Derivadas · Matemáticas II (con soluciones)

1. 1. 2009 · Extraordinaria 2009 · Ejercicio 3.2 · Opción B

   Dada la función real $f(x)=\frac{8}{1+x^2}$, se pide calcular razonadamente:

   • a)Las derivadas primera y segunda de la función $f(x)$ (0,8 puntos).
   • b)Los puntos de inflexión de la curva $y=f(x)$ (1 punto).
   • c)La pendiente máxima de las rectas tangentes a la curva $y=f(x)$ (1,5 puntos).

   Apartado a

   1. 1. Derivada primera con la regla de la cadena: $f(x)=8(1+x^2{)}^{-1}$.

      $f^{\prime }(x)=-8(1+x^2{)}^{-2}\cdot 2x=-\frac{16x}{(1+x^2{)}^2}$

      $f^{\prime }(x)=-\frac{16x}{(1+x^2{)}^2}$

   2. 2. Derivada segunda con la regla del cociente.

      $f^{\prime \prime }(x)=\frac{-16(1+x^2{)}^2+16x\cdot 2(1+x^2)\cdot 2x}{(1+x^2{)}^4}=\frac{-16(1+x^2)+64x^2}{(1+x^2{)}^3}=\frac{16(3x^2-1)}{(1+x^2{)}^3}$

      $f^{\prime \prime }(x)=\frac{16(3x^2-1)}{(1+x^2{)}^3}$

   Apartado b

   1. 1. $f^{\prime \prime }(x)=0⟺3x^2-1=0⟺x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. $f^{\prime \prime }$ cambia de signo en ambos puntos (negativa entre ellos y positiva fuera), luego son inflexiones. Ordenada: $f\left(\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{8}{1+1/3}=6$.

      $x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow y=6$

      Puntos de inflexión: $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},6\right)$ y $\left(\frac{\sqrt{3}}{3},6\right)$

   Apartado c

   1. 1. La pendiente de la tangente en $x$ es $f^{\prime }(x)$. Para maximizarla buscamos los máximos de $f^{\prime }$: sus puntos críticos son los ceros de $f^{\prime \prime }$, $x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. Como $f^{\prime \prime \prime }\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)<0$, $f^{\prime }$ tiene máximo en $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$; además $f^{\prime }\to 0$ en $\pm \infty$.

      $f^{\prime }\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{16\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2}=\frac{16\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{9}{16}=3\sqrt{3}$

      Pendiente máxima: $3\sqrt{3}\approx 5,20$, en $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

   Respuesta final: a) $f^{\prime }=-\frac{16x}{(1+x^2{)}^2}$, $f^{\prime \prime }=\frac{16(3x^2-1)}{(1+x^2{)}^3}$. b) $\left(\pm \frac{\sqrt{3}}{3},6\right)$. c) $3\sqrt{3}$ (en $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$).

2. 2. 2009 · Extraordinaria 2009 · Ejercicio 4.2 · Opción B

   Una lámina metálica rectangular se dilata uniformemente por calentamiento, aumentando su base y su altura $0,2\mathrm{mm}$ por minuto. Averiguar la velocidad de crecimiento de la diagonal de dicha lámina cuando la base y la altura de la lámina miden, respectivamente, $8$ y $6\mathrm{cm}$.

   • a)Averiguar la velocidad de crecimiento de la diagonal de dicha lámina cuando la base y la altura de la lámina miden, respectivamente, $8$ y $6\mathrm{cm}$ (3,3 puntos).

   Apartado a

   1. 1. Sean $b(t)$ y $h(t)$ la base y la altura (en cm) y $D(t)$ la diagonal. Por Pitágoras, $D^2=b^2+h^2$. Los datos: $b^{\prime }=h^{\prime }=0,2\text{mm/min}=0,02\text{cm/min}$.

      $D=\sqrt{b^2+h^2},b^{\prime }=h^{\prime }=0,02\text{cm/min}$

   2. 2. Derivamos respecto del tiempo: $2D{D}^{\prime }=2b{b}^{\prime }+2h{h}^{\prime }$.

      $D^{\prime }=\frac{b{b}^{\prime }+h{h}^{\prime }}{D}$

   3. 3. Cuando $b=8$ y $h=6$, $D=\sqrt{64+36}=10$ cm.

      $D^{\prime }=\frac{8\cdot 0,02+6\cdot 0,02}{10}=\frac{0,28}{10}=0,028\text{cm/min}$

      $D^{\prime }=0,028\text{cm/min}=0,28\text{mm/min}$

   Respuesta final: La diagonal crece a $0,028cm/min=0,28mm/min$.

3. 3. 2008 · Extraordinaria 2008 · Ejercicio 4.1

   Un móvil se mueve con velocidad constante de $2m/s$, en el primer cuadrante, sobre la recta $x=1$, partiendo del punto $M=(1,0)$ situado a $1\mathrm{m}$ del origen. Se pide obtener razonadamente:

   • a)Las coordenadas del punto $M(t)$ donde está situado el móvil después de $t$ segundos (1 punto).
   • b)La función $m(t)$ igual a la pendiente de la recta que pasa por el punto $O=(0,0)$ y por el punto $M(t)$ (1,3 puntos).
   • c)La derivada de la función $m(t)$ (1 punto).

   Apartado a

   1. 1. El móvil se mueve sobre $x=1$ (la abscisa no cambia) en sentido ascendente (primer cuadrante), con velocidad $2$ m/s: la ordenada aumenta $2t$ en $t$ segundos.

      $M(t)=(1,0+2t)$

      $M(t)=(1,2t)$

   Apartado b

   1. 1. La recta por $O=(0,0)$ y $M(t)=(1,2t)$ tiene como pendiente el cociente entre la variación de $y$ y la de $x$.

      $m(t)=\frac{2t-0}{1-0}=2t$

      $m(t)=2t$

   Apartado c

   1. 1. Derivamos respecto del tiempo.

      $m^{\prime }(t)=2$

      $m^{\prime }(t)=2$ (constante)

   Respuesta final: a) $M(t)=(1,2t)$. b) $m(t)=2t$. c) $m^{\prime }(t)=2$.

4. 4. 2007 · Extraordinaria 2007 · Ejercicio 3.2

   Sea la función con dominio los números reales no nulos $f(x)=\frac{4}{x}$.

   • a)Calcular la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=2$ (1,8 puntos).
   • b)Determinar los puntos $M$ y $N$ de la gráfica de $f(x)$ para los que las rectas tangentes a la gráfica en $M$ y $N$ se cortan en el punto $(4,-8)$ (1,5 puntos).

   Apartado a

   1. 1. Punto: $f(2)=2$. Pendiente de la tangente: $f^{\prime }(x)=-\frac{4}{x^2}$, así que $f^{\prime }(2)=-1$.

      $y-2=-1(x-2)$

      Tangente: $y=-x+4$

   2. 2. La normal es perpendicular a la tangente: pendiente $-1/f^{\prime }(2)=1$.

      $y-2=1(x-2)$

      Normal: $y=x$

   Apartado b

   1. 1. Tangente en el punto $(a,\frac{4}{a})$, con $f^{\prime }(a)=-\frac{4}{a^2}$.

      $y-\frac{4}{a}=-\frac{4}{a^2}(x-a)\Rightarrow y=\frac{8}{a}-\frac{4x}{a^2}$

   2. 2. Imponemos que pase por $(4,-8)$.

      $-8=\frac{8}{a}-\frac{16}{a^2}\Rightarrow -8a^2=8a-16\Rightarrow a^2+a-2=0$

      $a=1$ o $a=-2$

   3. 3. Puntos correspondientes: $f(1)=4$ y $f(-2)=-2$.

      $M=(1,4),N=(-2,-2)$

      $M=(1,4)$ y $N=(-2,-2)$

   Respuesta final: a) Tangente $y=-x+4$; normal $y=x$. b) $M=(1,4)$ y $N=(-2,-2)$.

5. 5. 2007 · Ordinaria 2007 · Ejercicio 3.2

   Se considera la función real $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$, donde $a$, $b$ y $c$ son parámetros reales.

   • a)Averiguar los valores de $a$ y $b$ para los que las rectas tangentes a la gráfica de $f(x)$ en los puntos de abscisas $x=2$ y $x=4$ son paralelas al eje $OX$ (2 puntos).
   • b)Con los valores de $a$ y $b$ hallados anteriormente, obtener el valor de $c$ para el que se cumple que el punto de inflexión de la gráfica de $f(x)$ está en el eje $OX$ (1,3 puntos).

   Apartado a

   1. 1. Tangente horizontal significa $f^{\prime }(x)=0$. Derivamos: $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$ e imponemos $f^{\prime }(2)=0$ y $f^{\prime }(4)=0$.

      $\{\begin{array}{l}12+4a+b=0\\ 48+8a+b=0\end{array}$

   2. 2. Restando la primera ecuación a la segunda: $36+4a=0$.

      $a=-9,b=-12-4a=-12+36=24$

      $a=-9$ y $b=24$

   Apartado b

   1. 1. Con $a=-9$, $b=24$: $f(x)=x^3-9x^2+24x+c$. La inflexión está donde $f^{\prime \prime }(x)=6x-18=0$ y $f^{\prime \prime }$ cambia de signo (pues $f^{\prime \prime \prime }=6\ne 0$).

      $f^{\prime \prime }(x)=6x-18=0\Rightarrow x=3$

      Punto de inflexión en $x=3$.

   2. 2. El punto de inflexión $(3,f(3))$ debe estar en el eje $OX$: $f(3)=0$.

      $f(3)=27-81+72+c=18+c=0\Rightarrow c=-18$

      $c=-18$

   Respuesta final: a) $a=-9$, $b=24$. b) $c=-18$ (inflexión en $(3,0)$).

6. 6. 2006 · Extraordinaria 2006 · Ejercicio A.4 · Opción A

   Un incendio se extiende en forma circular uniformemente. El radio del círculo quemado crece a la velocidad constante de $1,8m/min$.

   • a)Obtener el área quemada en función del tiempo $t$ transcurrido desde el comienzo del incendio (1,3 puntos).
   • b)Calcular la velocidad de crecimiento del área del círculo quemado en el instante en que el radio alcance $45\mathrm{m}$ (2 puntos).

   Apartado a

   1. 1. El radio crece a $1,8$ m/min desde $0$: $r(t)=1,8t$ (en metros, con $t$ en minutos). El área de un círculo es $\pi r^2$.

      $A(t)=\pi (1,8t{)}^2=3,24\pi t^2$

      $A(t)=3,24\pi t^2{\text{m}}^2$

   Apartado b

   1. 1. La velocidad de crecimiento del área es la derivada $A^{\prime }(t)=6,48\pi t$. El radio vale $45$ cuando $1,8t=45$, es decir, $t=25$ min.

      $A^{\prime }(25)=6,48\pi \cdot 25=162\pi$

      $A^{\prime }=162\pi \approx 508,9{\text{m}}^2/\text{min}$

   Respuesta final: a) $A(t)=3,24\pi t^2{\text{m}}^2$. b) $A^{\prime }=162\pi \approx 508,9{\text{m}}^2/\text{min}$ (a los $25$ min).

7. 7. 2006 · Ordinaria 2006 · Ejercicio A.4 · Opción A

   Una persona camina a la velocidad constante de $3m/s$ alejándose horizontalmente en línea recta desde la base de un farol cuyo foco luminoso está a $10\mathrm{m}$ de altura. Sabiendo que la persona mide $1,70\mathrm{m}$, calcular:

   • a)La longitud de la sombra cuando la persona está a $5\mathrm{m}$ de la base del farol.
   • b)La velocidad de crecimiento de la sombra a los $t$ segundos de comenzar a caminar.

   Apartado a

   1. 1. Sea $x$ la distancia de la persona a la base del farol y $s$ la longitud de su sombra (desde los pies hasta la punta). El rayo que pasa por la cabeza y el foco da dos triángulos semejantes: el del farol (altura $10$, base $x+s$) y el de la persona (altura $1,7$, base $s$).

      $\frac{10}{x+s}=\frac{1,7}{s}\Rightarrow 10s=1,7x+1,7s\Rightarrow s=\frac{1,7}{8,3}x=\frac{17}{83}x$

   2. 2. Con $x=5\text{m}$:

      $s=\frac{17}{83}\cdot 5=\frac{85}{83}$

      $s=\frac{85}{83}\approx 1,02\text{m}$

   Apartado b

   1. 1. Como la persona anda a $3\text{m/s}$, en el instante $t$ está a $x=3t$ metros del farol, y la sombra vale:

      $s(t)=\frac{17}{83}\cdot 3t=\frac{51}{83}t$

   2. 2. La velocidad de crecimiento es la derivada respecto del tiempo.

      $s^{\prime }(t)=\frac{51}{83}$

      $\frac{51}{83}\approx 0,61\text{m/s}$, constante

   Respuesta final: a) $s=\frac{85}{83}\approx 1,02\text{m}$. b) $s^{\prime }(t)=\frac{51}{83}\approx 0,61\text{m/s}$ (constante).

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