Vibraciones y ondas · Física (con soluciones)

PAU Comunitat Valenciana · 40 ejercicios, del más reciente al más antiguo

1. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 4
Al explotar el último de los petardos de una mascletà que se disparó en Alicante con motivo de Les Fogueres de Sant Joan, se midió un nivel sonoro de 90 dB a una distancia de 75 m del petardo. Suponiendo que las ondas sonoras son esféricas, calcula razonadamente la intensidad de la onda sonora a dicha distancia, la potencia sonora del petardo y la intensidad de la onda sonora a 125 m. Dato: $I_{0} = 1 0^{- 12}$ W/m $^{2}$ .
Ondas esféricas: I ∝ 1/r²
1. 1. Intensidad a 75 m
  $β = 10 lo g \frac{I}{I _{0}} \Rightarrow I = 1 0^{- 12} \cdot 1 0^{9}$
  $I = 1, 0 \cdot 1 0^{- 3}$ W/m $^{2}$
2. 2. Potencia
  $P = I \cdot 4 π r^{2} = 1 0^{- 3} \cdot 4 π \cdot 7 5^{2} = 70, 7$
  $P \approx 70, 7$ W
3. 3. Intensidad a 125 m
  $I^{'} = I (\frac{75}{125})^{2} = 1 0^{- 3} \cdot 0, 36$
  $I^{'} = 3, 6 \cdot 1 0^{- 4}$ W/m $^{2}$
Respuesta final: $I = 1 0^{- 3}$ W/m $^{2}$ ; $P \approx 70, 7$ W; $I^{'} = 3, 6 \cdot 1 0^{- 4}$ W/m $^{2}$ (≈85,6 dB).
2. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 5.A
En la figura adjunta se representa la posición de una partícula de masa 1 kg que describe un movimiento armónico simple sobre el eje $x$ . Obtén razonadamente la frecuencia angular, la energía mecánica de la partícula y su velocidad en el instante $t = 2$ s.
1. 1. Periodo y frecuencia angular
  $x (0) = x (2) = 5$ cm y se repite el mismo estado (subiendo): $T = 2$ s; $ω = 2 π / T$
  $ω = π$ rad/s
2. 2. Energía mecánica
  $E = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot π^{2} \cdot 0, 1 0^{2}$
  $E \approx 4, 93 \cdot 1 0^{- 2}$ J
3. 3. Fase inicial
  $x = A cos (ω t + φ_{0})$ ; $x (0) = 5 \Rightarrow cos φ_{0} = \frac{1}{2}$ ; creciente $\Rightarrow φ_{0} = - π /3$
  $x = 0, 10 cos (π t - π /3)$
4. 4. Velocidad en $t = 2$ s
  $v = - A ω sin (ω t + φ_{0}) = - 0, 1 π sin (2 π - π /3) = + 0, 1 π \cdot \frac{3}{2}$
  $v (2) = + 0, 272$ m/s
Respuesta final: $ω = π$ rad/s; $E = 4, 93 \cdot 1 0^{- 2}$ J; $v (2) = + 0, 272$ m/s.
3. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 5.B
En la imagen de la derecha, un haz láser que se propaga por el aire incide sobre la cara plana de un vidrio cuyo índice de refracción es $n$ . Utilizando la información de la imagen, determina $n$ y la velocidad de la luz en ese medio. Datos: $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s, $n_{a} = 1, 00$ .
1. 1. Ley de Snell
  $n_{a} sin θ_{i} = n sin θ_{r}$
  —
2. 2. Ángulo de refracción
  El ángulo de $64, 6 3^{\circ}$ es con la superficie: $θ_{r} = 9 0^{\circ} - 64, 6 3^{\circ} = 25, 3 7^{\circ}$
  $θ_{r} = 25, 3 7^{\circ}$
3. 3. Índice de refracción
  $n = \frac{1 , 00 \cdot sin 4 0 ^{\circ}}{sin 25 , 3 7 ^{\circ}} = 1, 500$
  $n \approx 1, 50$
4. 4. Velocidad en el vidrio
  $n = \frac{c}{v} \Rightarrow v = \frac{3 \cdot 1 0 ^{8}}{1 , 50}$
  $v = 2, 0 \cdot 1 0^{8}$ m/s
Respuesta final: $n = 1, 50$ ; $v = 2, 0 \cdot 1 0^{8}$ m/s.
4. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 4.A
A una olla que contiene agua se le añade aceite en cantidad suficiente para crear una capa plana de caras paralelas flotando sobre el agua. Un rayo de luz, proveniente del aire, incide sobre la superficie aire-aceite formando un ángulo de 70° con la normal. Realiza un esquema de la trayectoria del rayo en los distintos medios (aire, aceite y agua), indicando los ángulos de refracción al entrar en el aceite y luego en el agua. Datos: $n_{ai r e} = 1$ ; $n_{a ce i t e} = 1, 47$ ; $n_{a g u a} = 1, 33$ .
Ley de Snell en las dos interfaces: n sen θ se conserva
1. 1. Ley de Snell
  $n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2} = n_{3} sin θ_{3}$
  —
2. 2. Aire → aceite
  $sin θ_{a} = \frac{1 \cdot sin 7 0 ^{\circ}}{1 , 47} = 0, 639$
  $θ_{a} = 39, 7^{\circ}$
3. 3. Aceite → agua
  $sin θ_{w} = \frac{1 , 47 sin 39 , 7 ^{\circ}}{1 , 33} = \frac{sin 7 0 ^{\circ}}{1 , 33} = 0, 707$
  $θ_{w} = 45, 0^{\circ}$
4. 4. Esquema
  Rayo recto en cada medio, quebrado en las dos interfaces: $7 0^{\circ} \to 39, 7^{\circ} \to 45, 0^{\circ}$ (medidos respecto a la normal)
  —
Respuesta final: En el aceite $θ = 39, 7^{\circ}$ ; en el agua $θ = 45, 0^{\circ}$ (respecto a la normal).
5. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 4.B
La figura representa la propagación de una onda transversal sinusoidal en una cuerda en el instante $t = 10$ s. La onda se mueve hacia la derecha sobre el eje $x$ y su periodo es $T = 2$ s. Determina razonadamente la amplitud, la longitud de onda, la pulsación o frecuencia angular, el número de onda, la velocidad de propagación y la fase inicial.
1. 1. Amplitud
  Máximo de $y$ en la gráfica: 2 cm
  $A = 2$ cm $= 0, 02$ m
2. 2. Longitud de onda
  Máximos consecutivos en $x = 0$ y $x = 1$ cm
  $λ = 1$ cm $= 0, 01$ m
3. 3. Frecuencia angular y número de onda
  $ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{2}; k = \frac{2 π}{λ} = \frac{2 π}{0 , 01}$
  $ω = π$ rad/s; $k = 200 π \approx 628$ rad/m
4. 4. Velocidad de propagación
  $v = \frac{λ}{T} = \frac{0 , 01}{2}$
  $v = 5 \cdot 1 0^{- 3}$ m/s $= 0, 5$ cm/s
5. 5. Fase inicial
  $y = A cos (ω t - k x + φ_{0})$ (onda hacia $+ x$ ); en $x = 0$ , $t = 10$ s: $y = A \Rightarrow cos (10 π + φ_{0}) = 1$
  $φ_{0} = 0$ (rad)
Respuesta final: $A = 2$ cm; $λ = 1$ cm; $ω = π$ rad/s; $k = 200 π$ rad/m; $v = 0, 5$ cm/s; $φ_{0} = 0$ (coseno).
6. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 5.A
En el campeonato mundial de balonmano femenino de 2023, un espectador a 1 m de una vuvuzela percibió un ruido de 110 dB. Supón la vuvuzela como una fuente sonora puntual que genera ondas esféricas. Dato: $I_{0} = 1 0^{- 12}$ W/m $^{2}$ .
- a)Molesto, se aleja hasta la grada de enfrente, a 31,6 m de la vuvuzela: ¿cuál es el nivel sonoro (dB) que recibe en esa posición?
- b)¿Cuál es la potencia sonora que emite una vuvuzela? Si suenan nueve vuvuzelas más, justo al lado de la anterior, ¿cuál es la intensidad total y qué nivel sonoro recibe el espectador situado a 31,6 m?
Ondas esféricas: I ∝ 1/r²
Apartado a
1. 1. Intensidad a 1 m
  $β = 10 lo g \frac{I}{I _{0}} \Rightarrow I_{1} = 1 0^{- 12} \cdot 1 0^{11}$
  $I_{1} = 0, 10$ W/m $^{2}$
2. 2. Intensidad a 31,6 m
  $I_{2} = I_{1} (\frac{1}{31 , 6})^{2} = \frac{0 , 1}{998 , 6}$
  $I_{2} \approx 1, 00 \cdot 1 0^{- 4}$ W/m $^{2}$
3. 3. Nivel sonoro
  $β_{2} = 10 lo g \frac{1 , 00 \cdot 1 0 ^{- 4}}{1 0 ^{- 12}}$
  $β_{2} = 80$ dB
Apartado b
1. 1. Potencia
  $P = I_{1} \cdot 4 π r_{1}^{2} = 0, 10 \cdot 4 π \cdot 1^{2}$
  $P \approx 1, 26$ W
2. 2. Intensidad total (10 fuentes)
  $I_{T} = 10 I_{2} = 10 \cdot 1, 00 \cdot 1 0^{- 4}$
  $I_{T} \approx 1, 00 \cdot 1 0^{- 3}$ W/m $^{2}$
3. 3. Nivel total
  $β_{T} = 10 lo g \frac{1 0 ^{- 3}}{1 0 ^{- 12}}$
  $β_{T} = 90$ dB
Respuesta final: $β_{2} = 80$ dB; $P \approx 1, 26$ W; $I_{T} \approx 1, 0 \cdot 1 0^{- 3}$ W/m $^{2}$ ; $β_{T} = 90$ dB.
7. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 5.B
Un cuerpo de masa $m = 50$ kg sujeto a un muelle de constante elástica $k$ se empuja comprimiendo el muelle. Al dejar de empujar, el sistema vibra con MAS de frecuencia $\frac{1}{π}$ Hz y aceleración máxima de 2,0 m/s $^{2}$ . Calcula:
- a)La amplitud de la oscilación y la fase inicial. Escribe, con la función coseno, la ecuación del movimiento $x (t)$ . Obtén la expresión de la velocidad en función del tiempo. ¿Cuál es el valor absoluto de la velocidad máxima?
- b)La constante elástica del muelle. ¿Cuáles serían la energía potencial elástica máxima, la energía cinética máxima y la energía mecánica? No hay rozamientos.
Apartado a
1. 1. Frecuencia angular
  $ω = 2 π f = 2 π \cdot \frac{1}{π}$
  $ω = 2$ rad/s
2. 2. Amplitud
  $a_{ma x} = A ω^{2} \Rightarrow A = \frac{2 , 0}{2 ^{2}}$
  $A = 0, 5$ m
3. 3. Fase inicial y ecuación
  Se comprime el muelle y se suelta: $x (0) = - A$ (eje $x$ hacia la elongación del muelle). $cos φ_{0} = - 1$
  $φ_{0} = π$ rad; $x (t) = 0, 5 cos (2 t + π)$ m
4. 4. Velocidad
  $v = \frac{d x}{d t} = - A ω sin (ω t + φ_{0}) = - sin (2 t + π)$
  $v (t) = sin (2 t)$ m/s; $∣ v_{ma x} ∣ = A ω = 1$ m/s
Apartado b
1. 1. Constante elástica
  $k = m ω^{2} = 50 \cdot 2^{2}$
  $k = 200$ N/m
2. 2. Energías
  $E_{p, ma x} = \frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 0, 5^{2}; E_{c, ma x} = \frac{1}{2} m v_{ma x}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 1^{2}$
  $E_{p, ma x} = E_{c, ma x} = E_{m} = 25$ J
Respuesta final: $A = 0, 5$ m; $φ_{0} = π$ ; $x = 0, 5 cos (2 t + π)$ ; $v_{ma x} = 1$ m/s; $k = 200$ N/m; $E_{p, ma x} = E_{c, ma x} = E_{m} = 25$ J.
8. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 4.A
Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje $X$ . Las gráficas muestran la elongación de la onda en el instante $t = 0$ s y en la posición $x = 0$ m. Determina la amplitud de la onda, el periodo, la pulsación o frecuencia angular, la longitud de onda y la velocidad de propagación.
y(x) en t = 0
y(t) en x = 0
1. 1. Amplitud
  $A = 6 cm$ (máximo de Y)
  $A = 6$ cm
2. 2. Longitud de onda (gráfica Y-x)
  Distancia entre dos máximos: $6 - 2 = 4$ cm
  $λ = 4$ cm
3. 3. Periodo (gráfica Y-t)
  Distancia entre máximos: $3 - 1 = 2$ s
  $T = 2$ s
4. 4. Pulsación
  $ω = \frac{2 π}{T}$
  $ω = π rad/s = 3, 14$ rad/s
5. 5. Velocidad de propagación
  $v = \frac{λ}{T} = \frac{4}{2}$
  $v = 2$ cm/s $= 0, 02$ m/s
Respuesta final: $A = 6$ cm; $T = 2$ s; $ω = π$ rad/s; $λ = 4$ cm; $v = 2$ cm/s.
9. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 4.B
Dos compresores de aire acondicionado están separados una distancia de 100 m. El primero emite ruido con una potencia sonora de 4 $μ$ W. El nivel sonoro en el punto equidistante entre ellos es de 25 dB. Calcula en ese punto el nivel sonoro debido a cada uno de los compresores. Calcula la potencia sonora emitida por el segundo compresor. Desprecia la absorción del aire y el efecto de los objetos situados en el entorno. Considera que las ondas sonoras son esféricas. Dato: $I_{0} = 1 0^{- 12}$ W/m $^{2}$ .
Cada compresor contribuye con su intensidad; las intensidades se suman
1. 1. Intensidad total en el punto medio
  $25 = 10 lo g \frac{I}{I _{0}} \Rightarrow I = 1 0^{- 12} \cdot 1 0^{2, 5} = 3, 16 \cdot 1 0^{- 10} W/ m^{2}$
  $I_{T} = 3, 16 \cdot 1 0^{- 10}$
2. 2. Intensidad del primero (50 m)
  $I_{1} = \frac{P _{1}}{4 π r ^{2}} = \frac{4 \cdot 1 0 ^{- 6}}{4 π \cdot 5 0 ^{2}} = 1, 27 \cdot 1 0^{- 10}$
  $I_{1} = 1, 27 \cdot 1 0^{- 10} W/ m^{2}$
3. 3. Nivel del primero
  $β_{1} = 10 lo g \frac{I _{1}}{I _{0}} = 21, 0$
  $β_{1} \approx 21, 0$ dB
4. 4. Intensidad del segundo
  $I_{2} = I_{T} - I_{1} = 1, 89 \cdot 1 0^{- 10}$
  $I_{2} = 1, 89 \cdot 1 0^{- 10} W/ m^{2}$
5. 5. Nivel del segundo
  $β_{2} = 10 lo g \frac{I _{2}}{I _{0}} = 22, 8$
  $β_{2} \approx 22, 8$ dB
6. 6. Potencia del segundo
  $P_{2} = I_{2} 4 π r^{2} = 5, 93 \cdot 1 0^{- 6} W$
  $P_{2} \approx 5, 9 μ W$
Respuesta final: $β_{1} \approx 21, 0$ dB; $β_{2} \approx 22, 8$ dB; $P_{2} \approx 5, 9 μ$ W.
10. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 5.A
La posición de un cuerpo, de masa $m = 1, 5$ g, que oscila respecto a su posición de equilibrio, está descrita por la función $x (t) = 0, 10 cos (10 π t + \frac{π}{2})$ en unidades del Sistema Internacional.
- a)¿Qué tipo de movimiento realiza el cuerpo? Calcula el período de oscilación, así como la posición y la velocidad del cuerpo para $t = 1$ s.
- b)Calcula la energía mecánica total del cuerpo, su energía cinética y su energía potencial en el instante en que la posición del cuerpo se corresponde con la mitad de la amplitud del movimiento.
x(t) = 0,10 cos(10πt + π/2) (m)
Apartado a
1. 1. Tipo de movimiento
  $x = A cos (ω t + φ_{0})$ con $A = 0, 10$ m, $ω = 10 π$ rad/s, $φ_{0} = π /2$
  Movimiento armónico simple
2. 2. Periodo
  $T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{10 π}$
  $T = 0, 20$ s
3. 3. Posición en $t = 1$ s
  $x (1) = 0, 10 cos (10 π + π /2) = 0, 10 cos (π /2) = 0$
  $x (1) = 0$
4. 4. Velocidad
  $v = - A ω sin (ω t + φ_{0})$ ; $v (1) = - 0, 10 \cdot 10 π sin (π /2)$
  $v (1) = - π = - 3, 14 m/s$
Apartado b
1. 1. Energía mecánica
  $E = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 5 \cdot 1 0^{- 3} \cdot (10 π)^{2} \cdot 0, 1 0^{2} = 7, 40 \cdot 1 0^{- 3}$
  $E \approx 7, 40 \cdot 1 0^{- 3}$ J
2. 2. Energía potencial en $x = A /2$
  $E_{p} = \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} = E (\frac{x}{A})^{2} = \frac{1}{4} E = 1, 85 \cdot 1 0^{- 3}$
  $E_{p} \approx 1, 85 \cdot 1 0^{- 3}$ J
3. 3. Energía cinética
  $E_{c} = E - E_{p} = \frac{3}{4} E = 5, 55 \cdot 1 0^{- 3}$
  $E_{c} \approx 5, 55 \cdot 1 0^{- 3}$ J
Respuesta final: MAS; $T = 0, 20$ s; $x (1) = 0$ ; $v (1) = - 3, 14$ m/s; $E = 7, 40$ mJ; $E_{p} = 1, 85$ mJ; $E_{c} = 5, 55$ mJ.
11. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 5.B
Un objeto de 12 cm de altura se sitúa a 15 cm, a la izquierda, de una lente de 4 dioptrías.
- a)Dibuja un esquema de rayos con la posición del objeto, de la lente y de la imagen. Calcula la posición de la imagen y su tamaño. Indica las características de la imagen que se forma.
- b)¿Qué distancia habrá que mover el objeto y en qué sentido, para que la imagen que se forme sea invertida y de tamaño 4 cm?
Esquema de rayos (cm): los rayos divergen, la imagen es virtual
Apartado a
1. 1. Distancia focal
  $P = 1/ f^{'} \Rightarrow f^{'} = 1/4 = 0, 25$ m $= 25$ cm (convergente)
  $f^{'} = + 25$ cm
2. 2. Ecuación de la lente
  $\frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f ^{'}} \Rightarrow \frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{25} - \frac{1}{15} = - \frac{2}{75}$
  $s^{'} = - 37, 5$ cm
3. 3. Tamaño
  $m = \frac{y ^{'}}{y} = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{- 37 , 5}{- 15} = 2, 5 \Rightarrow y^{'} = 30$ cm
  $y^{'} = + 30$ cm
4. 4. Características
  $s = 15 < f^{'}$ , $m > 0$ , $∣ m ∣ > 1$ , $s^{'} < 0$
  Virtual, derecha y mayor
Apartado b
1. 1. Relación de tamaños
  Invertida y 4 cm: $y^{'} = - 4$ cm, $m = - 4/12 = - \frac{1}{3}$
  $s^{'} = - s /3$ (con $s < 0$ : $s^{'} > 0$ )
2. 2. Nueva posición del objeto
  $\frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{- 3}{s} - \frac{1}{s} = - \frac{4}{s} = \frac{1}{25} \Rightarrow s = - 100 cm$
  $s = - 100$ cm
3. 3. Desplazamiento
  $Δ s = 100 - 15 = 85$ cm
  85 cm hacia la izquierda (alejándolo)
Respuesta final: $s^{'} = - 37, 5$ cm, $y^{'} = 30$ cm, virtual, derecha y mayor; hay que alejar el objeto 85 cm (hasta 100 cm de la lente).
12. 2025 · Reserva 2025 (Junio) · Ejercicio 4.A
En la figura se muestra la propagación de una onda transversal sinusoidal para el instante $t = 1$ s. La onda se mueve hacia la derecha sobre el eje $x$ , su periodo es $T = 2$ s y su amplitud $A = 20$ cm. Si el punto O es el origen de coordenadas, determina razonadamente:
- a)La longitud de onda, la frecuencia angular, la velocidad de propagación, la fase inicial y escribe la función de onda.
- b)La expresión de la velocidad de vibración. Calcula dicha velocidad para $t = 10$ s y $x = 1$ m.
y(x, t=1 s) = −0,20 cos(10πx)
Apartado a
1. 1. Longitud de onda
  40 cm abarcan dos ciclos: $2 λ = 40$ cm
  $λ = 20$ cm $= 0, 20$ m
2. 2. Frecuencia angular y velocidad
  $ω = \frac{2 π}{T} = π$ rad/s; $k = \frac{2 π}{λ} = 10 π$ rad/m; $v = \frac{λ}{T}$
  $ω = π$ rad/s; $v = 0, 10$ m/s
3. 3. Fase inicial
  $y = A cos (ω t - k x + φ_{0})$ ; en $t = 1$ , $x = 0$ : $y = - A \Rightarrow cos (π + φ_{0}) = - 1$
  $φ_{0} = 0$
4. 4. Función de onda
  $y (x, t) = 0, 20 cos (π t - 10 π x)$ (SI)
  $y = 0, 20 cos (π t - 10 π x)$ m
Apartado b
1. 1. Velocidad de vibración
  $v_{y} = \frac{\partial y}{\partial t} = - A ω sin (ω t - k x) = - 0, 20 π sin (π t - 10 π x)$
  $v_{y} = - 0, 20 π sin (π t - 10 π x)$ m/s
2. 2. En $t = 10$ s, $x = 1$ m
  $sin (10 π - 10 π) = sin 0 = 0$
  $v_{y} = 0$
Respuesta final: $λ = 0, 20$ m; $ω = π$ rad/s; $v = 0, 10$ m/s; $φ_{0} = 0$ ; $y = 0, 20 cos (π t - 10 π x)$ ; $v_{y} (10, 1) = 0$ .
13. 2025 · Reserva 2025 (Junio) · Ejercicio 4.B
Un objeto está situado 20 cm a la izquierda de una lente de $- 4$ dioptrías. Se pide:
- a)Calcular la posición de la imagen. Realiza un trazado de rayos con la posición de la imagen, del objeto, de la lente y de los puntos focales. Indica las características de la imagen que se forma.
- b)¿Qué distancia y hacia dónde habría que mover el objeto para que la imagen tenga la mitad del tamaño del objeto y a derechas?
Trazado de rayos (cm; altura del objeto ilustrativa): imagen virtual, derecha y menor
Apartado a
1. 1. Distancia focal
  $f^{'} = \frac{1}{P} = \frac{1}{- 4} = - 0, 25$ m $= - 25$ cm (divergente); $s = - 20$ cm
  $f^{'} = - 25$ cm
2. 2. Ecuación de Gauss
  $\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{s} = - \frac{1}{25} - \frac{1}{20} = - \frac{9}{100}$
  $s^{'} = - 11, 1$ cm
3. 3. Aumento y características
  $m = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{- 11 , 1}{- 20} = 0, 556$
  Virtual, derecha y menor ( $m \approx 0, 56$ )
Apartado b
1. 1. Condición del aumento
  Mitad y derecha: $m = + \frac{1}{2} = \frac{s ^{'}}{s} \Rightarrow s^{'} = \frac{s}{2}$
  $s^{'} = s /2$
2. 2. Posición del objeto
  $\frac{2}{s} - \frac{1}{s} = \frac{1}{s} = \frac{1}{f ^{'}} \Rightarrow s = f^{'} = - 25$ cm
  $s = - 25$ cm
3. 3. Desplazamiento
  $25 - 20 = 5$ cm
  Alejarlo 5 cm (hacia la izquierda)
Respuesta final: $s^{'} = - 11, 1$ cm; virtual, derecha y menor; mover el objeto 5 cm hacia la izquierda (alejándolo).
14. 2025 · Reserva 2025 (Junio) · Ejercicio 5
El 19/11/2024 aparecía en prensa la siguiente noticia: «Los berberechos de corazón (Corculum cardissa) crean una fibra óptica a través de su concha que ilumina su interior». Supongamos que podemos simular dicha fibra óptica como un cilindro lleno de una sustancia de índice de refracción $n_{1} = 1, 55$ y cuyo recubrimiento es una sustancia de índice de refracción $n_{2}$ . Indica cómo se denomina el fenómeno que se produce en el punto B. ¿Qué es el ángulo límite? Razona cuál de los índices $n_{1}$ o $n_{2}$ es mayor. Sabiendo que $n_{0} = 1, 33$ , ¿con qué ángulo, $ε_{1}$ , debe incidir un rayo de luz en el punto A para que pasando por el punto B salga por el punto C, tal como muestra la figura? Razona todas las respuestas.
1. 1. Fenómeno en B
  El rayo no pasa al recubrimiento y se refleja completamente
  Reflexión total interna
2. 2. Ángulo límite
  Ángulo de incidencia a partir del cual no hay rayo refractado: $sin θ_{L} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ (refracción a $9 0^{\circ}$ )
  $θ_{L} = arcsin (n_{2} / n_{1})$
3. 3. Comparación de índices
  Para que haya ángulo límite: $sin θ_{L} = n_{2} / n_{1} < 1$
  $n_{1} > n_{2}$
4. 4. Ángulo de refracción en A
  $tan θ_{r} = \frac{d /2}{d} = 0, 5 \Rightarrow θ_{r} = 26, 5 7^{\circ}$ (respecto a la normal en A, que es el eje)
  $θ_{r} = 26, 5 7^{\circ}$
5. 5. Ley de Snell en A
  $n_{0} sin ε_{1} = n_{1} sin θ_{r} \Rightarrow sin ε_{1} = \frac{1 , 55 \cdot 0 , 4472}{1 , 33} = 0, 5212$
  $ε_{1} \approx 31, 4^{\circ}$
Respuesta final: Reflexión total; $n_{1} > n_{2}$ ; $ε_{1} \approx 31, 4^{\circ}$ .
15. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio C5
Un objeto de 10 cm de altura está situado a 1 m del vértice de un espejo esférico convexo de 1 m de distancia focal. Calcula la posición y el tamaño de la imagen que se forma. Indica las características de la imagen con la ayuda de un esquema de rayos.
1. 1. Datos (normas DIN)
  $s = - 1$ m; $f = + 1$ m (espejo convexo); $y = 10$ cm
  —
2. 2. Ecuación del espejo
  $\frac{1}{s} + \frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{s ^{'}} = 1 - \frac{1}{- 1} = 2$
  $s^{'} = + 0, 5$ m
3. 3. Tamaño
  $A = - \frac{s ^{'}}{s} = - \frac{0 , 5}{- 1} = + 0, 5; y^{'} = A y = 0, 5 \cdot 10$
  $y^{'} = + 5$ cm
4. 4. Características
  $s^{'} > 0$ (detrás del espejo), $A > 0$ , $∣ A ∣ < 1$
  Imagen virtual, derecha y menor
Respuesta final: $s^{'} = 0, 5$ m (detrás del espejo); $y^{'} = 5$ cm; virtual, derecha y menor.
16. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio C6
Un rayo de luz monocromática pasa de un medio 1 de índice de refracción $n_{1}$ a otro medio 2 con índice de refracción $n_{2}$ . Si se cumple que $n_{1} > n_{2}$ , indica y razona cómo cambia la velocidad $v$ , la frecuencia $f$ y la longitud de onda $λ$ del rayo al pasar del medio 1 al medio 2.
Al pasar a un medio de menor índice el rayo se aleja de la normal
1. 1. Velocidad
  $v = \frac{c}{n}$ ; $n_{1} > n_{2} \Rightarrow v_{2} > v_{1}$
  $v$ aumenta
2. 2. Frecuencia
  La frecuencia la fija el foco emisor y no cambia en la refracción
  $f$ constante
3. 3. Longitud de onda
  $λ = \frac{v}{f}$ con $f$ constante: $λ_{2} = λ_{1} \frac{n _{1}}{n _{2}} > λ_{1}$
  $λ$ aumenta
Respuesta final: $v$ aumenta; $f$ no cambia; $λ$ aumenta.
17. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio P3
El agua contenida en un depósito está separada del aire por una placa plana horizontal de vidrio, de espesor $e = 10$ cm, estando su cara inferior en contacto con el agua. Un rayo de luz monocromática de frecuencia $f = 3 \cdot 1 0^{14}$ Hz, procedente de una lámpara situada en el interior del depósito, incide sobre el vidrio con un ángulo $θ = 4 5^{\circ}$ respecto de la normal a la superficie de la placa. Calcula razonadamente: Datos: $n_{a g u a} = 1, 33$ ; $n_{v i d r i o} = 1, 62$ ; $n_{ai r e} = 1, 00$ ; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s.
- a)El ángulo de refracción entre el agua y el vidrio y el ángulo de refracción entre el vidrio y el aire. Representa los rayos en los tres medios.
- b)El ángulo de incidencia máximo de entrada del rayo desde el agua a la placa de vidrio, $θ_{m}$ , para que salga de ésta al aire, así como el tiempo que tarda el rayo en propagarse a través del vidrio cuando incide con este ángulo $θ_{m}$ . Calcula también la longitud de onda del rayo en el interior de la placa de vidrio.
Snell en cada cara: n₁ sen θ₁ = n₂ sen θ₂ = n₃ sen θ₃ (vidrio de e = 10 cm)
Apartado a
1. 1. Agua → vidrio
  $n_{a} sin 4 5^{\circ} = n_{v} sin θ_{v} \Rightarrow sin θ_{v} = \frac{1 , 33 \cdot 0 , 7071}{1 , 62} = 0, 5806$
  $θ_{v} = 35, 5^{\circ}$
2. 2. Vidrio → aire
  $n_{v} sin θ_{v} = n_{ai r e} sin θ_{ai r e} \Rightarrow sin θ_{ai r e} = 1, 33 sin 4 5^{\circ} = 0, 9405$
  $θ_{ai r e} = 70, 1^{\circ}$
Apartado b
1. 1. Ángulo máximo
  Salida al aire: $1, 33 sin θ_{m} \leq 1 \cdot sin 9 0^{\circ} \Rightarrow sin θ_{m} = \frac{1}{1 , 33}$
  $θ_{m} = 48, 8^{\circ}$
2. 2. Ángulo en el vidrio
  $sin θ_{v} = \frac{1}{1 , 62} (= sin θ_{c})$
  $θ_{v} = 38, 1^{\circ}$
3. 3. Tiempo en el vidrio
  Camino $L = \frac{e}{cos θ _{v}} = \frac{0 , 10}{cos 38 , 1 ^{\circ}} = 0, 1271$ m; $v = \frac{c}{n _{v}} = 1, 852 \cdot 1 0^{8}$ m/s; $t = \frac{L}{v}$
  $t \approx 6, 86 \cdot 1 0^{- 10}$ s
4. 4. Longitud de onda en el vidrio
  $λ_{v} = \frac{v}{f} = \frac{1 , 852 \cdot 1 0 ^{8}}{3 \cdot 1 0 ^{14}}$
  $λ_{v} \approx 6, 17 \cdot 1 0^{- 7}$ m (617 nm)
Respuesta final: $θ_{v} = 35, 5^{\circ}$ ; $θ_{ai r e} = 70, 1^{\circ}$ ; $θ_{m} = 48, 8^{\circ}$ ; $t \approx 6, 86 \cdot 1 0^{- 10}$ s; $λ_{v} \approx 617$ nm.
18. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio C5
En la gráfica adjunta se muestra la energía cinética en función del tiempo de una partícula con movimiento armónico simple. Deduce razonadamente el valor de la energía mecánica del cuerpo, su energía potencial en el instante $t = 0, 4$ s, el periodo del movimiento y la frecuencia angular.
1. 1. Energía mecánica
  $E_{m} = E_{c} + E_{p}$ ; cuando $E_{c}$ es máxima, $E_{p} = 0$ (posición de equilibrio)
  $E_{m} = E_{c, ma x} = 1$ J
2. 2. Energía potencial en $t = 0, 4$ s
  En $t = 0, 4$ s $E_{c} = 0$ (la gráfica toca el eje): $E_{p} = E_{m} - E_{c} = 1 - 0$
  $E_{p} (0, 4) = 1$ J
3. 3. Periodo
  $E_{c}$ se repite cada 0,4 s (de máximo a máximo: 0,2 → 0,6 s); $E_{c} \propto sin^{2} (ω t)$ tiene periodo $T /2$
  $T = 0, 8$ s
4. 4. Frecuencia angular
  $ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{0 , 8}$
  $ω = 2, 5 π \approx 7, 85$ rad/s
Respuesta final: $E_{m} = 1$ J; $E_{p} (0, 4) = 1$ J; $T = 0, 8$ s; $ω \approx 7, 85$ rad/s.
19. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio C6
Un rayo de luz se propaga por una fibra de cuarzo rodeada de aire. Tras incidir sobre la superficie cuarzo-aire con un ángulo $θ = 41, 8^{\circ}$ , se propaga paralelamente al eje de la fibra, como indica la figura. Explica qué ocurre si el ángulo de incidencia es mayor que $41, 8^{\circ}$ y nombra el fenómeno. Calcula el índice de refracción del cuarzo. Dato: $n_{a} = 1, 00$ .
A 41,8° el rayo refractado sale a 90°: es el ángulo límite
1. 1. Fenómeno
  El rayo refractado sale rasante (a $9 0^{\circ}$ ): $θ = 41, 8^{\circ}$ es el ángulo límite o crítico
  Si $θ > 41, 8^{\circ}$ : reflexión total interna
2. 2. Ley de Snell
  $n_{c} sin θ = n_{a} sin 9 0^{\circ} \Rightarrow n_{c} = \frac{1 , 00}{sin 41 , 8 ^{\circ}} = \frac{1}{0 , 6665}$
  $n_{c} \approx 1, 50$
Respuesta final: Reflexión total interna; $n_{c u a r z o} \approx 1, 50$ .
20. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio P2
Una ballena azul emite un sonido de frecuencia 25 Hz por agua de mar. Se considera que es una onda armónica y unidimensional que se propaga en el sentido positivo del eje $X$ a 1500 m/s. En $t = 0$ s y $x = 0$ m la función de onda se encuentra en un máximo, de valor 32 $μ$ m. Determina:
- a)La longitud de onda y la fase inicial. Escribe la función de onda en unidades del SI. Utiliza la función seno.
- b)El valor de la función de onda y la velocidad de vibración de una partícula del medio situada en $x = 300$ m para el instante $t = 1$ s.
Apartado a
1. 1. Longitud de onda
  $λ = \frac{v}{f} = \frac{1500}{25}$
  $λ = 60$ m
2. 2. Fase inicial
  $y = A sin (ω t - k x + φ_{0})$ , en $(0, 0)$ es máximo: $sin φ_{0} = 1$
  $φ_{0} = π /2$ rad
3. 3. Función de onda
  $ω = 2 π f = 50 π$ rad/s; $k = \frac{2 π}{λ} = \frac{π}{30}$ rad/m
  $y (x, t) = 32 \cdot 1 0^{- 6} sin (50 π t - \frac{π}{30} x + \frac{π}{2})$ m
Apartado b
1. 1. Elongación en $x = 300$ m, $t = 1$ s
  Fase $= 50 π - 10 π + \frac{π}{2} = 40 π + \frac{π}{2}$
  $y = 32 \cdot 1 0^{- 6} sin (40 π + π /2) = 3, 2 \cdot 1 0^{- 5}$ m $= 32 μ$ m
2. 2. Velocidad de vibración
  $v_{y} = \frac{\partial y}{\partial t} = A ω cos (ω t - k x + φ_{0}) = 32 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 50 π cos (40 π + \frac{π}{2})$
  $v_{y} = 0$
Respuesta final: $λ = 60$ m; $φ_{0} = π /2$ ; $y = 32 \cdot 1 0^{- 6} sin (50 π t - π x /30 + π /2)$ ; $y (300, 1) = 32 μ$ m; $v_{y} = 0$ .
21. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio P3
En la figura se representa una lente delgada $L$ , un objeto $O$ y la posición de la imagen $O^{'}$ que se produce.
- a)Calcula la potencia de la lente, la distancia focal y razona si la lente es convergente o divergente.
- b)Realiza un trazado de rayos y razona las características de la imagen. Calcula numéricamente su tamaño.
Apartado a
1. 1. Posiciones (criterio DIN)
  $s = - 4$ cm (objeto a la izquierda); $s^{'} = + 12$ cm (imagen a la derecha)
  $s = - 0, 04$ m; $s^{'} = + 0, 12$ m
2. 2. Ecuación de Gauss
  $\frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{0 , 12} + \frac{1}{0 , 04} = 8, 33 + 25 = 33, 3 m^{- 1}$
  $P = 33, 3$ D; $f^{'} = 3$ cm
3. 3. Tipo de lente
  $f^{'} > 0$ ( $P > 0$ )
  Lente convergente
Apartado b
1. 1. Aumento y tamaño
  $A = \frac{y ^{'}}{y} = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{12}{- 4} = - 3$
  $y^{'} = - 3 \cdot 2 = - 6$ cm
2. 2. Características
  $s^{'} > 0$ y $A < 0$
  Imagen real, invertida y mayor (3 veces)
Respuesta final: $P = 33, 3$ D ( $f^{'} = 3$ cm), convergente; imagen real, invertida, de 6 cm (aumento $- 3$ ).
22. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio C5
Determina el periodo, la longitud de onda, el número de ondas y la velocidad de propagación de una onda sísmica transversal cuya función es $y (x, t) = 2 sin (50 π t - \frac{π}{2} x)$ (todos los valores en unidades del SI). Si $y (0, t) = 2$ m, determina razonadamente el valor de $y (8, t)$ y el valor de $y (0, t + 0, 04)$ .
1. 1. Identificación
  $y = A sin (ω t - k x)$ con $A = 2$ m, $ω = 50 π$ rad/s, $k = \frac{π}{2}$ rad/m
  —
2. 2. Periodo y longitud de onda
  $T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{50 π}; λ = \frac{2 π}{k} = \frac{2 π}{π /2}$
  $T = 0, 04$ s; $λ = 4$ m
3. 3. Número de ondas y velocidad
  $k = \frac{π}{2} rad/m \approx 1, 57$ rad/m; $v = \frac{λ}{T} = \frac{4}{0 , 04} = \frac{ω}{k}$
  $k = π /2$ rad/m; $v = 100$ m/s
4. 4. $y (8, t)$
  $y (8, t) = 2 sin (50 π t - 4 π) = 2 sin (50 π t) = y (0, t) = 2$ m
  $y (8, t) = 2$ m
5. 5. $y (0, t + 0, 04)$
  $0, 04$ s $= T$ : $y (0, t + T) = y (0, t)$
  $y (0, t + 0, 04) = 2$ m
Respuesta final: $T = 0, 04$ s; $λ = 4$ m; $k = π /2$ rad/m; $v = 100$ m/s; $y (8, t) = 2$ m; $y (0, t + 0, 04) = 2$ m.
23. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio C6
Escribe la expresión del nivel sonoro (en dB) en función de la intensidad de un sonido. Demuestra que una persona expuesta a un nivel sonoro de 70 dB recibe una intensidad 100 veces menor que aquella que está expuesta a un nivel sonoro de 90 dB.
1. 1. Nivel sonoro
  $β = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}$
  $I = I_{0} 1 0^{β /10}$
2. 2. Cociente
  $\frac{I _{90}}{I _{70}} = 1 0^{(90 - 70) /10} = 1 0^{2}$
  $I_{70} = \frac{I _{90}}{100}$
Respuesta final: $β = 10 lo g (I / I_{0})$ ; $I_{70} = I_{90} /100$ .
24. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio C7
Demuestra que una lupa produce imágenes derechas de objetos reales si estos se encuentran entre la lupa y su foco objeto. ¿Estas imágenes son reales o virtuales? ¿Dónde debería situarse un objeto real si se desea obtener una imagen invertida? ¿Qué ocurre si situamos el objeto justo en el foco objeto de la lupa? Para responder usa en cada caso un trazado de rayos.
1. 1. Lupa y ecuación
  Lente convergente ( $f > 0$ ); objeto real a $∣ s ∣ = x < f$ : $\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{x} = \frac{x - f}{f x} < 0$
  $s^{'} = \frac{f x}{x - f} < 0$
2. 2. Aumento
  $A = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{f}{f - x} > 1$ si $0 < x < f$
  $A > 1$ : derecha y mayor
3. 3. Imagen invertida
  $x > f \Rightarrow s^{'} > 0$ y $A < 0$
  Objeto más allá del foco ( $x > f$ ): imagen real e invertida
4. 4. Objeto en el foco
  $x = f \Rightarrow \frac{1}{s ^{'}} = 0$
  Rayos emergentes paralelos: imagen en el infinito
Respuesta final: Imagen derecha, virtual y mayor si $x < f$ ; invertida (real) si $x > f$ ; en $x = f$ la imagen está en el infinito.
25. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio P3
Una lente delgada en aire tiene una distancia focal imagen de $- 10$ cm. A 5 cm de la lente se sitúa un objeto de 2 cm de altura.
- a)Calcula la posición y tamaño de la imagen. Razona si la lente es convergente o divergente.
- b)Obtén razonadamente la posición de un objeto para que la imagen sea derecha y tenga un tamaño que sea la mitad que el del objeto. Justifica mediante un trazado de rayos la formación de la imagen.
Apartado a
1. 1. Posición de la imagen (DIN)
  $s = - 5$ cm, $f^{'} = - 10$ cm: $\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{s} = - \frac{1}{10} - \frac{1}{5} = - \frac{3}{10}$
  $s^{'} = - 3, 33$ cm
2. 2. Tamaño
  $A = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{- 3 , 33}{- 5} = 0, 667; y^{'} = 0, 667 \cdot 2$
  $y^{'} = + 1, 33$ cm
3. 3. Tipo de lente
  $f^{'} < 0$
  Divergente
Apartado b
1. 1. Condición
  $A = \frac{s ^{'}}{s} = + \frac{1}{2} \Rightarrow s^{'} = \frac{s}{2}$ ; $\frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{2}{s} - \frac{1}{s} = \frac{1}{s} = \frac{1}{f ^{'}}$
  $s = f^{'} = - 10$ cm
2. 2. Resultado
  Objeto a 10 cm delante de la lente ( $s = - 10$ cm); imagen en $s^{'} = - 5$ cm
  Objeto a 10 cm de la lente
Respuesta final: $s^{'} = - 3, 33$ cm; $y^{'} = 1, 33$ cm (virtual, derecha); divergente; objeto a 10 cm de la lente.
26. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio C4
Una onda armónica está descrita por la función $y (x, t) = A sin (2 π f t - k x + φ)$ y se propaga por un medio con velocidad $v$ . ¿Cómo cambian su frecuencia, número de onda y fase inicial cuando esta onda pasa a otro medio donde su velocidad de propagación es $2 v$ ?
1. 1. Frecuencia
  La frecuencia la impone el foco emisor
  $f$ no cambia
2. 2. Número de onda
  $k = \frac{2 π f}{v} \Rightarrow k^{'} = \frac{2 π f}{2 v} = \frac{k}{2}$
  $k^{'} = k /2$ (la longitud de onda se duplica)
3. 3. Fase inicial
  La fase de la onda en el foco/origen se mantiene en el cambio de medio
  $φ$ no cambia
Respuesta final: $f$ igual; $k$ se reduce a la mitad; $φ$ igual.
27. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio C5
La figura muestra, en un instante fijo, una onda plana que incide desde la izquierda sobre una pared con un pequeño orificio y pasa a ser una onda circular. ¿Cómo se llama este fenómeno? Explica en qué consiste. ¿Qué magnitud física es la distancia $d$ que se representa en la figura?
Difracción: la onda se curva al pasar por la abertura
1. 1. Fenómeno
  Difracción: una onda se curva y se propaga detrás de un obstáculo u orificio de tamaño comparable a $λ$
  Difracción
2. 2. Distancia d
  $d$ separa dos frentes de onda consecutivos (en fase)
  $d = λ$ (longitud de onda)
Respuesta final: Difracción; $d$ es la longitud de onda.
28. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio C6
En la figura se muestra una lente $L$ y la posición de un objeto $O$ . La imagen es virtual y se encuentra a 10 cm de la lente. Determina la distancia focal imagen de la lente, la potencia de la lente en dioptrías y el tamaño de la imagen si el objeto mide 5 cm.
1. 1. Datos (DIN)
  Lente divergente (la imagen virtual del objeto real está más cerca); $s = - 50$ cm; $s^{'} = - 10$ cm
  —
2. 2. Distancia focal
  $\frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{- 10} - \frac{1}{- 50} = - \frac{4}{50}$
  $f^{'} = - 12, 5$ cm
3. 3. Potencia
  $P = \frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{- 0 , 125}$
  $P = - 8$ D
4. 4. Tamaño
  $A = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{- 10}{- 50} = 0, 2; y^{'} = 0, 2 \cdot 5$
  $y^{'} = + 1$ cm
Respuesta final: $f^{'} = - 12, 5$ cm; $P = - 8$ D; $y^{'} = 1$ cm (virtual, derecha, menor).
29. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio P3
Una onda armónica se propaga hacia la izquierda por la superficie de un estanque y provoca la oscilación de una boya, que pasa de la posición más baja a la más alta en 3 s. La figura representa la onda y la boya (círculo negro) en los instantes $t = 0$ y $t = 3$ s.
- a)Determina la amplitud, longitud de onda, periodo, frecuencia y velocidad de propagación de la onda.
- b)Determina la fase inicial y escribe la función de onda (utilizando la función seno). ¿Cuál es la velocidad de la boya en el instante $t = 3$ s?
Apartado a
1. 1. Amplitud
  Máximo de $y$ en la gráfica: 40 cm
  $A = 0, 40$ m
2. 2. Longitud de onda
  Máximos en $x = 0$ y $x = 8$ m
  $λ = 8$ m
3. 3. Periodo y frecuencia
  De mínimo a máximo (medio periodo) la boya tarda 3 s: $T /2 = 3$ s
  $T = 6$ s; $f = \frac{1}{6} = 0, 167$ Hz
4. 4. Velocidad de propagación
  $v = \frac{λ}{T} = \frac{8}{6}$
  $v = 1, 33$ m/s
Apartado b
1. 1. Fase inicial
  Onda hacia $- x$ : $y = A sin (ω t + k x + φ_{0})$ ; en $x = 0$ , $t = 0$ : $y = A \Rightarrow sin φ_{0} = 1$
  $φ_{0} = π /2$ rad
2. 2. Función de onda
  $ω = \frac{2 π}{T} = \frac{π}{3}$ rad/s; $k = \frac{2 π}{λ} = \frac{π}{4}$ rad/m
  $y (x, t) = 0, 40 sin (\frac{π}{3} t + \frac{π}{4} x + \frac{π}{2})$ m
3. 3. Velocidad de la boya
  $v_{y} = A ω cos (ω t + k x + φ_{0}) = 0, 4 \cdot \frac{π}{3} cos (π + π + \frac{π}{2})$
  $v_{y} (x = 4, t = 3) = 0$
Respuesta final: $A = 0, 40$ m; $λ = 8$ m; $T = 6$ s; $f = 0, 167$ Hz; $v = 1, 33$ m/s; $φ_{0} = π /2$ ; $y = 0, 40 sin (π t /3 + π x /4 + π /2)$ ; $v_{b oy a} (3) = 0$ .
30. 2022 · Extraordinaria 2022 · Ejercicio C5
Una onda transversal en una cuerda viene descrita por la función $y (x, t) = a sin (2 π b t - c x)$ . ¿Qué magnitudes físicas representan $a$ , $b$ y $c$ ? ¿Cuáles son sus unidades en el Sistema Internacional? ¿Qué información aporta sobre la onda el signo negativo de la expresión? ¿Qué magnitud física representa el cociente $2 π b / c$ ?
1. 1. Comparamos con la forma general
  $y = A sin (ω t - k x)$ , con $ω = 2 π f$ y $k = 2 π / λ$
  $a = A$ (amplitud, m); $b = f$ (frecuencia, Hz $=$ s $^{- 1}$ ); $c = k$ (número de onda, rad/m $=$ m $^{- 1}$ )
2. 2. Signo negativo
  Fase $φ = ω t - k x$ constante $\Rightarrow x = \frac{ω}{k} t + cte$
  La onda se propaga en el sentido positivo del eje $x$
3. 3. Cociente
  $\frac{2 π b}{c} = \frac{ω}{k} = λ f$
  Velocidad de propagación de la onda, $v$ (m/s)
Respuesta final: $a$ : amplitud (m); $b$ : frecuencia (Hz); $c$ : número de onda (rad/m); el signo $-$ indica propagación hacia $+ x$ ; $2 π b / c = v$ (m/s).
31. 2022 · Extraordinaria 2022 · Ejercicio C6
En el fondo de una piscina llena de agua salada se sitúa un pequeño foco luminoso (ver figura adjunta). Se observa que el rayo A se refracta y sale del agua con un ángulo de refracción de $4 4^{\circ}$ , pero el rayo B no se refracta. Determina el índice de refracción $n$ del líquido y explica razonadamente el motivo por el cual el rayo B no se refracta. Dato: índice de refracción del aire, $n_{ai r e} = 1, 00$ .
Rayo A: refracción; rayo B: ángulo mayor que el límite → reflexión total
1. 1. Ángulo de incidencia del rayo A (figura: sale a 3 cm del foco en horizontal, con 5 cm de profundidad)
  $sin θ_{A} = \frac{3}{3 ^{2} + 5 ^{2}} = \frac{3}{34} = 0, 514$
  $θ_{A} = 30, 9 6^{\circ}$
2. 2. Ley de Snell en la superficie
  $n sin θ_{A} = n_{ai r e} sin 4 4^{\circ} \Rightarrow n = \frac{sin 4 4 ^{\circ}}{0 , 514}$
  $n = 1, 35$
3. 3. Ángulo de incidencia del rayo B (sale a 6 cm)
  $tan θ_{B} = \frac{6}{5}$
  $θ_{B} = 50, 2^{\circ}$
4. 4. Ángulo límite
  $sin θ_{c} = \frac{n _{ai r e}}{n} = \frac{1}{1 , 35}$
  $θ_{c} = 47, 8^{\circ}$
5. 5. Conclusión
  $θ_{B} = 50, 2^{\circ} > θ_{c} = 47, 8^{\circ}$
  Reflexión total interna
Respuesta final: $n = 1, 35$ . El rayo B incide con $50, 2^{\circ} > θ_{c} = 47, 8^{\circ}$ : sufre reflexión total.
32. 2022 · Extraordinaria 2022 · Ejercicio C7
Una persona usa habitualmente gafas con lentes y no sabe si éstas son convergentes o divergentes. Se quita las gafas y situándolas a 30 cm de un objeto obtiene sobre una pared una imagen enfocada a 2,7 m de la gafa. ¿Qué potencia posee la lente? ¿La lente es convergente o divergente? Razona si la persona es miope o hipermétrope.
1. 1. Datos con el convenio DIN
  $s = - 0, 30$ m (objeto); imagen real sobre la pared: $s^{'} = + 2, 7$ m
2. 2. Ecuación de Gauss de lentes delgadas
  $P = \frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{2 , 7} + \frac{1}{0 , 30}$
  $P = 3, 70$ D
3. 3. Tipo de lente y defecto
  $P > 0 \Rightarrow f^{'} > 0$
  Lente convergente; la persona es hipermétrope
Respuesta final: $P = 3, 70$ D, lente convergente; la persona es hipermétrope.
33. 2022 · Extraordinaria 2022 · Ejercicio P3
A partir de un objeto de 15 cm se desea obtener una imagen invertida de tamaño $0, 75$ m sobre una pantalla. Para ello se dispone de una lente convergente de 4 dioptrías.
- a)¿Dónde hay que colocar el objeto respecto a la lente? ¿Dónde hay que colocar la pantalla? Realiza un trazado de rayos esquemático que represente lo calculado.
- b)Supongamos que se rompe la lente anterior y la cambiamos por otra cuya distancia focal imagen es la mitad que la del apartado a). ¿Cuál es la potencia de la nueva lente? Si la distancia entre el objeto y la pantalla es 1,0 m, determina la menor distancia a la que hay que situar la lente del objeto para obtener una imagen enfocada en la pantalla.
Apartado a
1. 1. Aumento lateral
  $\frac{y ^{'}}{y} = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{- 75}{15} = - 5 \Rightarrow s^{'} = - 5 s$
2. 2. Ecuación de Gauss con $f^{'} = 1/4$ m
  $\frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = P \Rightarrow \frac{1}{- 5 s} - \frac{1}{s} = 4 \Rightarrow - \frac{6}{5 s} = 4$
  $s = - 0, 30$ m
3. 3. Posición de la pantalla
  $s^{'} = - 5 s = 1, 5$ m
  Pantalla a 1,5 m a la derecha de la lente
Apartado b
1. 1. Nueva lente
  $f_{2}^{'} = \frac{f ^{'}}{2} = 0, 125$ m $\Rightarrow P_{2} = \frac{1}{f _{2}^{'}}$
  $P_{2} = 8$ D
2. 2. Condición objeto-pantalla: distancia $d$ lente-objeto y $s^{'} = 1, 0 - d$
  $\frac{1}{1 - d} + \frac{1}{d} = 8 \Rightarrow d^{2} - d + 0, 125 = 0 \Rightarrow d = \frac{1 \pm 0 , 5}{2}$
  $d = 0, 146$ m o $d = 0, 854$ m
3. 3. Menor distancia
  Se pide la menor: $d = 0, 146$ m
  La lente a $14, 6$ cm del objeto ( $s^{'} = 85, 4$ cm)
Respuesta final: a) objeto a $30$ cm y pantalla a $1, 5$ m de la lente. b) $P = 8$ D; la lente debe estar a $14, 6$ cm del objeto.
34. 2022 · Ordinaria 2022 · Ejercicio C5
Una fuente sonora puntual de potencia $1, 26 \cdot 1 0^{- 4}$ W emite uniformemente en todas las direcciones. Calcula la intensidad $I$ a 10 m de la fuente. ¿Cuál es el nivel de intensidad sonora en decibelios a dicha distancia de la fuente? Dato: $I_{0} = 1 0^{- 12}$ W m $^{- 2}$ .
La potencia se reparte por igual en toda la esfera
1. 1. Intensidad
  $I = \frac{P}{4 π r ^{2}} = \frac{1 , 26 \cdot 1 0 ^{- 4}}{4 π \cdot 1 0 ^{2}}$
  $I \approx 1, 00 \cdot 1 0^{- 7}$ W/m $^{2}$
2. 2. Nivel
  $β = 10 lo g \frac{I}{I _{0}} = 10 lo g \frac{1 0 ^{- 7}}{1 0 ^{- 12}}$
  $β = 50$ dB
Respuesta final: $I \approx 1, 0 \cdot 1 0^{- 7}$ W/m $^{2}$ ; $β = 50$ dB.
35. 2022 · Ordinaria 2022 · Ejercicio C6
En la figura se muestra una lente, la posición de un objeto $O$ y la de la imagen $O^{'}$ que la lente genera de dicho objeto. Determina la distancia focal imagen de la lente, la potencia de la lente en dioptrías y el tamaño de la imagen si el objeto mide 2 cm.
1. 1. Datos (DIN)
  $s = - 10$ cm; $s^{'} = - 50$ cm (imagen virtual, más alejada que el objeto, mismo lado)
  —
2. 2. Distancia focal
  $\frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = - \frac{1}{50} + \frac{1}{10} = \frac{4}{50}$
  $f^{'} = + 12, 5$ cm
3. 3. Potencia
  $P = \frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{0 , 125}$
  $P = + 8$ D
4. 4. Tamaño
  $A = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{- 50}{- 10} = 5; y^{'} = 5 \cdot 2$
  $y^{'} = + 10$ cm
Respuesta final: $f^{'} = 12, 5$ cm; $P = + 8$ D; $y^{'} = 10$ cm (virtual, derecha, mayor).
36. 2022 · Ordinaria 2022 · Ejercicio P3
La función que representa una onda es $y (x, t) = 2 sin (π t - 8 π x)$ , donde $x$ e $y$ están expresadas en metros y $t$ en segundos. Calcula razonadamente:
- a)La amplitud, el periodo, la frecuencia y la longitud de onda.
- b)La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración de un punto situado a 1 m del foco emisor, para $t = 8$ s.
Apartado a
1. 1. Identificación
  $y = A sin (ω t - k x)$ : $A = 2$ m, $ω = π$ rad/s, $k = 8 π$ rad/m
  $A = 2$ m
2. 2. Periodo, frecuencia y longitud de onda
  $T = \frac{2 π}{ω} = 2 s; f = \frac{1}{T} = 0, 5 Hz; λ = \frac{2 π}{k} = \frac{2 π}{8 π}$
  $T = 2$ s; $f = 0, 5$ Hz; $λ = 0, 25$ m
Apartado b
1. 1. Velocidad de propagación
  $v = λ f = 0, 25 \cdot 0, 5 = \frac{ω}{k}$
  $v = 0, 125$ m/s
2. 2. Velocidad de vibración
  $v_{y} = \frac{\partial y}{\partial t} = 2 π cos (π t - 8 π x)$ ; en $x = 1$ , $t = 8$ : $cos (8 π - 8 π) = cos 0 = 1$
  $v_{y} = 2 π \approx 6, 28$ m/s
Respuesta final: $A = 2$ m; $T = 2$ s; $f = 0, 5$ Hz; $λ = 0, 25$ m; $v = 0, 125$ m/s; $v_{y} (1, 8) = 2 π \approx 6, 28$ m/s.
37. 2021 · Extraordinaria 2021 · Ejercicio C5
Escribe la expresión del nivel sonoro (en dB) en función de la intensidad de un sonido. Un auricular produce en la entrada del oído un nivel sonoro de $80$ dB. Calcula la intensidad sonora en ese punto en W/m $^{2}$ . Dato: intensidad umbral de referencia $I_{0} = 1 0^{- 12}$ W/m $^{2}$ .
1. 1. Nivel sonoro
  $β = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}$ (dB)
2. 2. Despejamos $I$
  $80 = 10 lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} \Rightarrow \frac{I}{I _{0}} = 1 0^{8} \Rightarrow I = 1 0^{8} \cdot 1 0^{- 12}$
  $I = 1 0^{- 4}$ W/m $^{2}$
Respuesta final: $β = 10 lo g (I / I_{0})$ ; $I = 1 0^{- 4}$ W/m $^{2}$ .
38. 2021 · Extraordinaria 2021 · Ejercicio C6
Deduce la relación entre la distancia objeto, $s$ , y la distancia focal imagen, $f^{'}$ , de una lente para que la imagen sea invertida y de doble tamaño que el objeto.
1. 1. Aumento lateral
  $m = \frac{y ^{'}}{y} = \frac{s ^{'}}{s} = - 2 \Rightarrow s^{'} = - 2 s$
  Imagen invertida: $m < 0$ ; doble tamaño: $∣ m ∣ = 2$ .
2. 2. Ecuación de Gauss
  $\frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f ^{'}} \Rightarrow \frac{1}{- 2 s} - \frac{1}{s} = - \frac{3}{2 s} = \frac{1}{f ^{'}}$
  $s = - \frac{3}{2} f^{'}$
3. 3. Posición de la imagen
  $s^{'} = - 2 s = 3 f^{'}$
  Imagen real, invertida, a $3 f^{'}$ de la lente
Respuesta final: $s = - \frac{3}{2} f^{'}$ (objeto a $1, 5 f^{'}$ de la lente convergente); entonces $s^{'} = 3 f^{'}$ .
39. 2021 · Extraordinaria 2021 · Ejercicio C7
Describe en qué consiste la hipermetropía. Explica razonadamente el fenómeno con ayuda de un trazado de rayos. ¿Con qué tipo de lente debe corregirse y por qué?
1. 1. Defecto
  Ojo hipermétrope: poca potencia o ojo corto; la imagen de un objeto cercano se forma detrás de la retina
2. 2. Trazado de rayos
  Rayos de un objeto cercano llegan al cristalino más divergentes y convergen en un punto situado más allá de la retina
  Imagen desenfocada sobre la retina
3. 3. Corrección
  Hay que aumentar la convergencia del sistema: lente convergente ( $P > 0$ )
  Lente convergente
Respuesta final: Hipermetropía: la imagen se forma detrás de la retina; se corrige con lente convergente.
40. 2021 · Extraordinaria 2021 · Ejercicio P3
A través de una lente delgada se observa el ojo de una persona. Sabiendo que la lente se sitúa a 4 cm del ojo y teniendo en cuenta los datos de la figura (el ojo mide 2,0 cm a simple vista y 3,0 cm visto a través de la lente), determina:
- a)La posición de la imagen, la distancia focal imagen de la lente y su potencia en dioptrías. Realiza un trazado de rayos que presente la situación mostrada.
- b)¿La lente es convergente o divergente? ¿La imagen es real o virtual? ¿De qué tamaño se verá el ojo si alejamos la lente del ojo 1,5 cm más?
Apartado a
1. 1. Aumento y posición de la imagen ( $s = - 4$ cm; imagen derecha: $m > 0$ )
  $m = \frac{y ^{'}}{y} = \frac{3 , 0}{2 , 0} = 1, 5 = \frac{s ^{'}}{s} \Rightarrow s^{'} = 1, 5 \cdot (- 4) = - 6$ cm
  Imagen a $6$ cm de la lente, al mismo lado que el objeto
2. 2. Distancia focal y potencia
  $\frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{- 6} + \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \Rightarrow f^{'} = 12$ cm
  $P = \frac{1}{0 , 12} = 8, 33$ D
Apartado b
1. 1. Tipo de lente e imagen
  $f^{'} > 0$ y $s^{'} < 0$ con $m > 1$
  Lente convergente; imagen virtual (y derecha)
2. 2. Lente a $5, 5$ cm del ojo
  $\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{s} = \frac{1}{12} - \frac{1}{5 , 5} \Rightarrow s^{'} = - 10, 15$ cm; $m = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{- 10 , 15}{- 5 , 5} = 1, 85$
  Tamaño del ojo $= 1, 85 \cdot 2, 0 = 3, 7$ cm
Respuesta final: a) $s^{'} = - 6$ cm; $f^{'} = 12$ cm; $P = 8, 33$ D. b) Convergente, imagen virtual; con la lente a $5, 5$ cm el ojo se verá de $3, 7$ cm.