 4 - 5 110 = - 5 \neq = 0$
  Los tres vectores son linealmente independientes: no hay punto común ni son coplanarias.
4. 4. Conclusión.
  $r$ y $s$ se cruzan.
Apartado b
1. 1. La recta $l$ buscada está en el plano $α$ que contiene a $O$ y a $r$ , y en el plano $β$ que contiene a $O$ y a $s$ : $l = α \cap β$ .
2. 2. Plano $α$ : pasa por $O$ , con direcciones $d_{r}$ y $O P_{r} = (- 1, 2, 0)$ . Normal $= d_{r} \times (- 1, 2, 0)$ .
  $n_{α} = (- 1, 2, 0) \times (1, - 3, 1) = (2, 1, 1) \Rightarrow α : 2 x + y + z = 0$
3. 3. Plano $β$ : pasa por $O$ con direcciones $d_{s}$ y $O P_{s} = (4, - 3, 0)$ .
  $n_{β} = (4, - 3, 0) \times (- 5, 4, 1) = (- 3, - 4, 1) \Rightarrow β : 3 x + 4 y - z = 0$
4. 4. La recta $l$ es la intersección de ambos planos; su dirección es el producto vectorial de las normales y pasa por $O$ .
  $(2, 1, 1) \times (3, 4, - 1) = (- 5, 5, 5) ∥ (- 1, 1, 1)$
  $l : (x, y, z) = λ (- 1, 1, 1)$ , es decir, $x = - λ, y = λ, z = λ$
5. 5. Comprobación: $l$ corta a $r$ en $λ = \frac{1}{2} \Rightarrow (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ (que es el punto de $r$ con $λ = \frac{1}{2}$ ) y a $s$ en $λ = 1 \Rightarrow (- 1, 1, 1)$ (que es el punto de $s$ con $μ = 1$ ).
Respuesta final: a) $r$ y $s$ se cruzan. b) $l : (x, y, z) = λ (- 1, 1, 1)$ .
22. 2022 · Ordinaria 2022 · Ejercicio 4
Dados los planos $π_{1} : 2 x - y - z + 4 = 0$ y $π_{2} : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + α y = 1 + α + β z = α - β$ , y la recta $r : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ .
- a)Calcular la posición relativa de $π_{1}$ y $π_{2}$ .
- b)Calcular el punto $P^{'}$ que es simétrico al punto $P = (1, 0, 0)$ respecto del plano $π_{1}$ .
- c)Calcular, si existe, el punto de intersección de $π_{1}$ y $r$ .
Apartado a
1. 1. Escribimos $π_{2}$ en forma implícita. Direcciones $u = (1, 1, 1)$ y $v = (0, 1, - 1)$ , punto $(- 1, 1, 0)$ . Normal $= u \times v$ .
  $n_{2} = (1, 1, 1) \times (0, 1, - 1) = (- 2, 1, 1) \Rightarrow π_{2} : - 2 (x + 1) + (y - 1) + z = 0 ⟺ 2 x - y - z + 3 = 0$
2. 2. Comparamos con $π_{1} : 2 x - y - z + 4 = 0$ : los coeficientes de $x, y, z$ coinciden y el término independiente es distinto.
  $\frac{2}{2} = \frac{- 1}{- 1} = \frac{- 1}{- 1} \neq = \frac{4}{3}$
  Los planos son paralelos (no coincidentes).
Apartado b
1. 1. Recta perpendicular a $π_{1}$ por $P$ : dirección $n_{1} = (2, - 1, - 1)$ .
  $s : (1 + 2 λ, - λ, - λ)$
2. 2. Sustituimos en $π_{1}$ para hallar el pie $M$ de la perpendicular.
  $2 (1 + 2 λ) + λ + λ + 4 = 0 \Rightarrow 6 λ + 6 = 0 \Rightarrow λ = - 1$
  $M = (- 1, 1, 1)$
3. 3. $M$ es el punto medio de $P$ y $P^{'}$ , luego $P^{'} = 2 M - P$ (equivale a $λ = - 2$ ).
  $P^{'} = 2 (- 1, 1, 1) - (1, 0, 0) = (- 3, 2, 2)$
  $P^{'} = (- 3, 2, 2)$
Apartado c
1. 1. Escribimos $r$ en paramétricas y sustituimos en $π_{1}$ .
  $r : (1 + λ, 2 λ, 2 - λ)$ ; $2 (1 + λ) - 2 λ - (2 - λ) + 4 = 0 \Rightarrow λ + 4 = 0 \Rightarrow λ = - 4$
2. 2. Punto de corte.
  $(1 - 4, - 8, 2 + 4) = (- 3, - 8, 6)$
  $(- 3, - 8, 6)$
Respuesta final: a) Paralelos no coincidentes. b) $P^{'} = (- 3, 2, 2)$ . c) $(- 3, - 8, 6)$ .
23. 2021 · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 2
Se dan las rectas $r : {x + y - 1 = 0 2 x - z - 1 = 0$ , $s : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{2}$ y el plano $π : x + m y + z = 2$ que depende del parámetro real $m$ . Obtened:
- a)La posición relativa de las rectas $r$ y $s$ .
- b)El valor del parámetro $m$ para que la recta $r$ esté contenida en el plano $π$ .
- c)Los puntos $A, B, C$ intersección del plano $π$ con los ejes de coordenadas cuando $m = 2$ , así como el volumen del tetraedro de vértices $A, B, C$ y $P (2, 2, 2)$ .
Apartado a
1. 1. Dirección de $r$ como producto vectorial de las normales de los planos que la definen: $(1, 1, 0) \times (2, 0, - 1)$ . Punto de $r$ : $x = 0 \Rightarrow y = 1, z = - 1$ .
  $d_{r} = (- 1, 1, - 2), A_{r} = (0, 1, - 1)$ ; $d_{s} = (1, - 1, 2), A_{s} = (1, 0, 0)$
2. 2. Los vectores directores son proporcionales: $d_{r} = - d_{s}$ . Comprobamos si $A_{r}$ está en $s$ : $\frac{0 - 1}{1} = - 1$ , $\frac{1}{- 1} = - 1$ , $\frac{- 1}{2} = - \frac{1}{2} \neq = - 1$ .
  $A_{r} \in / s$
  Las rectas $r$ y $s$ son paralelas y distintas.
Apartado b
1. 1. $r \subset π$ exige que un punto de $r$ esté en $π$ y que $d_{r} ⊥ n_{π} = (1, m, 1)$ . Con $A_{r} = (0, 1, - 1)$ : $0 + m - 1 = 2$ .
  $m - 1 = 2 \Rightarrow m = 3$
2. 2. Comprobación de la dirección: $d_{r} \cdot n_{π} = - 1 + m - 2 = 0 ⟺ m = 3$ .
  $m = 3$
Apartado c
1. 1. Con $m = 2$ , $π : x + 2 y + z = 2$ . Cortes con los ejes.
  $A = (2, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 2)$
2. 2. Volumen del tetraedro $= \frac{1}{6} det (A B, A C, A P)$ con $A B = (- 2, 1, 0)$ , $A C = (- 2, 0, 2)$ , $A P = (0, 2, 2)$ .
  $- 2 - 2 0 102022 = 12 \Rightarrow V = \frac{12}{6} = 2 u^{3}$
  $V = 2 u^{3}$
Respuesta final: a) Paralelas y distintas. b) $m = 3$ . c) $A (2, 0, 0)$ , $B (0, 1, 0)$ , $C (0, 0, 2)$ ; $V = 2 u^{3}$ .
24. 2021 · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 5
Dados los puntos $P (1, 1, 0)$ , $Q (2, - 1, 1)$ y $R (α, 3, - 1)$ se pide:
- a)La ecuación del plano que contiene a $P$ , $Q$ y $R$ cuando $α = 1$ y la distancia de dicho plano al origen de coordenadas.
- b)La ecuación de la recta $r$ que pasa por $R$ cuando $α = 1$ y es paralela a la recta $s$ que pasa por $P$ y $Q$ . Calculad la distancia entre las rectas $r$ y $s$ .
- c)Los valores de $α$ para los cuales $P$ , $Q$ y $R$ están alineados y la ecuación de la recta que los contiene.
Apartado a
1. 1. Con $α = 1$ : $R = (1, 3, - 1)$ . Vectores del plano: $P Q = (1, - 2, 1)$ , $P R = (0, 2, - 1)$ . Normal $= P Q \times P R$ .
  $n = (1, - 2, 1) \times (0, 2, - 1) = (0, 1, 2)$
2. 2. Ecuación por $P$ y distancia al origen.
  $y - 1 + 2 z = 0 ⟺ y + 2 z = 1, d (O, π) = \frac{∣0 + 0 - 1∣}{0 + 1 + 4} = \frac{1}{5} = \frac{5}{5}$
  $π : y + 2 z - 1 = 0$ ; $d (O, π) = \frac{5}{5} \approx 0, 447$
Apartado b
1. 1. La recta $r$ pasa por $R = (1, 3, - 1)$ con la dirección de $s$ : $P Q = (1, - 2, 1)$ .
  $r : (x, y, z) = (1, 3, - 1) + λ (1, - 2, 1)$
  $r : (1 + λ, 3 - 2 λ, - 1 + λ)$
2. 2. Distancia entre rectas paralelas = distancia de $R$ a $s$ : $\frac{∣ P R \times d _{s} ∣}{∣ d _{s} ∣}$ .
  $P R \times d_{s} = (0, 2, - 1) \times (1, - 2, 1) = (0, - 1, - 2), d = \frac{5}{6} = \frac{30}{6} \approx 0, 913$
  $d (r, s) = \frac{30}{6}$
Apartado c
1. 1. $P$ , $Q$ y $R$ están alineados si $P R = (α - 1, 2, - 1)$ es proporcional a $P Q = (1, - 2, 1)$ .
  $\frac{α - 1}{1} = \frac{2}{- 2} = \frac{- 1}{1} \Rightarrow α - 1 = - 1 \Rightarrow α = 0$
2. 2. Recta que los contiene: por $P$ con dirección $(1, - 2, 1)$ .
  $(x, y, z) = (1, 1, 0) + λ (1, - 2, 1)$
  $α = 0$ ; recta $x = 1 + λ, y = 1 - 2 λ, z = λ$
Respuesta final: a) $y + 2 z - 1 = 0$ ; $d = \frac{5}{5}$ . b) $r : (1, 3, - 1) + λ (1, - 2, 1)$ ; $d (r, s) = \frac{30}{6}$ . c) $α = 0$ ; $(1, 1, 0) + λ (1, - 2, 1)$ .
25. 2021 · Ordinaria 2021 · Ejercicio 2
Se dan los planos $π_{1} : x + y + z = a - 1$ , $π_{2} : 2 x + y + a z = a$ y $π_{3} : x + a y + z = 1$ .
- a)Determinad la posición relativa de los tres planos en función del parámetro $a$ .
- b)Para $a = 1$ , calculad, si existe, la recta de corte entre los planos $π_{1}$ y $π_{3}$ .
- c)Para $a = 2$ , calculad, si existe, la recta de corte entre los planos $π_{1}$ y $π_{2}$ .
Apartado a
1. 1. Matriz de coeficientes y ampliada. Determinante.
  $det N = 121 11 a 1 a 1 = - (a - 1) (a - 2)$
2. 2. Si $a \neq = 1, 2$ : $rg = 3$ y los tres planos se cortan en un único punto.
3. 3. Caso $a = 1$ : $π_{1} : x + y + z = 0$ y $π_{3} : x + y + z = 1$ son paralelos no coincidentes ( $rg N = 2$ , $rg N^{*} = 3$ ).
  $N = 121111111, 121111011 = - 1 \neq = 0$
  Dos planos paralelos y el tercero los corta: no hay puntos comunes.
4. 4. Caso $a = 2$ : $rg N = rg N^{*} = 2$ y los planos son distintos de dos en dos (normales no proporcionales).
  $π_{1} : x + y + z = 1, π_{2} : 2 x + y + 2 z = 2, π_{3} : x + 2 y + z = 1$
  Los tres planos pertenecen a un haz: se cortan en una recta común.
Apartado b
1. 1. Con $a = 1$ : $π_{1} : x + y + z = 0$ y $π_{3} : x + y + z = 1$ .
  Sistema ${x + y + z = 0 x + y + z = 1$ incompatible
  No existe recta de corte: $π_{1}$ y $π_{3}$ son paralelos.
Apartado c
1. 1. Con $a = 2$ : $π_{1} : x + y + z = 1$ y $π_{2} : 2 x + y + 2 z = 2$ . Restamos: $x + z = 1$ , así $y = 0$ .
  ${x + y + z = 1 2 x + y + 2 z = 2 \Rightarrow y = 0, x + z = 1$
2. 2. Parámetro $z = λ$ .
  $r : (x, y, z) = (1 - λ, 0, λ)$
  $r : x = 1 - λ, y = 0, z = λ$
Respuesta final: a) Un punto si $a \neq = 1, 2$ ; para $a = 1$ no hay puntos comunes ( $π_{1} ∥ π_{3}$ ); para $a = 2$ recta común. b) $a = 1$ : no hay recta. c) $a = 2$ : $(1 - λ, 0, λ)$ .
26. 2021 · Ordinaria 2021 · Ejercicio 5
Dados el punto $P (1, 2, 3)$ y el plano $π \equiv 3 x + 2 y + z + 4 = 0$ , se pide:
- a)Calculad la distancia del punto $P$ al plano $π$ .
- b)Calculad el punto $P^{'}$ que es simétrico del punto $P$ respecto del plano $π$ .
- c)Calculad la ecuación del plano $π^{'}$ que pasa por $P^{'}$ y es paralelo a $π$ .
Apartado a
1. 1. Distancia punto-plano: $d = \frac{∣3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 + 4∣}{9 + 4 + 1}$ .
  $d (P, π) = \frac{14}{14} = 14 \approx 3, 74$
  $d (P, π) = 14$
Apartado b
1. 1. Recta perpendicular a $π$ por $P$ : $(1 + 3 λ, 2 + 2 λ, 3 + λ)$ . Corte con $π$ .
  $3 (1 + 3 λ) + 2 (2 + 2 λ) + (3 + λ) + 4 = 0 \Rightarrow 14 λ + 14 = 0 \Rightarrow λ = - 1$
2. 2. El pie es $M = (- 2, 0, 2)$ (punto medio); $P^{'}$ se obtiene con $λ = - 2$ .
  $P^{'} = (1 - 6, 2 - 4, 3 - 2) = (- 5, - 2, 1)$
  $P^{'} = (- 5, - 2, 1)$
Apartado c
1. 1. Un plano paralelo a $π$ tiene la misma normal: $3 x + 2 y + z + D = 0$ . Imponemos que pase por $P^{'}$ .
  $3 (- 5) + 2 (- 2) + 1 + D = 0 \Rightarrow D = 18$
  $π^{'} : 3 x + 2 y + z + 18 = 0$
Respuesta final: a) $14$ . b) $P^{'} = (- 5, - 2, 1)$ . c) $3 x + 2 y + z + 18 = 0$ .
27. 2020 · Extraordinaria 2020 (Septiembre) · Ejercicio 2
Se dan los planos $π : x + y = 1$ y $π^{'} : x - y + z = 1$ y el punto $P (1, - 1, 0)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)Unas ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que pasa por el punto $P$ y es paralela a los planos $π$ y $π^{'}$ .
- b)La distancia de la recta $r$ a cada uno de los planos $π$ y $π^{'}$ .
- c)Las ecuaciones de la recta que pasa por $P$ y corta perpendicularmente a la recta obtenida como intersección de los planos $π$ y $π^{'}$ .
Apartado a
1. 1. La recta es paralela a ambos planos si su dirección es perpendicular a las dos normales: $d = n \times n^{'}$ .
  $d = (1, 1, 0) \times (1, - 1, 1) = (1, - 1, - 2)$
  $r : x = 1 + t, y = - 1 - t, z = - 2 t$
Apartado b
1. 1. $r$ es paralela a ambos planos; la distancia de $r$ al plano es la de cualquiera de sus puntos, p. ej. $P$ . Comprobamos que $P$ no está en ellos: $1 - 1 = 0 \neq = 1$ y $1 + 1 + 0 = 2 \neq = 1$ .
  $d (r, π) = \frac{∣1 - 1 - 1∣}{2} = \frac{2}{2}, d (r, π^{'}) = \frac{∣1 + 1 + 0 - 1∣}{3} = \frac{3}{3}$
  $d (r, π) = \frac{2}{2}$ , $d (r, π^{'}) = \frac{3}{3}$
Apartado c
1. 1. La recta $L = π \cap π^{'}$ pasa por $(1, 0, 0)$ con dirección $d = (1, - 1, - 2)$ : $(1 + s, - s, - 2 s)$ . El pie $Q$ de la perpendicular desde $P$ cumple $P Q \cdot d = 0$ .
  $P Q = (s, 1 - s, - 2 s) \Rightarrow s - (1 - s) + 4 s = 0 \Rightarrow 6 s = 1 \Rightarrow s = \frac{1}{6}$
2. 2. Punto $Q$ y dirección.
  $Q = (\frac{7}{6}, - \frac{1}{6}, - \frac{1}{3}), P Q = (\frac{1}{6}, \frac{5}{6}, - \frac{1}{3}) ∥ (1, 5, - 2)$
  $(x, y, z) = (1, - 1, 0) + λ (1, 5, - 2)$
Respuesta final: a) $(1 + t, - 1 - t, - 2 t)$ . b) $\frac{2}{2}$ y $\frac{3}{3}$ . c) $(1, - 1, 0) + λ (1, 5, - 2)$ .
28. 2020 · Extraordinaria 2020 (Septiembre) · Ejercicio 5
Se dan las rectas $r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 y = 2 + λ z = 2 λ$ , $λ \in R$ , $s : \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$ y el plano $π : 3 x + a y - z + 1 = 0$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)Si hay algún valor del parámetro $a$ para el cual la recta $r$ está contenida en el plano $π$ .
- b)La distancia entre las rectas $r$ y $s$ .
- c)El coseno del ángulo que forman la recta $r$ y la recta $t : {2 x - y = 0 y - z = 2$ .
Apartado a
1. 1. La recta $r$ tiene punto $A_{r} = (1, 2, 0)$ y dirección $d_{r} = (0, 1, 2)$ . Para que $r \subset π$ : (i) $d_{r} \cdot n_{π} = 0$ y (ii) $A_{r} \in π$ .
  (i) $0 \cdot 3 + a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2$ ; (ii) $3 + 2 a + 1 = 0 \Rightarrow a = - 2$
2. 2. Las dos condiciones dan valores distintos de $a$ : incompatibles.
  No existe ningún valor de $a$ para el que $r$ esté contenida en $π$ .
Apartado b
1. 1. Distancia entre rectas que se cruzan: $d = \frac{∣ A _{r} A _{s} \cdot ( d _{r} \times d _{s} ) ∣}{∣ d _{r} \times d _{s} ∣}$ . $d_{s} = (2, - 1, 1)$ , $A_{s} = (- 1, 0, - 2)$ .
  $d_{r} \times d_{s} = (3, 4, - 2), A_{r} A_{s} = (- 2, - 2, - 2)$
2. 2. Producto mixto y módulo.
  $d = \frac{∣ - 6 - 8 + 4∣}{9 + 16 + 4} = \frac{10}{29} = \frac{10 29}{29} \approx 1, 857$
  $d (r, s) = \frac{10 29}{29}$
Apartado c
1. 1. Dirección de $t$ : $2 x = y$ y $z = y - 2$ ; con $x = k$ queda $(k, 2 k, 2 k - 2)$ , de dirección $d_{t} = (1, 2, 2)$ .
  $cos θ = \frac{∣ d _{r} \cdot d _{t} ∣}{∣ d _{r} ∣ ∣ d _{t} ∣} = \frac{∣0 + 2 + 4∣}{5 \cdot 3} = \frac{2}{5} = \frac{2 5}{5} \approx 0, 894$
  $cos θ = \frac{2 5}{5}$
Respuesta final: a) No existe tal $a$ . b) $\frac{10 29}{29}$ . c) $cos θ = \frac{2 5}{5}$ .
29. 2020 · Ordinaria 2020 (Julio, calendario COVID) · Ejercicio 2
Sea la recta $r : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 1}$ y los puntos $P = (1, 0, 0)$ y $Q = (2, 1, α)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)El valor de $α$ para que la recta que pasa por $P$ y $Q$ sea paralela a $r$ .
- b)La ecuación del plano que contiene a $P$ y $Q$ y es paralelo a $r$ , cuando $α = 1$ .
- c)La distancia del punto $Q$ al plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$ , cuando $α = 1$ .
Apartado a
1. 1. $P Q = (1, 1, α)$ debe ser proporcional a $d_{r} = (1, 1, - 1)$ .
  $\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{α}{- 1} \Rightarrow α = - 1$
  $α = - 1$
Apartado b
1. 1. Con $α = 1$ : $P Q = (1, 1, 1)$ . El plano por $P$ con direcciones $P Q$ y $d_{r}$ tiene normal igual al producto vectorial.
  $n = (1, 1, 1) \times (1, 1, - 1) = (- 2, 2, 0) ∥ (1, - 1, 0)$
2. 2. Ecuación por $P (1, 0, 0)$ .
  $(x - 1) - y = 0 ⟺ x - y - 1 = 0$
  $π : x - y - 1 = 0$
Apartado c
1. 1. Plano por $P$ perpendicular a $r$ : su normal es $d_{r} = (1, 1, - 1)$ .
  $(x - 1) + y - z = 0 ⟺ x + y - z - 1 = 0$
2. 2. Distancia de $Q (2, 1, 1)$ al plano.
  $d = \frac{∣2 + 1 - 1 - 1∣}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3} \approx 0, 577$
  $d (Q, π^{'}) = \frac{3}{3}$
Respuesta final: a) $α = - 1$ . b) $x - y - 1 = 0$ . c) $\frac{3}{3}$ .
30. 2020 · Ordinaria 2020 (Julio, calendario COVID) · Ejercicio 5
Se dan el plano $π : 2 x + y - z - 5 = 0$ y los puntos $A (1, 2, - 1)$ , $B (2, 1, 0)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)La ecuación implícita del plano que pasa por los puntos $A$ , $B$ y es perpendicular a $π$ .
- b)Las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que es perpendicular a $π$ y pasa por $A$ . Encuentra dos planos cuya intersección sea la recta $r$ .
- c)La distancia entre el punto $B$ y la recta $r$ .
Apartado a
1. 1. El plano pedido contiene a $A B = (1, - 1, 1)$ y a la normal de $π$ , $n_{π} = (2, 1, - 1)$ (por ser perpendicular a $π$ ). Su normal es el producto vectorial.
  $n = (1, - 1, 1) \times (2, 1, - 1) = (0, 3, 3) ∥ (0, 1, 1)$
2. 2. Ecuación por $A (1, 2, - 1)$ .
  $(y - 2) + (z + 1) = 0 ⟺ y + z - 1 = 0$
  $y + z - 1 = 0$
Apartado b
1. 1. La recta $r$ tiene por dirección la normal del plano y pasa por $A$ .
  $r : x = 1 + 2 t, y = 2 + t, z = - 1 - t$
  $r : (1 + 2 t, 2 + t, - 1 - t)$
2. 2. Dos planos que contengan a $r$ : sus normales deben ser perpendiculares a $(2, 1, - 1)$ . Tomamos $(1, - 2, 0)$ y $(0, 1, 1)$ .
  ${(x - 1) - 2 (y - 2) = 0 (y - 2) + (z + 1) = 0 ⟺ {x - 2 y + 3 = 0 y + z - 1 = 0$
  $r : {x - 2 y + 3 = 0 y + z - 1 = 0$
Apartado c
1. 1. Distancia de $B$ a $r$ : $\frac{∣ A B \times d _{r} ∣}{∣ d _{r} ∣}$ , con $d_{r} = (2, 1, - 1)$ .
  $A B \times d_{r} = (0, 3, 3), d = \frac{3 2}{6} = 3$
  $d (B, r) = 3 \approx 1, 73$
Respuesta final: a) $y + z - 1 = 0$ . b) $r : (1 + 2 t, 2 + t, - 1 - t)$ ; planos $x - 2 y + 3 = 0$ e $y + z - 1 = 0$ . c) $3$ .
31. 2019 · Extraordinaria 2019 · Ejercicio A.2 · Opción A
Se da el plano $π : 2 x + y + 2 z = 8$ y el punto $P = (10, 0, 10)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)La distancia del punto $P$ al plano $π$ .
- b)El área del triángulo cuyos vértices son los puntos $A$ , $B$ y $C$ , obtenidos al hallar la intersección del plano $π$ con los ejes de coordenadas.
- c)El volumen del tetraedro cuyos vértices son $P$ , $A$ , $B$ y $C$ .
Base ABC (área 24) y altura d(P, π) = 32/3
Apartado a
1. 1. Distancia de un punto a un plano: $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ con el plano escrito $2 x + y + 2 z - 8 = 0$ .
  $d (P, π) = \frac{∣2 \cdot 10 + 0 + 2 \cdot 10 - 8∣}{4 + 1 + 4} = \frac{32}{3}$
  $d (P, π) = \frac{32}{3} \approx 10, 67$
Apartado b
1. 1. Cortes con los ejes: $y = z = 0 \Rightarrow x = 4$ ; $x = z = 0 \Rightarrow y = 8$ ; $x = y = 0 \Rightarrow z = 4$ .
  $A (4, 0, 0), B (0, 8, 0), C (0, 0, 4)$
2. 2. El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de $A B = (- 4, 8, 0)$ y $A C = (- 4, 0, 4)$ .
  $A B \times A C = (32, 16, 32), ∣ \cdot ∣ = 1024 + 256 + 1024 = 48$
3. 3. Mitad del módulo.
  $\overset{ˊ}{A} rea = \frac{48}{2} = 24$
  Área $= 24 u^{2}$
Apartado c
1. 1. El tetraedro $P A B C$ tiene por base el triángulo $A B C$ (que está en $π$ ) y por altura la distancia de $P$ a $π$ (apartado a).
  $V = \frac{1}{3} \cdot \overset{ˊ}{A} rea_{A B C} \cdot d (P, π) = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot \frac{32}{3} = \frac{256}{3}$
  $V = \frac{256}{3} \approx 85, 3 u^{3}$
Respuesta final: a) $d (P, π) = \frac{32}{3}$ . b) $A (4, 0, 0)$ , $B (0, 8, 0)$ , $C (0, 0, 4)$ ; área $= 24 u^{2}$ . c) $V = \frac{256}{3} u^{3}$ .
32. 2019 · Extraordinaria 2019 · Ejercicio B.2 · Opción B
Se dan en el espacio la recta $r : \frac{x - α}{- 1} = \frac{y}{- 4} = \frac{z}{β}$ y el plano $π : x + 2 y + 3 z = 6$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)La posición relativa de la recta $r$ y el plano $π$ en función de los parámetros reales $α$ y $β$ .
- b)La distancia entre la recta $r$ y el plano $π$ cuando $α = 6$ y $β = 3$ .
- c)La ecuación del plano que pasa por $(0, 0, 0)$ y que no corta al plano $π$ .
Apartado a
1. 1. La recta pasa por $R = (α, 0, 0)$ y tiene dirección $d = (- 1, - 4, β)$ . La normal del plano es $n = (1, 2, 3)$ .
  $d \cdot n = - 1 - 8 + 3 β = 3 β - 9$
2. 2. Si $β \neq = 3$ , $d \cdot n \neq = 0$ : la recta corta al plano en un punto (secante), sea cual sea $α$ .
  $β \neq = 3 \Rightarrow$ secantes
3. 3. Si $β = 3$ , la recta es paralela al plano. Está contenida si $R \in π$ : $α + 0 + 0 = 6$ .
  $β = 3 : R \in π ⟺ α = 6$
  $β \neq = 3$ : secantes. $β = 3$ y $α = 6$ : $r \subset π$ . $β = 3$ y $α \neq = 6$ : paralelos sin contacto.
Apartado b
1. 1. Con $α = 6$ y $β = 3$ estamos en el caso en que la recta está contenida en el plano: $R = (6, 0, 0) \in π$ y $d \cdot n = 0$ .
  $d (r, π) = 0$
  La distancia es $0$ : la recta está contenida en el plano.
Apartado c
1. 1. Un plano que no corta a $π$ es paralelo a él: sus normales son proporcionales. Si pasa por el origen, su término independiente es 0.
  $x + 2 y + 3 z = 0$
  Plano: $x + 2 y + 3 z = 0$ .
Respuesta final: a) $β \neq = 3$ : secantes; $β = 3$ y $α = 6$ : recta contenida; $β = 3$ y $α \neq = 6$ : paralelos. b) $d = 0$ . c) $x + 2 y + 3 z = 0$ .
33. 2019 · Ordinaria 2019 · Ejercicio A.2 · Opción A
Consideramos en el espacio las rectas $r : {x - y + 3 = 0 2 x - z + 3 = 0$ y $s : x = y + 1 = \frac{z - 2}{2}$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)La ecuación del plano que contiene las rectas $r$ y $s$ .
- b)La recta que pasa por $P (0, - 1, 2)$ y corta perpendicularmente a la recta $r$ .
- c)El valor que deben tener los parámetros reales $a$ y $b$ para que la recta $s$ esté contenida en el plano $π : x - 2 y + a z = b$ .
Esquema: r y s paralelas; la perpendicular por P corta a r en H(−1, 2, 1)
Apartado a
1. 1. Pasamos $r$ a paramétricas con $x = λ$ : de $x - y + 3 = 0$ sale $y = λ + 3$ y de $2 x - z + 3 = 0$ sale $z = 2 λ + 3$ . Punto $R (0, 3, 3)$ , dirección $d_{r} = (1, 1, 2)$ .
  $r : (x, y, z) = (0, 3, 3) + λ (1, 1, 2)$
2. 2. De $s$ : $x = μ$ , $y = μ - 1$ , $z = 2 μ + 2$ . Punto $S (0, - 1, 2)$ y misma dirección $(1, 1, 2)$ : las rectas son paralelas (y distintas, porque $S$ no cumple $x - y + 3 = 0$ : $0 + 1 + 3 \neq = 0$ ).
  $s : (x, y, z) = (0, - 1, 2) + μ (1, 1, 2)$
3. 3. El plano que contiene a dos rectas paralelas lo determinan la dirección común y el vector $R S = (0, - 4, - 1)$ . Su normal es el producto vectorial.
  $n = (1, 1, 2) \times (0, - 4, - 1) = (7, 1, - 4)$
4. 4. Imponemos que pase por $R (0, 3, 3)$ : $7 \cdot 0 + 3 - 12 + D = 0 \Rightarrow D = 9$ . Comprobamos con $S$ : $- 1 - 8 + 9 = 0$ .
  $π : 7 x + y - 4 z + 9 = 0$
  $π : 7 x + y - 4 z + 9 = 0$
Apartado b
1. 1. Un punto genérico de $r$ es $R_{λ} = (λ, λ + 3, 2 λ + 3)$ . El vector desde $P (0, - 1, 2)$ hasta él es $P R_{λ} = (λ, λ + 4, 2 λ + 1)$ .
  $P R_{λ} = (λ, λ + 4, 2 λ + 1)$
2. 2. La recta buscada es perpendicular a $r$ : $P R_{λ} \cdot d_{r} = 0$ .
  $λ + (λ + 4) + 2 (2 λ + 1) = 6 λ + 6 = 0 \Rightarrow λ = - 1$
3. 3. El punto de corte es $H (- 1, 2, 1)$ y la dirección de la recta es $P H = (- 1, 3, - 1)$ . Comprobación: $(- 1, 3, - 1) \cdot (1, 1, 2) = - 1 + 3 - 2 = 0$ .
  $t : \frac{x}{- 1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{- 1}$
  Recta por $P (0, - 1, 2)$ con dirección $(- 1, 3, - 1)$ , que corta a $r$ en $H (- 1, 2, 1)$ .
Apartado c
1. 1. $s$ está contenida en $π$ si su dirección es paralela al plano (perpendicular a la normal $(1, - 2, a)$ ) y un punto de $s$ pertenece al plano.
  $(1, 1, 2) \cdot (1, - 2, a) = 1 - 2 + 2 a = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$
2. 2. Imponemos que $S (0, - 1, 2)$ esté en el plano: $0 - 2 (- 1) + a \cdot 2 = b$ .
  $b = 2 + 2 a = 2 + 1 = 3$
  $a = \frac{1}{2}, b = 3$
Respuesta final: a) $7 x + y - 4 z + 9 = 0$ . b) $\frac{x}{- 1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{- 1}$ (corta a $r$ en $H (- 1, 2, 1)$ ). c) $a = \frac{1}{2}$ y $b = 3$ .
34. 2019 · Ordinaria 2019 · Ejercicio B.2 · Opción B
Sea $π$ el plano de ecuación $9 x + 12 y + 20 z = 180$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)Las ecuaciones de los dos planos paralelos a $π$ que distan 4 unidades de $π$ .
- b)Los puntos $A$ , $B$ y $C$ intersección del plano $π$ con los ejes $O X$ , $O Y$ y $O Z$ y el ángulo que forman los vectores $A B$ y $A C$ .
- c)El volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen $O$ de coordenadas y los puntos $A$ , $B$ y $C$ .
Tetraedro OABC: OA = 20, OB = 15, OC = 9
Apartado a
1. 1. Los planos paralelos a $π$ tienen la misma normal: $9 x + 12 y + 20 z = k$ . La distancia entre $9 x + 12 y + 20 z = 180$ y $9 x + 12 y + 20 z = k$ es $\frac{∣ k - 180∣}{9 ^{2} + 1 2 ^{2} + 2 0 ^{2}}$ .
  $81 + 144 + 400 = 625 = 25$
2. 2. Imponemos distancia 4.
  $\frac{∣ k - 180∣}{25} = 4 \Rightarrow k - 180 = \pm 100$
  $k = 280 \overset{o}{ˊ} k = 80$
Apartado b
1. 1. Cortes con los ejes: se anulan dos coordenadas y se despeja la tercera.
  $A (20, 0, 0), B (0, 15, 0), C (0, 0, 9)$
2. 2. Vectores $A B = (- 20, 15, 0)$ y $A C = (- 20, 0, 9)$ .
  $A B \cdot A C = 400, ∣ A B ∣ = 25, ∣ A C ∣ = 481$
3. 3. El coseno del ángulo es el producto escalar entre el producto de módulos.
  $cos α = \frac{400}{25 481} = \frac{16}{481} \approx 0, 7295 \Rightarrow α \approx 43, 1^{\circ}$
  $A (20, 0, 0), B (0, 15, 0), C (0, 0, 9)$ y $α \approx 43, 1^{\circ}$
Apartado c
1. 1. Los vectores $O A, O B, O C$ están sobre los ejes, así que el producto mixto es el producto de las longitudes: $V = \frac{1}{6} det (O A, O B, O C)$ .
  $V = \frac{1}{6} 20000150009 = \frac{20 \cdot 15 \cdot 9}{6} = 450$
  $V = 450 u^{3}$
Respuesta final: a) $9 x + 12 y + 20 z = 280$ y $9 x + 12 y + 20 z = 80$ . b) $A (20, 0, 0)$ , $B (0, 15, 0)$ , $C (0, 0, 9)$ ; $α = arccos \frac{16}{481} \approx 43, 1^{\circ}$ . c) $V = 450 u^{3}$ .
35. 2018 · Extraordinaria 2018 · Ejercicio A.2 · Opción A
Se tienen el plano $π : x - y + z - 3 = 0$ , la recta $s : {x - 2 y = 0 z = 0$ y el punto $A (1, 1, 1)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)La recta que pasa por $A$ , corta a la recta $s$ y es paralela al plano $π$ .
- b)El plano que pasa por $A$ , es perpendicular al plano $π$ y paralelo a la recta $s$ .
- c)Discute si el punto $(3, 2, 1)$ está en la recta paralela a $s$ que pasa por $(5, 3, 1)$ .
Apartado a
1. 1. La recta $s$ en paramétricas: $x = 2 t$ , $y = t$ , $z = 0$ . Un punto genérico de $s$ es $Q_{t} = (2 t, t, 0)$ y $A Q_{t} = (2 t - 1, t - 1, - 1)$ .
  $d_{s} = (2, 1, 0), A = (1, 1, 1)$
2. 2. La recta buscada es $A Q_{t}$ ; es paralela a $π$ si $A Q_{t} ⊥ n_{π} = (1, - 1, 1)$ .
  $(2 t - 1) - (t - 1) - 1 = 0 \Rightarrow t - 1 = 0 \Rightarrow t = 1$
3. 3. Con $t = 1$ : $Q = (2, 1, 0)$ y $A Q = (1, 0, - 1)$ .
  $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z - 1}{- 1} ⟺ {y = 1 x + z = 2$
  Recta: $(x, y, z) = (1 + λ, 1, 1 - λ)$ .
Apartado b
1. 1. El plano es perpendicular a $π$ y paralelo a $s$ : su normal es perpendicular a $n_{π} = (1, - 1, 1)$ y a $d_{s} = (2, 1, 0)$ .
  $n = (1, - 1, 1) \times (2, 1, 0) = (- 1, 2, 3)$
2. 2. Pasa por $A$ : $- x + 2 y + 3 z + D = 0 \Rightarrow - 1 + 2 + 3 + D = 0 \Rightarrow D = - 4$ .
  $- x + 2 y + 3 z - 4 = 0 ⟺ x - 2 y - 3 z + 4 = 0$
  Plano: $x - 2 y - 3 z + 4 = 0$ .
Apartado c
1. 1. La recta paralela a $s$ por $(5, 3, 1)$ es $(5 + 2 μ, 3 + μ, 1)$ . Buscamos $μ$ con $(5 + 2 μ, 3 + μ, 1) = (3, 2, 1)$ .
  $5 + 2 μ = 3 \Rightarrow μ = - 1; 3 + μ = 2 \Rightarrow μ = - 1; z = 1$
2. 2. Las tres coordenadas dan el mismo $μ = - 1$ : el punto sí está en la recta.
  $(3, 2, 1) = (5, 3, 1) - 1 \cdot (2, 1, 0)$
  Sí: $(3, 2, 1)$ está en la recta paralela a $s$ por $(5, 3, 1)$ .
Respuesta final: a) $(1 + λ, 1, 1 - λ)$ (corta a $s$ en $(2, 1, 0)$ ). b) $x - 2 y - 3 z + 4 = 0$ . c) Sí, el punto $(3, 2, 1)$ pertenece a la recta.
36. 2018 · Extraordinaria 2018 · Ejercicio B.2 · Opción B
Dada la recta $r : {x + y = 3 x + 4 y - z = 8$ se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)Las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ .
- b)La ecuación del plano $π$ que es paralelo a $r$ y pasa por los puntos $(5, 0, 1)$ y $(4, 1, 0)$ .
- c)La distancia entre la recta $r$ y el plano $π$ obtenido en el apartado anterior.
La recta r es paralela a π: d(r, π) = √2
Apartado a
1. 1. Tomamos $y = λ$ como parámetro. De la 1ª: $x = 3 - λ$ . De la 2ª: $z = x + 4 y - 8$ .
  $x = 3 - λ, z = (3 - λ) + 4 λ - 8 = 3 λ - 5$
2. 2. Ecuaciones paramétricas (punto $(3, 0, - 5)$ , dirección $(- 1, 1, 3)$ ).
  $r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 3 - λ y = λ z = - 5 + 3 λ$
  $x = 3 - λ, y = λ, z = - 5 + 3 λ$
Apartado b
1. 1. El plano contiene el vector $A B$ con $A (5, 0, 1)$ , $B (4, 1, 0)$ y es paralelo a $r$ , luego también contiene la dirección de $r$ .
  $A B = (- 1, 1, - 1), d_{r} = (- 1, 1, 3)$
2. 2. Normal: producto vectorial.
  $n = (- 1, 1, - 1) \times (- 1, 1, 3) = (4, 4, 0) ∥ (1, 1, 0)$
3. 3. El plano es $x + y + D = 0$ por $A (5, 0, 1)$ : $D = - 5$ . Comprobación con $B$ : $4 + 1 - 5 = 0$ .
  $π : x + y - 5 = 0$
  $π : x + y = 5$
Apartado c
1. 1. La recta es paralela al plano ( $d_{r} \cdot n = - 1 + 1 + 0 = 0$ ), así que la distancia es la de cualquier punto de $r$ a $π$ . Tomamos $(3, 0, - 5)$ .
  $d (r, π) = \frac{∣3 + 0 - 5∣}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 2$
  $d (r, π) = 2 \approx 1, 41$
Respuesta final: a) $x = 3 - λ, y = λ, z = - 5 + 3 λ$ . b) $π : x + y - 5 = 0$ . c) $d (r, π) = 2$ .
37. 2018 · Ordinaria 2018 · Ejercicio A.2 · Opción A
Dados los puntos $A (- 1, 2, λ)$ , $B (2, 3, 5)$ y $C (3, 5, 3)$ , donde $λ$ es un parámetro real.
- a)El valor del parámetro $λ$ para que el segmento $A C$ sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo de vértices $A$ , $B$ y $C$ .
- b)El área del triángulo de vértices $A$ , $B$ y $C$ cuando $λ = 6$ .
- c)La ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices $A$ , $B$ y $C$ cuando $λ = 6$ .
Triángulo rectángulo: la hipotenusa AC, el ángulo recto en B (λ = 5/2)
Apartado a
1. 1. Si $A C$ es la hipotenusa, el ángulo recto está en $B$ : $B A ⊥ B C$ .
  $B A = (- 3, - 1, λ - 5), B C = (1, 2, - 2)$
2. 2. Producto escalar igual a cero.
  $- 3 - 2 - 2 (λ - 5) = 5 - 2 λ = 0 \Rightarrow λ = \frac{5}{2}$
  $λ = \frac{5}{2}$
Apartado b
1. 1. Con $λ = 6$ : $A (- 1, 2, 6)$ . Vectores desde $A$ : $A B = (3, 1, - 1)$ y $A C = (4, 3, - 3)$ .
  $A B \times A C = i 34 j 13 k - 1 - 3 = (0, 5, 5)$
2. 2. El área es la mitad del módulo del producto vectorial.
  $\overset{ˊ}{A} rea = \frac{1}{2} 0 + 25 + 25 = \frac{5 2}{2}$
  Área $= \frac{5 2}{2} \approx 3, 54 u^{2}$
Apartado c
1. 1. El vector normal del plano es el producto vectorial anterior, proporcional a $(0, 1, 1)$ .
  $n = (0, 1, 1) \Rightarrow y + z + D = 0$
2. 2. Imponemos que pase por $B (2, 3, 5)$ : $3 + 5 + D = 0 \Rightarrow D = - 8$ . Comprobación con $A$ ( $2 + 6 = 8$ ) y $C$ ( $5 + 3 = 8$ ).
  $y + z - 8 = 0$
  Plano $y + z = 8$ .
Respuesta final: a) $λ = \frac{5}{2}$ . b) Área $= \frac{5 2}{2} u^{2}$ . c) $y + z - 8 = 0$ .
38. 2018 · Ordinaria 2018 · Ejercicio B.2 · Opción B
Dados el punto $A (5, 7, 3)$ y la recta $r : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{2}$ . Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)La recta $s$ que corta a la recta $r$ , pasa por el punto $A$ , y es perpendicular a la recta $r$ .
- b)La distancia del punto $A$ a la recta $r$ .
- c)La distancia del punto $B (1, 1, 1)$ al plano $π$ que pasa por $(3, - 1, 0)$ y es perpendicular a $r$ .
Distancia de A a r: |AH| = √21
Apartado a
1. 1. Un punto genérico de $r$ es $R_{λ} = (3 - λ, - 1 + 3 λ, 2 λ)$ . El vector desde $A$ es $A R_{λ} = (- 2 - λ, - 8 + 3 λ, - 3 + 2 λ)$ .
  $A R_{λ} = (- 2 - λ, 3 λ - 8, 2 λ - 3)$
2. 2. $s$ es perpendicular a $r$ : $A R_{λ} \cdot (- 1, 3, 2) = 0$ .
  $(2 + λ) + 3 (3 λ - 8) + 2 (2 λ - 3) = 14 λ - 28 = 0 \Rightarrow λ = 2$
3. 3. El punto de corte es $H (1, 5, 4)$ y la dirección de $s$ es $A H = (- 4, - 2, 1)$ .
  $s : \frac{x - 5}{- 4} = \frac{y - 7}{- 2} = \frac{z - 3}{1}$
  $s$ pasa por $A$ y $H (1, 5, 4)$ con dirección $(- 4, - 2, 1)$ .
Apartado b
1. 1. La distancia de $A$ a $r$ es la longitud del segmento perpendicular $A H$ hallado antes. También vale $\frac{∣ R A \times d ∣}{∣ d ∣}$ .
  $d (A, r) = ∣ A H ∣ = 16 + 4 + 1 = 21$
2. 2. Comprobación con el producto vectorial: $R A = (2, 8, 3)$ y $d = (- 1, 3, 2)$ .
  $d (A, r) = \frac{∣ R A \times d ∣}{∣ d ∣} = \frac{∣ ( 7 , - 7 , 14 ) ∣}{14} = \frac{7 6}{14} = 21$
  $d (A, r) = 21 \approx 4, 58$
Apartado c
1. 1. El plano perpendicular a $r$ tiene por normal el vector director $(- 1, 3, 2)$ : $- x + 3 y + 2 z + D = 0$ . Pasa por $(3, - 1, 0)$ : $- 3 - 3 + D = 0 \Rightarrow D = 6$ .
  $π : - x + 3 y + 2 z + 6 = 0$
2. 2. Distancia de $B (1, 1, 1)$ al plano.
  $d (B, π) = \frac{∣ - 1 + 3 + 2 + 6∣}{1 + 9 + 4} = \frac{10}{14} = \frac{5 14}{7}$
  $d (B, π) = \frac{5 14}{7} \approx 2, 67$
Respuesta final: a) $s : \frac{x - 5}{- 4} = \frac{y - 7}{- 2} = \frac{z - 3}{1}$ (corta a $r$ en $H (1, 5, 4)$ ). b) $d (A, r) = 21$ . c) $d (B, π) = \frac{10}{14} = \frac{5 14}{7}$ .
39. 2017 · Extraordinaria 2017 · Ejercicio A.2 · Opción A
Se dan la recta $r : {x - 2 y - 2 z = 1 x + 3 y - z = 1$ y el plano $π : 2 x + y + m z = n$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)Los valores de $m$ y $n$ para los que la recta $r$ y el plano $π$ se cortan en un punto.
- b)Los valores de $m$ y $n$ para los que la recta $r$ y el plano $π$ no se cortan.
- c)Los valores de $m$ y $n$ para los que la recta $r$ está contenida en el plano $π$ .
Apartado a
1. 1. Dirección de $r$ : producto vectorial de las normales. Un punto de $r$ : con $z = 0$ , $x - 2 y = 1$ y $x + 3 y = 1$ dan $y = 0$ , $x = 1$ .
  $d_{r} = (1, - 2, - 2) \times (1, 3, - 1) = (8, - 1, 5), R = (1, 0, 0)$
2. 2. La recta corta al plano en un punto si no es paralela, es decir, si $d_{r} \cdot n_{π} \neq = 0$ con $n_{π} = (2, 1, m)$ .
  $d_{r} \cdot n_{π} = 16 - 1 + 5 m = 15 + 5 m \neq = 0 ⟺ m \neq = - 3$
  Se cortan en un punto para $m \neq = - 3$ y cualquier $n$ .
Apartado b
1. 1. Para $m = - 3$ la recta es paralela al plano ( $d_{r} \cdot n_{π} = 0$ ). No se cortan si además $R \in / π$ : $2 \cdot 1 + 0 - 3 \cdot 0 = 2 \neq = n$ .
  $m = - 3, n \neq = 2$
  No se cortan para $m = - 3$ y $n \neq = 2$ .
Apartado c
1. 1. Con $m = - 3$ la recta está contenida en el plano si $R \in π$ , es decir, $n = 2$ .
  $m = - 3, n = 2$
  $r \subset π$ para $m = - 3$ y $n = 2$ .
Respuesta final: a) $m \neq = - 3$ (cualquier $n$ ). b) $m = - 3$ y $n \neq = 2$ . c) $m = - 3$ y $n = 2$ .
40. 2017 · Extraordinaria 2017 · Ejercicio B.2 · Opción B
Se dan la recta $r : \frac{x - 1}{4} = \frac{y}{a} = \frac{z - 1}{- 1}$ y el plano $π : 2 x - y + b z = 0$ , siendo $a$ y $b$ dos parámetros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)El punto de intersección de la recta $r$ y el plano $π$ cuando $a = - b = 1$ .
- b)La distancia entre la recta $r$ y el plano $π$ cuando $a = b = 4$ .
- c)La posición relativa de la recta $r$ y del plano $π$ en función de los valores de los parámetros $a$ y $b$ .
Apartado a
1. 1. Ecuaciones paramétricas de $r$ : $x = 1 + 4 t$ , $y = a t$ , $z = 1 - t$ . Con $a = 1$ , $b = - 1$ el plano es $2 x - y - z = 0$ .
  $2 (1 + 4 t) - t - (1 - t) = 0 \Rightarrow 1 + 8 t = 0 \Rightarrow t = - \frac{1}{8}$
2. 2. Sustituimos $t = - \frac{1}{8}$ en la recta.
  $(1 - \frac{1}{2}, - \frac{1}{8}, 1 + \frac{1}{8}) = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{8}, \frac{9}{8})$
  Punto de intersección: $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{8}, \frac{9}{8})$ .
Apartado b
1. 1. Con $a = b = 4$ : $d_{r} = (4, 4, - 1)$ y $n_{π} = (2, - 1, 4)$ . Su producto escalar es $8 - 4 - 4 = 0$ : la recta es paralela al plano.
  $d_{r} \cdot n_{π} = 0$
2. 2. Como son paralelos, la distancia es la de un punto de $r$ , $(1, 0, 1)$ , al plano $2 x - y + 4 z = 0$ .
  $d (r, π) = \frac{∣2 \cdot 1 - 0 + 4 \cdot 1∣}{4 + 1 + 16} = \frac{6}{21} = \frac{2 21}{7} \approx 1, 31$
  $d (r, π) = \frac{2 21}{7} \approx 1, 31$ u.
Apartado c
1. 1. Producto escalar de la dirección y la normal: $d_{r} \cdot n_{π} = (4, a, - 1) \cdot (2, - 1, b) = 8 - a - b$ .
  $8 - a - b \neq = 0 ⟺ a + b \neq = 8$
2. 2. Si $a + b \neq = 8$ , la recta corta al plano en un punto (secantes). Si $a + b = 8$ , es paralela: contenida en $π$ si $(1, 0, 1) \in π$ , es decir $2 + b = 0$ .
  $a + b = 8$ y $b = - 2$ (entonces $a = 10$ ): $r \subset π$
  Secantes si $a + b \neq = 8$ ; contenida si $a = 10$ y $b = - 2$ ; paralela sin cortar si $a + b = 8$ y $b \neq = - 2$ .
Respuesta final: a) $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{8}, \frac{9}{8})$ . b) $\frac{2 21}{7} \approx 1, 31$ . c) Secantes si $a + b \neq = 8$ ; $r \subset π$ si $a = 10$ , $b = - 2$ ; paralelos sin contacto si $a + b = 8$ y $b \neq = - 2$ .