Física relativista, nuclear, cuántica y de partículas · Física (con soluciones)

PAU Comunitat Valenciana · 40 ejercicios, del más reciente al más antiguo

1. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 6.A
Se ilumina la superficie de un metal con luz monocromática y se comprueba que este emite electrones. Nombra y explica el fenómeno ¿Cómo varía la energía cinética de los electrones emitidos si se aumenta la frecuencia de la luz incidente? ¿Qué cambia si se aumenta la intensidad de dicha luz sin modificar la frecuencia? Razona las respuestas.
1. 1. Fenómeno
  Los fotones ceden su energía $h f$ a electrones del metal; si $h f \geq W_{0}$ se emiten
  Efecto fotoeléctrico
2. 2. Energía cinética
  $E_{c, ma x} = h f - W_{0}$
  Aumenta linealmente con $f$
3. 3. Intensidad
  Mayor intensidad = más fotones por segundo, misma energía por fotón
  Más electrones emitidos (más corriente fotoeléctrica); misma $E_{c}$
Respuesta final: Efecto fotoeléctrico; $E_{c}$ aumenta con $f$ ; más intensidad: más electrones, misma $E_{c}$ .
2. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 6.B
El hipotético módulo espacial de la figura tiene una masa en reposo $M_{0} = 1 0^{4}$ kg y una longitud propia $L_{0} = 11, 0$ m. Se mueve en una dirección a lo largo de su longitud con una velocidad $v$ relativa a la base de control situada en la Tierra. Respecto a dicha base, se mide la longitud del módulo espacial y su resultado es $L = 10, 0$ m. ¿Cuál es la velocidad $v$ con la que se mueve el módulo espacial respecto a la base de control? ¿Y su energía total relativista? Dato: $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s.
Contracción de la longitud: L = L₀/γ
1. 1. Contracción de longitudes
  $L = \frac{L _{0}}{γ} \Rightarrow γ = \frac{11 , 0}{10 , 0} = 1, 10$
  $γ = 1, 10$
2. 2. Velocidad
  $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} \Rightarrow \frac{v}{c} = 1 - \frac{1}{γ ^{2}} = 0, 4166$
  $v \approx 0, 417 c \approx 1, 25 \cdot 1 0^{8}$ m/s
3. 3. Energía total
  $E = γ M_{0} c^{2} = 1, 10 \cdot 1 0^{4} \cdot (3 \cdot 1 0^{8})^{2}$
  $E = 9, 9 \cdot 1 0^{20}$ J
Respuesta final: $v \approx 1, 25 \cdot 1 0^{8}$ m/s ( $0, 417 c$ ); $E = 9, 9 \cdot 1 0^{20}$ J.
3. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 6
El yodo-131, $_{53}^{131}$ I, es un isótopo radiactivo con periodo de semidesintegración de 8,0 días, que se desintegra según $_{53}^{131} I \to_{x}^{y} Xe + β^{-} +_{0}^{0} γ$ . Determina los números atómico y másico del xenón. Si un paciente recibe un tratamiento con $_{53}^{131}$ I, ¿cuántos días deben transcurrir para que la cantidad de $_{53}^{131}$ I en su cuerpo se reduzca al 15 % del valor inicial? Supón que la desintegración radiactiva es la única vía de eliminación.
1. 1. Balance de la reacción
  $_{53}^{131} I \to_{x}^{y} Xe +_{- 1}^{0} β +_{0}^{0} γ$ : carga $53 = x - 1$ ; masa $131 = y + 0$
  $x = 54$ ; $y = 131$
2. 2. Ley de desintegración
  $N = N_{0} (1/2)^{t / T_{1/2}}$ con $N / N_{0} = 0, 15$
  $0, 15 = 2^{- t /8}$
3. 3. Tiempo
  $t = T_{1/2} \frac{ln ( 1/0 , 15 )}{ln 2} = 8, 0 \cdot \frac{1 , 897}{0 , 693}$
  $t \approx 21, 9$ días
Respuesta final: Xe: $Z = 54$ , $A = 131$ ; $t \approx 21, 9$ días.
4. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 6.A
El $_{84}^{218}$ Po se desintegra con un periodo de semidesintegración de 183 s, emitiendo partículas alfa y se transforma en un isótopo del plomo, $_{a}^{b}$ Pb. Determina razonadamente los números másico y atómico del isótopo del plomo. En un cierto instante, en una muestra se determina que hay 1,0 mg de polonio-218, calcula la masa de polonio-218 que había diez minutos antes.
1. 1. Conservación de $A$ y $Z$
  $_{84}^{218} Po \to_{2}^{4} α +_{a}^{b} Pb$ ; $218 = 4 + b$ , $84 = 2 + a$
  $b = 214$ , $a = 82$
2. 2. Ley de desintegración
  $m = m_{0} 2^{- t / T_{1/2}} \Rightarrow m_{0} = m \cdot 2^{t / T_{1/2}}$ con $t = 600$ s
  $t / T_{1/2} = 3, 279$
3. 3. Masa inicial
  $m_{0} = 1, 0 \cdot 2^{3, 279} = 9, 70 mg$
  $m_{0} \approx 9, 7$ mg
Respuesta final: $_{82}^{214}$ Pb; había $\approx 9, 7$ mg.
5. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 6.B
Una nave espacial viaja con velocidad $v = 2, 1 \cdot 1 0^{8}$ m/s desde la Tierra hasta la estrella de Barnard, situada a una distancia $d = 5, 98$ años luz. Se mide la duración del viaje en la Tierra y en la nave, ¿en cuál de estos dos sistemas de referencia inerciales se mide el tiempo propio? ¿Qué duración tiene el viaje en cada uno de estos dos sistemas? Razona las respuestas. Dato: $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s.
Distancia medida en la Tierra: d = 5,98 al
1. 1. Tiempo propio
  Es el intervalo entre dos sucesos (salida y llegada) que ocurren en el mismo lugar del sistema
  Se mide en la nave
2. 2. Duración en la Tierra
  $v = 0, 7 c$ ; $t = \frac{d}{v} = \frac{5 , 98 a.l.}{0 , 7 c} = 8, 54$ años
  $t_{T} \approx 8, 54$ años
3. 3. Factor de Lorentz
  $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} = \frac{1}{1 - 0 , 49} = 1, 400$
  $γ = 1, 40$
4. 4. Duración en la nave (propio)
  $t_{0} = \frac{t _{T}}{γ} = 6, 10$ años
  $t_{N} \approx 6, 10$ años
Respuesta final: Tiempo propio en la nave: $6, 10$ años; en la Tierra: $8, 54$ años.
6. 2025 · Reserva 2025 (Junio) · Ejercicio 6.A
En la gráfica adjunta se representa el potencial de frenado, $V_{F}$ , de los electrones emitidos por un metal en función de la frecuencia, $f$ , de la luz que incide sobre él. Nombra y explica el fenómeno. Sabiendo que la ecuación de la recta es $V_{F} = 4, 12 \cdot 1 0^{- 15} f - 4, 5$ , determina el valor de la constante de Planck y el de la frecuencia umbral. Dato: carga elemental, $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.
V_F = (h/e) f − φ/e: la pendiente da h
1. 1. Fenómeno
  Los fotones con energía $h f \geq W_{0}$ arrancan electrones de la superficie metálica
  Efecto fotoeléctrico
2. 2. Recta teórica
  $V_{F} = \frac{h}{q} f - \frac{W _{0}}{q}$
  pendiente $= h / q$
3. 3. Constante de Planck
  $h = q \cdot 4, 12 \cdot 1 0^{- 15} = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 4, 12 \cdot 1 0^{- 15}$
  $h \approx 6, 59 \cdot 1 0^{- 34}$ J s
4. 4. Frecuencia umbral ( $V_{F} = 0$ )
  $f_{0} = \frac{4 , 5}{4 , 12 \cdot 1 0 ^{- 15}} = 1, 09 \cdot 1 0^{15}$
  $f_{0} \approx 1, 09 \cdot 1 0^{15}$ Hz
Respuesta final: Efecto fotoeléctrico; $h \approx 6, 59 \cdot 1 0^{- 34}$ J s; $f_{0} \approx 1, 09 \cdot 1 0^{15}$ Hz.
7. 2025 · Reserva 2025 (Junio) · Ejercicio 6.B
Un puntero láser emite luz monocromática de frecuencia $f = 5, 6 \cdot 1 0^{14}$ Hz con una potencia $P = 5$ mW. ¿Cuál es la energía de un fotón? Calcula cuántos fotones emite el puntero en un minuto. ¿Qué longitud de onda tiene la radiación emitida? Datos: $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s; $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34}$ J s.
1. 1. Energía del fotón
  $E = h f = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} \cdot 5, 6 \cdot 1 0^{14} = 3, 71 \cdot 1 0^{- 19}$
  $E \approx 3, 71 \cdot 1 0^{- 19}$ J
2. 2. Fotones en un minuto
  $N = \frac{P t}{E} = \frac{5 \cdot 1 0 ^{- 3} \cdot 60}{3 , 71 \cdot 1 0 ^{- 19}} = 8, 08 \cdot 1 0^{17}$
  $N \approx 8, 08 \cdot 1 0^{17}$ fotones
3. 3. Longitud de onda
  $λ = \frac{c}{f} = \frac{3 \cdot 1 0 ^{8}}{5 , 6 \cdot 1 0 ^{14}} = 5, 36 \cdot 1 0^{- 7}$
  $λ \approx 536$ nm
Respuesta final: $E = 3, 71 \cdot 1 0^{- 19}$ J; $N = 8, 08 \cdot 1 0^{17}$ ; $λ = 536$ nm.
8. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio C7
Supongamos que se realiza la fusión nuclear de un núcleo de deuterio con un núcleo de tritio, $_{1}^{2}$ H $+_{1}^{3}$ H $\to_{2 b}^{a}$ X $+_{0}^{b}$ Y. Determina $a$ y $b$ e indica razonadamente qué partículas son $X$ e $Y$ . En cada reacción se generan 17,6 MeV de energía. Utilizando la anterior reacción de fusión, ¿cuántos gramos de deuterio se necesitarían para generar la energía eléctrica consumida en un año por los hogares de una ciudad como Alicante? Datos: $m_{D} = 3, 34 \cdot 1 0^{- 27}$ kg; $q = 1, 60 \cdot 1 0^{- 19}$ C; energía eléctrica anual de los hogares de Alicante, $1, 62 \cdot 1 0^{15}$ J.
1. 1. Número atómico
  Carga: $1 + 1 = 2 b + 0 \Rightarrow b = 1$
  $b = 1$
2. 2. Número másico
  $2 + 3 = a + b = a + 1$
  $a = 4$
3. 3. Partículas
  $X =_{2}^{4} He$ (partícula $α$ , $Z = 2$ , $A = 4$ ); $Y =_{0}^{1} n$ (neutrón, carga 0)
  $X$ : helio-4; $Y$ : neutrón
4. 4. Energía por reacción
  $E = 17, 6 \cdot 1 0^{6} \cdot 1, 60 \cdot 1 0^{- 19}$
  $E = 2, 816 \cdot 1 0^{- 12}$ J
5. 5. Núcleos de deuterio necesarios
  $N = \frac{1 , 62 \cdot 1 0 ^{15}}{2 , 816 \cdot 1 0 ^{- 12}}$
  $N = 5, 75 \cdot 1 0^{26}$
6. 6. Masa
  $m = N m_{D} = 5, 75 \cdot 1 0^{26} \cdot 3, 34 \cdot 1 0^{- 27}$
  $m \approx 1, 92$ kg $\approx 1, 9 \cdot 1 0^{3}$ g
Respuesta final: $a = 4$ , $b = 1$ ; $X =_{2}^{4}$ He, $Y = n$ ; $\approx 1, 92$ kg (1,9·10 $^{3}$ g) de deuterio.
9. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio C8
Un láser de fluoruro de kriptón, que se utiliza en experimentos de fusión por confinamiento inercial, puede emitir un haz de luz de longitud de onda 248 nm, con una energía de $1, 1 \cdot 1 0^{3}$ J en un tiempo de 1 ns. Obtén razonadamente la energía de un fotón, la potencia del láser (en MW) y el número de fotones que emite este láser en dicho intervalo de tiempo. Datos: $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s; $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34}$ J s.
1. 1. Energía del fotón
  $E_{f} = \frac{h c}{λ} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{248 \cdot 1 0 ^{- 9}}$
  $E_{f} = 8, 02 \cdot 1 0^{- 19}$ J
2. 2. Potencia
  $P = \frac{E}{t} = \frac{1 , 1 \cdot 1 0 ^{3}}{1 0 ^{- 9}}$
  $P = 1, 1 \cdot 1 0^{12}$ W $= 1, 1 \cdot 1 0^{6}$ MW
3. 3. Número de fotones
  $N = \frac{E}{E _{f}} = \frac{1 , 1 \cdot 1 0 ^{3}}{8 , 02 \cdot 1 0 ^{- 19}}$
  $N \approx 1, 37 \cdot 1 0^{21}$ fotones
Respuesta final: $E_{f} = 8, 02 \cdot 1 0^{- 19}$ J; $P = 1, 1 \cdot 1 0^{6}$ MW; $N \approx 1, 37 \cdot 1 0^{21}$ .
10. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio P4
La frecuencia umbral del cátodo de una célula fotoeléctrica es $f_{0} = 5 \cdot 1 0^{14}$ Hz. Dicho cátodo se ilumina con luz de frecuencia $f = 1, 5 \cdot 1 0^{15}$ Hz. Calcula: Datos: $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34}$ J s; $m_{e} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31}$ kg; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s; $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.
- a)La velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos desde el cátodo.
- b)La diferencia de potencial que hay que aplicar para anular la corriente eléctrica producida en la fotocélula.
Apartado a
1. 1. Trabajo de extracción y energía cinética
  $E_{c} = h (f - f_{0}) = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} (1, 5 \cdot 1 0^{15} - 5 \cdot 1 0^{14})$
  $E_{c, ma x} = 6, 63 \cdot 1 0^{- 19}$ J
2. 2. Velocidad máxima
  $v_{ma x} = \frac{2 E _{c}}{m _{e}} = \frac{2 \cdot 6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 19}}{9 , 1 \cdot 1 0 ^{- 31}}$
  $v_{ma x} \approx 1, 21 \cdot 1 0^{6}$ m/s
Apartado b
1. 1. Potencial de frenado
  $q V_{0} = E_{c, ma x} \Rightarrow V_{0} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 19}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}$
  $V_{0} \approx 4, 14$ V
Respuesta final: $v_{ma x} \approx 1, 21 \cdot 1 0^{6}$ m/s; $V_{0} \approx 4, 14$ V.
11. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio C7
Explica qué es la dualidad onda-corpúsculo y escribe la expresión de la longitud de onda de De Broglie. Calcula la longitud de onda de De Broglie de una espora del hongo Pilobolus kleinii que se mueve a 20 m/s, sabiendo que la masa de un millón de esporas es de 1,0 g. Dato: $h = 6, 6 \cdot 1 0^{- 34}$ J s.
1. 1. Dualidad onda-corpúsculo
  Toda partícula en movimiento tiene también comportamiento ondulatorio (y la luz, corpuscular)
  $λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}$
2. 2. Masa de una espora
  $m = \frac{1 , 0 g}{1 0 ^{6}} = 1 0^{- 6} g = 1 0^{- 9} kg$
  $m = 1, 0 \cdot 1 0^{- 9}$ kg
3. 3. Longitud de onda
  $λ = \frac{6 , 6 \cdot 1 0 ^{- 34}}{1 0 ^{- 9} \cdot 20}$
  $λ = 3, 3 \cdot 1 0^{- 26}$ m
Respuesta final: $λ = h / (m v) = 3, 3 \cdot 1 0^{- 26}$ m.
12. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio C8
Explica brevemente en qué consisten la radiación alfa y la radiación beta y cómo se modifica el núcleo atómico que las emite. Halla razonadamente el número atómico y el número másico del elemento final producido a partir del $_{86}^{222}$ Rn, después de que emita una partícula $α$ y a continuación el producto emita una partícula $β^{-}$ .
1. 1. Radiación alfa
  Emisión de un núcleo de helio $_{2}^{4}$ He
  $Z \to Z - 2$ , $A \to A - 4$
2. 2. Radiación beta (−)
  Un neutrón se convierte en protón: $n \to p + e^{-} + \overset{ν}{ˉ}$ ; se emite un electrón
  $Z \to Z + 1$ , $A$ igual
3. 3. Cadena
  $_{86}^{222} Rn α_{84}^{218} Po β^{-}_{85}^{218} At$
  Elemento final: $_{85}^{218}$ At ( $Z = 85$ , $A = 218$ )
Respuesta final: $Z = 85$ , $A = 218$ (astato-218).
13. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio P4
Los muones son partículas elementales, con carga eléctrica negativa, que se forman en las partes altas de la atmósfera y se mueven a velocidades relativistas hacia la superficie de la Tierra. Un muon se forma a 9000 m de altura sobre la superficie de la Tierra y desciende verticalmente con velocidad $v = 0, 9978 c$ . Calcula razonadamente: Datos: $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s; masa en reposo del muon, $m = 1, 8 \cdot 1 0^{- 28}$ kg; $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.
- a)La energía en reposo y la energía total del muon en electronvoltios.
- b)El intervalo de tiempo que tarda dicho muon en alcanzar la superficie, medido en un sistema de referencia ligado a la Tierra y medido en un sistema de referencia que viaje con el muon.
Distancia medida en el sistema de la Tierra
Apartado a
1. 1. Energía en reposo
  $E_{0} = m c^{2} = 1, 8 \cdot 1 0^{- 28} \cdot (3 \cdot 1 0^{8})^{2} = 1, 62 \cdot 1 0^{- 11}$ J $= \frac{1 , 62 \cdot 1 0 ^{- 11}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}$ eV
  $E_{0} = 1, 01 \cdot 1 0^{8}$ eV (101 MeV)
2. 2. Factor de Lorentz
  $γ = \frac{1}{1 - 0 , 997 8 ^{2}} = \frac{1}{4 , 395 \cdot 1 0 ^{- 3}}$
  $γ \approx 15, 1$
3. 3. Energía total
  $E = γ E_{0} = 15, 08 \cdot 1, 0125 \cdot 1 0^{8}$
  $E \approx 1, 53 \cdot 1 0^{9}$ eV (1,53 GeV)
Apartado b
1. 1. Tiempo en la Tierra
  $Δ t = \frac{d}{v} = \frac{9000}{0 , 9978 \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}$
  $Δ t \approx 3, 01 \cdot 1 0^{- 5}$ s
2. 2. Tiempo propio del muon
  $Δ t_{0} = \frac{Δ t}{γ} = \frac{3 , 007 \cdot 1 0 ^{- 5}}{15 , 08}$
  $Δ t_{0} \approx 1, 99 \cdot 1 0^{- 6}$ s
Respuesta final: $E_{0} \approx 1, 01 \cdot 1 0^{8}$ eV; $E \approx 1, 53 \cdot 1 0^{9}$ eV; $Δ t_{T i er r a} \approx 3, 01 \cdot 1 0^{- 5}$ s; $Δ t_{m u o n} \approx 1, 99 \cdot 1 0^{- 6}$ s.
14. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio C8
La gráfica representa la actividad de una muestra radiactiva en función del tiempo (en días). Utilizando los datos de la gráfica, deduce razonadamente el periodo de semidesintegración de la muestra y la constante de desintegración. Determina el número de periodos necesarios para que la actividad pase a valer 1000 Bq.
A = A₀ (1/2)ⁿ: cada 5 días la actividad se divide por 2
1. 1. Periodo de semidesintegración
  La actividad se reduce a la mitad cada 5 días: $8000 \to 4000 (5 d) \to 2000 (10 d) \to 1000 (15 d)$
  $T_{1/2} = 5$ d
2. 2. Constante de desintegración
  $λ = \frac{ln 2}{T _{1/2}} = \frac{0 , 693}{5}$
  $λ = 0, 139$ d $^{- 1}$ $= 1, 60 \cdot 1 0^{- 6}$ s $^{- 1}$
3. 3. Número de periodos
  $A = A_{0} (\frac{1}{2})^{n} = 1000 \Rightarrow 2^{n} = \frac{8000}{1000} = 8$
  $n = 3$ periodos (15 días)
Respuesta final: $T_{1/2} = 5$ d; $λ = 0, 139$ d $^{- 1}$ ; $n = 3$ periodos.
15. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio P4
En una experiencia se ilumina, con diferentes longitudes de onda, una placa que tiene dos zonas con metales distintos, titanio y un metal A desconocido. Se mide la energía cinética de los fotoelectrones emitidos obteniendo la gráfica adjunta. Datos: $h = 6, 6 \cdot 1 0^{- 34}$ J s; $e = - 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s; $m_{e} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31}$ kg. Tabla de trabajos de extracción $W$ (eV): berilio 4,95; cadmio 4,08; paladio 5,60.
- a)Calcula razonadamente la longitud de onda umbral para el metal $A$ y su trabajo de extracción. Identifícalo a partir de los datos de la tabla.
- b)Determina la velocidad de los electrones emitidos por el titanio cuando se ilumina con luz de frecuencia $1, 13 \cdot 1 0^{15}$ Hz. ¿Qué sucede con los electrones del metal A si se ilumina con dicha luz?
Apartado a
1. 1. Umbral del metal A
  Ec=0 para $1/ λ = 4, 0 \cdot 1 0^{6}$ m $^{- 1}$ : $λ_{0} = \frac{1}{4 , 0 \cdot 1 0 ^{6}}$
  $λ_{0} = 2, 5 \cdot 1 0^{- 7}$ m (250 nm)
2. 2. Trabajo de extracción
  $W = \frac{h c}{λ _{0}} = 6, 6 \cdot 1 0^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0^{8} \cdot 4, 0 \cdot 1 0^{6} = 7, 92 \cdot 1 0^{- 19}$ J $= \frac{7 , 92 \cdot 1 0 ^{- 19}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}$ eV
  $W_{A} = 4, 95$ eV: berilio
Apartado b
1. 1. Energía cinética en el titanio
  $W_{T i} = h c \cdot 3, 5 \cdot 1 0^{6} = 6, 93 \cdot 1 0^{- 19}$ J ( $4, 33$ eV); $E_{c} = h f - W_{T i} = 6, 6 \cdot 1 0^{- 34} \cdot 1, 13 \cdot 1 0^{15} - 6, 93 \cdot 1 0^{- 19}$
  $E_{c} = 5, 28 \cdot 1 0^{- 20}$ J
2. 2. Velocidad
  $v = \frac{2 E _{c}}{m _{e}} = \frac{2 \cdot 5 , 28 \cdot 1 0 ^{- 20}}{9 , 1 \cdot 1 0 ^{- 31}}$
  $v \approx 3, 41 \cdot 1 0^{5}$ m/s
3. 3. Metal A con esa luz
  $f = 1, 13 \cdot 1 0^{15}$ Hz $< f_{0 A} = \frac{c}{λ _{0}} = 1, 2 \cdot 1 0^{15}$ Hz (también $1/ λ = 3, 77 \cdot 1 0^{6} < 4, 0 \cdot 1 0^{6}$ )
  No hay emisión de electrones
Respuesta final: $λ_{0} = 250$ nm; $W_{A} = 4, 95$ eV (berilio); $v_{T i} \approx 3, 41 \cdot 1 0^{5}$ m/s; el metal A no emite.
16. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio C7
Un neutrón tiene una energía cinética relativista de 50 MeV. Determina la relación (cociente) entre la energía total del neutrón y su energía en reposo. Calcula la velocidad del neutrón. Datos: $m_{0} = 940$ MeV/ $c^{2}$ ; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s.
1. 1. Cociente de energías
  $E = E_{0} + E_{c} = 940 + 50 = 990$ MeV; $\frac{E}{E _{0}} = γ$
  $E / E_{0} = \frac{990}{940} = 1, 053$
2. 2. Velocidad
  $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} \Rightarrow \frac{v}{c} = 1 - \frac{1}{γ ^{2}} = 1 - (\frac{940}{990})^{2}$
  $v = 0, 314 c \approx 9, 41 \cdot 1 0^{7}$ m/s
Respuesta final: $E / E_{0} = 1, 053$ ; $v \approx 0, 314 c \approx 9, 41 \cdot 1 0^{7}$ m/s.
17. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio C8
El potencial de frenado de una célula fotoeléctrica es nulo cuando la luz incidente tiene la longitud de onda umbral $λ_{0} = 540$ nm. Determina la frecuencia umbral. Obtén la expresión del potencial de frenado $Δ V$ en función de la frecuencia $f$ de la luz incidente y explica en qué te basas para deducirla. Datos: $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C; $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34}$ J s; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s.
1. 1. Frecuencia umbral
  $f_{0} = \frac{c}{λ _{0}} = \frac{3 \cdot 1 0 ^{8}}{540 \cdot 1 0 ^{- 9}}$
  $f_{0} = 5, 56 \cdot 1 0^{14}$ Hz
2. 2. Potencial de frenado
  Einstein + conservación de la energía: $h f = h f_{0} + E_{c, ma x}$ y $E_{c, ma x} = q Δ V$
  $Δ V = \frac{h}{q} (f - f_{0})$
Respuesta final: $f_{0} = 5, 56 \cdot 1 0^{14}$ Hz; $Δ V = \frac{h}{q} (f - f_{0})$ .
18. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio P4
En una excavación arqueológica se ha encontrado un tótem de madera cuyo contenido en $^{14}$ C es el 53 % del que tienen las maderas de árboles actuales de la misma zona. Datos: $T_{1/2} (_{6}^{14} C) = 5730$ años; $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s.
- a)Determina en qué año fue realizado el tótem.
- b)El isótopo $_{6}^{14}$ C se desintegra según $_{6}^{14} C \to_{7}^{14} N + X$ . La partícula $X$ tiene una energía total $E = 0, 667$ MeV y una energía cinética $E_{c} = 0, 156$ MeV. ¿De qué tipo de radiactividad se trata? Calcula la energía en reposo y la masa de la partícula.
Apartado a
1. 1. Ley de desintegración
  $\frac{N}{N _{0}} = (\frac{1}{2})^{t / T_{1/2}} = 0, 53$
  $t = T_{1/2} \frac{ln ( 1/0 , 53 )}{ln 2}$
2. 2. Valor
  $t = 5730 \cdot \frac{0 , 6349}{0 , 6931}$
  $t \approx 5248$ años
Apartado b
1. 1. Partícula
  $_{6}^{14} C \to_{7}^{14} N + X$ : carga $6 = 7 + q_{X} \Rightarrow q_{X} = - 1$ ; masa 14=14+0
  $X = e^{-}$ : radiactividad $β^{-}$
2. 2. Energía en reposo
  $E_{0} = E - E_{c} = 0, 667 - 0, 156$
  $E_{0} = 0, 511$ MeV
3. 3. Masa
  $m = \frac{E _{0}}{c ^{2}} = \frac{0 , 511 \cdot 1 0 ^{6} \cdot 1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}{( 3 \cdot 1 0 ^{8} ) ^{2}}$
  $m \approx 9, 08 \cdot 1 0^{- 31}$ kg
Respuesta final: $t \approx 5248$ años (≈3225 a. C.); $β^{-}$ ; $E_{0} = 0, 511$ MeV; $m \approx 9, 1 \cdot 1 0^{- 31}$ kg.
19. 2022 · Extraordinaria 2022 · Ejercicio C8
Calcula la velocidad que debe tener una partícula para que su energía relativista sea el doble de su energía en reposo. ¿Sería posible que la velocidad de la partícula fuera el doble que la calculada anteriormente? Razona la respuesta. Dato: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s.
1. 1. Energía relativista
  $E = γ m_{0} c^{2} = 2 m_{0} c^{2} \Rightarrow γ = 2$
2. 2. Velocidad
  $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} = 2 \Rightarrow v = c 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{2} c$
  $v = 2, 60 \cdot 1 0^{8}$ m/s $(0, 866 c)$
3. 3. Velocidad doble
  $2 v = 3 c = 5, 20 \cdot 1 0^{8}$ m/s $> c$
  No es posible
Respuesta final: $v = \frac{3}{2} c = 2, 60 \cdot 1 0^{8}$ m/s; $2 v > c$ , imposible.
20. 2022 · Extraordinaria 2022 · Ejercicio P4
En un experimento de efecto fotoeléctrico, al incidir luz con longitud de onda $λ_{1} = 550$ nm se obtiene una velocidad máxima de los electrones $v = 296$ km/s. Calcula razonadamente: Datos: $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s; $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34}$ J s; $m = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31}$ kg.
- a)El trabajo de extracción del metal sobre el que incide la luz (en eV) y la longitud de onda umbral.
- b)El momento lineal y la longitud de onda de De Broglie asociada, en nanómetros, de los electrones que salen con velocidad máxima.
Apartado a
1. 1. Energía del fotón incidente
  $E_{f} = \frac{h c}{λ _{1}} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{550 \cdot 1 0 ^{- 9}}$
  $E_{f} = 3, 62 \cdot 1 0^{- 19}$ J
2. 2. Energía cinética máxima
  $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} \cdot (2, 96 \cdot 1 0^{5})^{2}$
  $E_{c} = 3, 99 \cdot 1 0^{- 20}$ J
3. 3. Trabajo de extracción (Einstein)
  $W = E_{f} - E_{c} = 3, 62 \cdot 1 0^{- 19} - 3, 99 \cdot 1 0^{- 20} = 3, 22 \cdot 1 0^{- 19}$ J
  $W = 2, 01$ eV
4. 4. Longitud de onda umbral
  $λ_{0} = \frac{h c}{W} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{3 , 22 \cdot 1 0 ^{- 19}}$
  $λ_{0} = 6, 18 \cdot 1 0^{- 7}$ m $= 618$ nm
Apartado b
1. 1. Momento lineal
  $p = m v = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} \cdot 2, 96 \cdot 1 0^{5}$
  $p = 2, 69 \cdot 1 0^{- 25}$ kg m/s
2. 2. Longitud de onda de De Broglie
  $λ = \frac{h}{p} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34}}{2 , 69 \cdot 1 0 ^{- 25}}$
  $λ = 2, 46 \cdot 1 0^{- 9}$ m $= 2, 46$ nm
Respuesta final: a) $W = 2, 01$ eV; $λ_{0} = 618$ nm. b) $p = 2, 69 \cdot 1 0^{- 25}$ kg m/s; $λ_{d B} = 2, 46$ nm.
21. 2022 · Ordinaria 2022 · Ejercicio C7
Al iluminar un determinado cátodo con radiación monocromática de frecuencia $f = 6, 1 \cdot 1 0^{14}$ Hz se produce efecto fotoeléctrico. Se mide el valor del potencial de frenado $Δ V$ y resulta 0,23 V. Calcula el valor de la frecuencia umbral $f_{0}$ y determina el metal que constituye el cátodo. Datos: $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C; $h = 6, 6 \cdot 1 0^{- 34}$ J s; trabajos de extracción: potasio 2,3 eV, aluminio 4,3 eV, cobre 4,7 eV.
1. 1. Energía del fotón y del frenado
  $h f = W_{0} + q Δ V$ : $h f = 6, 6 \cdot 1 0^{- 34} \cdot 6, 1 \cdot 1 0^{14} = 4, 026 \cdot 1 0^{- 19}$ J; $q Δ V = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 0, 23 = 3, 68 \cdot 1 0^{- 20}$ J
  $W_{0} = 4, 026 \cdot 1 0^{- 19} - 3, 68 \cdot 1 0^{- 20} = 3, 658 \cdot 1 0^{- 19}$ J
2. 2. Frecuencia umbral
  $f_{0} = \frac{W _{0}}{h} = \frac{3 , 658 \cdot 1 0 ^{- 19}}{6 , 6 \cdot 1 0 ^{- 34}}$
  $f_{0} \approx 5, 54 \cdot 1 0^{14}$ Hz
3. 3. Metal
  $W_{0} = \frac{3 , 658 \cdot 1 0 ^{- 19}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}} eV$
  $W_{0} = 2, 29$ eV: potasio
Respuesta final: $f_{0} \approx 5, 54 \cdot 1 0^{14}$ Hz; $W_{0} \approx 2, 29$ eV: potasio.
22. 2022 · Ordinaria 2022 · Ejercicio C8
Un núcleo de $_{27}^{60}$ Co se desintegra según la reacción $_{27}^{60} Co \to_{28}^{60} Ni^{*} +_{a}^{b} X$ . Razona qué partícula es $X$ . Posteriormente, el núcleo de níquel excitado, $_{28}^{60} Ni^{*}$ , emite dos fotones de energías 1,17 y 1,33 MeV. Si en un segundo se emiten $1 0^{10}$ fotones de cada tipo, calcula la energía por unidad de tiempo (en vatios) que produce la emisión. Dato: $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.
1. 1. Balance
  Carga: $27 = 28 + a \Rightarrow a = - 1$ ; masa: $60 = 60 + b \Rightarrow b = 0$
  $X =_{- 1}^{0} e$ : electrón ( $β^{-}$ , junto con un antineutrino)
2. 2. Energía por segundo
  $E = 1 0^{10} (1, 17 + 1, 33) MeV = 2, 5 \cdot 1 0^{10} \cdot 1, 6 \cdot 1 0^{- 13}$ J
  $P = 4, 0 \cdot 1 0^{- 3}$ W
Respuesta final: $X = e^{-}$ ( $β^{-}$ ); $P = 4, 0 \cdot 1 0^{- 3}$ W.
23. 2022 · Ordinaria 2022 · Ejercicio P4
El mesón $J / ψ$ tiene una vida media de $7, 2 \cdot 1 0^{- 21}$ s en su sistema de referencia y de $1, 1 \cdot 1 0^{- 20}$ s cuando se mueve a velocidad relativista respecto a un sistema de referencia ligado al laboratorio. Calcula razonadamente: Datos: masa en reposo del mesón $J / ψ$ , $m_{0} = 5, 52 \cdot 1 0^{- 27}$ kg; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s; $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.
- a)El valor de la velocidad respecto al laboratorio.
- b)La energía cinética y la energía total, en MeV, en ambos sistemas de referencia.
Apartado a
1. 1. Factor de Lorentz
  $Δ t = γ Δ t_{0} \Rightarrow γ = \frac{1 , 1 \cdot 1 0 ^{- 20}}{7 , 2 \cdot 1 0 ^{- 21}}$
  $γ = 1, 528$
2. 2. Velocidad
  $v = c 1 - \frac{1}{γ ^{2}} = c 1 - 0, 4284$
  $v = 0, 756 c \approx 2, 27 \cdot 1 0^{8}$ m/s
Apartado b
1. 1. Energía en reposo
  $E_{0} = m_{0} c^{2} = 5, 52 \cdot 1 0^{- 27} \cdot 9 \cdot 1 0^{16} = 4, 968 \cdot 1 0^{- 10}$ J $= \frac{4 , 968 \cdot 1 0 ^{- 10}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 13}}$ MeV
  $E_{0} = 3105$ MeV
2. 2. Sistema del laboratorio
  $E = γ E_{0} = 1, 528 \cdot 3105; E_{c} = E - E_{0}$
  $E \approx 4744$ MeV; $E_{c} \approx 1639$ MeV
3. 3. Sistema propio del mesón
  En reposo: $E_{c} = 0$ , $E = E_{0}$
  $E_{c} = 0$ ; $E = 3105$ MeV
Respuesta final: $v \approx 0, 756 c$ ; laboratorio: $E_{c} \approx 1639$ MeV, $E \approx 4744$ MeV; sistema propio: $E_{c} = 0$ , $E = 3105$ MeV.
24. 2021 · Extraordinaria 2021 · Ejercicio C8
Escribe las expresiones de la energía total y de la energía cinética de un cuerpo, en relación con su velocidad relativista, explicando la diferencia entre ambas energías. Una partícula cuya energía en reposo es $E_{0} = 135$ MeV, se mueve con una velocidad $v = 0, 5 c$ . Calcula la energía relativista de la partícula en MeV y su energía cinética en julios. Dato: carga elemental, $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.
1. 1. Expresiones
  $E = γ m_{0} c^{2} = γ E_{0}, E_{c} = E - E_{0} = (γ - 1) m_{0} c^{2}$
2. 2. Factor $γ$
  $γ = \frac{1}{1 - 0 , 25} = 1, 155$
3. 3. Energía total
  $E = 1, 155 \cdot 135$
  $E = 155, 9$ MeV
4. 4. Energía cinética
  $E_{c} = (1, 155 - 1) \cdot 135 = 20, 88$ MeV $= 20, 88 \cdot 1 0^{6} \cdot 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$
  $E_{c} = 3, 34 \cdot 1 0^{- 12}$ J
Respuesta final: $E = 155, 9$ MeV; $E_{c} = 20, 9$ MeV $= 3, 34 \cdot 1 0^{- 12}$ J.
25. 2021 · Extraordinaria 2021 · Ejercicio P4
Tras un episodio de «tormenta seca» o calima, se recoge y analiza una muestra de polvo y se concluye que contiene Cs-137, un isótopo radiactivo asociado a alguna prueba nuclear realizada hace 60 años. La actividad de la muestra, debida exclusivamente al Cs-137, es de $0, 08$ Bq (muy baja). Determina: Datos: periodo de semidesintegración del Cs-137, $T_{1/2} = 30, 2$ años; masa de un núcleo de Cs-137, $M = 2, 27 \cdot 1 0^{- 25}$ kg.
- a)El número de núcleos y la masa de Cs-137 contenida en la muestra (expresa el resultado en picogramos).
- b)La actividad de la muestra hace 60 años, justo tras la prueba nuclear.
Apartado a
1. 1. Constante de desintegración
  $λ = \frac{ln 2}{T _{1/2}} = \frac{0 , 693}{30 , 2 \cdot 3 , 156 \cdot 1 0 ^{7} s}$
  $λ = 7, 27 \cdot 1 0^{- 10}$ s $^{- 1}$
2. 2. Número de núcleos
  $A = λ N \Rightarrow N = \frac{A}{λ} = \frac{0 , 08}{7 , 27 \cdot 1 0 ^{- 10}}$
  $N = 1, 10 \cdot 1 0^{8}$ núcleos
3. 3. Masa
  $m = N M = 1, 10 \cdot 1 0^{8} \cdot 2, 27 \cdot 1 0^{- 25}$ kg $= 2, 5 \cdot 1 0^{- 17}$ kg
  $m = 2, 5 \cdot 1 0^{- 14}$ g $= 0, 025$ pg
Apartado b
1. 1. Ley de desintegración (la actividad decae igual que $N$ )
  $A = A_{0} 2^{- t / T_{1/2}} \Rightarrow A_{0} = 0, 08 \cdot 2^{60/30, 2}$
  $A_{0} = 0, 317$ Bq
Respuesta final: a) $N = 1, 1 \cdot 1 0^{8}$ núcleos; $m = 0, 025$ pg. b) $A_{0} = 0, 32$ Bq.
26. 2021 · Ordinaria 2021 · Ejercicio C7
Completa, razonando la resolución, los números atómico y másico del núcleo X y del núcleo Ac en la serie radiactiva indicada. Identifica X. ¿Cómo se llama el tipo de desintegración que da lugar a este núcleo? ¿Cómo se llama el tipo de desintegración que da lugar a la partícula $_{- 1}^{0} e$ ? $_{90}^{232} Th \to_{88}^{228} Ra +_{□}^{□} X_{88}^{228} Ra \to_{□}^{□} Ac +_{- 1}^{0} e$
1. 1. Serie: $_{90}^{232} Th \to_{88}^{228} Ra +_{Z}^{A} X$ (conservación de $A$ y $Z$ )
  $A = 232 - 228 = 4, Z = 90 - 88 = 2$
  X $=_{2}^{4} He$ (partícula alfa)
2. 2. Segundo paso: $_{88}^{228} Ra \to_{Z^{'}}^{A^{'}} Ac +_{- 1}^{0} e$
  $A^{'} = 228 - 0 = 228, Z^{'} = 88 - (- 1) = 89$
  $_{89}^{228} Ac$
Respuesta final: X $=_{2}^{4} He$ (desintegración $α$ ); Ac $=_{89}^{228} Ac$ (el electrón se emite en la desintegración $β^{-}$ ).
27. 2021 · Ordinaria 2021 · Ejercicio C8
Una astronauta se encuentra en una nave espacial que se mueve a una velocidad $v = 0, 5 c$ respecto a la Tierra ( $c$ es la velocidad de la luz en el vacío). En un cierto momento comunica a la base en la Tierra que va a dormir desde las 13 h hasta las 19 h, según los relojes de la nave. Calcula a qué hora se despertará, según los relojes de la Tierra (todos los relojes se sincronizan a las 13 h). Justifica adecuadamente tu respuesta.
1. 1. Tiempo propio
  Los relojes de la nave están en reposo respecto a la astronauta: miden el tiempo propio $Δ t_{0} = 19 - 13 = 6$ h
2. 2. Dilatación del tiempo
  $Δ t = γ Δ t_{0}, γ = \frac{1}{1 - 0 , 5 ^{2}} = 1, 155$
  $Δ t = 1, 155 \cdot 6 = 6, 93$ h
3. 3. Hora en la Tierra
  $13 + 6, 93 = 19, 93$ h
  Se despierta a las $19, 93$ h $\approx 19$ h $56$ min (tiempo terrestre)
Respuesta final: $Δ t = γ Δ t_{0} = 6, 93$ h; se despertará hacia las $19$ h $56$ min según los relojes de la Tierra.
28. 2021 · Ordinaria 2021 · Ejercicio P4
Responde a los apartados con ayuda de la figura (actividad en Bq frente al tiempo en días para el Ni-56 y el Cs-131). Dato: masa de un núcleo de $^{56}$ Ni: $93 \cdot 1 0^{- 24}$ g.
- a)Define periodo de semidesintegración. A la vista de la figura, calcula el periodo de semidesintegración del $^{56}$ Ni y razona si es mayor o menor que el del $^{131}$ Cs. ¿Qué tiempo debe pasar para que el número de núcleos de $^{131}$ Cs disminuya un 75 %?
- b)Si la masa inicial de $^{56}$ Ni es de $1 0^{- 3}$ pg, determina el número de núcleos que quedan sin desintegrar a los 15 días.
Apartado a
1. 1. Definición
  El periodo de semidesintegración $T_{1/2}$ es el tiempo que tarda en reducirse a la mitad el número de núcleos radiactivos (y, por tanto, la actividad), $A = A_{0} 2^{- t / T_{1/2}}$
2. 2. Ni-56 (figura: la actividad pasa de 40 Bq a 20 Bq)
  $A (T_{1/2}) = \frac{A _{0}}{2} = 20$ Bq, lectura en la gráfica
  $T_{1/2} (Ni-56) \approx 6$ días
3. 3. Comparación con Cs-131 (60 Bq a 30 Bq)
  La lectura en la gráfica da $T_{1/2} (Cs-131) \approx 10$ días
  El del Ni-56 es menor
4. 4. Tiempo para que $N$ del Cs-131 disminuya un 75 %
  Queda el $25 % = (\frac{1}{2})^{2} \Rightarrow t = 2 T_{1/2} = 2 \cdot 10$
  $t = 20$ días
Apartado b
1. 1. Número de núcleos iniciales
  $N_{0} = \frac{m}{M} = \frac{1 0 ^{- 3} pg}{93 \cdot 1 0 ^{- 24} g} = \frac{1 0 ^{- 15} g}{93 \cdot 1 0 ^{- 24} g}$
  $N_{0} = 1, 08 \cdot 1 0^{7}$ núcleos
2. 2. Ley de desintegración a los 15 días
  $N = N_{0} 2^{- t / T_{1/2}} = 1, 075 \cdot 1 0^{7} \cdot 2^{- 15/6}$
  $N = 1, 9 \cdot 1 0^{6}$ núcleos
Respuesta final: a) $T_{1/2} (Ni) \approx 6$ d $< T_{1/2} (Cs) \approx 10$ d; el Cs-131 pierde el 75 % en $20$ d. b) $N \approx 1, 9 \cdot 1 0^{6}$ núcleos.
29. 2020 · Extraordinaria 2020 (Septiembre) · Ejercicio C8
Un muon (partícula elemental) generado por un rayo cósmico en la atmósfera, a 10 km de altura, viaja hacia el suelo, donde se determina que su velocidad (constante) es $v = 0, 98 c$ . Calcula cuánto tiempo dura el vuelo del muon según una observadora situada en el suelo y también según otra que viaje con el muon. Determina la altura (distancia recorrida por el muon) según la observadora que viaja con el muon. Dato: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s.
Altura medida por la observadora en el suelo: 10 km
1. 1. Tiempo según la observadora en el suelo
  $t = \frac{d}{v} = \frac{1 0 ^{4}}{0 , 98 \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}$
  $t = 3, 40 \cdot 1 0^{- 5}$ s
2. 2. Factor de Lorentz
  $γ = \frac{1}{1 - 0 , 9 8 ^{2}} = 5, 03$
3. 3. Tiempo propio (observadora con el muon)
  $t_{0} = \frac{t}{γ} = \frac{3 , 40 \cdot 1 0 ^{- 5}}{5 , 03}$
  $t_{0} = 6, 77 \cdot 1 0^{- 6}$ s
4. 4. Altura según la observadora con el muon (contracción de la longitud)
  $d^{'} = \frac{d}{γ} = \frac{10 km}{5 , 03} = v t_{0}$
  $d^{'} = 1, 99$ km
Respuesta final: Suelo: $t = 3, 40 \cdot 1 0^{- 5}$ s; con el muon: $t_{0} = 6, 77 \cdot 1 0^{- 6}$ s y $d^{'} = 1, 99$ km.
30. 2020 · Extraordinaria 2020 (Septiembre) · Ejercicio P4
Una radiación monocromática de longitud de onda $500$ nm incide sobre una fotocélula de cesio, cuyo trabajo de extracción es de $2$ eV. Calcula: Datos: $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s; $h = 6, 6 \cdot 1 0^{- 34}$ J s.
- a)La frecuencia umbral y la longitud de onda umbral.
- b)La energía cinética máxima de los electrones emitidos y el potencial de frenado, ambos en eV. Explica qué es el potencial de frenado.
Apartado a
1. 1. Frecuencia umbral
  $W = h f_{0} \Rightarrow f_{0} = \frac{2 \cdot 1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}{6 , 6 \cdot 1 0 ^{- 34}}$
  $f_{0} = 4, 85 \cdot 1 0^{14}$ Hz
2. 2. Longitud de onda umbral
  $λ_{0} = \frac{c}{f _{0}} = \frac{3 \cdot 1 0 ^{8}}{4 , 85 \cdot 1 0 ^{14}}$
  $λ_{0} = 6, 19 \cdot 1 0^{- 7}$ m $= 619$ nm
Apartado b
1. 1. Energía del fotón
  $E_{f} = \frac{h c}{λ} = \frac{6 , 6 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{500 \cdot 1 0 ^{- 9}} = 3, 96 \cdot 1 0^{- 19}$ J $= 2, 475$ eV
2. 2. Energía cinética máxima (Einstein)
  $E_{c} = E_{f} - W = 2, 475 - 2$
  $E_{c} = 0, 475$ eV
3. 3. Potencial de frenado
  $e V_{f} = E_{c} \Rightarrow V_{f} = \frac{0 , 475 eV}{e}$
  $V_{f} = 0, 475$ V
Respuesta final: a) $f_{0} = 4, 85 \cdot 1 0^{14}$ Hz; $λ_{0} = 619$ nm. b) $E_{c} = 0, 475$ eV; $V_{f} = 0, 475$ V.
31. 2020 · Ordinaria 2020 · Ejercicio C8
La energía relativista de una partícula es $3/ 8$ veces su energía en reposo. Calcula su velocidad en función de la velocidad de la luz en el vacío, $c$ . Si se duplica dicha velocidad, ¿se duplica su energía? Responde razonadamente.
1. 1. Relación entre energías
  $E = γ m_{0} c^{2} = \frac{3}{8} m_{0} c^{2} \Rightarrow γ = \frac{3}{8}$
2. 2. Velocidad
  $γ^{2} = \frac{9}{8} = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} \Rightarrow \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$
  $v = \frac{c}{3}$
3. 3. Velocidad doble
  $v^{'} = \frac{2 c}{3} \Rightarrow γ^{'} = \frac{1}{1 - 4/9} = \frac{3}{5} = 1, 342$
  $E^{'} = 1, 342 E_{0}$ frente a $E = 1, 061 E_{0}$ : $E^{'} / E = 1, 26 \neq = 2$
Respuesta final: $v = c /3$ ; al duplicar $v$ la energía solo se multiplica por $1, 26$ , no por $2$ .
32. 2020 · Ordinaria 2020 · Ejercicio P4
El $^{222}$ Rn (radón 222) es un gas radiactivo natural presente en el aire de los espacios cerrados. Se realizan medidas para determinar la masa y la actividad de dicho gas. Dato: masa de un átomo de $^{222}$ Rn, $3, 7 \cdot 1 0^{- 25}$ kg; periodo de semidesintegración del $^{222}$ Rn, $3, 8$ días.
- a)Determina la actividad en becquerel de un cierto volumen de aire si la masa de $^{222}$ Rn que se mide es de 0,02 pg.
- b)La actividad medida en otro volumen de aire es de 228 Bq. Si dicho volumen se aísla, y se vuelve a medir al cabo de 11,4 días ¿Cuánta actividad, debida al $^{222}$ Rn, se tendrá? ¿Cuánto valdrá la masa de $^{222}$ Rn correspondiente?
Apartado a
1. 1. Número de núcleos
  $N = \frac{m}{M} = \frac{0 , 02 \cdot 1 0 ^{- 15} kg}{3 , 7 \cdot 1 0 ^{- 25} kg}$
  $N = 5, 4 \cdot 1 0^{7}$ núcleos
2. 2. Constante de desintegración y actividad
  $λ = \frac{ln 2}{T _{1/2}} = \frac{0 , 693}{3 , 8 \cdot 86400 s} = 2, 11 \cdot 1 0^{- 6}$ s $^{- 1}$ ; $A = λ N = 2, 11 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 5, 4 \cdot 1 0^{7}$
  $A = 114$ Bq
Apartado b
1. 1. Número de periodos
  $\frac{t}{T _{1/2}} = \frac{11 , 4}{3 , 8} = 3 \Rightarrow A = A_{0} 2^{- 3} = \frac{228}{8}$
  $A = 28, 5$ Bq
2. 2. Masa correspondiente
  La masa es proporcional a $N$ y, por tanto, a $A$ : $m = m_{0} 2^{- 3}$ ; $m_{0} = \frac{A _{0}}{λ} M = \frac{228}{2 , 11 \cdot 1 0 ^{- 6}} \cdot 3, 7 \cdot 1 0^{- 25} = 4, 0 \cdot 1 0^{- 17}$ kg
  $m = 5, 0 \cdot 1 0^{- 18}$ kg $= 0, 005$ pg
Respuesta final: a) $A = 114$ Bq. b) $A = 28, 5$ Bq y $m = 5, 0 \cdot 1 0^{- 18}$ kg $(0, 005$ pg).
33. 2019 · Extraordinaria 2019 · Ejercicio 6.A
Escribe la expresión de la longitud de onda de De Broglie y explica su significado. Calcula la longitud de onda de De Broglie de una bacteria que se mueve a una velocidad de $66 μ$ m/s, sabiendo que la masa de un millón de bacterias es de $1 μ$ g. Dato: constante de Planck, $h = 6, 6 \cdot 1 0^{- 34}$ J s.
1. 1. Expresión y significado
  $λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}$
2. 2. Masa de una bacteria
  $m = \frac{1 μ g}{1 0 ^{6}} = 1 0^{- 12}$ g $= 1 0^{- 15}$ kg
3. 3. Longitud de onda
  $λ = \frac{6 , 6 \cdot 1 0 ^{- 34}}{1 0 ^{- 15} \cdot 66 \cdot 1 0 ^{- 6}}$
  $λ = 1 \cdot 1 0^{- 14}$ m
Respuesta final: $λ = h / (m v)$ ; para la bacteria $λ = 1 0^{- 14}$ m.
34. 2019 · Extraordinaria 2019 · Ejercicio 6.B
En la nucleosíntesis estelar de estrellas masivas, el núcleo de la estrella, al contraerse, provoca la siguiente desintegración: $_{10}^{20} Ne \to_{8}^{16} O + X$ . Determina razonadamente qué partícula es $X$ . En esta reacción se consume una energía de $4, 7$ MeV. Calcula la energía consumida, en julios, cuando se desintegra un mol de núcleos de neón. Datos: número de Avogadro, $N_{A} = 6 \cdot 1 0^{23}$ mol $^{- 1}$ ; carga elemental, $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.
1. 1. Conservación de $A$ y $Z$
  $A = 20 - 16 = 4, Z = 10 - 8 = 2$
  $X =_{2}^{4} He$ (partícula alfa)
2. 2. Energía por núcleo
  $E = 4, 7 MeV = 4, 7 \cdot 1 0^{6} \cdot 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$
  $E = 7, 52 \cdot 1 0^{- 13}$ J
3. 3. Un mol de núcleos
  $E_{m o l} = 7, 52 \cdot 1 0^{- 13} \cdot 6 \cdot 1 0^{23}$
  $E_{m o l} = 4, 51 \cdot 1 0^{11}$ J
Respuesta final: $X$ es una partícula alfa ( $_{2}^{4}$ He); $E_{m o l} = 4, 51 \cdot 1 0^{11}$ J.
35. 2019 · Ordinaria 2019 · Ejercicio 6.A
El $^{60} Co$ se utilizaba como fuente de rayos gamma para ciertos tratamientos de radioterapia. Su periodo de semidesintegración es de $1925$ días. Se dispone de una muestra de $100 g$ de $^{60} Co$ . Datos: número de Avogadro, $N_{A} = 6 \cdot 1 0^{23} mo l^{- 1}$ ; masa molar del $^{60} Co$ , $M = 60 g/mol$ .
- a)Calcula el valor de la constante de desintegración radiactiva y de la actividad inicial de la muestra.
- b)Si hay que reemplazar la muestra cuando la actividad ha descendido a un tercio de la actividad inicial, ¿cuál es la vida útil en años de una muestra destinada a este uso?
A cae a A₀/3 a los 8,4 años (1,58 semividas)
Apartado a
1. 1. Constante de desintegración
  $λ = \frac{ln 2}{T _{1/2}} = \frac{0 , 693}{1925 \cdot 86400 s}$
  $λ = 4, 17 \cdot 1 0^{- 9} s^{- 1}$
2. 2. Núcleos iniciales
  $N_{0} = \frac{100 g}{60 g/mol} \cdot 6 \cdot 1 0^{23} mo l^{- 1}$
  $N_{0} = 1 \cdot 1 0^{24}$ núcleos
3. 3. Actividad inicial
  $A_{0} = λ N_{0} = 4, 17 \cdot 1 0^{- 9} \cdot 1 0^{24}$
  $A_{0} = 4, 17 \cdot 1 0^{15} Bq$
Apartado b
1. 1. Condición de reemplazo
  $A = A_{0} e^{- λ t} = \frac{A _{0}}{3} \Rightarrow e^{λ t} = 3 \Rightarrow t = \frac{ln 3}{λ} = \frac{ln 3}{ln 2} T_{1/2}$
  $t = 3051 d = 8, 36 a \overset{n}{˜} os$
Respuesta final: a) $λ = 4, 17 \cdot 1 0^{- 9} s^{- 1}$ ; $A_{0} = 4, 17 \cdot 1 0^{15}$ Bq. b) $t = 8, 4$ años.
36. 2019 · Ordinaria 2019 · Ejercicio 6.B
Una partícula de masa en reposo $m$ y energía igual a tres veces su energía en reposo se une a otra de igual masa y energía para formar una única partícula con velocidad nula y energía en reposo $M c^{2}$ . Si en el proceso de unión se conserva la energía, calcula razonadamente el valor de $M$ en función de $m$ y la velocidad de las partículas iniciales en función de la velocidad de la luz en el vacío, $c$ .
1. 1. Energía de cada partícula inicial
  $E = 3 m c^{2} = γ m c^{2} \Rightarrow γ = 3$
2. 2. Conservación de la energía
  $E_{an t es} = 2 \cdot 3 m c^{2} = 6 m c^{2}$ y $E_{despu \overset{e}{ˊ} s} = M c^{2}$ (partícula en reposo)
  $M = 6 m$
3. 3. Velocidad de las partículas
  $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} = 3 \Rightarrow \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
  $v = \frac{2 2}{3} c = 0, 943 c$
Respuesta final: $M = 6 m$ ; $v = \frac{2 2}{3} c \approx 0, 943 c$ .
37. 2018 · Extraordinaria 2018 · Ejercicio 5.A
Razona cuál debe ser la velocidad $v_{μ}$ de un muon, para que su longitud de onda asociada (de De Broglie) sea igual que la de un electrón que se mueve a una velocidad $v_{e} = 0, 025 c$ . La masa del muon es $207$ veces la del electrón. Considera que las velocidades son no relativistas. Deja el resultado en función de la velocidad de la luz en el vacío $c$ .
1. 1. Longitud de onda de De Broglie
  $λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}$
2. 2. Igualdad de longitudes de onda
  $\frac{h}{m _{μ} v _{μ}} = \frac{h}{m _{e} v _{e}} \Rightarrow m_{μ} v_{μ} = m_{e} v_{e}$
3. 3. Despejamos $v_{μ}$
  $v_{μ} = \frac{m _{e}}{m _{μ}} v_{e} = \frac{0 , 025 c}{207}$
  $v_{μ} = 1, 21 \cdot 1 0^{- 4} c \approx 3, 6 \cdot 1 0^{4} m/s$
Respuesta final: $v_{μ} = \frac{0 , 025}{207} c = 1, 21 \cdot 1 0^{- 4} c \approx 3, 6 \cdot 1 0^{4}$ m/s.
38. 2018 · Extraordinaria 2018 · Ejercicio 5.B
La energía cinética relativista de un electrón es el doble de su energía en reposo. Calcula su energía total y su velocidad en unidades del SI. Dato: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ ; masa del electrón, $m = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} kg$
1. 1. Energía en reposo
  $E_{0} = m c^{2} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} \cdot (3 \cdot 1 0^{8})^{2}$
  $E_{0} = 8, 19 \cdot 1 0^{- 14} J (0, 511 MeV)$
2. 2. Energía total
  $E = E_{0} + E_{c} = E_{0} + 2 E_{0} = 3 E_{0}$
  $E = 2, 46 \cdot 1 0^{- 13} J (1, 53 MeV)$
3. 3. Velocidad
  $γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} = 3 \Rightarrow \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = \frac{8}{9}$
  $v = \frac{2 2}{3} c = 2, 83 \cdot 1 0^{8} m/s$
Respuesta final: $E = 3 m c^{2} = 2, 46 \cdot 1 0^{- 13}$ J; $v = 2, 83 \cdot 1 0^{8}$ m/s.
39. 2018 · Extraordinaria 2018 · Ejercicio 6.A
Se ha descubierto una antigua silla egipcia de madera que se desea datar. Se mide la actividad de una muestra debido al $^{14} C$ presente en la silla y se obtiene que es de $260$ desintegraciones/día, frente a las $18$ desintegraciones/hora que produce una muestra similar de madera recién talada. Dato: periodo de semidesintegración del $^{14} C$ , $T = 5730$ años
- a)Calcula las actividades de las muestras en becquerelios (desintegraciones por segundo). Determina la edad de la silla y establece si pudo pertenecer a la reina Hetepheres I que vivió en la cuarta dinastía entre los años $2575$ a.C. y $2551$ a.C.
- b)Calcula la actividad de la muestra de la silla dentro de $2000$ años y el porcentaje de núcleos de $^{14} C$ que se han desintegrado desde que se fabricó la silla.
A/A₀ = 0,602 ⇒ t ≈ 4200 años (T = 5730 años)
Apartado a
1. 1. Actividades en Bq
  $A = \frac{260}{86400} = 3, 01 \cdot 1 0^{- 3} Bq, A_{0} = \frac{18}{3600} = 5, 00 \cdot 1 0^{- 3} Bq$
2. 2. Edad de la silla
  $A = A_{0} e^{- λ t} \Rightarrow t = \frac{T}{ln 2} ln \frac{A _{0}}{A} = \frac{5730}{0 , 693} ln \frac{5 , 00}{3 , 01}$
  $t \approx 4, 2 \cdot 1 0^{3}$ años (4197 años)
3. 3. ¿Pudo ser de Hetepheres I?
  La reina vivió entre $2575$ y $2551$ a.C.; la silla es unos $370$ años más reciente
  No pudo pertenecer a la reina
Apartado b
1. 1. Actividad dentro de $2000$ años
  $A (2000) = A_{h oy} 2^{- 2000/5730} = 3, 01 \cdot 1 0^{- 3} \cdot 0, 785$
  $A \approx 2, 36 \cdot 1 0^{- 3} Bq$
2. 2. Porcentaje de núcleos desintegrados desde que se fabricó
  $\frac{N}{N _{0}} = \frac{A}{A _{0}} = \frac{3 , 01}{5 , 00} = 0, 602 \Rightarrow % desintegrado = (1 - 0, 602) \cdot 100$
  $\approx 39, 8 %$
Respuesta final: a) $A = 3, 01 \cdot 1 0^{- 3}$ Bq y $A_{0} = 5, 00 \cdot 1 0^{- 3}$ Bq; edad $\approx 4200$ años (hacia 2180 a.C.): no es de Hetepheres I. b) $A \approx 2, 36 \cdot 1 0^{- 3}$ Bq; $\approx 39, 8 %$ desintegrado.
40. 2018 · Extraordinaria 2018 · Ejercicio 6.B
Completa la reacción (determinando $Z$ y $X$ ) sabiendo que la partícula emitida sigue la trayectoria representada en la gráfica cuando pasa por un campo eléctrico uniforme. ¿De qué tipo de desintegración y partícula se trata? $_{6}^{14} C \to_{Z}^{14} N + X$
Se desvía hacia la placa +: carga negativa ⇒ electrón (β⁻)
1. 1. Naturaleza de la partícula
  La trayectoria se curva hacia la placa positiva
  La partícula tiene carga negativa
2. 2. Conservación del número másico y de la carga
  $A$ : $14 = 14 + A_{X} \Rightarrow A_{X} = 0$ ; carga: $6 = Z + q_{X} \Rightarrow Z = 7$ si $q_{X} = - 1$
  $Z = 7$ ; $X =_{- 1}^{0} e$ (electrón)
3. 3. Tipo de desintegración
  $_{6}^{14} C \to_{7}^{14} N +_{- 1}^{0} e + \overset{ν}{ˉ}_{e}$
  Desintegración $β^{-}$
Respuesta final: $Z = 7$ y $X =_{- 1}^{0} e$ : desintegración $β^{-}$ (la partícula emitida es un electrón).