Álgebra · Matemáticas II (con soluciones)

PAU Comunitat Valenciana · 40 ejercicios, del más reciente al más antiguo

1. 2026 · Ordinaria 2026 · Ejercicio 2.1 · Opción A
El estado tensional en un punto de un sólido elástico se define a partir de una matriz cuadrada $T$ de orden 3. El vector tensión en la dirección de $v = x y z$ viene dado por $u = T v$ . Para $T = 2 m 0 m 20 001$ y $u = 44 - 2$ , se pide:
- 2.1.1)Discutir el sistema de ecuaciones lineales $T v = u$ en función del parámetro real $m$ .
- 2.1.2)Resolver el sistema $T v = u$ para $m = - 1$ .
- 2.1.3)Se llaman tensiones principales de $T$ a los valores reales $α$ tales que $det (T - α I) = 0$ , siendo $I$ la matriz identidad. Calcular las tensiones principales para $m = 2$ .
Apartado 2.1.1
1. 1. Tv=u es un sistema 3×3 con matriz de coeficientes $T$ y términos independientes $u$ . Su determinante, desarrollando por la tercera fila, es $∣ T ∣ = 1 \cdot (4 - m^{2})$ .
  $∣ T ∣ = 2 m 0 m 20 001 = 4 - m^{2} = (2 - m) (2 + m)$
2. 2. Si $m \neq = \pm 2$ : $rg T = rg (T ∣ u) = 3 =$ n.º de incógnitas.
  $m \neq = \pm 2 \Rightarrow$ SCD
  Compatible determinado (solución única)
3. 3. Si $m = 2$ : las dos primeras filas coinciden ( $2 x + 2 y = 4$ ), por lo que $rg T = 2$ . En la ampliada, las filas 1 y 2 siguen siendo iguales y la fila 3 aporta $z = - 2$ , así que $rg (T ∣ u) = 2$ .
  $rg T = rg (T ∣ u) = 2 < 3$
  $m = 2$ : compatible indeterminado (1 parámetro libre)
4. 4. Si $m = - 2$ : sumando las dos primeras ecuaciones, $(2 x - 2 y) + (- 2 x + 2 y) = 4 + 4$ , queda $0 = 8$ . Contradicción: en la ampliada hay un menor de orden 3 no nulo.
  $2 - 2 0 001 44 - 2 = - 16 \neq = 0 \Rightarrow rg (T ∣ u) = 3 \neq = rg T = 2$
  $m = - 2$ : incompatible
Apartado 2.1.2
1. 1. Con $m = - 1$ el determinante vale $4 - 1 = 3 \neq = 0$ : sistema compatible determinado. Escribimos las ecuaciones.
  $⎩ ⎨ ⎧ 2 x - y = 4 - x + 2 y = 4 z = - 2$
2. 2. Resolvemos el bloque $2 \times 2$ por reducción: multiplicamos la 2.ª por 2 y sumamos: $3 y = 12$ .
  $y = 4, x = \frac{4 + y}{2} = 4$
  $(x, y, z) = (4, 4, - 2)$
Apartado 2.1.3
1. 1. Para $m = 2$ : $T - α I = 2 - α 20 2 2 - α 0 00 1 - α$ . Desarrollamos por la 3.ª fila.
  $det (T - α I) = (1 - α) [(2 - α)^{2} - 4] = (1 - α) (α^{2} - 4 α) = α (α - 4) (1 - α)$
2. 2. Igualamos a cero: tres raíces reales.
  $α (α - 4) (1 - α) = 0$
  Tensiones principales: $α = 0, 1, 4$
Respuesta final: 2.1.1: $m \neq = \pm 2$ SCD; $m = 2$ SCI; $m = - 2$ incompatible. 2.1.2: $(x, y, z) = (4, 4, - 2)$ . 2.1.3: $α \in {0, 1, 4}$ .
2. 2026 · Ordinaria 2026 · Ejercicio 2.2 · Opción B
Decimos que una matriz cuadrada es ortogonal cuando su matriz inversa coincide con su matriz transpuesta. Se pide:
- 2.2.1)Comprobar que para todo valor real $α$ la matriz $A = (cos (α) - sin (α) sin (α) cos (α))$ es ortogonal.
- 2.2.2)Determinar los valores de $a$ y $b$ para que la matriz $B = 00 b 010 a 00$ sea ortogonal. ¿Cuántas matrices ortogonales de esta forma existen?
- 2.2.3)Resuelve la ecuación matricial con incógnita $X$ : $B X + 101011 = 201120$ , donde $B$ es una matriz ortogonal como la del apartado anterior.
Apartado 2.2.1
1. 1. Una matriz es ortogonal si $A^{- 1} = A^{t}$ , es decir, si $A A^{t} = I$ . Calculamos el producto.
  $A A^{t} = (cos α - sen α sen α cos α) (cos α sen α - sen α cos α)$
2. 2. Efectuamos las operaciones y usamos $cos^{2} α + sen^{2} α = 1$ .
  $A A^{t} = (cos^{2} α + sen^{2} α \cdot - cos α sen α + sen α cos α sen^{2} α + cos^{2} α) = (1001)$
  $A A^{t} = I$ para todo $α$ , luego $A$ es ortogonal.
Apartado 2.2.2
1. 1. Imponemos $B B^{t} = I$ .
  $B B^{t} = 00 b 010 a 00 00 a 010 b 00 = a^{2} 00 010 00 b^{2}$
2. 2. Igualando a la identidad: $a^{2} = 1$ y $b^{2} = 1$ . Cada uno puede ser $1$ o $- 1$ de forma independiente.
  $a = \pm 1, b = \pm 1$
  Hay $2 \cdot 2 = 4$ matrices ortogonales de esta forma
Apartado 2.2.3
1. 1. Aislamos $B X$ y, como $B$ es ortogonal, $B^{- 1} = B^{t}$ : no hace falta invertir nada.
  $B X = D - C \Rightarrow X = B^{- 1} (D - C) = B^{t} (D - C)$
2. 2. Restamos las matrices conocidas.
  $D - C = 201120 - 101011 = 100 11 - 1$
3. 3. Multiplicamos por $B^{t} = 00 a 010 b 00$ (la 1.ª fila de $X$ es $b$ por la 3.ª de $D - C$ , la 3.ª es $a$ por la 1.ª).
  $X = 00 a - b 1 a$
  $X = 00 a - b 1 a$ , con $a, b \in {- 1, 1}$ (4 soluciones)
Respuesta final: 2.2.1: $A A^{t} = I$ . 2.2.2: $a = \pm 1, b = \pm 1$ (4 matrices). 2.2.3: $X = 00 a - b 1 a$ .
3. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 2A · Opción A
Se dan las matrices $A = (- 2 3 1 - 2)$ , $B = (10 2 - 1)$ y $C = (3 - 3 - 1 3)$ . Obtener:
- a)La matriz $X$ solución de la ecuación $(A^{- 1} X)^{- 1} = A (B^{2} A)^{- 1}$ .
- b)El determinante de la matriz $(3 A^{5} B)^{2}$ .
- c)Los valores de $a$ y $b$ , si existen, tales que $a B^{100} + b B^{99} = A + C$ .
Apartado a
1. 1. Simplificamos el segundo miembro con $(B^{2} A)^{- 1} = A^{- 1} (B^{2})^{- 1}$ (se invierte el orden).
  $A (B^{2} A)^{- 1} = A A^{- 1} B^{- 2} = B^{- 2}$
2. 2. Calculamos $B^{2}$ .
  $B^{2} = (10 2 - 1) (10 2 - 1) = (1001) = I$
  $B^{- 2} = I$
3. 3. Entonces $(A^{- 1} X)^{- 1} = I$ , luego $A^{- 1} X = I$ .
  $X = A \cdot I$
  $X = A = (- 2 3 1 - 2)$
Apartado b
1. 1. En matrices $2 \times 2$ , $∣ k M ∣ = k^{2} ∣ M ∣$ y $∣ M N ∣ = ∣ M ∣∣ N ∣$ .
  $∣ A ∣ = 4 - 3 = 1, ∣ B ∣ = - 1$
2. 2. Aplicamos las propiedades: $∣3 A^{5} B ∣ = 3^{2} ∣ A ∣^{5} ∣ B ∣ = 9 \cdot 1 \cdot (- 1) = - 9$ y el cuadrado.
  $∣ (3 A^{5} B)^{2} ∣ = ∣3 A^{5} B ∣^{2} = (- 9)^{2} = 81$
  $81$
Apartado c
1. 1. Como $B^{2} = I$ : las potencias pares valen $I$ y las impares $B$ . Luego $B^{100} = I$ y $B^{99} = B$ .
  $a I + b B = A + C = (1001)$
2. 2. Igualamos elemento a elemento: $(a + b 0 2 b a - b) = I$ .
  $2 b = 0, a + b = 1 \Rightarrow b = 0, a = 1$
  $a = 1, b = 0$
Respuesta final: a) $X = A$ . b) $81$ . c) $a = 1, b = 0$ .
4. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 2B · Opción B
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que dependen del parámetro real $a$ : $⎩ ⎨ ⎧ x - a y - z = - a a x - y + z = a a x + y = a$ Se pide:
- a)Discutir el sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $a$ .
- b)Calcular el conjunto de soluciones del sistema para aquellos valores de $a$ para los que el sistema es compatible determinado.
Apartado a
1. 1. Determinante de la matriz de coeficientes (Sarrus).
  $∣ A ∣ = 1 a a - a - 1 1 - 1 10 = - (a + 1)^{2}$
2. 2. Si $a \neq = - 1$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , rango 3 igual al de la ampliada.
  $a \neq = - 1$
  Compatible determinado
3. 3. Si $a = - 1$ : el sistema es $x + y - z = 1$ , $- x - y + z = - 1$ , $- x + y = - 1$ . La 2.ª es la 1.ª cambiada de signo; la 1.ª y la 3.ª son independientes. Por tanto $rg A = rg (A ∣ b) = 2 < 3$ .
  $rg A = rg (A ∣ b) = 2$
  $a = - 1$ : compatible indeterminado (1 parámetro)
Apartado b
1. 1. Para $a \neq = - 1$ resolvemos por Cramer o por Gauss. Aplicamos la regla de Cramer (o Gauss): cada incógnita es el cociente de un determinante entre $∣ A ∣ = - (a + 1)^{2}$ .
  $x = \frac{Δ _{x}}{∣ A ∣}, y = \frac{Δ _{y}}{∣ A ∣}, z = \frac{Δ _{z}}{∣ A ∣}$
2. 2. Resultado (con $∣ A ∣ = - (a + 1)^{2}$ los factores se simplifican).
  $x = \frac{a}{a + 1}, y = \frac{a}{a + 1}, z = \frac{2 a}{a + 1}$
  $(x, y, z) = (\frac{a}{a + 1}, \frac{a}{a + 1}, \frac{2 a}{a + 1})$ , $a \neq = - 1$
Respuesta final: a) SCD si $a \neq = - 1$ ; SCI si $a = - 1$ . b) $(\frac{a}{a + 1}, \frac{a}{a + 1}, \frac{2 a}{a + 1})$ .
5. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 2.1 · Opción A
Se considera la matriz $D = 1 m 2 00 - 1 m - 1 1$ , que depende de un parámetro real $m$ , y las matrices $E = (143)$ y $F = 12 - 1$ . Se pide:
- 2.1.1)Indicar, si existen, los valores del parámetro $m$ para los que $D$ tiene inversa.
- 2.1.2)Calcular las matrices $E F$ y $(F E)^{t}$ , si existen.
- 2.1.3)Resolver, para $m = 0$ , la ecuación matricial con incógnita $X$ : $\frac{1}{2} X + D = D^{- 1}$ .
Apartado 2.1.1
1. 1. $D$ tiene inversa si y solo si $det D \neq = 0$ . Desarrollamos por la segunda columna, que solo tiene un elemento no nulo ( $- 1$ en la posición $(3, 2)$ ).
  $det D = (- 1) \cdot (- 1)^{3 + 2} 1 m m - 1 = (- 1) (- 1) (- 1 - m^{2}) = - (1 + m^{2})$
  $det D = - (m^{2} + 1)$
2. 2. Como $m^{2} + 1 \geq 1 > 0$ para todo real $m$ , el determinante nunca se anula.
  $- (m^{2} + 1) \neq = 0 \forall m \in R$
  $D$ es invertible para todo $m \in R$
Apartado 2.1.2
1. 1. $E$ es $1 \times 3$ y $F$ es $3 \times 1$ : $E F$ existe y es $1 \times 1$ .
  $E F = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 3 \cdot (- 1) = 1 + 8 - 3$
  $E F = (6)$
2. 2. $F E$ es $3 \times 1$ por $1 \times 3$ , luego existe y es $3 \times 3$ . Su traspuesta se obtiene intercambiando filas y columnas (o con $(F E)^{t} = E^{t} F^{t}$ ).
  $F E = 12 - 1 48 - 4 36 - 3 \Rightarrow (F E)^{t} = 143286 - 1 - 4 - 3$
  $(F E)^{t} = 143286 - 1 - 4 - 3$
Apartado 2.1.3
1. 1. Para $m = 0$ : $D = 102 00 - 1 0 - 1 1$ con $det D = - 1$ . Despejamos $X$ de $\frac{1}{2} X + D = D^{- 1}$ .
  $X = 2 (D^{- 1} - D)$
2. 2. Inversa por la adjunta: $D^{- 1} = \frac{1}{det D} (Adj D)^{t}$ , con $Adj D$ la matriz de cofactores.
  $Adj D = - 1 00 - 2 11 010, D^{- 1} = \frac{1}{- 1} - 1 - 2 0 011010 = 120 0 - 1 - 1 0 - 1 0$
  $D^{- 1} = 120 0 - 1 - 1 0 - 1 0$
3. 3. Restamos y multiplicamos por 2.
  $X = 2 120 0 - 1 - 1 0 - 1 0 - 102 00 - 1 0 - 1 1 = 2 02 - 2 0 - 1 0 00 - 1$
  $X = 04 - 4 0 - 2 0 00 - 2$
Respuesta final: 2.1.1) Invertible para todo $m$ . 2.1.2) $E F = (6)$ ; $(F E)^{t} = 143286 - 1 - 4 - 3$ . 2.1.3) $X = 04 - 4 0 - 2 0 00 - 2$ .
6. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 2.2 · Opción B
Dada la matriz $A = 10 m - 1 - 1 10 m + 1 m 5$ .
- 2.2.1)Estudiar el rango de la matriz $A$ en función del parámetro real $m$ .
- 2.2.2)Para $m = 0$ , calcular la matriz inversa de $\frac{1}{6} A$ , si existe.
Apartado 2.2.1
1. 1. El rango es 3 si $det A \neq = 0$ . Calculamos el determinante por la regla de Sarrus/primera fila.
  $det A = 1 \cdot (5 - 0) + 1 \cdot (0 - m (m - 1)) + (m + 1) (0 - (m - 1)) = 5 - m^{2} + m - m^{2} + 1$
  $det A = - 2 m^{2} + m + 6 = - (m - 2) (2 m + 3)$
2. 2. Raíces: $m = 2$ y $m = - \frac{3}{2}$ . Si $m \neq = 2, - \frac{3}{2}$ entonces $det A \neq = 0$ .
  $m \in / {2, - \frac{3}{2}} \Rightarrow rg A = 3$
3. 3. Para $m = 2$ y para $m = - \frac{3}{2}$ el determinante vale 0 (rango $\leq 2$ ). Basta un menor $2 \times 2$ no nulo para asegurar rango 2: las dos primeras filas dan siempre el menor de las columnas 1 y 2.
  $10 - 1 1 = 1 \neq = 0$
  $m = 2$ o $m = - \frac{3}{2}$ : $rg A = 2$ .\quad Resto: $rg A = 3$
Apartado 2.2.2
1. 1. Para $m = 0$ : $A = 10 - 1 - 1 10 105$ y $det A = 6 \neq = 0$ , luego $A$ es invertible y también $\frac{1}{6} A$ . Usamos $(\frac{1}{6} A)^{- 1} = 6 A^{- 1}$ .
  $6 A^{- 1} = 6 \cdot \frac{1}{6} (Adj A)^{t} = (Adj A)^{t}$
2. 2. Matriz de cofactores de $A$ y su traspuesta.
  $Adj A = 55 - 1 060111 \Rightarrow (Adj A)^{t} = 501561 - 1 01$
  $(\frac{1}{6} A)^{- 1} = 501561 - 1 01$
Respuesta final: 2.2.1) $rg A = 3$ salvo $m = 2$ o $m = - \frac{3}{2}$ , donde $rg A = 2$ . 2.2.2) $(\frac{1}{6} A)^{- 1} = 501561 - 1 01$ .
7. 2025 · Extraordinaria 2025 (Reserva) · Ejercicio 2.1 · Opción A
Dadas las matrices $A = (\frac{1}{2} 0 1 - \frac{1}{2})$ y $B = (2111)$ , calcular:
- 2.1.1)La matriz $X$ , si existe, tal que $2 A X = B X + I$ , siendo $I$ la matriz identidad $2 \times 2$ .
- 2.1.2)Si existen, los valores del parámetro real $α$ tales que $4 A^{2} + α A - I = 0$ , siendo $0$ la matriz nula $2 \times 2$ .
- 2.1.3) $A^{12}$ .
Apartado 2.1.1
1. 1. Pasamos todos los términos con $X$ a un lado y sacamos factor común por la derecha.
  $2 A X - B X = I \Rightarrow (2 A - B) X = I$
  Si $2 A - B$ es invertible, $X = (2 A - B)^{- 1}$ .
2. 2. Calculamos $2 A - B$ y su determinante.
  $2 A - B = (- 1 - 1 1 - 2), det (2 A - B) = 2 + 1 = 3 \neq = 0$
3. 3. Invertimos (intercambiar diagonal, cambiar signo de la otra, dividir entre el determinante).
  $X = (2 A - B)^{- 1} = \frac{1}{3} (- 2 1 - 1 - 1)$
  $X = (- \frac{2}{3} \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$
Apartado 2.1.2
1. 1. Calculamos $A^{2}$ .
  $A^{2} = (\frac{1}{4} 0 0 \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} I$
2. 2. Sustituimos en la ecuación: $4 A^{2} = I$ .
  $4 A^{2} + α A - I = I + α A - I = α A = 0$
3. 3. Como $A \neq = 0$ (tiene entradas no nulas), $α A = 0$ solo se cumple para $α = 0$ .
  $α A = 0 ⟺ α = 0$
  $α = 0$ (único valor)
Apartado 2.1.3
1. 1. Como $A^{2} = \frac{1}{4} I$ , las potencias se obtienen agrupando de dos en dos: $A^{12} = (A^{2})^{6}$ .
  $A^{12} = (\frac{1}{4} I)^{6} = \frac{1}{4 ^{6}} I = \frac{1}{4096} I$
  $A^{12} = (\frac{1}{4096} 0 0 \frac{1}{4096})$
Respuesta final: 2.1.1) $X = (- \frac{2}{3} \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$ . 2.1.2) $α = 0$ . 2.1.3) $A^{12} = \frac{1}{4096} I$ .
8. 2025 · Extraordinaria 2025 (Reserva) · Ejercicio 2.2 · Opción B
Sea el sistema de ecuaciones lineales $⎩ ⎨ ⎧ 3 x + y + 2 z = 1 - a (1 + a) x + 2 y + z = a a x - y + z = 1 - a$ , donde $a$ es un parámetro real. Se pide:
- 2.2.1)Discutir el sistema en función del parámetro $a$ .
- 2.2.2)Calcular las soluciones del sistema cuando éste sea compatible.
Apartado 2.2.1
1. 1. Matriz de coeficientes $M$ y determinante.
  $det M = 3 1 + a a 12 - 1 211 = 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1 + 2 (- 1 - 3 a) = 6 - 6 a$
  $det M = - 6 (a - 1)$
2. 2. Si $a \neq = 1$ : $det M \neq = 0 \Rightarrow rg M = rg M^{*} = 3 =$ nº de incógnitas.
  $a \neq = 1 \Rightarrow$ Teorema de Rouché–Frobenius
  $a \neq = 1$ : sistema compatible determinado.
3. 3. Si $a = 1$ : $M = 321 12 - 1 211$ tiene rango 2 (el menor $3212 = 4 \neq = 0$ ). Ampliamos con los términos independientes $(0, 1, 0)^{t}$ y buscamos un menor de orden 3.
  $321 12 - 1 010 = 4 \neq = 0 \Rightarrow rg M^{*} = 3$
  $a = 1$ : $rg M = 2 < rg M^{*} = 3$ , sistema incompatible.
Apartado 2.2.2
1. 1. Es compatible solo para $a \neq = 1$ (única solución). Aplicamos Cramer: $x = \frac{Δ _{x}}{Δ}$ , etc., con $Δ = - 6 (a - 1)$ y los determinantes que resultan de sustituir cada columna por el término independiente.
  $Δ_{x} = - 3 a, Δ_{y} = - 4 a^{2} + 7 a - 2, Δ_{z} = 5 a^{2} - 5 a + 4$
2. 2. Dividimos entre $Δ$ .
  $x = \frac{a}{2 ( a - 1 )}, y = \frac{4 a ^{2} - 7 a + 2}{6 ( a - 1 )}, z = \frac{- 5 a ^{2} + 5 a - 4}{6 ( a - 1 )}$
  Para $a \neq = 1$ : $(x, y, z) = (\frac{a}{2 ( a - 1 )}, \frac{4 a ^{2} - 7 a + 2}{6 ( a - 1 )}, \frac{- 5 a ^{2} + 5 a - 4}{6 ( a - 1 )})$
Respuesta final: 2.2.1) $a \neq = 1$ : SCD; $a = 1$ : incompatible. 2.2.2) Para $a \neq = 1$ : $x = \frac{a}{2 ( a - 1 )}$ , $y = \frac{4 a ^{2} - 7 a + 2}{6 ( a - 1 )}$ , $z = \frac{- 5 a ^{2} + 5 a - 4}{6 ( a - 1 )}$ .
9. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 2A · Opción A
En un sistema de procesamiento de imágenes se utiliza una matriz para transformar ciertos datos. La matriz depende del parámetro real $α$ y es: $A = 100 α α 0 00 1 - α$ .
- 2.1.1)En uno de los procesos, para que el sistema funcione, se necesita que la matriz sea idempotente, es decir que su cuadrado coincida con ella, $A^{2} = A$ . Obtener los valores $α$ que permitan funcionar a este proceso.
- 2.1.2)En otro proceso diferente, se necesita utilizar la matriz inversa de $A$ . Obtener los valores de $α$ para los cuales existe la inversa y calcular esta inversa en función de $α$ .
Apartado 2.1.1
1. 1. Calculamos $A^{2}$ multiplicando filas por columnas.
  $A^{2} = 100 α + α^{2} α^{2} 0 00 (1 - α)^{2}$
2. 2. Igualamos $A^{2} = A$ elemento a elemento: $α + α^{2} = α$ , $α^{2} = α$ y $(1 - α)^{2} = 1 - α$ .
  $α^{2} = 0, α (α - 1) = 0, α (α - 1) = 0$
  Solo $α = 0$
Apartado 2.1.2
1. 1. $A$ es triangular superior (en realidad casi diagonal): $∣ A ∣ = 1 \cdot α \cdot (1 - α)$ .
  $∣ A ∣ = α (1 - α) \neq = 0 ⟺ α \neq = 0, α \neq = 1$
  Existe $A^{- 1}$ para $α \in / {0, 1}$
2. 2. La matriz está formada por bloques: el bloque $(10 α α)$ y el elemento $1 - α$ . Invertimos el bloque ( $∣ \cdot ∣ = α$ , adjunta traspuesta) y el elemento.
  $A^{- 1} = 100 - 1 \frac{1}{α} 0 00 \frac{1}{1 - α}$
  $A^{- 1} = 100 - 1 1/ α 0 00 1/ (1 - α)$
Respuesta final: 2.1.1: $α = 0$ . 2.1.2: existe para $α \neq = 0, 1$ y $A^{- 1} = 100 - 1 \frac{1}{α} 0 00 \frac{1}{1 - α}$ .
10. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 2B · Opción B
Sea el sistema de ecuaciones lineales: $⎩ ⎨ ⎧ 3 x - 2 y - 3 z = 0 2 x + a y - 5 z = - 3 x + y + 2 z = 3$ , donde $a$ es un parámetro real.
- 2.2.1)Discutir el sistema en función del parámetro $a$ .
- 2.2.2)Calcular las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado.
- 2.2.3)Calcular la solución del sistema para $a = 0$ .
Apartado 2.2.1
1. 1. Determinante de la matriz de coeficientes (regla de Sarrus o filas).
  $∣ A ∣ = 321 - 2 a 1 - 3 - 5 2 = 6 a + 10 - 6 + 3 a + 15 + 8 = 9 a + 27 = 9 (a + 3)$
2. 2. Si $a \neq = - 3$ : $rg A = rg (A ∣ b) = 3$ .
  $a \neq = - 3$
  Compatible determinado
3. 3. Si $a = - 3$ : reducimos por Gauss usando la 3.ª fila como pivote ( $F_{2} - 2 F_{3}$ y $F_{1} - 3 F_{3}$ ) y luego $F_{3} - F_{2}$ .
  $321 - 2 - 3 1 - 3 - 5 2 0 - 3 3 \to 100 1 - 5 - 5 2 - 9 - 9 3 - 9 - 9 \to 100 1 - 5 0 2 - 9 0 3 - 9 0$
  $a = - 3$ : $rg A = rg (A ∣ b) = 2 < 3$ , compatible indeterminado
Apartado 2.2.2
1. 1. Con $a = - 3$ el sistema equivale a las dos ecuaciones no nulas. Tomamos $z$ como parámetro.
  ${x + y + 2 z = 3 - 5 y - 9 z = - 9 \Rightarrow y = \frac{9 - 9 z}{5}, x = 3 - y - 2 z = \frac{6 - z}{5}$
  $(x, y, z) = (\frac{6 - z}{5}, \frac{9 - 9 z}{5}, z), z \in R$
Apartado 2.2.3
1. 1. Con $a = 0$ el sistema es de Cramer ( $∣ A ∣ = 27 \neq = 0$ ). Despejamos: de la 3.ª, $y = 3 - x - 2 z$ ; sustituyendo en la 1.ª y la 2.ª.
  ${5 x + z = 6 2 x - 5 z = - 3 \Rightarrow 27 x = 27$
  $(x, y, z) = (1, 0, 1)$
Respuesta final: 2.2.1: SCD si $a \neq = - 3$ ; SCI si $a = - 3$ . 2.2.2: $(\frac{6 - z}{5}, \frac{9 - 9 z}{5}, z)$ . 2.2.3: $(1, 0, 1)$ .
11. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio 1
Se considera la matriz $A = 0 k 2 k \frac{1}{3} - 1 31 - 1$ donde $k$ es un número real.
- a)¿Para qué valores del parámetro $k$ la matriz $A$ es invertible?
- b)Para $k = 0$ , si existe, calcular la matriz inversa de $A$ .
- c)Para $k = 0$ , hallar las matrices diagonales $D$ que verifican $A D = D A$ .
Apartado a
1. 1. $A$ es invertible si y solo si $det A \neq = 0$ . Desarrollamos por la primera fila.
  $det A = - k (- k - 2) + 3 (- k - \frac{2}{3}) = k^{2} + 2 k - 3 k - 2 = k^{2} - k - 2$
  $det A = (k - 2) (k + 1)$
2. 2. El determinante se anula en $k = 2$ y $k = - 1$ .
  $(k - 2) (k + 1) \neq = 0 ⟺ k \neq = 2 y k \neq = - 1$
  $A$ es invertible para $k \in R ∖ {- 1, 2}$
Apartado b
1. 1. Para $k = 0$ : $A = 002 0 \frac{1}{3} - 1 31 - 1$ con $det A = - 2 \neq = 0$ , luego existe $A^{- 1} = \frac{1}{det A} (Adj A)^{t}$ .
  $Adj A = \frac{2}{3} - 3 - 1 2 - 6 0 - \frac{2}{3} 00$
2. 2. Trasponemos la adjunta y dividimos entre $- 2$ .
  $A^{- 1} = \frac{1}{- 2} \frac{2}{3} 2 - \frac{2}{3} - 3 - 6 0 - 1 00 = - \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{3} \frac{3}{2} 30 \frac{1}{2} 00$
  $A^{- 1} = - \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{3} \frac{3}{2} 30 \frac{1}{2} 00$
Apartado c
1. 1. Sea $D = diag (d_{1}, d_{2}, d_{3})$ . El elemento $(i, j)$ de $A D$ es $a_{ij} d_{j}$ y el de $D A$ es $d_{i} a_{ij}$ , luego $A D = D A$ equivale a $a_{ij} (d_{j} - d_{i}) = 0$ para todo $i, j$ .
  $a_{ij} (d_{j} - d_{i}) = 0$
2. 2. En $A$ ( $k = 0$ ) hay elementos no nulos fuera de la diagonal: $a_{13} = 3$ , $a_{23} = 1$ , $a_{31} = 2$ , $a_{32} = - 1$ . Cada uno obliga a que dos elementos de la diagonal sean iguales.
  $a_{13} \neq = 0 \Rightarrow d_{1} = d_{3}; a_{23} \neq = 0 \Rightarrow d_{2} = d_{3}$
  $D = λ I = diag (λ, λ, λ), λ \in R$
Respuesta final: a) $k \neq = 2, - 1$ . b) $A^{- 1} = - \frac{1}{3} - 1 \frac{1}{3} \frac{3}{2} 30 \frac{1}{2} 00$ . c) $D = λ I$ .
12. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio 2
Sean las matrices $A = 13 a 020213$ y $B = α β γ$ . Se pide:
- a)Estudiar los valores del parámetro real $a$ para los que la ecuación matricial $A^{2} X = B$ tiene una única solución.
- b)Sabiendo que el vector $3 - 2 - 1$ es una solución de la ecuación $A^{2} X = B$ , encontrar el valor de $α$ , $β$ y $γ$ dependiendo del parámetro real $a$ .
Apartado a
1. 1. La ecuación $A^{2} X = B$ tiene una única solución para todo $B$ si y solo si $A^{2}$ es invertible, es decir, $det (A^{2}) = (det A)^{2} \neq = 0$ .
  $det A = 13 a 020213 = 2 (3 - 2 a)$ (desarrollo por la columna 2)
  $det A = - 2 (2 a - 3)$
2. 2. Entonces $det A^{2} = 4 (2 a - 3)^{2} \neq = 0 ⟺ a \neq = \frac{3}{2}$ .
  $det (A^{2}) = 4 (2 a - 3)^{2}$
  Solución única si y solo si $a \neq = \frac{3}{2}$
Apartado b
1. 1. Si $X_{0} = (3, - 2, - 1)^{t}$ resuelve la ecuación, entonces $B = A^{2} X_{0}$ . Calculamos $A^{2}$ .
  $A^{2} = 2 a + 1 a + 9 4 a 040 811 2 a + 9$
2. 2. Multiplicamos por $X_{0}$ .
  $B = A^{2} 3 - 2 - 1 = 6 a - 5 3 a + 8 10 a - 9$
  $α = 6 a - 5, β = 3 a + 8, γ = 10 a - 9$
Respuesta final: a) $a \neq = \frac{3}{2}$ . b) $α = 6 a - 5$ , $β = 3 a + 8$ , $γ = 10 a - 9$ .
13. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio 1
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro real $m$ : $- x + y + z = m$ $2 x + m y - z = 3 m$ $(m - 1) x + 3 y - z = 6 + m$ .
- a)Discutir el sistema en función de los valores del parámetro $m$ .
- b)Para los valores de $m$ para los que el sistema es compatible indeterminado, encontrar la solución.
Apartado a
1. 1. Matriz de coeficientes $M$ y ampliada $M^{*}$ . Calculamos $det M$ para saber cuándo el rango es 3.
  $det M = - 1 2 m - 1 1 m 3 1 - 1 - 1 = - 1 (3 - m) - 1 (m - 3) + (6 - m (m - 1)) = 6 + m - m^{2}$
  $det M = - (m - 3) (m + 2)$
2. 2. Si $m \neq = 3$ y $m \neq = - 2$ : $det M \neq = 0$ , luego $rg M = rg M^{*} = 3 =$ nº de incógnitas.
  Rouché–Frobenius
  $m \neq = 3, - 2$ : compatible determinado.
3. 3. $m = - 2$ : $M = - 1 2 - 3 1 - 2 3 1 - 1 - 1$ tiene rango 2 (el menor de filas 1-2 y columnas 2-3 vale $1 - 2 1 - 1 = 1 \neq = 0$ ). Ampliada con $b = (- 2, - 6, 4)^{t}$ : buscamos un menor de orden 3 no nulo.
  $- 1 2 - 3 1 - 1 - 1 - 2 - 6 4 = 30 \neq = 0$
  $m = - 2$ : $rg M = 2 < rg M^{*} = 3$ , incompatible.
4. 4. $m = 3$ : $M = - 1 22 133 1 - 1 - 1$ (filas 2 y 3 iguales) y $b = (3, 9, 9)^{t}$ (también iguales). El menor $- 1 2 13 = - 5 \neq = 0$ .
  $rg M = rg M^{*} = 2 < 3$
  $m = 3$ : compatible indeterminado (1 parámetro).
Apartado b
1. 1. Con $m = 3$ la tercera ecuación repite la segunda; nos quedamos con las dos primeras y tomamos $z = 5 λ$ como parámetro.
  ${- x + y + z = 3 2 x + 3 y - z = 9$
2. 2. De la primera, $y = 3 + x - z$ ; sustituyendo en la segunda: $2 x + 9 + 3 x - 3 z - z = 9 \Rightarrow 5 x = 4 z$ .
  $x = \frac{4}{5} z, y = 3 - \frac{1}{5} z$
  $(x, y, z) = (4 λ, 3 - λ, 5 λ), λ \in R$
Respuesta final: a) $m \neq = 3, - 2$ : SCD; $m = - 2$ : incompatible; $m = 3$ : SCI. b) $(x, y, z) = (4 λ, 3 - λ, 5 λ)$ .
14. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio 2
Se consideran las matrices $A = 10 m 2 m m 1 m 0 m$ y $B = 100010$ . Se pide:
- a)Estudiar el rango de $A$ en función del parámetro real $m$ .
- b)Para $m = - 1$ , resolver la ecuación matricial $A X = B$ .
- c)Para $m = 0$ , calcular $A^{5}$ .
Apartado a
1. 1. Determinante: la segunda fila solo tiene el elemento $m$ en la posición $(2, 2)$ , así que desarrollamos por ella.
  $det A = m 1 m m m = m (m - m^{2}) = - m^{2} (m - 1)$
  $det A = - m^{2} (m - 1)$
2. 2. Si $m \neq = 0$ y $m \neq = 1$ : $det A \neq = 0$ y $rg A = 3$ . Veamos $m = 0$ y $m = 1$ .
  $m = 0 : A = 100001000, m = 1 : A = 101211101$
3. 3. $m = 0$ : la fila 2 es nula y las filas 1 y 3 son independientes, rango 2. $m = 1$ : se cumple $F_{1} = F_{2} + F_{3}$ (dependencia) y $F_{2}, F_{3}$ independientes, rango 2.
  $m = 0 : rg = 2; m = 1 : F_{1} = F_{2} + F_{3}, rg = 2$
  $rg A = 3$ si $m \neq = 0, 1$ ; $rg A = 2$ si $m = 0$ o $m = 1$
Apartado b
1. 1. Para $m = - 1$ : $A = 10 - 1 - 2 - 1 1 - 1 0 - 1$ , con $det A = - 1 \cdot (- 2) = 2 \neq = 0$ , luego es invertible y $X = A^{- 1} B$ .
  $A X = B \Rightarrow X = A^{- 1} B$
2. 2. Calculamos $A^{- 1}$ (adjunta traspuesta entre el determinante) y multiplicamos por $B$ , lo que equivale a quedarse con sus dos primeras columnas.
  $A^{- 1} = \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 1 \frac{1}{2} - \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} \Rightarrow X = A^{- 1} B = \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 1 \frac{1}{2}$
  $X = \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 1 \frac{1}{2}$
Apartado c
1. 1. Para $m = 0$ : $A = 100001000$ . Calculamos $A^{2}$ .
  $A^{2} = 100000000$
2. 2. Como $A^{2} \cdot A = A^{2}$ (la primera fila de $A^{2}$ es $(1, 0, 0)$ y se queda con la primera fila de $A$ , que también es $(1, 0, 0)$ ), todas las potencias desde la segunda son iguales.
  $A^{n} = A^{2} (n \geq 2)$
  $A^{5} = 100000000$
Respuesta final: a) $rg A = 3$ si $m \neq = 0, 1$ ; $2$ si $m = 0, 1$ . b) $X = \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 1 \frac{1}{2}$ . c) $A^{5} = 100000000$ .
15. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 1
Dado el sistema de ecuaciones lineales $211 a + 1 a 1 12 a + 2 x y z = - 1 12$ , donde $a$ es un parámetro real:
- a)Discutir el sistema en función del parámetro $a$ .
- b)Obtener las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado.
Apartado a
1. 1. Matriz de coeficientes $M$ y su determinante (desarrollo por la primera fila).
  $det M = 2 (a (a + 2) - 2) - (a + 1) ((a + 2) - 2) + (1 - a) = a^{2} + 2 a - 3$
  $det M = (a - 1) (a + 3)$
2. 2. Si $a \neq = 1$ y $a \neq = - 3$ : $det M \neq = 0$ , luego $rg M = rg M^{*} = 3$ .
  Rouché–Frobenius
  $a \neq = 1, - 3$ : compatible determinado.
3. 3. $a = - 3$ : $M = 211 - 2 - 3 1 12 - 1$ tiene rango 2 (menor $21 - 2 - 3 = - 4 \neq = 0$ ). Ampliada: buscamos un menor de orden 3 con la columna de términos independientes.
  $211 - 2 - 3 1 - 1 12 = - 16 \neq = 0 \Rightarrow rg M^{*} = 3$
  $a = - 3$ : $rg M = 2 < 3 = rg M^{*}$ , incompatible.
4. 4. $a = 1$ : $M = 211211123$ (filas 2 y 3 son $(1, 1, 2)$ y $(1, 1, 3)$ ). Rango 2 (menor $2121 = 0$ , pero $2112 = 3 \neq = 0$ ). En la ampliada, las filas $F_{1} = (2, 2, 1 ∣ - 1)$ , $F_{2} = (1, 1, 2 ∣ 1)$ , $F_{3} = (1, 1, 3 ∣ 2)$ cumplen $F_{1} = 5 F_{2} - 3 F_{3}$ , así que el rango sigue siendo 2.
  $rg M = rg M^{*} = 2 < 3$
  $a = 1$ : compatible indeterminado (un parámetro).
Apartado b
1. 1. Con $a = 1$ el sistema es $2 x + 2 y + z = - 1, x + y + 2 z = 1, x + y + 3 z = 2$ . Restando las dos últimas: $z = 1$ .
  $z = 1; x + y + 2 = 1 \Rightarrow x + y = - 1; 2 (x + y) + 1 = - 1 ✓$
2. 2. Tomamos $y = λ$ como parámetro.
  $x = - 1 - λ, y = λ, z = 1$
  $(x, y, z) = (- 1 - λ, λ, 1), λ \in R$
Respuesta final: a) $a \neq = 1, - 3$ : SCD; $a = - 3$ : incompatible; $a = 1$ : SCI. b) $(x, y, z) = (- 1 - λ, λ, 1)$ .
16. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio 2
Dadas las matrices $A = 0 - 1 1 - 1 01 - 2 - 2 3$ e $I = 100010001$ , obtener:
- a)La matriz $M = (A - α I)^{2}$ , donde $α$ es un parámetro real.
- b)El valor de $α$ , si existe, para el cual la matriz $M$ es la matriz nula.
Apartado a
1. 1. Restamos $α$ en la diagonal.
  $A - α I = - α - 1 1 - 1 - α 1 - 2 - 2 3 - α$
2. 2. Elevamos al cuadrado multiplicando fila por columna.
  $M = (A - α I)^{2} = α^{2} - 1 2 α - 2 2 - 2 α 2 α - 2 α^{2} - 1 2 - 2 α 4 α - 4 4 α - 4 α^{2} - 6 α + 5$
  $M = α^{2} - 1 2 α - 2 2 - 2 α 2 α - 2 α^{2} - 1 2 - 2 α 4 α - 4 4 α - 4 α^{2} - 6 α + 5$
Apartado b
1. 1. $M = 0$ exige que se anulen todos los elementos. Factorizamos: $α^{2} - 1 = (α - 1) (α + 1)$ , $2 α - 2 = 2 (α - 1)$ , $4 α - 4 = 4 (α - 1)$ , $α^{2} - 6 α + 5 = (α - 1) (α - 5)$ .
  $2 α - 2 = 0 \Rightarrow α = 1$
  $α = 1$
Respuesta final: a) $M$ como arriba. b) $α = 1$ .
17. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio 1
Dadas las matrices $A = 100 2 m 3 010$ , $X = x y z$ y $B = m 09$ :
- a)Estudiar cuándo la ecuación matricial $A^{2} X = B$ tiene solución en función del parámetro real $m$ .
- b)Encontrar todas las soluciones de la ecuación anterior cuando éstas existan.
Apartado a
1. 1. Calculamos $A^{2}$ .
  $A^{2} = 100 2 m 3 010^{2} = 100 2 m + 2 m^{2} + 3 3 m 2 m 3$
2. 2. La ecuación $A^{2} X = B$ tiene solución única si $A^{2}$ es invertible. Calculamos $det A$ desarrollando por la primera columna y usamos $det A^{2} = (det A)^{2}$ .
  $det A = 1 \cdot m 3 10 = - 3 \Rightarrow det A^{2} = 9 \neq = 0$
  Para todo $m \in R$ la ecuación tiene solución, y es única.
Apartado b
1. 1. Resolvemos el sistema $A^{2} X = B$ por sustitución, empezando por las ecuaciones más sencillas (tercera y segunda).
  $⎩ ⎨ ⎧ x + (2 m + 2) y + 2 z = m (m^{2} + 3) y + m z = 0 3 m y + 3 z = 9$
2. 2. De la tercera: $z = 3 - m y$ . En la segunda: $(m^{2} + 3) y + m (3 - m y) = 0 \Rightarrow 3 y + 3 m = 0 \Rightarrow y = - m$ ; luego $z = 3 + m^{2}$ .
  $y = - m, z = m^{2} + 3$
3. 3. En la primera: $x = m - (2 m + 2) (- m) - 2 (m^{2} + 3) = m + 2 m^{2} + 2 m - 2 m^{2} - 6$ .
  $x = 3 m - 6$
  $X = 3 m - 6 - m m^{2} + 3$ (única, para cada $m$ )
Respuesta final: a) Solución única para todo $m$ . b) $X = (3 m - 6, - m, m^{2} + 3)^{t}$ .
18. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio 2
Dadas las matrices $A = (100111)$ , $B = (12 1 - 1 10)$ y $C = (0 - α^{2} α 0)$ :
- a)Obtener la matriz $(A B^{T} + I)^{- 1}$ , donde $I$ es la matriz identidad de las dimensiones adecuadas para realizar la operación.
- b)Comprobar que $C^{2} = - α^{3} I$ , donde $I$ es la matriz identidad, y calcular $C^{13}$ .
Apartado a
1. 1. $A$ y $B$ son $2 \times 3$ ; $B^{t}$ es $3 \times 2$ , luego $A B^{t}$ es $2 \times 2$ y se le puede sumar la identidad $2 \times 2$ .
  $B^{t} = 111 2 - 1 0, A B^{t} = (22 2 - 1)$
2. 2. Sumamos $I$ y calculamos el determinante.
  $A B^{t} + I = (3220), det = 3 \cdot 0 - 2 \cdot 2 = - 4 \neq = 0$
  Es invertible.
3. 3. Inversa de una matriz $2 \times 2$ : intercambiar la diagonal, cambiar el signo de la otra y dividir entre el determinante.
  $(A B^{t} + I)^{- 1} = \frac{1}{- 4} (0 - 2 - 2 3) = (0 \frac{1}{2} \frac{1}{2} - \frac{3}{4})$
  $(A B^{t} + I)^{- 1} = (0 \frac{1}{2} \frac{1}{2} - \frac{3}{4})$
Apartado b
1. 1. Calculamos $C^{2}$ .
  $C^{2} = (0 - α^{2} α 0) (0 - α^{2} α 0) = (- α^{3} 0 0 - α^{3}) = - α^{3} I$
  $C^{2} = - α^{3} I$ \ \checkmark
2. 2. Descomponemos el exponente: $C^{13} = (C^{2})^{6} C$ y como $C^{2} = - α^{3} I$ conmuta con todo, $(C^{2})^{6} = (- α^{3})^{6} I = α^{18} I$ .
  $C^{13} = α^{18} C = α^{18} (0 - α^{2} α 0)$
  $C^{13} = (0 - α^{20} α^{19} 0)$
Respuesta final: a) $(A B^{t} + I)^{- 1} = (0 \frac{1}{2} \frac{1}{2} - \frac{3}{4})$ . b) $C^{2} = - α^{3} I$ y $C^{13} = (0 - α^{20} α^{19} 0)$ .
19. 2022 · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 1
Dado el sistema de ecuaciones: $⎩ ⎨ ⎧ a x + y = 1 x + z = 1 x + a y + (a - 1) z = a$ .
- a)Discutir el sistema en función del parámetro real $a$ .
- b)Encontrar todas las soluciones del sistema cuando este sea compatible.
Apartado a
1. 1. Matriz de coeficientes $M$ y ampliada $M^{*}$ . Calculamos $det M$ desarrollando por la segunda fila.
  $det M = a 11 10 a 01 a - 1 = - (a - 1) (a + 2) = - a^{2} - a + 2$
2. 2. Si $a \neq = 1, - 2$ : $det M \neq = 0$ , $rg M = rg M^{*} = 3$ = número de incógnitas.
  Sistema compatible determinado (SCD).
3. 3. Caso $a = 1$ : el menor $1110 = - 1 \neq = 0$ da $rg M = 2$ , y en la ampliada las filas 1 y 3 coinciden.
  $M^{*} = 111101010111$ (filas 1 y 3 iguales)
  $rg M = rg M^{*} = 2 < 3$ : compatible indeterminado (SCI).
4. 4. Caso $a = - 2$ : $rg M = 2$ pero el menor de la ampliada con la columna de términos independientes es distinto de cero.
  $- 2 11 10 - 2 11 - 2 = - 3 \neq = 0 \Rightarrow rg M^{*} = 3$
  Sistema incompatible (SI).
Apartado b
1. 1. Para $a \neq = 1, - 2$ resolvemos por sustitución: de la segunda, $z = 1 - x$ ; de la primera, $y = 1 - a x$ .
  $z = 1 - x, y = 1 - a x$
2. 2. Sustituimos en la tercera: $x + a (1 - a x) + (a - 1) (1 - x) = a$ .
  $x (1 - a^{2} - a + 1) + a + a - 1 = a \Rightarrow x (2 - a - a^{2}) = 1 - a \Rightarrow x = \frac{1 - a}{( 1 - a ) ( a + 2 )} = \frac{1}{a + 2}$
3. 3. Con $x = \frac{1}{a + 2}$ obtenemos $y$ y $z$ .
  $y = 1 - \frac{a}{a + 2} = \frac{2}{a + 2}, z = 1 - \frac{1}{a + 2} = \frac{a + 1}{a + 2}$
  Si $a \neq = 1, - 2$ : $(x, y, z) = (\frac{1}{a + 2}, \frac{2}{a + 2}, \frac{a + 1}{a + 2})$
4. 4. Para $a = 1$ el sistema se reduce a dos ecuaciones: $x + y = 1$ , $x + z = 1$ . Parámetro $x = λ$ (equivalente: $z = λ$ ).
  $(x, y, z) = (1 - λ, λ, λ)$
  Si $a = 1$ : $(1 - λ, λ, λ)$ , $λ \in R$ . Si $a = - 2$ no hay solución.
Respuesta final: a) SCD si $a \neq = 1, - 2$ ; SCI si $a = 1$ ; SI si $a = - 2$ . b) $(\frac{1}{a + 2}, \frac{2}{a + 2}, \frac{a + 1}{a + 2})$ si $a \neq = 1, - 2$ ; $(1 - λ, λ, λ)$ si $a = 1$ .
20. 2022 · Extraordinaria 2022 · Ejercicio 2
Dada la matriz $A = (a + b 0 1 a - b)$ :
- a)Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla $A^{- 1} = (10 - 1 1)$ .
- b)Para los valores $a$ y $b$ obtenidos en el apartado anterior, calcular $A^{3}$ y $A^{4}$ .
- c)Calcular $det (A^{- 50})$ cuando $a^{2} - b^{2} \neq = 0$ .
Apartado a
1. 1. Invertimos $A^{- 1}$ para obtener $A$ (la inversa de una inversa): $A = (10 - 1 1)^{- 1}$ .
  $A = (1011)$
2. 2. Igualamos con $A = (a + b 0 1 a - b)$ .
  ${a + b = 1 a - b = 1 \Rightarrow a = 1, b = 0$
  $a = 1, b = 0$
Apartado b
1. 1. Con $a = 1$ , $b = 0$ calculamos las potencias: $A^{2} = (1021)$ y se ve el patrón $A^{n} = (10 n 1)$ .
  $A^{3} = A^{2} A = (1031), A^{4} = A^{3} A = (1041)$
  $A^{3} = (1031), A^{4} = (1041)$
Apartado c
1. 1. $det A = (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ , y $det (A^{- 1}) = 1/ det A$ ; para potencias, $det (A^{k}) = (det A)^{k}$ .
  $det (A^{- 50}) = (det A)^{- 50} = \frac{1}{( a ^{2} - b ^{2} ) ^{50}}$
  $det (A^{- 50}) = \frac{1}{( a ^{2} - b ^{2} ) ^{50}}$
Respuesta final: a) $a = 1, b = 0$ . b) $A^{3} = (1031)$ , $A^{4} = (1041)$ . c) $\frac{1}{( a ^{2} - b ^{2} ) ^{50}}$ .
21. 2022 · Ordinaria 2022 · Ejercicio 1
Dadas las matrices $A = (1 - 1 02 1 - 1)$ , $B = (101110)$ y $C = (10 1 - 1)$ . Se pide:
- a)Demostrar que $C - A B^{T}$ tiene inversa y calcularla.
- b)Calcular la matriz $X$ que verifica $C X = A B^{T} X + I$ , donde $I$ es la matriz identidad.
- c)Justificar que $(A B^{T})^{n} = 2^{n} I$ para todo número natural $n$ .
Apartado a
1. 1. Calculamos $A B^{T}$ : $A$ es $2 \times 3$ y $B^{T}$ es $3 \times 2$ , luego el producto es $2 \times 2$ .
  $A B^{T} = (1 - 1 02 1 - 1) 111010 = (2002) = 2 I$
2. 2. Restamos a $C$ y calculamos el determinante: si es distinto de cero, la matriz tiene inversa.
  $C - A B^{T} = (- 1 0 1 - 3), det = (- 1) (- 3) - 1 \cdot 0 = 3 \neq = 0$
  Tiene inversa.
3. 3. Inversa de una matriz $2 \times 2$ : $\frac{1}{d e t} (d - c - b a)$ .
  $(C - A B^{T})^{- 1} = \frac{1}{3} (- 3 0 - 1 - 1) = (- 1 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$
  $(C - A B^{T})^{- 1} = (- 1 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$
Apartado b
1. 1. Pasamos $A B^{T} X$ al primer miembro y sacamos factor común $X$ por la derecha.
  $C X = A B^{T} X + I \Rightarrow (C - A B^{T}) X = I$
2. 2. Como $C - A B^{T}$ es invertible (apartado a), $X$ es su inversa.
  $X = (C - A B^{T})^{- 1} = (- 1 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$
  $X = (- 1 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$
Apartado c
1. 1. Por el apartado a, $A B^{T} = 2 I$ . La identidad conmuta con todo, así que se pueden elevar a $n$ el escalar y la matriz por separado.
  $(A B^{T})^{n} = (2 I)^{n} = 2^{n} I^{n} = 2^{n} I$
  $(A B^{T})^{n} = 2^{n} I$
Respuesta final: a) $A B^{T} = 2 I$ ; $(C - A B^{T})^{- 1} = (- 1 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$ . b) $X = (C - A B^{T})^{- 1}$ . c) $(A B^{T})^{n} = (2 I)^{n} = 2^{n} I$ .
22. 2022 · Ordinaria 2022 · Ejercicio 2
Dada la matriz $A = m - 2 m 0 0 m^{2} 2 m m - 1 11$ . Determinar:
- a)El rango de la matriz $A$ en función del parámetro real $m$ .
- b)La matriz inversa de $A$ en el caso $m = 2$ .
- c)El número real $m$ para el cual el determinante de la matriz $2 A$ es igual a $- 8$ .
Apartado a
1. 1. Calculamos $det A$ desarrollando por la primera fila.
  $det A = m (m^{2} - 2 m) + (m - 1) (- 4 m^{2}) = m^{3} - 2 m^{2} - 4 m^{3} + 4 m^{2} = - 3 m^{3} + 2 m^{2} = - m^{2} (3 m - 2)$
2. 2. $det A = 0$ si $m = 0$ o $m = \frac{2}{3}$ . Para cualquier otro valor, el rango es 3.
  $det A = 0 ⟺ m = 0 o m = \frac{2}{3}$
  Si $m \neq = 0, \frac{2}{3}$ : $rg A = 3$ .
3. 3. Caso $m = 0$ : la matriz tiene todas las columnas proporcionales a la tercera.
  $A = 000000 - 1 11$
  $rg A = 1$
4. 4. Caso $m = \frac{2}{3}$ : hay un menor $2 \times 2$ no nulo.
  $\frac{2}{3} - \frac{4}{3} 0 \frac{4}{9} = \frac{8}{27} \neq = 0$
  $rg A = 2$
Apartado b
1. 1. Para $m = 2$ : $A = 2 - 4 0 044111$ y $det A = - m^{2} (3 m - 2) = - 16 \neq = 0$ .
  $det A = - 4 \cdot 4 = - 16$
2. 2. Calculamos la matriz de adjuntos y trasponemos: $A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} (Adj A)^{T}$ .
  $Adj A = 04 - 4 42 - 6 - 16 - 8 8$
3. 3. Dividimos entre $- 16$ .
  $A^{- 1} = - \frac{1}{16} 04 - 16 42 - 8 - 4 - 6 8 = 0 - \frac{1}{4} 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \frac{1}{2} \frac{1}{4} \frac{3}{8} - \frac{1}{2}$
  $A^{- 1} = 0 - \frac{1}{4} 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \frac{1}{2} \frac{1}{4} \frac{3}{8} - \frac{1}{2}$
Apartado c
1. 1. Para una matriz $3 \times 3$ , $det (2 A) = 2^{3} det A = 8 det A$ .
  $det (2 A) = - 8 m^{2} (3 m - 2) = - 8 \Rightarrow m^{2} (3 m - 2) = 1 \Rightarrow 3 m^{3} - 2 m^{2} - 1 = 0$
2. 2. Probamos $m = 1$ (raíz) y dividimos por Ruffini: $3 m^{3} - 2 m^{2} - 1 = (m - 1) (3 m^{2} + m + 1)$ . El segundo factor tiene discriminante $1 - 12 < 0$ : no tiene raíces reales.
  $(m - 1) (3 m^{2} + m + 1) = 0 \Rightarrow m = 1$
  $m = 1$
Respuesta final: a) $rg A = 3$ si $m \neq = 0, \frac{2}{3}$ ; $rg A = 1$ si $m = 0$ ; $rg A = 2$ si $m = \frac{2}{3}$ . b) $A^{- 1} = 0 - \frac{1}{4} 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \frac{1}{2} \frac{1}{4} \frac{3}{8} - \frac{1}{2}$ . c) $m = 1$ .
23. 2021 · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 1
Se da el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ 2 x - y + z = m x + y + 3 z = 0 5 x - 4 y + m z = m$ , donde $m$ es un parámetro real. Se pide:
- a)La discusión del sistema de ecuaciones en función del parámetro $m$ .
- b)La solución del sistema cuando $m = 1$ .
- c)Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.
Apartado a
1. 1. Determinante de la matriz de coeficientes (desarrollo por la primera fila).
  $det M = 2 (m + 12) + (m - 15) + (- 4 - 5) = 3 m$
2. 2. Si $m \neq = 0$ : $rg M = rg M^{*} = 3$ .
  Sistema compatible determinado (SCD).
3. 3. Si $m = 0$ : el sistema es homogéneo (siempre compatible). $rg M = 2$ porque $21 - 1 1 = 3 \neq = 0$ y $det M = 0$ .
  $rg M = rg M^{*} = 2 < 3$
  Sistema compatible indeterminado (SCI).
Apartado b
1. 1. Con $m = 1$ , $det M = 3 \neq = 0$ : resolvemos por Gauss/Cramer. De la segunda, $x = - y - 3 z$ ; en la primera: $- 2 y - 6 z - y + z = 1 \Rightarrow - 3 y - 5 z = 1$ ; en la tercera: $- 5 y - 15 z - 4 y + z = 1 \Rightarrow - 9 y - 14 z = 1$ .
  ${- 3 y - 5 z = 1 - 9 y - 14 z = 1 \Rightarrow z = - 2, y = 3, x = - 3 + 6 = 3$
  $(x, y, z) = (3, 3, - 2)$
Apartado c
1. 1. Para $m = 0$ (SCI) usamos las dos primeras ecuaciones (rango 2) y $z = λ$ : $2 x - y = - λ$ , $x + y = - 3 λ$ .
  $3 x = - 4 λ \Rightarrow x = - \frac{4}{3} λ, y = - 3 λ + \frac{4}{3} λ = - \frac{5}{3} λ$
  $(x, y, z) = (- \frac{4}{3} λ, - \frac{5}{3} λ, λ)$ , $λ \in R$
Respuesta final: a) SCD si $m \neq = 0$ ; SCI si $m = 0$ . b) $(3, 3, - 2)$ . c) $(- \frac{4}{3} λ, - \frac{5}{3} λ, λ)$ .
24. 2021 · Extraordinaria 2021 · Ejercicio 4
Se dan las matrices $A = 1 - 1 1 2 a a^{2} - 2 313$ y $B = 1 - 1 2 [123]$ . Obtened:
- a)El rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $a$ .
- b)Una matriz $C$ tal que $A C = 16 I$ , siendo $I$ la matriz identidad, cuando $a = 0$ .
- c)El rango de la matriz $B$ y la discusión de si el sistema $B x y z = 1 - 1 2$ tiene solución.
Apartado a
1. 1. Determinante: restamos la fila 1 a la fila 3, que queda $(0, a^{2} - 4, 0)$ , y desarrollamos por esa fila.
  $det A = (a^{2} - 4) \cdot (- 1)^{3 + 2} 1 - 1 31 = - 4 (a^{2} - 4) = 16 - 4 a^{2}$
2. 2. $det A = 0 ⟺ a = \pm 2$ . Si $a \neq = \pm 2$ el determinante no es nulo y el rango es 3.
  $a \neq = \pm 2 \Rightarrow rg A = 3$
3. 3. Si $a = 2$ o $a = - 2$ es $a^{2} - 2 = 2$ y la fila 3 coincide con la fila 1, $(1, 2, 3)$ . Hay un menor $2 \times 2$ no nulo: para $a = 2$ , $1 - 1 22 = 4$ ; para $a = - 2$ , tomando las columnas 1 y 3, $1 - 1 31 = 4$ .
  $a = \pm 2 \Rightarrow rg A = 2$
  $rg A = 3$ si $a \neq = \pm 2$ y $rg A = 2$ si $a = \pm 2$ .
Apartado b
1. 1. Para $a = 0$ es $A = 1 - 1 1 20 - 2 313$ , con $det A = 16 \neq = 0$ . De $A C = 16 I$ se obtiene $C = 16 A^{- 1}$ .
  $C = 16 A^{- 1} = 16 \cdot \frac{adj ( A ) ^{t}}{det A} = adj (A)^{t}$
2. 2. Calculamos la matriz adjunta traspuesta (cofactores de $A$ , traspuestos).
  $C = 242 - 12 04 2 - 4 2$
  $C = 242 - 12 04 2 - 4 2$
Apartado c
1. 1. $B$ es el producto de una columna por una fila, así que todas sus filas son proporcionales a $(1, 2, 3)$ : rango 1.
  $B = 1 - 1 2 2 - 2 4 3 - 3 6, rg B = 1$
2. 2. Multiplicamos $B$ por el vector de incógnitas: sale la columna $(1, - 1, 2)^{t}$ multiplicada por $x + 2 y + 3 z$ .
  $B x y z = (x + 2 y + 3 z) 1 - 1 2$
3. 3. El sistema pide que ese resultado sea $(1, - 1, 2)^{t}$ , es decir, $x + 2 y + 3 z = 1$ : una sola ecuación independiente. $rg B = rg (B ∣ b) = 1 < 3$ .
  $x + 2 y + 3 z = 1$
  Sistema compatible indeterminado con dos parámetros libres; por ejemplo $(1, 0, 0)$ es solución.
Respuesta final: a) $det A = 16 - 4 a^{2}$ : $rg A = 3$ si $a \neq = \pm 2$ y $rg A = 2$ si $a = \pm 2$ . b) $C = 16 A^{- 1} = 242 - 12 04 2 - 4 2$ . c) $rg B = 1$ ; el sistema es compatible indeterminado: sus soluciones son los $(x, y, z)$ con $x + 2 y + 3 z = 1$ .
25. 2021 · Ordinaria 2021 · Ejercicio 1
Dado el sistema de ecuaciones: $⎩ ⎨ ⎧ x + y + (a + 1) z = 2 x + (a - 1) y + 2 z = 1 2 x + a y + z = - 1$
- a)Estudiadlo en función de los valores del parámetro real $a$ .
- b)Encontrad todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible.
Apartado a
1. 1. Determinante de la matriz de coeficientes.
  $det M = 112 1 a - 1 a a + 1 21 = - a^{2} + 4 = - (a - 2) (a + 2)$
2. 2. Si $a \neq = \pm 2$ : $rg M = rg M^{*} = 3$ .
  Sistema compatible determinado (SCD).
3. 3. Caso $a = 2$ : el menor $1111 = 0$ , pero $1132 = - 1 \neq = 0$ , luego $rg M = 2$ ; los menores de orden 3 de la ampliada también se anulan.
  $M^{*} = 112112321 21 - 1$ (la tercera fila es combinación de las otras: $F_{3} = - 3 F_{1} + 5 F_{2}$ )
  $rg M = rg M^{*} = 2 < 3$ : compatible indeterminado (SCI).
4. 4. Caso $a = - 2$ : $rg M = 2$ , pero la ampliada tiene un menor de orden 3 no nulo.
  $112 1 - 3 - 2 21 - 1 = 16 \neq = 0 \Rightarrow rg M^{*} = 3$
  Sistema incompatible (SI).
Apartado b
1. 1. Para $a \neq = \pm 2$ (SCD) resolvemos con Cramer o por Gauss.
  $x = \frac{- 2 a - 3}{a + 2}, y = \frac{3}{a + 2}, z = \frac{4}{a + 2}$
2. 2. Para $a = 2$ el sistema es $x + y + 3 z = 2$ , $x + y + 2 z = 1$ (la tercera sobra). Restando: $z = 1$ y $x + y = - 1$ . Parámetro $y = λ$ .
  $(x, y, z) = (- 1 - λ, λ, 1)$
  Si $a \neq = \pm 2$ : $(\frac{- 2 a - 3}{a + 2}, \frac{3}{a + 2}, \frac{4}{a + 2})$ . Si $a = 2$ : $(- 1 - λ, λ, 1)$ . Si $a = - 2$ : no hay solución.
Respuesta final: a) SCD si $a \neq = \pm 2$ ; SCI si $a = 2$ ; SI si $a = - 2$ . b) $(\frac{- 2 a - 3}{a + 2}, \frac{3}{a + 2}, \frac{4}{a + 2})$ si $a \neq = \pm 2$ ; $(- 1 - λ, λ, 1)$ si $a = 2$ .
26. 2021 · Ordinaria 2021 · Ejercicio 4
Dada la matriz $A = - 1 02 2 m 1 m 0 m^{2} + 1$ , se pide:
- a)Obtened el rango de la matriz en función del parámetro $m$ .
- b)Explicad cuándo la matriz $A$ es invertible.
- c)Resolved la ecuación $X A = I$ donde $I$ es la matriz identidad en el caso $m = 1$ .
Apartado a
1. 1. Determinante: desarrollamos por la segunda fila.
  $det A = m - 1 2 m m^{2} + 1 = m (- m^{2} - 1 - 2 m) = - m (m + 1)^{2}$
2. 2. Si $m \neq = 0, - 1$ : $rg A = 3$ .
3. 3. Caso $m = 0$ : $A = - 1 02 201001$ , tiene una fila de ceros y el menor $- 1 2 21 = - 5 \neq = 0$ .
  $rg A = 2$ .
4. 4. Caso $m = - 1$ : $A = - 1 02 2 - 1 1 - 1 02$ ; como $det A = 0$ y el menor $- 1 0 2 - 1 = 1 \neq = 0$ , el rango es 2.
  $rg A = 2$ .
Apartado b
1. 1. $A$ cuadrada es invertible si y solo si $det A \neq = 0$ .
  $det A = - m (m + 1)^{2} \neq = 0 ⟺ m \neq = 0 y m \neq = - 1$
  $A$ es invertible si y solo si $m \neq = 0$ y $m \neq = - 1$ .
Apartado c
1. 1. Para $m = 1$ , $det A = - 4 \neq = 0$ : $X A = I \Rightarrow X = A^{- 1}$ . Cálculo por adjuntos.
  $A = - 1 02 211102, Adj (A)^{T} = 20 - 2 - 3 - 4 5 - 1 0 - 1$
2. 2. Dividimos entre $det A = - 4$ .
  $X = A^{- 1} = - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{3}{4} 1 - \frac{5}{4} \frac{1}{4} 0 \frac{1}{4}$
  $X = - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{3}{4} 1 - \frac{5}{4} \frac{1}{4} 0 \frac{1}{4}$
Respuesta final: a) $rg A = 3$ si $m \neq = 0, - 1$ ; $rg A = 2$ si $m = 0$ o $m = - 1$ . b) $m \neq = 0$ y $m \neq = - 1$ . c) $X = A^{- 1} = - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{3}{4} 1 - \frac{5}{4} \frac{1}{4} 0 \frac{1}{4}$ .
27. 2020 · Extraordinaria 2020 (Septiembre) · Ejercicio 1
Se da el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ x + a y + 2 z = 3 x - 3 y + a z = - 2 x + y + 2 z = a$ , donde $a$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)Los valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible.
- b)La solución del sistema cuando $a = 0$ .
- c)Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.
Apartado a
1. 1. Determinante de la matriz de coeficientes (restamos $F_{3}$ a $F_{1}$ y $F_{2}$ y desarrollamos).
  $det M = 111 a - 3 1 2 a 2 = (a - 1) (a - 2) = a^{2} - 3 a + 2$
2. 2. Si $a \neq = 1, 2$ : $rg M = rg M^{*} = 3$ , compatible determinado.
3. 3. Caso $a = 1$ : $rg M = 2$ (menor $11 1 - 3 = - 4 \neq = 0$ ). Ampliada: el menor de columnas 1, 2 y 4 es no nulo.
  $111 1 - 3 1 3 - 2 1 = 8 \neq = 0$
  $rg M^{*} = 3$ : sistema incompatible.
4. 4. Caso $a = 2$ : $rg M = rg M^{*} = 2 < 3$ .
  Sistema compatible indeterminado.
5. 5. Conclusión.
  El sistema es compatible si y solo si $a \neq = 1$ .
Apartado b
1. 1. Con $a = 0$ el sistema es $x + 2 z = 3$ , $x - 3 y = - 2$ , $x + y + 2 z = 0$ . Restando la primera a la tercera: $y = - 3$ .
  $y = - 3 \Rightarrow x = - 2 + 3 y = - 11 \Rightarrow z = \frac{3 - x}{2} = 7$
  $(x, y, z) = (- 11, - 3, 7)$
Apartado c
1. 1. Compatible indeterminado: $a = 2$ . Sistema $x + 2 y + 2 z = 3$ , $x - 3 y + 2 z = - 2$ , $x + y + 2 z = 2$ . Restando $F_{3} - F_{1}$ : $- y = - 1 \Rightarrow y = 1$ .
  $y = 1, x + 2 z = 1$
2. 2. Parámetro $z = λ$ .
  $(x, y, z) = (1 - 2 λ, 1, λ)$
  $(1 - 2 λ, 1, λ)$ , $λ \in R$
Respuesta final: a) Compatible si y solo si $a \neq = 1$ (SCD si $a \neq = 1, 2$ ; SCI si $a = 2$ ; SI si $a = 1$ ). b) $(- 11, - 3, 7)$ . c) $(1 - 2 λ, 1, λ)$ .
28. 2020 · Extraordinaria 2020 (Septiembre) · Ejercicio 4
Sea $A = 100212001$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)La justificación de que $A$ tiene inversa y el cálculo de dicha matriz inversa.
- b)Dos constantes $a, b$ de modo que $A^{- 1} = A^{2} + a A + b I$ . Se puede usar (sin comprobarlo) que $A$ verifica la ecuación $A^{3} - 3 A^{2} + 3 A - I = 0$ siendo $I$ la matriz identidad.
- c)El valor de $λ$ para que el sistema de ecuaciones $(A - λ I) \cdot x y z = 000$ tenga infinitas soluciones. Para dicho valor de $λ$ hallar todas las soluciones del sistema.
Apartado a
1. 1. $det A = 1$ (matriz triangular por bloques: desarrollo por la primera columna: $1 \cdot (1 \cdot 1 - 0)$ ).
  $det A = 1 \neq = 0$
  $A$ tiene inversa.
2. 2. Inversa por adjuntos: $A^{- 1} = \frac{1}{det A} (Adj A)^{T}$ .
  $A^{- 1} = 100 - 2 1 - 2 001$
  $A^{- 1} = 100 - 2 1 - 2 001$
Apartado b
1. 1. De $A^{3} - 3 A^{2} + 3 A - I = 0$ : sacamos $A$ factor común, $A (A^{2} - 3 A + 3 I) = I$ , luego $A^{- 1} = A^{2} - 3 A + 3 I$ . Se identifica $a = - 3$ , $b = 3$ .
  $A^{- 1} = A^{2} - 3 A + 3 I$
  $a = - 3, b = 3$
Apartado c
1. 1. El sistema homogéneo $(A - λ I) x = 0$ tiene infinitas soluciones si y solo si $det (A - λ I) = 0$ .
  $det (A - λ I) = (1 - λ)^{3} = 0 \Rightarrow λ = 1$
  $λ = 1$
2. 2. Con $λ = 1$ : $A - I = 000202000$ , que da $2 y = 0$ .
  $(x, y, z) = (α, 0, β)$
  $(x, y, z) = (α, 0, β)$ , $α, β \in R$
Respuesta final: a) $A^{- 1} = 100 - 2 1 - 2 001$ . b) $a = - 3$ , $b = 3$ . c) $λ = 1$ ; soluciones $(α, 0, β)$ .
29. 2020 · Ordinaria 2020 (Julio, calendario COVID) · Ejercicio 1
Dado el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ x + y + a z = 1 x + a y + z = 1 a x + y + z = - 2$ , siendo $a$ un parámetro real, obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)El estudio del sistema en función del parámetro $a$ .
- b)Las soluciones del sistema cuando $a = - 2$ .
- c)La solución del sistema cuando $a = 0$ .
Apartado a
1. 1. Determinante de la matriz de coeficientes.
  $det M = 11 a 1 a 1 a 11 = a + a + a - a^{3} - 1 - 1 = - a^{3} + 3 a - 2 = - (a - 1)^{2} (a + 2)$
2. 2. Si $a \neq = 1, - 2$ : $rg M = rg M^{*} = 3$ .
  Sistema compatible determinado (SCD).
3. 3. Caso $a = 1$ : $M$ tiene las tres filas iguales ( $rg M = 1$ ) pero los términos independientes son $1, 1, - 2$ .
  $x + y + z = 1$ y $x + y + z = - 2$
  $rg M = 1 < rg M^{*} = 2$ : sistema incompatible.
4. 4. Caso $a = - 2$ : $rg M = 2$ (el menor $11 1 - 2 = - 3 \neq = 0$ ). La suma de las tres ecuaciones da $0 = 0$ , así que la ampliada también tiene rango 2.
  $rg M = rg M^{*} = 2 < 3$
  Sistema compatible indeterminado (SCI).
Apartado b
1. 1. Para $a = - 2$ : $x + y - 2 z = 1$ , $x - 2 y + z = 1$ . Restando: $3 y - 3 z = 0 \Rightarrow y = z$ ; entonces $x = 1 + z$ .
  $(x, y, z) = (1 + λ, λ, λ)$
  $(1 + λ, λ, λ)$ , $λ \in R$
Apartado c
1. 1. Para $a = 0$ (SCD): $x + y = 1$ , $x + z = 1$ , $y + z = - 2$ . Sumando las tres: $x + y + z = 0$ . Restando cada ecuación: $z = - 1$ , $y = - 1$ , $x = 2$ .
  $(x, y, z) = (2, - 1, - 1)$
  $(x, y, z) = (2, - 1, - 1)$
Respuesta final: a) SCD si $a \neq = 1, - 2$ ; SI si $a = 1$ ; SCI si $a = - 2$ . b) $(1 + λ, λ, λ)$ . c) $(2, - 1, - 1)$ .
30. 2020 · Ordinaria 2020 (Julio, calendario COVID) · Ejercicio 4
Se dan las matrices $A = 1 b - 1 202$ y $B = (- 1 - 1 0 b 2 - 1)$ , que dependen del parámetro real $b$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)Los valores de $b$ para que cada una de las matrices $A B$ y $B A$ tenga inversa.
- b)Los valores de $b$ para que la matriz $A^{T} A$ tenga inversa, siendo $A^{T}$ la matriz traspuesta de $A$ .
- c)La inversa de $A^{T} A$ , cuando dicha inversa exista.
Apartado a
1. 1. $A B$ es $3 \times 3$ y $B A$ es $2 \times 2$ . Calculamos $A B$ : su rango es como mucho 2 (producto por una matriz de 2 columnas), luego su determinante es 0.
  $A B = - 3 - b - 1 2 b 0 2 b 0 2 b - 4, det (A B) = 0 para todo b$
  $A B$ no tiene inversa para ningún $b$ .
2. 2. $B A = (- 3 b^{2} 2 - 4)$ , $det (B A) = 12 - 2 b^{2}$ .
  $12 - 2 b^{2} \neq = 0 ⟺ b \neq = \pm 6$
  $B A$ es invertible si y solo si $b \neq = \pm 6$ .
Apartado b
1. 1. $A^{T} A = (12 b 0 - 1 2) 1 b - 1 202 = (b^{2} + 2 0 08)$ .
  $det (A^{T} A) = 8 (b^{2} + 2) > 0$
  Tiene inversa para todo $b \in R$ .
Apartado c
1. 1. La inversa de una matriz diagonal es la diagonal de los inversos.
  $(A^{T} A)^{- 1} = \frac{1}{b ^{2} + 2} 0 0 \frac{1}{8}$
  $(A^{T} A)^{- 1} = (\frac{1}{b ^{2} + 2} 0 0 \frac{1}{8})$
Respuesta final: a) $A B$ nunca es invertible; $B A$ lo es si $b \neq = \pm 6$ . b) Para todo $b$ . c) $(\frac{1}{b ^{2} + 2} 0 0 \frac{1}{8})$ .
31. 2019 · Extraordinaria 2019 · Ejercicio A.1 · Opción A
Se da el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 3 z = α x - 2 y + 2 z = 5 3 x - y + 5 z = α + 1$ , donde $α$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)Los valores de $α$ para los que el sistema es compatible y determinado.
- b)La solución del sistema cuando $α = - 1$ .
- c)El valor de $α$ para que el sistema tenga una solución $(x, y, z)$ que verifique $x + y + z = 0$ .
Apartado a
1. 1. La matriz de coeficientes no contiene $α$ : calculamos su determinante.
  $213 0 - 2 - 1 325 = 2 (- 10 + 2) - 0 + 3 (- 1 + 6) = - 16 + 15 = - 1 \neq = 0$
2. 2. Con $∣ A ∣ \neq = 0$ el rango es 3 para cualquier $α$ (Rouché–Frobenius).
  Compatible determinado para todo $α \in R$ .
  Compatible determinado $\forall α \in R$ .
Apartado b
1. 1. Con $α = - 1$ el sistema es $2 x + 3 z = - 1$ , $x - 2 y + 2 z = 5$ , $3 x - y + 5 z = 0$ . De la primera, $x = \frac{- 1 - 3 z}{2}$ .
  $x = - \frac{1 + 3 z}{2}$
2. 2. Sustituimos en las otras dos y despejamos (o aplicamos Cramer con $∣ A ∣ = - 1$ ).
  $x = \frac{- 1 5 0 0 - 2 - 1 3 2 5}{- 1}, \dots \Rightarrow (x, y, z) = (7, - 4, - 5)$
  $(x, y, z) = (7, - 4, - 5)$
Apartado c
1. 1. La solución es única para cada $α$ (apartado a). La resolvemos en función de $α$ con Cramer ( $∣ A ∣ = - 1$ ).
  $x = 2 α + 9, y = - 4, z = - α - 6$
2. 2. Imponemos $x + y + z = 0$ .
  $α - 1 = 0 \Rightarrow α = 1$
  $α = 1$
Respuesta final: a) $∣ A ∣ = - 1 \neq = 0$ : compatible determinado para todo $α$ . b) $(x, y, z) = (7, - 4, - 5)$ . c) $α = 1$ .
32. 2019 · Extraordinaria 2019 · Ejercicio B.1 · Opción B
Se dan las matrices $A = (1 - 1 46)$ y $X = (x y)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)Los valores de $α$ para los que la ecuación matricial $A X = α X$ solo admite una solución.
- b)Todas las soluciones de la ecuación matricial $A X = 5 X$ .
- c)Comprobar que $X = (41)$ es una solución de la ecuación matricial $A X = 2 X$ y, sin calcular la matriz $A^{100}$ , obtener el valor $β$ tal que $A^{100} (41) = β (41)$ .
Apartado a
1. 1. Pasamos todo a un miembro: $A X = α X ⟺ (A - α I) X = 0$ . Este sistema homogéneo siempre admite $X = 0$ ; es la única solución cuando $∣ A - α I ∣ \neq = 0$ .
  $A - α I = (1 - α - 1 4 6 - α)$
2. 2. Determinante.
  $∣ A - α I ∣ = (1 - α) (6 - α) + 4 = α^{2} - 7 α + 10 = (α - 2) (α - 5)$
3. 3. Solo hay solución única (la trivial $X = 0$ ) si el determinante no es cero.
  $α \neq = 2$ y $α \neq = 5$
  Solución única ( $X = 0$ ) para $α \neq = 2, 5$ .
Apartado b
1. 1. Con $α = 5$ : $(A - 5 I) X = 0$ .
  $(- 4 - 1 41) (x y) = (00) \Rightarrow - 4 x + 4 y = 0, - x + y = 0$
2. 2. Las dos ecuaciones son la misma: $y = x$ . Solución con un parámetro.
  $X = λ (11), λ \in R$
  $(x, y) = (λ, λ)$
Apartado c
1. 1. Calculamos $A (41)$ .
  $(1 - 1 46) (41) = (82) = 2 (41)$
2. 2. Si $A X = 2 X$ , aplicando $A$ otra vez: $A^{2} X = A (2 X) = 2 A X = 4 X$ , y por inducción $A^{n} X = 2^{n} X$ .
  $A^{100} (41) = 2^{100} (41)$
  $β = 2^{100}$
Respuesta final: a) $∣ A - α I ∣ = (α - 2) (α - 5)$ : solución única ( $X = 0$ ) para $α \neq = 2, 5$ . b) $X = λ (1, 1)^{t}$ . c) $A (4, 1)^{t} = 2 (4, 1)^{t}$ y $β = 2^{100}$ .
33. 2019 · Ordinaria 2019 · Ejercicio A.1 · Opción A
Se dan la matriz $A = 1 - 2 - 3 0 a + 1 a - 1 a 2 a$ , que depende del parámetro real $a$ , y una matriz cuadrada $B$ de orden 3 tal que $B^{2} = \frac{1}{3} I - 2 B$ , siendo $I$ la matriz identidad de orden 3. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)El rango de la matriz $A$ en función del parámetro $a$ y el determinante de la matriz $2 A^{- 1}$ cuando $a = 1$ .
- b)Todas las soluciones del sistema de ecuaciones $A x y z = - 1 20$ cuando $a = - 1$ .
- c)La comprobación de que $B$ es invertible, encontrando $m$ y $n$ tales que $B^{- 1} = m B + n I$ .
Apartado a
1. 1. Calculamos el determinante de $A$ desarrollando por la primera fila.
  $∣ A ∣ = 1 \cdot [(a + 1) a - 2 (a - 1)] + a [(- 2) (a - 1) - (a + 1) (- 3)] = 2 (a + 1)^{2}$
  $∣ A ∣ = 2 (a + 1)^{2}$
2. 2. El determinante solo se anula si $a = - 1$ . Para $a \neq = - 1$ el rango es 3.
  $a \neq = - 1 \Rightarrow rg A = 3$
3. 3. Para $a = - 1$ la matriz es $1 - 2 - 3 00 - 2 - 1 2 - 1$ : la fila 2 es $- 2$ por la fila 1, pero hay un menor de orden 2 no nulo.
  $1 - 3 0 - 2 = - 2 \neq = 0 \Rightarrow rg A = 2$
  Rango 3 si $a \neq = - 1$ ; rango 2 si $a = - 1$ .
4. 4. Para $a = 1$ : $∣ A ∣ = 2 \cdot 4 = 8$ . En una matriz $3 \times 3$ , $∣ k M ∣ = k^{3} ∣ M ∣$ y $∣ M^{- 1} ∣ = 1/∣ M ∣$ .
  $∣2 A^{- 1} ∣ = 2^{3} \cdot \frac{1}{∣ A ∣} = \frac{8}{1} = 1$
  $∣2 A^{- 1} ∣ = 1$
Apartado b
1. 1. Con $a = - 1$ el sistema es $x - z = - 1$ , $- 2 x + 2 z = 2$ , $- 3 x - 2 y - z = 0$ . La segunda ecuación es la primera multiplicada por $- 2$ , así que sobra: rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada es 2 (menor $- 2 \neq = 0$ ) y el sistema es compatible indeterminado con 1 parámetro.
  $rg A = rg (A ∣ b) = 2 < 3$
2. 2. Tomamos $z = λ$ . De la primera ecuación $x = λ - 1$ ; de la tercera $2 y = - 3 x - z = - 3 λ + 3 - λ$ .
  $x = λ - 1, y = \frac{3 - 4 λ}{2} = \frac{3}{2} - 2 λ, z = λ$
  $(x, y, z) = (λ - 1, \frac{3}{2} - 2 λ, λ), λ \in R$
Apartado c
1. 1. Partimos de $B^{2} = \frac{1}{3} I - 2 B$ y pasamos todo al mismo miembro para sacar $B$ como factor común.
  $B^{2} + 2 B = \frac{1}{3} I \Rightarrow B (B + 2 I) = \frac{1}{3} I$
2. 2. Multiplicamos por 3: $B (3 B + 6 I) = I$ . Existe una matriz que multiplicada por $B$ da $I$ , luego $B$ es invertible y esa matriz es su inversa.
  $B^{- 1} = 3 B + 6 I$
  $m = 3, n = 6$
Respuesta final: a) $∣ A ∣ = 2 (a + 1)^{2}$ : rango 3 si $a \neq = - 1$ y rango 2 si $a = - 1$ ; $∣2 A^{- 1} ∣ = 1$ para $a = 1$ . b) $(x, y, z) = (λ - 1, \frac{3}{2} - 2 λ, λ)$ . c) $B^{- 1} = 3 B + 6 I$ ( $m = 3$ , $n = 6$ ).
34. 2019 · Ordinaria 2019 · Ejercicio B.1 · Opción B
Se da el sistema $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 4 3 x + 4 y + 5 z = 5 7 x + 9 y + 11 z = α$ , donde $α$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)Los valores de $α$ para los que el sistema es compatible y los valores de $α$ para los que el sistema es incompatible.
- b)Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible.
- c)La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema deducido del anterior al cambiar el coeficiente 11 por cualquier otro número diferente.
Apartado a
1. 1. La matriz de coeficientes tiene $det A = 0$ : la 3ª fila es $(7, 9, 11) = (1, 1, 1) + 2 (3, 4, 5)$ . Como $1314 = 1 \neq = 0$ , $rg A = 2$ .
  $F_{3} = F_{1} + 2 F_{2} \Rightarrow rg A = 2$
2. 2. La ampliada tiene rango 2 si el término independiente cumple la misma combinación: $α = 4 + 2 \cdot 5 = 14$ . Si no, el menor $137149 45 α = α - 14 \neq = 0$ da $rg (A ∣ b) = 3$ .
  $rg (A ∣ b) = 2 ⟺ α = 14$
  Compatible (indeterminado) si $α = 14$ ; incompatible si $α \neq = 14$ .
Apartado b
1. 1. Para $α = 14$ la 3ª ecuación sobra. Restamos a la 2ª tres veces la 1ª: $y + 2 z = - 7$ .
  $x + y + z = 4, y + 2 z = - 7$
2. 2. Tomamos $z = λ$ : $y = - 7 - 2 λ$ y $x = 4 - y - z = 11 + λ$ .
  $(x, y, z) = (11 + λ, - 7 - 2 λ, λ), λ \in R$
  Para $α = 14$ : $(11 + λ, - 7 - 2 λ, λ)$ , $λ \in R$ .
Apartado c
1. 1. Con el coeficiente $k \neq = 11$ en lugar de 11, el determinante cambia.
  $137149 15 k = k - 11 \neq = 0$
2. 2. Con $∣ A ∣ \neq = 0$ el sistema es compatible determinado para cualquier término independiente $α$ (rangos 3 y 3).
  $k \neq = 11 \Rightarrow rg A = rg (A ∣ b) = 3$
  Compatible determinado para todo $α$ .
Respuesta final: a) Compatible para $α = 14$ ; incompatible para $α \neq = 14$ . b) $(11 + λ, - 7 - 2 λ, λ)$ . c) Compatible determinado para cualquier $α$ (el determinante vale $k - 11$ ).
35. 2018 · Extraordinaria 2018 · Ejercicio A.1 · Opción A
Dado el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ x + y = 1 (a - 1) y + z = 0 x + a y + (a - 1) z = a$ , donde $a$ es un parámetro real, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)Los valores del parámetro $a$ para los cuales el sistema es compatible.
- b)Las soluciones del sistema cuando $a = 1$ .
- c)La solución del sistema cuando $a = 0$ .
Apartado a
1. 1. Determinante de la matriz de coeficientes.
  $∣ A ∣ = 101 1 a - 1 a 01 a - 1 = (a - 1) (a - 2)$
2. 2. Si $a \neq = 1$ y $a \neq = 2$ , $∣ A ∣ \neq = 0$ y el sistema es compatible determinado.
  $a \neq = 1, 2 \Rightarrow rg A = rg (A ∣ b) = 3$
3. 3. Para $a = 1$ : el sistema es $x + y = 1$ , $z = 0$ , $x + y = 1$ . La 3ª repite la 1ª: $rg A = rg (A ∣ b) = 2$ , compatible indeterminado.
  $a = 1 : rg A = rg (A ∣ b) = 2$
4. 4. Para $a = 2$ : $x + y = 1$ , $y + z = 0$ , $x + 2 y + z = 2$ . Sumando las dos primeras, $x + 2 y + z = 1 \neq = 2$ : contradicción, $rg A = 2 < 3 = rg (A ∣ b)$ .
  $a = 2 : rg A = 2 < 3 = rg (A ∣ b)$
  Compatible para $a \neq = 2$ (incompatible solo para $a = 2$ ).
Apartado b
1. 1. Con $a = 1$ queda $z = 0$ y $x + y = 1$ . Tomamos $y = λ$ .
  $(x, y, z) = (1 - λ, λ, 0), λ \in R$
  Para $a = 1$ : $(1 - λ, λ, 0)$ , $λ \in R$ .
Apartado c
1. 1. Con $a = 0$ ( $∣ A ∣ = 2 \neq = 0$ ): $x + y = 1$ , $- y + z = 0$ , $x - z = 0$ . Entonces $z = y$ y $x = z$ , luego $x = y = z$ .
  $x = y = z, x + y = 1 \Rightarrow 2 x = 1$
  Para $a = 0$ : $(x, y, z) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .
Respuesta final: a) Compatible si y solo si $a \neq = 2$ (determinado para $a \neq = 1, 2$ ; indeterminado para $a = 1$ ). b) $(1 - λ, λ, 0)$ . c) $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .
36. 2018 · Extraordinaria 2018 · Ejercicio B.1 · Opción B
Resolver los siguientes apartados, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)Dadas $A$ y $B$ , matrices cuadradas del mismo orden tales que $A B = A$ y $B A = B$ , deducir que $A^{2} = A$ y $B^{2} = B$ .
- b)Dada la matriz $A = (1000)$ , se pide encontrar los parámetros $a, b$ para que la matriz $B = (a 1 0 b)$ cumpla que $B^{2} = B$ pero $A B \neq = A$ y $B A \neq = B$ .
- c)Sabiendo que $x y z 123012 = 3$ , obtener razonadamente el valor de los determinantes $2 x 2 y 2 z 123012$ y $x + 1 y + 3 z + 5 123012$ .
Apartado a
1. 1. Usamos las dos igualdades dadas para sustituir. Para $A$ : $A^{2} = A \cdot A = (A B) \cdot A$ (porque $A = A B$ ) $= A (B A) = A \cdot B = A B = A$ .
  $A^{2} = (A B) A = A (B A) = A B = A$
2. 2. Para $B$ : $B^{2} = B \cdot B = (B A) \cdot B$ (porque $B = B A$ ) $= B (A B) = B \cdot A = B A = B$ .
  $B^{2} = (B A) B = B (A B) = B A = B$
  $A^{2} = A$ y $B^{2} = B$ .
Apartado b
1. 1. Calculamos $B^{2}$ y la igualamos a $B$ .
  $B^{2} = (a 1 0 b)^{2} = (a^{2} a + b 0 b^{2}) = (a 1 0 b) \Rightarrow a^{2} = a, b^{2} = b, a + b = 1$
2. 2. $a, b \in {0, 1}$ con $a + b = 1$ : dos casos, $(a, b) = (1, 0)$ o $(0, 1)$ . Como $A B = (a 0 00)$ , con $a = 1$ saldría $A B = A$ (no lo queremos). Con $a = 0$ : $A B = 0 \neq = A$ y $B A = (0100) \neq = B$ .
  $a = 0, b = 1$
  $a = 0, b = 1$
Apartado c
1. 1. Multiplicar una columna por 2 multiplica el determinante por 2.
  $2 x 2 y 2 z 123012 = 2 \cdot 3 = 6$
2. 2. En el segundo, la primera columna es $(x, y, z)^{t} + (1, 3, 5)^{t}$ . El determinante es lineal en cada columna, y la columna $(1, 3, 5)^{t}$ es la suma de la 2ª y la 3ª ( $(1, 2, 3) + (0, 1, 2)$ ): dependiente, aporta determinante 0.
  $x + 1 y + 3 z + 5 123012 = x y z 123012 + 135123012 = 3 + 0 = 3$
  Los determinantes valen $6$ y $3$ .
Respuesta final: a) $A^{2} = (A B) A = A (B A) = A B = A$ y $B^{2} = (B A) B = B (A B) = B A = B$ . b) $a = 0$ , $b = 1$ . c) Valen $6$ y $3$ .
37. 2018 · Ordinaria 2018 · Ejercicio A.1 · Opción A
Se tiene el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ y - z = 1 - a - x + z = 5 - a x + y - z = 1$ , donde $a$ es un parámetro real. Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)Los valores del parámetro $a$ para los cuales el sistema es compatible determinado.
- b)Las soluciones del sistema cuando $a = 3$ .
- c)Las soluciones del sistema para los valores de $a$ que lo hacen compatible indeterminado.
Apartado a
1. 1. Matriz de coeficientes y su determinante (desarrollo por la 1ª fila).
  $∣ A ∣ = 0 - 1 - a 101 - 1 1 - 1 = - - 1 - a 1 - 1 - - 1 - a 01 = - (1 + a) - (- 1) = - a$
2. 2. Compatible determinado si y solo si $∣ A ∣ \neq = 0$ .
  $- a \neq = 0 ⟺ a \neq = 0$
  Compatible determinado para $a \neq = 0$ .
Apartado b
1. 1. Con $a = 3$ : $y - z = - 2$ , $- x + z = 5$ , $- 3 x + y - z = 1$ . De la 2ª, $z = x + 5$ ; de la 1ª, $y = z - 2 = x + 3$ .
  $z = x + 5, y = x + 3$
2. 2. Sustituimos en la 3ª ecuación.
  $- 3 x + (x + 3) - (x + 5) = 1 \Rightarrow - 3 x - 2 = 1 \Rightarrow x = - 1$
3. 3. Con $x = - 1$ : $z = 4$ , $y = 2$ . Comprobación en la 1ª: $2 - 4 = - 2$ .
  $(x, y, z) = (- 1, 2, 4)$
  Para $a = 3$ : $(x, y, z) = (- 1, 2, 4)$ .
Apartado c
1. 1. El único valor que anula $∣ A ∣$ es $a = 0$ . Entonces el sistema es $y - z = 1$ , $- x + z = 5$ , $y - z = 1$ : la 1ª y la 3ª coinciden, $rg A = rg (A ∣ b) = 2 < 3$ : compatible indeterminado.
  $a = 0 : rg A = rg (A ∣ b) = 2$
2. 2. De la 2ª, $z = x + 5$ ; de la 1ª, $y = 1 + z = x + 6$ . Parámetro $x = λ$ .
  $(x, y, z) = (λ, λ + 6, λ + 5), λ \in R$
  Para $a = 0$ : $(λ, λ + 6, λ + 5)$ , $λ \in R$ .
Respuesta final: a) $∣ A ∣ = - a$ : determinado para $a \neq = 0$ . b) $(- 1, 2, 4)$ . c) Para $a = 0$ : $(λ, λ + 6, λ + 5)$ , $λ \in R$ .
38. 2018 · Ordinaria 2018 · Ejercicio B.1 · Opción B
Sea $A$ una matriz cuadrada tal que $A^{2} + 2 A = 3 I$ , donde $I$ es la matriz identidad.
- a)Los valores de $a$ y $b$ para los cuales $A^{- 1} = a A + b I$ .
- b)Los valores de $α$ y $β$ para los cuales $A^{4} = α A + β I$ .
- c)El determinante de la matriz $2 B^{- 1}$ , sabiendo que $B$ es una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante es 2.
Apartado a
1. 1. De $A^{2} + 2 A = 3 I$ sacamos $A$ como factor común.
  $A (A + 2 I) = 3 I \Rightarrow A \cdot \frac{A + 2 I}{3} = I$
2. 2. Existe una matriz que multiplicada por $A$ da la identidad: $A$ es invertible y esa matriz es $A^{- 1}$ .
  $A^{- 1} = \frac{1}{3} A + \frac{2}{3} I$
  $a = \frac{1}{3}, b = \frac{2}{3}$
Apartado b
1. 1. De $A^{2} + 2 A = 3 I$ despejamos $A^{2} = 3 I - 2 A$ . Elevamos al cuadrado para obtener $A^{4} = (A^{2})^{2}$ .
  $A^{4} = (3 I - 2 A)^{2} = 9 I - 12 A + 4 A^{2}$
2. 2. Sustituimos de nuevo $A^{2} = 3 I - 2 A$ y reducimos.
  $A^{4} = 9 I - 12 A + 4 (3 I - 2 A) = 21 I - 20 A$
  $α = - 20, β = 21$
Apartado c
1. 1. Para una matriz de orden $n = 3$ : $∣ k M ∣ = k^{3} ∣ M ∣$ y $∣ M^{- 1} ∣ = \frac{1}{∣ M ∣}$ .
  $∣2 B^{- 1} ∣ = 2^{3} \cdot \frac{1}{∣ B ∣} = \frac{8}{2} = 4$
  $∣2 B^{- 1} ∣ = 4$
Respuesta final: a) $A^{- 1} = \frac{1}{3} A + \frac{2}{3} I$ ( $a = \frac{1}{3}$ , $b = \frac{2}{3}$ ). b) $A^{4} = - 20 A + 21 I$ ( $α = - 20$ , $β = 21$ ). c) $∣2 B^{- 1} ∣ = 4$ .
39. 2017 · Extraordinaria 2017 · Ejercicio A.1 · Opción A
Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden 3 tales que $A^{2} = - A - I$ y $2 B^{3} = B$ , siendo $I = 100010001$ la matriz identidad. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)La justificación de que la matriz $A$ es invertible y el cálculo de la matriz $A^{3}$ en función de $A$ y de $I$ .
- b)Los valores posibles del determinante de $B$ .
- c)El valor del determinante de la matriz $B^{2}$ , sabiendo que la matriz $B$ tiene inversa.
Apartado a
1. 1. Pasamos todo al mismo miembro y sacamos $A$ factor común: $A^{2} + A = - I$ , es decir $A (A + I) = - I$ .
  $A \cdot (- (A + I)) = I$
2. 2. Existe una matriz que multiplicada por $A$ da $I$ : $A$ es invertible y su inversa es $- (A + I)$ .
  $A^{- 1} = - A - I$
3. 3. $A^{3} = A \cdot A^{2}$ y sustituimos $A^{2} = - A - I$ ; después usamos otra vez $A^{2} = - A - I$ .
  $A^{3} = A (- A - I) = - A^{2} - A = - (- A - I) - A = I$
  $A$ es invertible ( $A^{- 1} = - A - I$ ) y $A^{3} = I$ (como combinación de $A$ e $I$ : $A^{3} = 0 \cdot A + 1 \cdot I$ ).
Apartado b
1. 1. Tomamos determinantes en $2 B^{3} = B$ con matrices de orden 3: $∣2 B^{3} ∣ = 2^{3} ∣ B ∣^{3} = 8∣ B ∣^{3}$ .
  $8∣ B ∣^{3} = ∣ B ∣ ⟺ ∣ B ∣ (8∣ B ∣^{2} - 1) = 0$
2. 2. Las soluciones son $∣ B ∣ = 0$ o $∣ B ∣^{2} = \frac{1}{8}$ .
  $∣ B ∣ \in {0, \frac{2}{4}, - \frac{2}{4}}$
  $∣ B ∣ = 0$ o $∣ B ∣ = \pm \frac{1}{2 2} = \pm \frac{2}{4}$ .
Apartado c
1. 1. Si $B$ tiene inversa, multiplicamos $2 B^{3} = B$ por $B^{- 1}$ : $2 B^{2} = I$ , es decir $B^{2} = \frac{1}{2} I$ .
  $∣ B^{2} ∣ = \frac{1}{2} I = (\frac{1}{2})^{3}$
2. 2. Comprobación con el apartado b): $∣ B ∣^{2} = \frac{1}{8}$ .
  $∣ B^{2} ∣ = ∣ B ∣^{2} = \frac{1}{8}$
  $∣ B^{2} ∣ = \frac{1}{8}$ .
Respuesta final: a) $A^{- 1} = - A - I$ y $A^{3} = I$ . b) $∣ B ∣ \in {0, \pm \frac{2}{4}}$ . c) $∣ B^{2} ∣ = \frac{1}{8}$ .
40. 2017 · Extraordinaria 2017 · Ejercicio B.1 · Opción B
Se consideran las matrices $A = 001010 - 1 00$ e $I = 100010001$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
- a)La justificación de que $A$ tiene matriz inversa y el cálculo de dicha inversa $A^{- 1}$ .
- b)La justificación de que $A^{4} = I$ .
- c)El cálculo de las matrices $A^{7}$ , $A^{30}$ y $A^{100}$ .
Apartado a
1. 1. Determinante (desarrollo por la primera fila).
  $∣ A ∣ = 0 - 0 + (- 1) 0110 = (- 1) (- 1) = 1 \neq = 0$
  $A$ tiene inversa.
2. 2. Inversa por adjuntos: $A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} (Adj A)^{t}$ . Calculados los adjuntos resulta (es la traspuesta, porque $A$ es una rotación):
  $A^{- 1} = 00 - 1 010100$
  $A^{- 1} = 00 - 1 010100$
Apartado b
1. 1. Calculamos $A^{2}$ .
  $A^{2} = 001010 - 1 00^{2} = - 1 00 010 00 - 1$
2. 2. Elevamos al cuadrado.
  $A^{4} = (A^{2})^{2} = 100010001 = I$
  $A^{4} = I$
Apartado c
1. 1. Como $A^{4} = I$ , las potencias se repiten con período 4: $A^{n} = A^{r}$ donde $r$ es el resto de dividir $n$ entre 4.
  $7 = 4 \cdot 1 + 3, 30 = 4 \cdot 7 + 2, 100 = 4 \cdot 25 + 0$
2. 2. Aplicamos el período.
  $A^{7} = A^{3} = A^{- 1} = 00 - 1 010100, A^{30} = A^{2} = - 1 00 010 00 - 1, A^{100} = I$
  Ver arriba.
Respuesta final: a) $A^{- 1} = 00 - 1 010100$ . b) $A^{4} = I$ . c) $A^{7} = A^{- 1}$ , $A^{30} = diag (- 1, 1, - 1)$ , $A^{100} = I$ .