Estudio de funciones, límites y continuidad · Matemáticas II (con soluciones)

Apartado 4.1.1

1. 1. El denominador $x^2+1\ge 1>0$ nunca se anula: $f$ es un cociente de polinomios definido en todo $\mathbb{R}$.

   $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$

   $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$ y $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ (cociente de polinomios con denominador no nulo).

Apartado 4.1.2

1. 1. No hay asíntotas verticales (el denominador no se anula). En el infinito el denominador tiene mayor grado que el numerador.

   ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x+1}{x^2+1}=0$

   Asíntota horizontal $y=0$ en $\pm \infty$; no hay oblicuas.

2. 2. Derivamos con la regla del cociente.

   $f^{\prime }(x)=\frac{(x^2+1)-2x(x+1)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-2x-x^2}{(x^2+1{)}^2}$

3. 3. El denominador es positivo; el signo lo da $1-2x-x^2$, que se anula en $x=-1\pm \sqrt{2}$ y es positiva entre ambas raíces (parábola con ramas hacia abajo).

   $f^{\prime }>0\text{en}(-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2});f^{\prime }<0\text{en}(-\infty ,-1-\sqrt{2})\cup (-1+\sqrt{2},\infty )$

   $f$ decrece en $(-\infty ,-1-\sqrt{2})$ y en $(-1+\sqrt{2},\infty )$ y crece en $(-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2})$.

Apartado 4.1.3

1. 1. Por el signo de $f^{\prime }$: mínimo relativo en $x=-1-\sqrt{2}$ y máximo relativo en $x=-1+\sqrt{2}$. Calculamos los valores (racionalizando).

   $f(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\approx 1,207,f(-1-\sqrt{2})=\frac{-\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}=\frac{1-\sqrt{2}}{2}\approx -0,207$

2. 2. Como $f(x)\to 0$ en $\pm \infty$, y el máximo es positivo y el mínimo negativo, ningún valor de la función supera al máximo ni baja del mínimo: son también absolutos.

   $\max f=\frac{1+\sqrt{2}}{2},\min f=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$

   Máximo absoluto $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$ en $x=\sqrt{2}-1$ y mínimo absoluto $\frac{1-\sqrt{2}}{2}$ en $x=-1-\sqrt{2}$.

Apartado 4.1.4

1. 1. Cortes con los ejes: $f(0)=1$ y $f(x)=0⟺x=-1$. Dibujamos desde la asíntota $y=0$ por debajo (en $-\infty$), bajando hasta el mínimo en $x\approx -2,41$, subiendo por $(-1,0)$ y $(0,1)$ hasta el máximo en $x\approx 0,41$, y bajando después hacia $y=0$ por encima.

   $(-1,0),(0,1),\text{maˊx}(0,41;1,21),\text{mıˊn}(-2,41;-0,21)$

   Gráfica con las características anteriores.

Apartado a

1. 1. El denominador $x^2+1\ge 1$ nunca se anula: $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$ y no hay asíntotas verticales.

   $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$

2. 2. Asíntota horizontal (grado del numerador menor que el del denominador). Sin oblicuas.

   ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x}{x^2+1}=0$

   $y=0$ (horizontal, en $\pm \infty$)

3. 3. Derivada: $f^{\prime }(x)=\frac{(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$. Signo = signo de $1-x^2$.

   $f^{\prime }>0⟺|x|<1$

   Crece en $(-1,1)$; decrece en $(-\infty ,-1)\cup (1,\infty )$

Apartado b

1. 1. Puntos críticos: $f^{\prime }=0⟺x=\pm 1$. Por el estudio del signo: en $x=-1$ pasa de decrecer a crecer (mínimo relativo); en $x=1$ de crecer a decrecer (máximo relativo).

   $f(1)=\frac{1}{2},f(-1)=-\frac{1}{2}$

2. 2. Absolutos: $f\to 0$ en $\pm \infty$ y $-\frac{1}{2}\le f\le \frac{1}{2}$ (pues $|x|\le \frac{x^2+1}{2}$). Los extremos relativos son además los absolutos.

   $\max =f(1)=\frac{1}{2},\min =f(-1)=-\frac{1}{2}$

   Máximo relativo y absoluto $\left(1,\frac{1}{2}\right)$; mínimo relativo y absoluto $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$

Apartado c

1. 1. $f$ es impar ($f(-x)=-f(x)$): simétrica respecto al origen. Pasa por $(0,0)$ (único corte). Trazamos: baja desde $0^{-}$ (en $-\infty$) hasta el mínimo en $x=-1$, sube pasando por el origen hasta el máximo $(1,\frac{1}{2})$ y baja acercándose a $y=0$ por arriba.

   $f(-x)=-f(x)$

   Gráfica: curva impar con asíntota $y=0$, mínimo en $(-1,-\frac{1}{2})$ y máximo en $(1,\frac{1}{2})$

Apartado 4.1.1

1. 1. Derivada de $f(x)=x^4-7x^2+16$ y puntos críticos.

   $f^{\prime }(x)=4x^3-14x=2x(2x^2-7)=0\Rightarrow x=0,x=\pm \sqrt{7/2}=\pm \frac{\sqrt{14}}{2}$

2. 2. Signo de $f^{\prime }$ en los intervalos que determinan $-\sqrt{7/2}\approx -1,87$, $0$ y $\sqrt{7/2}\approx 1,87$.

   $f^{\prime }(-2)<0,f^{\prime }(-1)>0,f^{\prime }(1)<0,f^{\prime }(2)>0$

   Decrece en $\left(-\infty ,-\sqrt{\frac{7}{2}}\right)\cup \left(0,\sqrt{\frac{7}{2}}\right)$; crece en $\left(-\sqrt{\frac{7}{2}},0\right)\cup \left(\sqrt{\frac{7}{2}},\infty \right)$

3. 3. Valores de $f$ en los puntos críticos.

   $f(0)=16,f\left(\pm \sqrt{\frac{7}{2}}\right)=\frac{49}{4}-\frac{49}{2}+16=\frac{15}{4}$

   Máximo relativo en $(0,16)$; mínimos relativos en $\left(\pm \sqrt{\frac{7}{2}},\frac{15}{4}\right)$

Apartado 4.1.2

1. 1. Puntos de corte: $f(x)=g(x)$.

   $x^4-8x^2+16=(x^2-4{)}^2=0\Rightarrow x=\pm 2$ (raíces dobles)

   Las curvas se tocan en $x=\pm 2$ sin cruzarse: $f-g=(x^2-4{)}^2\ge 0$, así que $f\ge g$ siempre y la región finita encerrada está entre $x=-2$ y $x=2$.

2. 2. Área como integral de la diferencia (par, doblamos la mitad).

   $A={\int }_{-2}^2(x^4-8x^2+16)dx=2{\left[\frac{x^5}{5}-\frac{8x^3}{3}+16x\right]}_0^2=2\left(\frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32\right)$

   $A=\frac{512}{15}{\text{u}}^2\approx 34,13{\text{u}}^2$

Apartado 4.1.1

1. 1. El denominador se anula en $x=\pm 3$, que quedan fuera del dominio.

   $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}\setminus \{-3,3\}$

   $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}\setminus \{-3,3\}$

2. 2. Asíntotas verticales: estudiamos los límites laterales en $x=3$ y $x=-3$ (el numerador vale $\pm 3$ y el denominador $9-x^2$ cambia de signo).

   ${\lim }_{x\to 3^{-}}f=+\infty ,{\lim }_{x\to 3^{+}}f=-\infty ,{\lim }_{x\to -3^{-}}f=+\infty ,{\lim }_{x\to -3^{+}}f=-\infty$

   Asíntotas verticales $x=3$ y $x=-3$.

3. 3. Asíntota horizontal: el denominador tiene mayor grado que el numerador.

   ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x}{9-x^2}=0$

   Asíntota horizontal $y=0$ (a ambos lados); no hay oblicuas.

4. 4. Derivamos con la regla del cociente.

   $f^{\prime }(x)=\frac{(9-x^2)+2x^2}{(9-x^2{)}^2}=\frac{9+x^2}{(9-x^2{)}^2}$

5. 5. El numerador $9+x^2$ es siempre positivo y el denominador es un cuadrado no nulo en el dominio: $f^{\prime }>0$.

   $f^{\prime }(x)>0\text{en todo el dominio}$

   $f$ es creciente en $(-\infty ,-3)$, en $(-3,3)$ y en $(3,\infty )$; sin extremos relativos.

Apartado 4.1.2

1. 1. $f$ es impar ($f(-x)=-f(x)$): simétrica respecto al origen y con $f(0)=0$. En $(-3,3)$ pasa por el origen creciendo desde $-\infty$ (junto a $x=-3$) hasta $+\infty$ (junto a $x=3$). A la derecha de $x=3$ la rama baja de $-\infty$ hacia $y=0$ por debajo, y a la izquierda de $x=-3$ la rama simétrica viene de $y=0$ por encima hasta $+\infty$.

   $f(0)=0,f(1)=\frac{1}{8},f(6)=-\frac{2}{9}$

   Gráfica con las tres ramas del dibujo y las asíntotas $x=\pm 3$, $y=0$.

Apartado 4.1.3

1. 1. El numerador es, salvo el factor $-\frac{1}{2}$, la derivada del denominador $9-x^2$ (cuya derivada es $-2x$): es inmediata.

   $\int \frac{x}{9-x^2}dx=-\frac{1}{2}\int \frac{-2x}{9-x^2}dx=-\frac{1}{2}\ln |9-x^2|+C$

   $-\frac{1}{2}\ln |9-x^2|+C$.

Apartado 4.1.4

1. 1. En $[-1,1]$ no hay asíntotas ($|x|<3$) y $f$ es impar: la integral con signo vale 0, pero el área es el doble del área entre $0$ y $1$, donde $f\ge 0$.

   $\text{Aˊrea}=2{\int }_0^1\frac{x}{9-x^2}dx=2[-\frac{1}{2}\ln (9-x^2){]}_0^1$

2. 2. Evaluamos.

   $=-\ln 8+\ln 9=\ln \frac{9}{8}\approx 0,118$

   $\ln \frac{9}{8}\approx 0,118$ unidades de superficie.

Apartado a

1. 1. El producto de un polinomio por una exponencial está definido para todo real, así que no hay asíntotas verticales.

   $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$

   $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$

2. 2. Límites en el infinito (suponemos $k\ne 0$; si $k=0$, $f\equiv 0$). En $+\infty$ la exponencial del denominador gana al factor $x$; en $-\infty$ la exponencial $e^{-2x}$ crece.

   ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{kx}{e^{2x}}=0,{\lim }_{x\to -\infty }kx{e}^{-2x}=-\mathrm{sgn}(k)\cdot \infty$

   Asíntota horizontal $y=0$ en $+\infty$.

3. 3. En $-\infty$ no hay asíntota oblicua: $f(x)/x=k{e}^{-2x}\to \pm \infty$, que no es finito.

   ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{f(x)}{x}={\lim }_{x\to -\infty }k{e}^{-2x}=\pm \infty$

   No hay asíntota oblicua.

Apartado b

1. 1. Derivamos con la regla del producto.

   $f^{\prime }(x)=k{e}^{-2x}-2kx{e}^{-2x}=k{e}^{-2x}(1-2x)$

2. 2. $e^{-2x}>0$, así que $f^{\prime }(x)=0$ solo en $x=\frac{1}{2}$ y el signo de $f^{\prime }$ lo dan $k$ y $1-2x$. Para $k>0$: $f^{\prime }>0$ si $x<\frac{1}{2}$ y $f^{\prime }<0$ si $x>\frac{1}{2}$. Con $k<0$ los signos se invierten.

   $k>0:f\nearrow (-\infty ,\frac{1}{2}),f\searrow (\frac{1}{2},\infty );k<0:f\searrow (-\infty ,\frac{1}{2}),f\nearrow (\frac{1}{2},\infty )$

3. 3. Valor de la función en el punto crítico: $f(\frac{1}{2})=k\cdot \frac{1}{2}\cdot e^{-1}$.

   $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{k}{2e}$

   Máximo relativo en $\left(\frac{1}{2},\frac{k}{2e}\right)$ si $k>0$; mínimo relativo en el mismo punto si $k<0$.

Apartado c

1. 1. $f(0)=k\cdot 0\cdot e^0=0$ para cualquier valor de $k$, y $0\in [-1,1]$. (Si $k=0$ la función es nula en todo el intervalo.)

   $f(0)=0\forall k\in \mathbb{R}$

   La función se anula siempre en $x=0\in [-1,1]$.

Apartado a

1. 1. Factorizamos numerador y denominador: $-2x^2+x+1=-(2x+1)(x-1)$ y $2x^2+5x+2=(2x+1)(x+2)$.

   $f(x)=\frac{-(2x+1)(x-1)}{(2x+1)(x+2)}=\frac{1-x}{x+2}(x\ne -\frac{1}{2},x\ne -2)$

2. 2. En $x=-\frac{1}{2}$ la función no está definida (anula numerador y denominador) pero el límite es finito.

   $\underset{x\to -1/2}{\lim }f(x)=\frac{1-(-1/2)}{-1/2+2}=\frac{3/2}{3/2}=1$

   Discontinuidad evitable en $x=-\frac{1}{2}$ (se evita definiendo $f(-\frac{1}{2})=1$)

Apartado b

1. 1. Derivamos la forma simplificada (válida salvo en $x=-2$ y $x=-\frac{1}{2}$).

   $f^{\prime }(x)=\frac{-(x+2)-(1-x)}{(x+2{)}^2}=\frac{-3}{(x+2{)}^2}<0$

   $f$ es decreciente en $(-\infty ,-2)$, en $(-2,-\frac{1}{2})$ y en $(-\frac{1}{2},\infty )$; no tiene extremos relativos

Apartado c

1. 1. Dividimos: $\frac{1-x}{x+2}=-1+\frac{3}{x+2}$.

   $\int f(x)dx=\int \left(-1+\frac{3}{x+2}\right)dx$

   $\int f(x)dx=-x+3\ln |x+2|+C$

Apartado a

1. 1. $\ln (x+1)$ exige $x+1>0$ y $\frac{1}{x}$ exige $x\ne 0$.

   $\mathrm{Dom}f=(-1,0)\cup (0,+\infty )$

   $\mathrm{Dom}f=(-1,0)\cup (0,\infty )$

2. 2. Límites en los extremos del dominio.

   $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f=-1+(-\infty )=-\infty ,\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f=-\infty ,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }f=+\infty$

   Asíntotas verticales $x=-1$ y $x=0$; ni horizontales ni oblicuas

Apartado b

1. 1. Derivada y puntos críticos.

   $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x+1}=\frac{x^2-x-1}{x^2(x+1)}=0\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

2. 2. El denominador $x^2(x+1)$ es positivo en el dominio, luego el signo de $f^{\prime }$ es el de $x^2-x-1$ (positivo fuera de las raíces, negativo entre ellas).

   $f^{\prime }>0$ en $\left(-1,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$ y en $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2},\infty \right)$; $f^{\prime }<0$ en $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2},0\right)$ y en $\left(0,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$

   Máximo relativo en $x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ ($f\approx -2,580$) y mínimo relativo en $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ($f\approx 1,580$)

Apartado c

1. 1. En $[1,2]$ la función es positiva ($\frac{1}{x}>0$ y $\ln (x+1)>0$), así que el área es la integral. Primitiva de $\ln (x+1)$: por partes, $\int \ln (x+1)dx=(x+1)\ln (x+1)-(x+1)$.

   $A={\int }_1^2\left(\frac{1}{x}+\ln (x+1)\right)dx=[\ln x+(x+1)\ln (x+1)-(x+1){]}_1^2$

2. 2. Evaluamos.

   $A=(\ln 2+3\ln 3-3)-(0+2\ln 2-2)=3\ln 3-\ln 2-1$

   $A=3\ln 3-\ln 2-1\approx 1,603{\text{u}}^2$

Apartado a

1. 1. El denominador se anula en $x=\pm 2$.

   $x^2-4=0⟺x=\pm 2\Rightarrow \mathrm{Dom}f=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$

2. 2. Cortes con el eje $OY$: $x=0$. Con el eje $OX$: numerador $x^2+3=0$, sin solución real.

   $f(0)=-\frac{3}{4}$

   Corte con $OY$: $(0,-\frac{3}{4})$; no corta al eje $OX$

Apartado b

1. 1. Verticales en los ceros del denominador (el numerador no se anula ahí): límites laterales.

   ${\lim }_{x\to 2^{+}}f=+\infty ,{\lim }_{x\to 2^{-}}f=-\infty ,{\lim }_{x\to -2^{+}}f=-\infty ,{\lim }_{x\to -2^{-}}f=+\infty$

2. 2. Horizontal: límite en el infinito (mismo grado en numerador y denominador).

   ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x^2+3}{x^2-4}=1$

   Asíntotas: $x=2$, $x=-2$ (verticales) e $y=1$ (horizontal)

Apartado c

1. 1. Derivada con el cociente.

   $f^{\prime }(x)=\frac{2x(x^2-4)-(x^2+3)2x}{(x^2-4{)}^2}=\frac{-14x}{(x^2-4{)}^2}$

2. 2. El denominador es siempre positivo: el signo lo da $-14x$. Solo se anula en $x=0$.

   $f^{\prime }>0$ si $x<0$ ($x\ne -2$); $f^{\prime }<0$ si $x>0$ ($x\ne 2$)

   Crece en $(-\infty ,-2)\cup (-2,0)$; decrece en $(0,2)\cup (2,\infty )$. Máximo relativo en $\left(0,-\frac{3}{4}\right)$; no hay mínimos.

Apartado d

1. 1. Dividimos: grados iguales, $x^2+3=(x^2-4)+7$.

   $f(x)=1+\frac{7}{x^2-4}$

2. 2. Descomponemos en fracciones simples: $\frac{7}{(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}$ con $A=\frac{7}{4}$, $B=-\frac{7}{4}$.

   $f(x)=1+\frac{7/4}{x-2}-\frac{7/4}{x+2}$

3. 3. Integramos término a término.

   $\int f(x)dx=x+\frac{7}{4}\ln |x-2|-\frac{7}{4}\ln |x+2|+C$

   $F(x)=x+\frac{7}{4}\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C$

Apartado a

1. 1. El dominio es todo $\mathbb{R}$ (producto de una función polinómica y una exponencial).

   $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$

2. 2. Derivada.

   $f^{\prime }(x)=e^{1-x^2}+x(-2x)e^{1-x^2}=(1-2x^2)e^{1-x^2}$

3. 3. $e^{1-x^2}>0$, así que el signo es el de $1-2x^2$: raíces $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

   $f^{\prime }>0$ en $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$; $f^{\prime }<0$ en $\left(-\infty ,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\infty \right)$

   Crece en $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, decrece fuera. Mínimo relativo en $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\sqrt{\frac{e}{2}}\right)$; máximo relativo en $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{\frac{e}{2}}\right)$.

Apartado b

1. 1. No hay asíntotas verticales (es continua en $\mathbb{R}$). En el infinito, la exponencial domina: $x{e}^{1-x^2}=\frac{ex}{e^{x^2}}\to 0$.

   ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=0$

   Asíntota horizontal $y=0$ (en ambos lados).

2. 2. Para la gráfica: $f$ es impar ($f(-x)=-f(x)$), pasa por el origen y por $(\pm 1,\pm 1)$; $f^{\prime \prime }(x)=2x(2x^2-3)e^{1-x^2}$ da puntos de inflexión en $x=0$ y $x=\pm \sqrt{3/2}$.

   $f^{\prime \prime }(x)=2x(2x^2-3)e^{1-x^2}$

   Por la izquierda parte de $y=0^{-}$, baja hasta el mínimo, sube pasando por el origen hasta el máximo y vuelve a $y=0^{+}$.

Apartado c

1. 1. Cambio $u=1-x^2$, $du=-2xdx$.

   $\int x{e}^{1-x^2}dx=-\frac{1}{2}\int e^{u}du=-\frac{1}{2}{e}^{1-x^2}+C$

   $-\frac{1}{2}{e}^{1-x^2}+C$

Apartado a

1. 1. El denominador se anula en $x=0$ y $x=-2$.

   $\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}\setminus \{-2,0\}$

2. 2. Límites en los puntos excluidos y en el infinito.

   ${\lim }_{x\to 0^{\pm }}f=\mp \infty$ (numerador $\to -1$, denominador $\to 0^{\pm }$), ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}f=\pm \infty$, ${\lim }_{x\to \pm \infty }f=0$

   Asíntotas verticales $x=0$ y $x=-2$; horizontal $y=0$.

Apartado b

1. 1. Derivada del cociente.

   $f^{\prime }(x)=\frac{x(x+2)-(x-1)(2x+2)}{x^2(x+2{)}^2}=\frac{-x^2+2x+2}{x^2(x+2{)}^2}$

2. 2. El denominador es positivo: el signo es el de $-x^2+2x+2$, con raíces $x=1\pm \sqrt{3}$ ($\approx -0,73$ y $2,73$), positivo entre ellas.

   $f^{\prime }>0$ en $(1-\sqrt{3},1+\sqrt{3})$ salvo $x=0$; $f^{\prime }<0$ fuera

   Crece en $(1-\sqrt{3},0)\cup (0,1+\sqrt{3})$. Decrece en $(-\infty ,-2)\cup (-2,1-\sqrt{3})\cup (1+\sqrt{3},\infty )$.

Apartado c

1. 1. Fracciones simples: $\frac{x-1}{x(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}$; $A=\frac{-1}{2}$ (en $x=0$), $B=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}$ (en $x=-2$).

   $f(x)=-\frac{1}{2x}+\frac{3}{2(x+2)}$

2. 2. Integramos.

   $\int f(x)dx=-\frac{1}{2}\ln |x|+\frac{3}{2}\ln |x+2|+C$

   $-\frac{1}{2}\ln |x|+\frac{3}{2}\ln |x+2|+C$

Apartado a

1. 1. La raíz exige $x^2-1\ge 0$ y, como además está en el denominador, no puede anularse: $x^2-1>0$.

   $\mathrm{Dom}f=(-\infty ,-1)\cup (1,\infty )$

   $\mathrm{Dom}f=(-\infty ,-1)\cup (1,\infty )$

2. 2. Asíntotas verticales: en los extremos del dominio el denominador tiende a $0^{+}$ y el numerador a $\pm 1$.

   ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=+\infty ,{\lim }_{x\to -1^{-}}\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=-\infty$

   Asíntotas verticales $x=1$ y $x=-1$.

3. 3. Asíntotas horizontales: dividimos numerador y denominador entre $|x|$ (para $x>0$ es $x$ y para $x<0$ es $-x$).

   ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=1,{\lim }_{x\to -\infty }\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=-1$

   Asíntotas horizontales $y=1$ (en $+\infty$) e $y=-1$ (en $-\infty$); al haber horizontales no hay oblicuas.

Apartado b

1. 1. Derivamos con la regla del cociente.

   $f^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{x^2-1}-\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}=\frac{-1}{(x^2-1{)}^{3/2}}$

2. 2. En el dominio $x^2-1>0$, así que $f^{\prime }(x)<0$ siempre: no se anula y no hay máximos ni mínimos.

   $f^{\prime }(x)<0\text{en todo el dominio}$

   $f$ es decreciente en $(-\infty ,-1)$ y en $(1,\infty )$; sin extremos relativos.

3. 3. Gráfica: $f$ es impar ($f(-x)=-f(x)$), así que es simétrica respecto al origen. La rama derecha baja desde $+\infty$ (junto a $x=1$) hacia $y=1$; por ejemplo $f(2)=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1,15$. La izquierda es su simétrica: baja desde $y=-1$ hacia $-\infty$ junto a $x=-1$.

   $f(2)=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1,155,f(-2)=-\frac{2}{\sqrt{3}}$

Apartado c

1. 1. La integral es inmediata con el cambio $u=x^2-1$, $du=2xdx$.

   $\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx=\sqrt{x^2-1}+C$

2. 2. Regla de Barrow en $[2,3]$ (dentro del dominio).

   ${\int }_2^{3}f(x)dx=[\sqrt{x^2-1}{]}_2^3=\sqrt{8}-\sqrt{3}=2\sqrt{2}-\sqrt{3}$

   $2\sqrt{2}-\sqrt{3}\approx 1,096$.

Apartado a

1. 1. El denominador $x^2+2x+5$ tiene discriminante $4-20=-16<0$: nunca se anula. El dominio es todo $\mathbb{R}$.

   $\mathrm{Dom}h=\mathbb{R}$

2. 2. En $+\infty$ el grado del numerador (3) supera al del denominador (2): el límite es infinito con el signo de $x$.

   ${\lim }_{x\to +\infty }h(x)=+\infty$

3. 3. $h$ es continua en $0$ (está en el dominio), así que el límite es el valor de la función.

   ${\lim }_{x\to 0}h(x)=h(0)=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}$

   Dominio $\mathbb{R}$; ${\lim }_{x\to +\infty }h=+\infty$ y ${\lim }_{x\to 0}h=-\frac{3}{5}$.

Apartado b

1. 1. Dividimos los polinomios: $x^3+x^2+5x-3=(x-1)(x^2+2x+5)+(2x+2)$.

   $h(x)=x-1+\frac{2x+2}{x^2+2x+5}$

2. 2. La fracción tiende a 0 en $\pm \infty$, así que la curva se acerca a la recta $y=x-1$. No hay asíntotas verticales (dominio $\mathbb{R}$) ni horizontales.

   ${\lim }_{x\to \pm \infty }[h(x)-(x-1)]=0$

   Asíntota oblicua $y=x-1$ (en ambos lados).

Apartado c

1. 1. Separamos la división: $\int hdx=\int (x-1)dx+\int \frac{2x+2}{x^2+2x+5}dx$. El numerador de la fracción es exactamente la derivada del denominador.

   $\int h(x)dx=\frac{x^2}{2}-x+\ln \left(x^2+2x+5\right)+C$

   Primitiva: $\frac{x^2}{2}-x+\ln (x^2+2x+5)+C$.

2. 2. En $[1,5]$ la función es positiva ($h(1)=\frac{1}{2}$ y crece), así que el área es la integral sin valor absoluto. Aplicamos la regla de Barrow.

   $A={\left[\frac{x^2}{2}-x+\ln (x^2+2x+5)\right]}_1^5=(\frac{25}{2}-5+\ln 40)-(\frac{1}{2}-1+\ln 8)=8+\ln 5$

   $A=8+\ln 5\approx 9,61{\text{u}}^2$

Apartado a

1. 1. $f(x)=x{e}^{-x^2}$ está definida en todo $\mathbb{R}$ (no hay asíntotas verticales). En $\pm \infty$ la exponencial gana al factor $x$.

   ${\lim }_{x\to \pm \infty }x{e}^{-x^2}=0$

2. 2. Asíntota horizontal $y=0$ (a ambos lados); no hay oblicuas. Derivamos con la regla del producto.

   $f^{\prime }(x)=e^{-x^2}-2x^2{e}^{-x^2}=(1-2x^2)e^{-x^2}$

3. 3. $e^{-x^2}>0$, luego el signo de $f^{\prime }$ es el de $1-2x^2$, que se anula en $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.

   $f^{\prime }>0$ en $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$; $f^{\prime }<0$ en $\left(-\infty ,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cup \left(\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty \right)$

4. 4. Mínimo relativo en $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ y máximo relativo en $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

   $f\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\pm \frac{1}{\sqrt{2e}}\approx \pm 0,429$

   Asíntota $y=0$; decrece en $\left(-\infty ,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ y $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},+\infty \right)$, crece entre ambos; mínimo $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)$ y máximo $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)$.