Campo gravitatorio · Física (con soluciones)

PAU Comunitat Valenciana · 40 ejercicios, del más reciente al más antiguo

1. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 1.A
En el año 1969 el módulo de mando Columbia de la misión Apolo 11, tripulada por el astronauta Michael Collins, orbitaba con trayectoria circular, a 100 km de altura sobre la superficie de la Luna y con un periodo de 118 minutos. Mientras, Neil Armstrong y Edwin Aldrin, los otros dos tripulantes, caminaban sobre la Luna. Determina razonadamente: Datos: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ kg $^{- 2}$ ; $R_{L} = 1, 74 \cdot 1 0^{3}$ km.
- a)La expresión para calcular la masa de la Luna y obtén su valor. Determina la velocidad de escape desde la superficie lunar.
- b)La velocidad con la que el módulo de aterrizaje Eagle, tripulado por Aldrin y Armstrong, debe despegar de la superficie lunar para llegar a la órbita del módulo Columbia y con la misma velocidad a la que orbita el Columbia.
Órbita de radio r = R_L + h = 1840 km (unidades: 10³ km)
Apartado a
1. 1. Dinámica orbital
  $\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r \Rightarrow M = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}}$
  $M_{L} = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}}$
2. 2. Valor
  $T = 118 \cdot 60 = 7080$ s; $M_{L} = \frac{4 π ^{2} ( 1 , 84 \cdot 1 0 ^{6} ) ^{3}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 708 0 ^{2}} = 7, 36 \cdot 1 0^{22}$
  $M_{L} \approx 7, 36 \cdot 1 0^{22}$ kg
3. 3. Velocidad de escape
  $v_{esc} = \frac{2 G M _{L}}{R _{L}} = 2375$
  $v_{esc} \approx 2, 37$ km/s
Apartado b
1. 1. Velocidad orbital de Columbia
  $v_{o} = \frac{G M _{L}}{r} = \frac{2 π r}{T} = 1633$ m/s
  $v_{o} \approx 1633$ m/s
2. 2. Conservación de la energía del Eagle
  $\frac{1}{2} v^{2} - \frac{G M _{L}}{R _{L}} = \frac{1}{2} v_{o}^{2} - \frac{G M _{L}}{r}$
  $v = v_{o}^{2} + 2 G M_{L} (\frac{1}{R _{L}} - \frac{1}{r})$
3. 3. Valor
  $v = 2, 666 \cdot 1 0^{6} + 2 \cdot 4, 906 \cdot 1 0^{12} (\frac{1}{1 , 74 \cdot 1 0 ^{6}} - \frac{1}{1 , 84 \cdot 1 0 ^{6}}) = 1724$
  $v \approx 1, 72$ km/s
Respuesta final: $M_{L} \approx 7, 36 \cdot 1 0^{22}$ kg; $v_{esc} \approx 2, 37$ km/s; $v_{d es p e g u e} \approx 1, 72$ km/s.
2. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 1.B
Un nanosatélite artificial, de masa 1 kg, gira alrededor de la Tierra describiendo una órbita elíptica. Sabiendo que la Tierra está situada en uno de los focos de la elipse y que en el punto de la órbita más lejano (apogeo) el módulo del momento angular del nanosatélite vale $5, 6 \cdot 1 0^{10}$ kg m $^{2}$ /s: Datos: distancia del apogeo al centro de la Tierra, $r_{a} = 7000$ km; $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ kg $^{- 2}$ ; $M_{T} = 6 \cdot 1 0^{24}$ kg.
- a)Calcula razonadamente el módulo de su velocidad en dicho punto. En el punto de la órbita más cercano a la Tierra (perigeo), ¿la velocidad es mayor o menor que en el apogeo? Justifica la respuesta.
- b)Determina las energías cinética y potencial gravitatoria del satélite en el apogeo, así como la energía mecánica del satélite. Supón que el nanosatélite solo se ve afectado por el campo gravitatorio terrestre.
Apartado a
1. 1. Momento angular en el apogeo
  En el apogeo $r ⊥ v$ : $L = m r_{a} v_{a}$
  $v_{a} = \frac{L}{m r _{a}}$
2. 2. Valor
  $v_{a} = \frac{5 , 6 \cdot 1 0 ^{10}}{1 \cdot 7 \cdot 1 0 ^{6}}$
  $v_{a} = 8000$ m/s
3. 3. Perigeo
  $L$ se conserva (fuerza central): $m r_{p} v_{p} = m r_{a} v_{a}$ con $r_{p} < r_{a}$
  $v_{p} > v_{a}$
Apartado b
1. 1. Energía cinética
  $E_{c} = \frac{1}{2} m v_{a}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 800 0^{2}$
  $E_{c} = 3, 2 \cdot 1 0^{7}$ J
2. 2. Energía potencial
  $E_{p} = - \frac{G M _{T} m}{r _{a}} = - \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 \cdot 1 0 ^{24}}{7 \cdot 1 0 ^{6}} = - 5, 72 \cdot 1 0^{7}$
  $E_{p} \approx - 5, 72 \cdot 1 0^{7}$ J
3. 3. Energía mecánica
  $E_{m} = E_{c} + E_{p} = - 2, 52 \cdot 1 0^{7}$
  $E_{m} \approx - 2, 52 \cdot 1 0^{7}$ J
Respuesta final: $v_{a} = 8, 0$ km/s; $v_{p} > v_{a}$ ; $E_{c} = 3, 2 \cdot 1 0^{7}$ J; $E_{p} = - 5, 72 \cdot 1 0^{7}$ J; $E_{m} = - 2, 52 \cdot 1 0^{7}$ J.
3. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 1.A
En abril de 2023, la Agencia Espacial Europea lanzó la misión JUICE para estudiar las lunas heladas de Júpiter. Ganímedes tiene un radio promedio de 2634 km y una masa de $1, 48 \cdot 1 0^{23}$ kg. Obtén la expresión que relaciona el periodo orbital con el radio orbital. Calcula el periodo de JUICE si se colocara en una órbita circular a 500 km de la superficie de Ganímedes. Dato: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ .
1. 1. Dinámica orbital
  $\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r$
  $T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} r^{3} \Rightarrow T = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$
2. 2. Radio orbital
  $r = R + h = 2634 + 500 = 3134$ km
  $r = 3, 134 \cdot 1 0^{6}$ m
3. 3. Valor
  $T = 2 π \frac{( 3 , 134 \cdot 1 0 ^{6} ) ^{3}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 1 , 48 \cdot 1 0 ^{23}} = 11095$
  $T \approx 1, 11 \cdot 1 0^{4}$ s $\approx 3, 08$ h
Respuesta final: $T = 2 π r^{3} / (GM)$ ; $T \approx 1, 11 \cdot 1 0^{4}$ s (3,08 h).
4. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 1.B
Considerando únicamente la interacción gravitatoria entre dos esferas homogéneas de diámetros 20 cm y 10 cm, calcula la relación entre sus masas, $m_{2} / m_{1}$ , para que el campo gravitatorio en el punto de contacto entre ellas, $P$ , sea nulo. ¿Cuál es el valor del cociente entre los potenciales gravitatorios $V_{2} / V_{1}$ en dicho punto $P$ ?
En P los campos de ambas esferas son opuestos: g₁ = g₂
1. 1. Campo nulo en P
  $g_{1} = \frac{G m _{1}}{r _{1}^{2}}, g_{2} = \frac{G m _{2}}{r _{2}^{2}}$ con $r_{1} = 5$ cm, $r_{2} = 10$ cm (P está en la superficie de cada esfera)
  Los campos tienen sentidos opuestos: deben tener el mismo módulo
2. 2. Relación de masas
  $\frac{G m _{1}}{r _{1}^{2}} = \frac{G m _{2}}{r _{2}^{2}} \Rightarrow \frac{m _{2}}{m _{1}} = (\frac{r _{2}}{r _{1}})^{2} = (\frac{10}{5})^{2}$
  $m_{2} / m_{1} = 4$
3. 3. Potenciales en P
  $V_{i} = - \frac{G m _{i}}{r _{i}} \Rightarrow \frac{V _{2}}{V _{1}} = \frac{m _{2}}{m _{1}} \cdot \frac{r _{1}}{r _{2}} = 4 \cdot \frac{5}{10}$
  $V_{2} / V_{1} = 2$
Respuesta final: $m_{2} / m_{1} = 4$ ; $V_{2} / V_{1} = 2$ .
5. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 1.A
Dos estrellas, A y B, del sistema IK Pegasi se encuentran en la posición indicada en la figura, separadas entre sí una distancia $6 d$ . Calcula razonadamente: Datos: $d = 5 \cdot 1 0^{9}$ m; $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ ; $M_{A} = 3, 3 \cdot 1 0^{30}$ kg; $M_{B} = 2, 3 \cdot 1 0^{30}$ kg.
- a)El vector campo gravitatorio total en el punto $P (0, 4 d)$ .
- b)La energía potencial de un cuerpo de masa 1 kg situado en el punto $P$ . ¿Qué velocidad mínima deberá tener dicho cuerpo para alejarse indefinidamente del sistema estelar, partiendo del punto $P$ ?
Campo en P (unidades de d): r = 5d para ambas estrellas
Apartado a
1. 1. Distancias de P a cada estrella
  $r_{A} = r_{B} = (3 d)^{2} + (4 d)^{2} = 5 d = 2, 5 \cdot 1 0^{10} m$
  $r = 5 d$
2. 2. Vectores unitarios hacia cada estrella
  $u_{A} = (- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ , $u_{B} = (\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$
  $u_{A}, u_{B}$
3. 3. Módulo de cada campo
  $g_{A} = \frac{G M _{A}}{( 5 d ) ^{2}} = 0, 352$ , $g_{B} = \frac{G M _{B}}{( 5 d ) ^{2}} = 0, 245 m/ s^{2}$
  $g_{A} = 0, 352, g_{B} = 0, 245$
4. 4. Suma vectorial (principio de superposición)
  $g_{x} = \frac{3}{5} (g_{B} - g_{A}) = - 0, 0640$ ; $g_{y} = - \frac{4}{5} (g_{A} + g_{B}) = - 0, 478$
  $g = (- 0, 0640 i - 0, 478 j) m/ s^{2}$
Apartado b
1. 1. Energía potencial en P para $m = 1$ kg
  $E_{p} = - \frac{G M _{A} m}{5 d} - \frac{G M _{B} m}{5 d} = - \frac{G ( M _{A} + M _{B} ) m}{5 d} = - 1, 49 \cdot 1 0^{10}$
  $E_{p} = - 1, 49 \cdot 1 0^{10} J$
2. 2. Velocidad de escape: $E_{c} + E_{p} = 0$ en el infinito
  $\frac{1}{2} m v^{2} + E_{p} = 0 \Rightarrow v = \frac{2 G ( M _{A} + M _{B} )}{5 d} = 1, 73 \cdot 1 0^{5}$
  $v_{esc} = 1, 73 \cdot 1 0^{5} m/s$
Respuesta final: $g = (- 0, 064 i - 0, 48 j)$ m/s $^{2}$ ; $E_{p} = - 1, 49 \cdot 1 0^{10}$ J; $v_{esc} \approx 1, 7 \cdot 1 0^{5}$ m/s.
6. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 1.B
Una estación espacial gira alrededor de un planeta describiendo una órbita circular con una velocidad $v = 6, 7$ km/s. Deduce razonadamente: Datos: $g_{0} = 9$ m s $^{- 2}$ ; $R = 5500$ km.
- a)La expresión simbólica de la altura $h$ a la que se encontrará la estación espacial respecto a la superficie del planeta, en función de $v$ , $g_{0}$ y $R$ . Calcula su valor numérico.
- b)La expresión simbólica de la aceleración de la gravedad, $g$ , en función de la altura $h$ y de $g_{0}$ . Calcula su valor numérico para la posición en la que se encuentra la estación espacial.
Órbita de radio r = R + h (unidades: 10³ km)
Apartado a
1. 1. Fuerza gravitatoria = fuerza centrípeta
  $\frac{GM m}{( R + h ) ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{R + h} \Rightarrow v^{2} = \frac{GM}{R + h}$
  $v^{2} = GM / (R + h)$
2. 2. Eliminar $GM$ con $g_{0} = GM / R^{2}$
  $GM = g_{0} R^{2} \Rightarrow R + h = \frac{g _{0} R ^{2}}{v ^{2}}$
  $h = \frac{g _{0} R ^{2}}{v ^{2}} - R$
3. 3. Valor numérico
  $h = \frac{9 \cdot ( 5 , 5 \cdot 1 0 ^{6} ) ^{2}}{( 6700 ) ^{2}} - 5, 5 \cdot 1 0^{6} = 5, 65 \cdot 1 0^{5}$
  $h \approx 5, 65 \cdot 1 0^{5} m = 565 km$
Apartado b
1. 1. Gravedad a la altura h
  $g = \frac{GM}{( R + h ) ^{2}} = \frac{g _{0} R ^{2}}{( R + h ) ^{2}} = g_{0} (\frac{R}{R + h})^{2}$
  $g = g_{0} \frac{R ^{2}}{( R + h ) ^{2}}$
2. 2. Valor numérico
  $g = 9 (\frac{5 , 5 \cdot 1 0 ^{6}}{6 , 065 \cdot 1 0 ^{6}})^{2} = 7, 40$
  $g \approx 7, 40 m/ s^{2}$
Respuesta final: $h = \frac{g _{0} R ^{2}}{v ^{2}} - R \approx 565$ km; $g = g_{0} \frac{R ^{2}}{( R + h ) ^{2}} \approx 7, 40$ m/s $^{2}$ .
7. 2025 · Reserva 2025 (Junio) · Ejercicio 1.A
La órbita de la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente circular, tiene un radio de 149,6 millones de km y un periodo de 365,25 días. Deduce razonadamente: Datos: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ ; radio del Sol, $R = 6, 96 \cdot 1 0^{5}$ km.
- a)La expresión que permite calcular la masa del Sol, determina su valor y calcula la aceleración de la gravedad sobre su superficie.
- b)La expresión de la velocidad mínima que necesitaría un objeto para que, al lanzarlo desde la superficie del Sol, se pueda alejar indefinidamente de éste. Calcula su valor.
La fuerza gravitatoria del Sol es la fuerza centrípeta de la Tierra
Apartado a
1. 1. Fuerza gravitatoria = centrípeta
  $\frac{GM m}{r ^{2}} = m ω^{2} r = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r$
  $T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} r^{3}$
2. 2. Masa del Sol
  $M = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}}$ con $r = 1, 496 \cdot 1 0^{11}$ m y $T = 365, 25 \cdot 86400 = 3, 15576 \cdot 1 0^{7}$ s
  $M \approx 1, 99 \cdot 1 0^{30} kg$
3. 3. Gravedad superficial
  $g = \frac{GM}{R ^{2}} = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 1 , 99 \cdot 1 0 ^{30}}{( 6 , 96 \cdot 1 0 ^{8} ) ^{2}} = 274$
  $g_{S} \approx 274 m/ s^{2}$
Apartado b
1. 1. Velocidad de escape
  $\frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GM m}{R} = 0 \Rightarrow v_{esc} = \frac{2 GM}{R} = 6, 18 \cdot 1 0^{5}$
  $v_{esc} \approx 6, 18 \cdot 1 0^{5}$ m/s
Respuesta final: $M \approx 1, 99 \cdot 1 0^{30}$ kg; $g_{S} \approx 274$ m/s $^{2}$ ; $v_{esc} \approx 618$ km/s.
8. 2025 · Reserva 2025 (Junio) · Ejercicio 1.B
En septiembre de 2023, la NASA y otras agencias espaciales celebraron el éxito de la misión OSIRIS-REx, que trajo muestras del asteroide Bennu a la Tierra. Se sabe que Bennu tiene un diámetro de aproximadamente 493 m y una masa estimada de $6 \cdot 1 0^{10}$ kg. Datos: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ ; $R_{T} = 6370$ km; $M_{T} = 6 \cdot 1 0^{24}$ kg.
- a)Se envió de vuelta a la Tierra un contenedor de 46 kg con muestras del asteroide. Este llegó a la atmósfera superior (133 km de altura) con una velocidad de 44500 km/h e inició las maniobras de frenado. Finalmente aterrizó en un campo de pruebas en Utah. ¿Cuánta energía mecánica perdió en el descenso, hasta aterrizar?
- b)Calcula cuántas veces menos pesará este contenedor situado en la superficie de Bennu en comparación con su peso en la superficie de la Tierra. Supón que Bennu tiene forma esférica y es homogéneo.
Apartado a
1. 1. Energía mecánica al entrar en la atmósfera
  $E_{1} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M _{T} m}{R _{T} + h}$ , $v = 44500/3, 6 = 1, 236 \cdot 1 0^{4}$ m/s
  $E_{1} \approx 6, 83 \cdot 1 0^{8} J$
2. 2. Energía mecánica al aterrizar (en reposo en la superficie)
  $E_{2} = - \frac{G M _{T} m}{R _{T}} = - 2, 89 \cdot 1 0^{9}$
  $E_{2} \approx - 2, 89 \cdot 1 0^{9} J$
3. 3. Energía perdida
  $Δ E = E_{1} - E_{2} = 3, 57 \cdot 1 0^{9}$
  $E_{p er d i d a} \approx 3, 6 \cdot 1 0^{9}$ J
Apartado b
1. 1. Peso en la Tierra
  $g_{T} = \frac{G M _{T}}{R _{T}^{2}} = 9, 86$ m/s $^{2}$ ; $P_{T} = 46 \cdot g_{T} = 453, 7$ N
  $P_{T} \approx 454$ N
2. 2. Peso en Bennu
  $R_{B} = 246, 5$ m; $g_{B} = \frac{G M _{B}}{R _{B}^{2}} = 6, 59 \cdot 1 0^{- 5}$ m/s $^{2}$ ; $P_{B} = 46 g_{B} = 3, 03 \cdot 1 0^{- 3}$ N
  $P_{B} \approx 3, 0 \cdot 1 0^{- 3}$ N
3. 3. Cociente
  $\frac{P _{T}}{P _{B}} = \frac{g _{T}}{g _{B}} = 1, 5 \cdot 1 0^{5}$
  $\approx 1, 5 \cdot 1 0^{5}$ veces menos
Respuesta final: Pérdida $\approx 3, 6 \cdot 1 0^{9}$ J; pesa unas $1, 5 \cdot 1 0^{5}$ veces menos en Bennu.
9. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio C1
La tercera ley de Kepler establece la relación entre el radio orbital $r$ de un planeta y su periodo $T$ . Si la órbita alrededor del Sol se considera circular, esta relación viene dada por $T^{2} = C r^{3}$ , donde $C$ es una constante. Deduce razonadamente esta relación, explicando en qué principio o ley física te basas y escribe la expresión de $C$ en función de otras magnitudes. ¿Depende el periodo de la masa del planeta? Justifica la respuesta.
La fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta: GMm/r² = mω²r
1. 1. Principio
  Ley de gravitación universal + dinámica del movimiento circular uniforme
  $F_{g} = m a_{n}$
2. 2. Planteamiento
  $\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{r} = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r$
  $T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} r^{3}$
3. 3. Constante
  $C = \frac{4 π ^{2}}{G M _{S o l}}$
  $C = \frac{4 π ^{2}}{G M _{S o l}}$
4. 4. Masa del planeta
  $m$ se simplifica
  El periodo no depende de la masa del planeta
Respuesta final: $T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{G M _{S o l}} r^{3}$ ; $C = 4 π^{2} / (G M_{S o l})$ ; el periodo no depende de la masa del planeta.
10. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio P1
Un satélite de masa $m$ se mueve con velocidad $v = 5 \cdot 1 0^{5}$ m/s en una órbita circular de radio $r = 4 \cdot 1 0^{8}$ m alrededor de un planeta de masa $M$ . La energía cinética del satélite es $E_{c} = 2 \cdot 1 0^{18}$ J. Calcula: Dato: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ .
- a)Las masas $M$ del planeta y $m$ del satélite.
- b)La energía potencial y la energía mecánica del satélite en su órbita. Calcula también la energía mínima que será necesario aportar para que se aleje indefinidamente del planeta desde la órbita en que se encuentra.
Apartado a
1. 1. Masa del satélite
  $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} \Rightarrow m = \frac{2 E _{c}}{v ^{2}} = \frac{4 \cdot 1 0 ^{18}}{( 5 \cdot 1 0 ^{5} ) ^{2}}$
  $m = 1, 6 \cdot 1 0^{7}$ kg
2. 2. Masa del planeta
  $\frac{GM m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow M = \frac{v ^{2} r}{G} = \frac{( 5 \cdot 1 0 ^{5} ) ^{2} \cdot 4 \cdot 1 0 ^{8}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11}}$
  $M \approx 1, 50 \cdot 1 0^{30}$ kg
Apartado b
1. 1. Energía potencial
  $E_{p} = - \frac{GM m}{r} = - m v^{2} = - 2 E_{c}$
  $E_{p} = - 4 \cdot 1 0^{18}$ J
2. 2. Energía mecánica
  $E_{m} = E_{c} + E_{p} = 2 \cdot 1 0^{18} - 4 \cdot 1 0^{18}$
  $E_{m} = - 2 \cdot 1 0^{18}$ J
3. 3. Energía de escape
  $E_{m} + Δ E = 0$ (llegar al infinito con $E_{c} = 0$ )
  $Δ E = 2 \cdot 1 0^{18}$ J
Respuesta final: $m = 1, 6 \cdot 1 0^{7}$ kg; $M = 1, 50 \cdot 1 0^{30}$ kg; $E_{p} = - 4 \cdot 1 0^{18}$ J; $E_{m} = - 2 \cdot 1 0^{18}$ J; $Δ E = 2 \cdot 1 0^{18}$ J.
11. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio C1
Define velocidad de escape de un planeta y deduce su expresión. ¿Cuánto cambia dicha velocidad si se duplica la masa del cuerpo que escapa? Justifica la respuesta.
1. 1. Definición
  Velocidad de escape: velocidad mínima con la que hay que lanzar un cuerpo desde la superficie para que llegue al infinito (con velocidad nula allí)
  $E_{m} = 0$ en el infinito
2. 2. Deducción
  $\frac{1}{2} m v_{e}^{2} - \frac{GM m}{R} = 0$
  $v_{e} = \frac{2 GM}{R}$
3. 3. Masa del cuerpo
  $m$ se simplifica en la ecuación anterior
  No cambia: $v_{e}$ no depende de $m$
Respuesta final: $v_{e} = 2 GM / R$ ; no cambia al duplicar la masa del cuerpo.
12. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio C2
Un satélite artificial se encuentra a una altura de 500 km sobre la superficie de un planeta. El campo gravitatorio en la superficie del planeta es de 8 m/s $^{2}$ . ¿Cuál es la aceleración de la gravedad a la altura a la que se encuentra el satélite? ¿A qué altura sobre la superficie el valor de la aceleración de la gravedad se reduce a la mitad del valor en su superficie? Dato: radio del planeta, $R = 5000$ km. Utiliza exclusivamente los datos aportados en el enunciado.
Distancia al centro: r = R + h = 5500 km (unidades: 10³ km)
Apartado a
1. 1. Gravedad a la altura $h$
  $g = g_{0} (\frac{R}{R + h})^{2} = 8 (\frac{5000}{5500})^{2}$
  $g \approx 6, 61$ m/s $^{2}$
Apartado b
1. 1. Altura donde $g = g_{0} /2$
  $(\frac{R}{R + h})^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow R + h = 2 R$
  $h = (2 - 1) R \approx 2071$ km
Respuesta final: $g (500 km) \approx 6, 61$ m/s $^{2}$ ; $h \approx 2071$ km ( $\approx 2, 07 \cdot 1 0^{3}$ km).
13. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio C1
Deduce la expresión del periodo de un satélite que sigue una órbita circular alrededor de un planeta, en función de la masa de este y del radio de la órbita. Alrededor del planeta, de masa $M$ , orbitan dos satélites de igual masa $m$ y radios orbitales $r_{1}$ y $r_{2}$ , siendo $r_{2} > r_{1}$ . Discute cuál de los dos satélites orbitará con mayor periodo. Razona también cuál de los dos satélites tendrá menor energía potencial gravitatoria.
1. 1. Dinámica orbital
  $\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r$
  $T = 2 π \frac{r ^{3}}{GM}$
2. 2. Comparación de periodos
  $T \propto r^{3/2}$ y $r_{2} > r_{1}$
  $T_{2} > T_{1}$ : el más lejano tarda más
3. 3. Energía potencial
  $E_{p} = - \frac{GM m}{r}$ es negativa y aumenta (se acerca a 0) al crecer $r$
  El satélite 1 (más cercano) tiene menor $E_{p}$
Respuesta final: $T = 2 π r^{3} / (GM)$ ; mayor periodo el satélite 2; menor $E_{p}$ el satélite 1.
14. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio P1
En enero de 2023 el telescopio espacial James Webb descubrió su primer exoplaneta, el LHS 475b. Dicho planeta gira en una órbita circular alrededor de una estrella de masa $M = 5, 4 \cdot 1 0^{29}$ kg. Además, se sabe que tarda 2 días terrestres en describir una órbita. Dato: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ .
- a)Calcula la distancia a la que se encuentra el planeta del centro de la estrella. Primero deduce razonadamente la expresión simbólica que relaciona dicha distancia con las otras magnitudes conocidas ( $M$ y el periodo orbital).
- b)En la superficie del planeta la aceleración de la gravedad es de 9,2 m/s $^{2}$ y la velocidad de escape es de 10,8 km/s. Deduce la expresión de dicha velocidad de escape y calcula el valor de la masa y del radio del planeta.
Apartado a
1. 1. Deducción
  $\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r \Rightarrow r^{3} = \frac{GM T ^{2}}{4 π ^{2}}$
  $r = 3 \frac{GM T ^{2}}{4 π ^{2}}$
2. 2. Valor
  $T = 2 \cdot 86400 = 1, 728 \cdot 1 0^{5}$ s; $r = 3 \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 5 , 4 \cdot 1 0 ^{29} \cdot ( 1 , 728 \cdot 1 0 ^{5} ) ^{2}}{4 π ^{2}}$
  $r \approx 3, 01 \cdot 1 0^{9}$ m
Apartado b
1. 1. Velocidad de escape
  $\frac{1}{2} m v_{e}^{2} - \frac{GM m}{R} = 0$ ⇒ $v_{e} = \frac{2 G M _{p}}{R}$ y $g = \frac{G M _{p}}{R ^{2}} \Rightarrow v_{e}^{2} = 2 g R$
  $v_{e} = 2 g R$
2. 2. Radio
  $R = \frac{v _{e}^{2}}{2 g} = \frac{( 1 , 08 \cdot 1 0 ^{4} ) ^{2}}{2 \cdot 9 , 2}$
  $R \approx 6, 34 \cdot 1 0^{6}$ m
3. 3. Masa
  $M_{p} = \frac{g R ^{2}}{G} = \frac{9 , 2 \cdot ( 6 , 34 \cdot 1 0 ^{6} ) ^{2}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11}}$
  $M_{p} \approx 5, 54 \cdot 1 0^{24}$ kg
Respuesta final: $r \approx 3, 01 \cdot 1 0^{9}$ m; $v_{e} = 2 GM / R$ ; $R \approx 6, 34 \cdot 1 0^{6}$ m; $M \approx 5, 54 \cdot 1 0^{24}$ kg.
15. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio C1
Deduce razonadamente la expresión del periodo de un planeta en una órbita circular alrededor del Sol, en función del radio de la órbita y de la masa del Sol. Suponiendo que las órbitas de la Tierra y Urano son circulares, de radios $r_{T} = 1, 5 \cdot 1 0^{11}$ m y $r_{U} = 2, 9 \cdot 1 0^{12}$ m respectivamente, calcula el periodo orbital de Urano en años terrestres. Utiliza exclusivamente los datos del enunciado.
1. 1. Dinámica orbital
  $\frac{G M _{S} m}{r ^{2}} = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r$
  $T = 2 π \frac{r ^{3}}{G M _{S}}$ ( $T^{2} \propto r^{3}$ )
2. 2. Cociente de periodos (sin $G$ ni $M_{S}$ )
  $\frac{T _{U}}{T _{T}} = (\frac{r _{U}}{r _{T}})^{3/2} = (\frac{2 , 9 \cdot 1 0 ^{12}}{1 , 5 \cdot 1 0 ^{11}})^{3/2}$
  $T_{U} / T_{T} = 85, 0$
3. 3. Periodo de Urano
  $T_{U} = 85, 0 \cdot 1$ año
  $T_{U} \approx 85$ años
Respuesta final: $T = 2 π r^{3} / (G M_{S})$ ; $T_{U} \approx 85$ años terrestres.
16. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio P1
El satélite Sentinel 1 se utiliza para la monitorización del suelo terrestre por teledetección. Tiene una masa $m = 2200$ kg y completa 14,5 órbitas circulares alrededor de la Tierra cada día. Datos: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ ; $M = 6, 0 \cdot 1 0^{24}$ kg; $R = 6370$ km.
- a)Deduce la relación entre el radio de la órbita, la masa de la Tierra y la velocidad angular del Sentinel 1. Calcula la altura a la que se encuentra orbitando.
- b)Calcula la velocidad orbital, la energía cinética y la energía mecánica del Sentinel 1.
Apartado a
1. 1. Relación radio-velocidad angular
  $\frac{GM m}{r ^{2}} = m ω^{2} r \Rightarrow r^{3} = \frac{GM}{ω ^{2}}$
  $r = 3 GM / ω^{2}$
2. 2. Velocidad angular
  $T = \frac{86400}{14 , 5} = 5958, 6$ s; $ω = \frac{2 π}{T}$
  $ω = 1, 054 \cdot 1 0^{- 3}$ rad/s
3. 3. Radio y altura
  $r = 3 \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 , 0 \cdot 1 0 ^{24}}{( 1 , 0545 \cdot 1 0 ^{- 3} ) ^{2}} = 7, 113 \cdot 1 0^{6}$ m; $h = r - R$
  $h \approx 7, 43 \cdot 1 0^{5}$ m $\approx 743$ km
Apartado b
1. 1. Velocidad orbital
  $v = ω r = 1, 0545 \cdot 1 0^{- 3} \cdot 7, 113 \cdot 1 0^{6}$
  $v \approx 7, 50 \cdot 1 0^{3}$ m/s
2. 2. Energía cinética
  $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2200 \cdot 750 1^{2}$
  $E_{c} \approx 6, 19 \cdot 1 0^{10}$ J
3. 3. Energía mecánica
  $E_{m} = - E_{c}$ (órbita circular)
  $E_{m} \approx - 6, 19 \cdot 1 0^{10}$ J
Respuesta final: $h \approx 743$ km; $v \approx 7, 50$ km/s; $E_{c} \approx 6, 19 \cdot 1 0^{10}$ J; $E_{m} \approx - 6, 19 \cdot 1 0^{10}$ J.
17. 2022 · Extraordinaria 2022 · Ejercicio C1
El potencial gravitatorio en un punto situado a una distancia $r$ del centro de un planeta es $V = - 9, 1 \cdot 1 0^{8}$ J/kg. La intensidad de campo en la superficie del planeta es $g_{0} = 26$ m/s $^{2}$ y el radio del planeta es $R = 7 \cdot 1 0^{4}$ km. Deduce una relación que proporcione la distancia $r$ en función de $V$ , $R$ y $g_{0}$ y calcula el valor de $r$ .
1. 1. Potencial gravitatorio y campo en la superficie
  $V = - \frac{GM}{r}, g_{0} = \frac{GM}{R ^{2}} \Rightarrow GM = g_{0} R^{2}$
2. 2. Eliminamos $GM$ y despejamos $r$
  $V = - \frac{g _{0} R ^{2}}{r} \Rightarrow r = - \frac{g _{0} R ^{2}}{V}$
  $r = - \frac{g _{0} R ^{2}}{V}$
3. 3. Valor numérico
  $r = \frac{26 \cdot ( 7 \cdot 1 0 ^{7} ) ^{2}}{9 , 1 \cdot 1 0 ^{8}}$
  $r = 1, 4 \cdot 1 0^{8}$ m $= 1, 4 \cdot 1 0^{5}$ km
Respuesta final: $r = - g_{0} R^{2} / V = 1, 4 \cdot 1 0^{8}$ m (=2R).
18. 2022 · Extraordinaria 2022 · Ejercicio C2
Deduce la relación entre la energía mecánica de un satélite y el radio de su órbita circular alrededor de un planeta. Dos satélites, A y B, de igual masa siguen órbitas circulares, uno con energía mecánica $E_{A} = - 4 \cdot 1 0^{10}$ J y otro con $E_{B} = - 2 \cdot 1 0^{10}$ J. Razona cuál de los dos satélites tiene mayor energía cinética y cuál se encuentra más lejos del planeta.
1. 1. Órbita circular: la gravedad es la fuerza centrípeta
  $\frac{GM m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{GM m}{2 r}$
2. 2. Energía mecánica
  $E_{m} = E_{c} + E_{p} = \frac{GM m}{2 r} - \frac{GM m}{r}$
  $E_{m} = - \frac{GM m}{2 r} = - E_{c}$
3. 3. Energía cinética de cada satélite
  $E_{c} = - E_{m}$
  $E_{c, A} = 4 \cdot 1 0^{10}$ J $> E_{c, B} = 2 \cdot 1 0^{10}$ J
4. 4. Radio de cada órbita
  $r = - \frac{GM m}{2 E _{m}}$
  $r_{B} = 2 r_{A}$
Respuesta final: $E_{m} = - GM m /2 r$ . A tiene mayor $E_{c}$ ( $4 \cdot 1 0^{10}$ J); B está más lejos del planeta ( $r_{B} = 2 r_{A}$ ).
19. 2022 · Extraordinaria 2022 · Ejercicio P1
Una sonda espacial de masa $800$ kg se coloca en órbita circular de radio $6500$ km alrededor de Venus. Si la energía cinética de la sonda es de $2 \cdot 1 0^{10}$ J: Dato: constante de gravitación universal, $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ .
- a)Deduce la expresión de la velocidad orbital de la sonda y calcula la masa de Venus.
- b)Si Venus es un planeta esférico de densidad $ρ = 5, 24$ g/cm $^{3}$ obtén la altura, en kilómetros, a la que hay que situar un cuerpo para que la fuerza de atracción gravitatoria que realiza Venus sobre este cuerpo sea un 36 % menor que la ejercida en su superficie.
Apartado a
1. 1. Velocidad orbital
  $\frac{GM m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow v = \frac{GM}{r}$
2. 2. Velocidad a partir de la energía cinética
  $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} \Rightarrow v = \frac{2 \cdot 2 \cdot 1 0 ^{10}}{800}$
  $v = 7071$ m/s
3. 3. Masa de Venus
  $M = \frac{v ^{2} r}{G} = \frac{( 7071 ) ^{2} \cdot 6 , 5 \cdot 1 0 ^{6}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11}}$
  $M = 4, 87 \cdot 1 0^{24}$ kg
Apartado b
1. 1. Relación entre fuerzas
  Fuerza un 36 % menor: $g = 0, 64 g_{0} \Rightarrow \frac{GM}{( R + h ) ^{2}} = 0, 64 \frac{GM}{R ^{2}} \Rightarrow R + h = \frac{R}{0 , 8}$
  $h = 0, 25 R$
2. 2. Radio de Venus a partir de la densidad
  $M = ρ \frac{4}{3} π R^{3} \Rightarrow R = (\frac{3 M}{4 π ρ})^{1/3} = (\frac{3 \cdot 4 , 87 \cdot 1 0 ^{24}}{4 π \cdot 5240})^{1/3}$
  $R = 6, 05 \cdot 1 0^{6}$ m
3. 3. Altura
  $h = 0, 25 \cdot 6, 05 \cdot 1 0^{6}$ m
  $h = 1, 51 \cdot 1 0^{6}$ m $= 1514$ km
Respuesta final: a) $v = GM / r$ ; $M = 4, 87 \cdot 1 0^{24}$ kg. b) $R = 6, 05 \cdot 1 0^{3}$ km y $h = 1, 51 \cdot 1 0^{3}$ km.
20. 2022 · Ordinaria 2022 · Ejercicio C1
Deduce razonadamente la expresión de la velocidad de un satélite que gira alrededor de un planeta en una órbita circular y también la de la velocidad mínima necesaria para que se aleje indefinidamente desde la órbita en la que se encuentra. Supongamos que un satélite orbita a una distancia $r$ de un planeta y se propulsa instantáneamente, de forma que su velocidad pasa a ser 1,5 veces la velocidad orbital: ¿continuará dicho satélite en alguna órbita o se alejará indefinidamente del planeta? Justifica la respuesta.
1. 1. Velocidad orbital
  $\frac{GM m}{r ^{2}} = \frac{m v _{o}^{2}}{r}$
  $v_{o} = \frac{GM}{r}$
2. 2. Velocidad de escape desde la órbita
  $\frac{1}{2} m v_{e}^{2} - \frac{GM m}{r} = 0$
  $v_{e} = \frac{2 GM}{r} = 2 v_{o}$
3. 3. Con $v = 1, 5 v_{o}$
  $1, 5 > 2 \approx 1, 414$ ; $E_{m} = \frac{1}{2} m (1, 5 v_{o})^{2} - \frac{GM m}{r} = \frac{GM m}{r} (1, 125 - 1)$
  $E_{m} = 0, 125 \frac{GM m}{r} > 0$ : se aleja indefinidamente
Respuesta final: $v_{o} = GM / r$ ; $v_{e} = 2 GM / r$ ; con $1, 5 v_{o} > 2 v_{o}$ el satélite escapa del planeta.
21. 2022 · Ordinaria 2022 · Ejercicio P1
Un planeta de radio $R_{P} = 5000$ km que tiene una intensa actividad volcánica emite fragmentos en las erupciones que pueden llegar a orbitar circularmente a una altura $h = 400$ km, donde el campo gravitatorio del planeta vale $g = 7$ m/s $^{2}$ .
- a)Deduce las expresiones de la velocidad orbital y de la energía mecánica de un fragmento de masa $m = 2$ kg que se encuentra en dicha órbita y calcula también sus valores numéricos.
- b)Calcula el campo gravitatorio en la superficie del planeta y la velocidad con la que el fragmento ha sido emitido desde dicha superficie.
Apartado a
1. 1. Velocidad orbital
  $g = \frac{GM}{r ^{2}}$ con $r = R_{P} + h = 5400$ km; $\frac{GM m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow v = \frac{GM}{r} = g r$
  $v = 7 \cdot 5, 4 \cdot 1 0^{6} \approx 6148$ m/s
2. 2. Energía mecánica
  $E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GM m}{r} = - \frac{GM m}{2 r} = - \frac{m g r}{2} = - \frac{2 \cdot 7 \cdot 5 , 4 \cdot 1 0 ^{6}}{2}$
  $E_{m} = - 3, 78 \cdot 1 0^{7}$ J
Apartado b
1. 1. Campo en la superficie
  $g_{0} = g (\frac{r}{R _{P}})^{2} = 7 (\frac{5400}{5000})^{2}$
  $g_{0} \approx 8, 16$ m/s $^{2}$
2. 2. Velocidad de emisión
  $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{GM m}{R _{P}} = - \frac{GM m}{2 r} \Rightarrow v_{0} = 2 GM (\frac{1}{R _{P}} - \frac{1}{2 r})$
  $v_{0} \approx 6, 62 \cdot 1 0^{3}$ m/s
Respuesta final: $v = 6148$ m/s; $E_{m} = - 3, 78 \cdot 1 0^{7}$ J; $g_{0} = 8, 16$ m/s $^{2}$ ; $v_{0} \approx 6, 62$ km/s.
22. 2021 · Extraordinaria 2021 · Ejercicio C1
Explica qué se entiende por fuerza conservativa y su relación con el concepto de energía potencial ¿Es lo mismo la energía potencial gravitatoria que el potencial gravitatorio? ¿En qué unidades del SI se mide cada una de estas dos magnitudes? Justifica las respuestas a partir de sus definiciones.
1. 1. Fuerza conservativa
  $W_{A \to B} = \int_{A}^{B} F \cdot d r$ no depende del camino, solo de los extremos; equivale a $W_{A \to B} = - Δ E_{p} = E_{p, A} - E_{p, B}$
2. 2. Energía potencial y potencial gravitatorio
  $E_{p} = - \frac{GM m}{r}, V = \frac{E _{p}}{m} = - \frac{GM}{r}$
  No es lo mismo
3. 3. Unidades
  $[E_{p}] =$ J (julio); $[V] =$ J/kg $=$ m $^{2}$ /s $^{2}$
Respuesta final: Fuerza conservativa: trabajo independiente del camino, $W = - Δ E_{p}$ . $E_{p} = - GM m / r$ (J) y $V = E_{p} / m = - GM / r$ (J/kg) son magnitudes distintas.
23. 2021 · Extraordinaria 2021 · Ejercicio P1
La Estación Espacial Internacional tiene una masa $m = 4 \cdot 1 0^{5}$ kg y describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura sobre su superficie $h = 400$ km. Datos: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ kg $^{- 2}$ ; $M_{T} = 6 \cdot 1 0^{24}$ kg; $R_{T} = 6, 4 \cdot 1 0^{6}$ m.
- a)Calcula las energías potencial, cinética y mecánica de la Estación en su movimiento por dicha órbita.
- b)Calcula la energía que se debe aportar a la estación para que se sitúe en una órbita en la que su energía mecánica sea $E = - 2 \cdot 1 0^{12}$ J. Calcula su velocidad en dicha órbita.
Apartado a
1. 1. Radio de la órbita
  $r = R_{T} + h = 6, 4 \cdot 1 0^{6} + 4 \cdot 1 0^{5} = 6, 8 \cdot 1 0^{6}$ m
2. 2. Energía potencial
  $E_{p} = - \frac{G M _{T} m}{r} = - \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 \cdot 1 0 ^{24} \cdot 4 \cdot 1 0 ^{5}}{6 , 8 \cdot 1 0 ^{6}}$
  $E_{p} = - 2, 35 \cdot 1 0^{13}$ J
3. 3. Energía cinética (órbita circular: $\frac{GM m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r}$ )
  $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{G M _{T} m}{2 r}$
  $E_{c} = 1, 18 \cdot 1 0^{13}$ J
4. 4. Energía mecánica
  $E_{m} = E_{c} + E_{p} = - \frac{G M _{T} m}{2 r}$
  $E_{m} = - 1, 18 \cdot 1 0^{13}$ J
Apartado b
1. 1. Energía que hay que aportar
  $Δ E = E - E_{m} = - 2 \cdot 1 0^{12} - (- 1, 177 \cdot 1 0^{13})$
  $Δ E = 9, 77 \cdot 1 0^{12}$ J
2. 2. Radio de la nueva órbita
  $E = - \frac{G M _{T} m}{2 r ^{'}} \Rightarrow r^{'} = \frac{1 , 6 \cdot 1 0 ^{20}}{2 \cdot 2 \cdot 1 0 ^{12}}$
  $r^{'} = 4, 0 \cdot 1 0^{7}$ m
3. 3. Velocidad en esa órbita
  $E_{c} = - E = 2 \cdot 1 0^{12}$ J $\Rightarrow v = \frac{2 E _{c}}{m} = \frac{4 \cdot 1 0 ^{12}}{4 \cdot 1 0 ^{5}}$
  $v = 3, 16 \cdot 1 0^{3}$ m/s
Respuesta final: a) $E_{p} = - 2, 35 \cdot 1 0^{13}$ J; $E_{c} = 1, 18 \cdot 1 0^{13}$ J; $E_{m} = - 1, 18 \cdot 1 0^{13}$ J. b) $Δ E = 9, 77 \cdot 1 0^{12}$ J; $v = 3, 16$ km/s.
24. 2021 · Ordinaria 2021 · Ejercicio C1
Un cuerpo que se encuentra en un campo gravitatorio se mueve entre dos puntos A y B de una superficie equipotencial ¿qué trabajo realiza la fuerza gravitatoria para mover el cuerpo entre A y B? Si la energía potencial del cuerpo en B es de $- 800$ J y seguidamente pasa del punto B a un punto C, donde su energía potencial es de $- 1000$ J, discute si su energía cinética es mayor en B o en C.
1. 1. Trabajo en una superficie equipotencial
  $W_{A \to B} = - Δ E_{p} = - m (V_{B} - V_{A}) = 0$ porque $V_{A} = V_{B}$
  $W_{A \to B} = 0$
2. 2. Variación de energía potencial de B a C
  $Δ E_{p} = E_{p, C} - E_{p, B} = - 1000 - (- 800) = - 200$ J
3. 3. Conservación de la energía mecánica (solo actúa la fuerza gravitatoria, conservativa)
  $Δ E_{c} = - Δ E_{p} = + 200$ J
  $E_{c, C} = E_{c, B} + 200$ J
Respuesta final: $W_{A \to B} = 0$ ; $E_{c, C} = E_{c, B} + 200$ J, luego la energía cinética es mayor en C.
25. 2021 · Ordinaria 2021 · Ejercicio P1
La masa del planeta K2-72 es 2,21 veces la masa de la Tierra y su radio es 1,29 veces el radio de la Tierra. Datos: campo gravitatorio de la Tierra en su superficie, $g_{0} = 9, 8$ m/s $^{2}$ ; radio terrestre, $R_{T} = 6, 37 \cdot 1 0^{6}$ m.
- a)¿Cuál es el valor de la intensidad de campo gravitatorio en la superficie de K2-72? ¿Cuál es la fuerza gravitatoria que K2-72 ejerce sobre una persona de 70 kg en reposo sobre su superficie?
- b)Determina la distancia desde el centro de K2-72 para la cual la intensidad de campo gravitatorio es 0,16 veces el valor en su superficie. Deduce y calcula la velocidad que tendría un satélite en órbita circular a dicha distancia.
Apartado a
1. 1. Campo en la superficie
  $g = \frac{GM}{R ^{2}} = \frac{G 2 , 21 M _{T}}{( 1 , 29 R _{T} ) ^{2}} = \frac{2 , 21}{1 , 2 9 ^{2}} g_{0} = 1, 328 \cdot 9, 8$
  $g = 13, 0$ m/s $^{2}$
2. 2. Fuerza sobre la persona
  $F = m g = 70 \cdot 13, 01$
  $F = 911$ N
Apartado b
1. 1. Distancia
  $g (r) = \frac{GM}{r ^{2}} = 0, 16 \frac{GM}{R ^{2}} \Rightarrow r = \frac{R}{0 , 16} = 2, 5 R$
  $r = 2, 5 \cdot 8, 217 \cdot 1 0^{6} = 2, 05 \cdot 1 0^{7}$ m
2. 2. Velocidad orbital (deducción: gravedad = fuerza centrípeta)
  $\frac{GM m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow v = \frac{GM}{r} = g (r) r = 0, 16 \cdot 13, 01 \cdot 2, 054 \cdot 1 0^{7}$
  $v = 6, 54 \cdot 1 0^{3}$ m/s
Respuesta final: a) $g = 13, 0$ m/s $^{2}$ ; $F = 911$ N. b) $r = 2, 5 R = 2, 05 \cdot 1 0^{7}$ m; $v = 6, 54$ km/s.
26. 2020 · Extraordinaria 2020 (Septiembre) · Ejercicio C1
Escribe la expresión del trabajo de una fuerza y su relación con la energía potencial si la fuerza es conservativa. Un satélite gira alrededor de la Tierra siguiendo una órbita circular. Razona qué trabajo realiza la fuerza gravitatoria cuando el satélite recorre un cuarto de la órbita. ¿Y si recorre una órbita completa?
La fuerza gravitatoria es siempre perpendicular al desplazamiento
1. 1. Trabajo y energía potencial
  $W_{A \to B} = \int_{A}^{B} F \cdot d r$ ; si $F$ es conservativa, $W_{A \to B} = - Δ E_{p} = E_{p, A} - E_{p, B}$
2. 2. Cuarto de órbita
  En una órbita circular la fuerza gravitatoria es radial y el desplazamiento es tangente: $F \cdot d r = 0$ en todo instante (también $Δ E_{p} = 0$ , pues $r$ es constante)
  $W = 0$
3. 3. Órbita completa
  La fuerza gravitatoria es conservativa: el trabajo en una trayectoria cerrada es $W = - Δ E_{p} = 0$ (mismo punto inicial y final)
  $W = 0$
Respuesta final: $W = \int F \cdot d r = - Δ E_{p}$ (conservativa); en una órbita circular $W = 0$ tanto en un cuarto de vuelta como en una vuelta completa.
27. 2020 · Extraordinaria 2020 (Septiembre) · Ejercicio P1
El proyecto Starlink ha colocado en órbita circular alrededor de la Tierra unos 300 satélites para comunicaciones, que son fácilmente visibles desde la superficie de la Tierra. Sabiendo que la velocidad de uno de dichos satélites es de $7, 6$ km/s: Datos: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ ; $M_{T} = 6 \cdot 1 0^{24}$ kg; $R_{T} = 6400$ km.
- a)Calcula la altura $h$ a la que se encuentra desde la superficie terrestre (en kilómetros).
- b)¿Cuántas órbitas circulares completas describe el satélite en un día?
Apartado a
1. 1. Dinámica de la órbita circular
  $\frac{G M _{T} m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow r = \frac{G M _{T}}{v ^{2}}$
2. 2. Radio y altura
  $r = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 \cdot 1 0 ^{24}}{( 7600 ) ^{2}} = 6, 93 \cdot 1 0^{6}$ m; $h = r - R_{T} = 6, 93 \cdot 1 0^{6} - 6, 4 \cdot 1 0^{6}$
  $h = 5, 3 \cdot 1 0^{5}$ m $= 529$ km
Apartado b
1. 1. Periodo
  $T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \cdot 6 , 93 \cdot 1 0 ^{6}}{7600} = 5728$ s
  $T = 95, 5$ min
2. 2. Órbitas por día
  $n = \frac{86400}{5728} = 15, 08$
  15 órbitas completas
Respuesta final: a) $h = 529$ km. b) $T = 5728$ s: 15 órbitas completas al día.
28. 2020 · Ordinaria 2020 · Ejercicio C1
Entre un cuerpo de masa $m$ y otro de masa $M > m$ (ambas puntuales) existe solo la interacción gravitatoria. ¿Es la fuerza gravitatoria que ejerce $M$ sobre $m$ mayor que la que ejerce $m$ sobre $M$ ? ¿Es la aceleración de ambos cuerpos igual en módulo? ¿Y en dirección y sentido? Razona adecuadamente las respuestas.
Misma fuerza sobre cada cuerpo; la aceleración es mayor en la masa menor
1. 1. Fuerzas (tercera ley de Newton)
  $∣ F_{M \to m} ∣ = ∣ F_{m \to M} ∣ = \frac{GM m}{r ^{2}}$
  Las fuerzas son iguales en módulo y de sentidos opuestos
2. 2. Aceleraciones (segunda ley)
  $a_{m} = \frac{F}{m} = \frac{GM}{r ^{2}}, a_{M} = \frac{F}{M} = \frac{G m}{r ^{2}}$
  $a_{m} > a_{M}$ (en módulo no son iguales)
3. 3. Dirección y sentido
  Cada aceleración tiene la dirección y sentido de la fuerza que actúa sobre su cuerpo
  Misma dirección (la recta que une los cuerpos) y sentidos opuestos (cada cuerpo acelera hacia el otro)
Respuesta final: Fuerzas iguales en módulo y opuestas; $a_{m} = GM / r^{2} > a_{M} = G m / r^{2}$ ; misma dirección y sentidos opuestos.
29. 2020 · Ordinaria 2020 · Ejercicio P1
Syncom 3 fue un satélite de telecomunicaciones de masa $40$ kg, que describía órbitas circulares a una altura de $35800$ km sobre la superficie terrestre. Datos: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ kg $^{- 2}$ ; $M_{T} = 6 \cdot 1 0^{24}$ kg; $R_{T} = 6, 4 \cdot 1 0^{6}$ m.
- a)Deduce la expresión de la velocidad orbital de un satélite y calcula el valor en este caso, así como el periodo de la órbita (en horas).
- b)Calcula las energías potencial y cinética del satélite en su movimiento por dicha órbita. Calcula la energía que se debe aportar al satélite para que se sitúe en una órbita en la que su energía mecánica sea $E = - 9, 5 \cdot 1 0^{7}$ J.
Apartado a
1. 1. Velocidad orbital (gravedad = fuerza centrípeta)
  $\frac{G M _{T} m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow v = \frac{G M _{T}}{r}$
2. 2. Radio de la órbita y valor de $v$
  $r = R_{T} + h = 6, 4 \cdot 1 0^{6} + 3, 58 \cdot 1 0^{7} = 4, 22 \cdot 1 0^{7}$ m; $v = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 \cdot 1 0 ^{24}}{4 , 22 \cdot 1 0 ^{7}}$
  $v = 3, 08 \cdot 1 0^{3}$ m/s
3. 3. Periodo
  $T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \cdot 4 , 22 \cdot 1 0 ^{7}}{3080} = 8, 61 \cdot 1 0^{4}$ s
  $T = 23, 9$ h
Apartado b
1. 1. Energía potencial
  $E_{p} = - \frac{G M _{T} m}{r} = - \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 \cdot 1 0 ^{24} \cdot 40}{4 , 22 \cdot 1 0 ^{7}}$
  $E_{p} = - 3, 79 \cdot 1 0^{8}$ J
2. 2. Energía cinética y mecánica
  $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{G M _{T} m}{2 r} = 1, 90 \cdot 1 0^{8}$ J; $E_{m} = E_{c} + E_{p} = - 1, 90 \cdot 1 0^{8}$ J
  $E_{c} = 1, 90 \cdot 1 0^{8}$ J
3. 3. Energía a aportar
  $Δ E = E - E_{m} = - 9, 5 \cdot 1 0^{7} - (- 1, 90 \cdot 1 0^{8})$
  $Δ E = 9, 5 \cdot 1 0^{7}$ J
Respuesta final: a) $v = G M_{T} / r = 3, 08$ km/s; $T = 23, 9$ h. b) $E_{p} = - 3, 79 \cdot 1 0^{8}$ J; $E_{c} = 1, 90 \cdot 1 0^{8}$ J; $Δ E = 9, 5 \cdot 1 0^{7}$ J.
30. 2019 · Extraordinaria 2019 · Ejercicio 1.A
Explica brevemente el concepto de velocidad de escape de un planeta y deduce su expresión en función del radio $R$ del planeta y de la aceleración de la gravedad en su superficie, $g_{0}$ .
1. 1. Concepto
  Velocidad mínima con que hay que lanzar un cuerpo desde la superficie para que llegue al infinito con velocidad nula (energía mecánica total nula)
2. 2. Conservación de la energía mecánica
  $\frac{1}{2} m v_{e}^{2} - \frac{GM m}{R} = 0 \Rightarrow v_{e} = \frac{2 GM}{R}$
3. 3. En función de $g_{0}$
  $g_{0} = \frac{GM}{R ^{2}} \Rightarrow GM = g_{0} R^{2}$
  $v_{e} = 2 g_{0} R$
Respuesta final: $v_{e} = 2 GM / R = 2 g_{0} R$ .
31. 2019 · Extraordinaria 2019 · Ejercicio 1.B
Se sitúan dos masas puntuales de $1$ kg en las posiciones $(- 3, 0)$ m y $(3, 0)$ m de un sistema de coordenadas cartesiano. Calcula para el punto $(0, 4)$ m: Dato: constante de gravitación universal, $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ .
- a)Los vectores campo gravitatorio que generan cada una de ellas y el vector campo gravitatorio total. Razona si existe algún punto de esta configuración donde se anula el campo gravitatorio y en caso afirmativo identifícalo.
- b)El potencial gravitatorio debido a cada una de las masas y el potencial total. Razona si existe algún punto donde el potencial gravitatorio se anula.
Campos en P(0, 4): las componentes x se anulan y el total apunta a −j
Apartado a
1. 1. Distancias y unitarios (cada masa a $5$ m de $P (0, 4)$ )
  $u_{1} = \frac{( - 3 , - 4 )}{5}, u_{2} = \frac{( 3 , - 4 )}{5}$ ; $g = \frac{G m}{r ^{2}} = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11}}{25} = 2, 67 \cdot 1 0^{- 12}$ N/kg
2. 2. Campos individuales
  $g_{1} = 2, 67 \cdot 1 0^{- 12} (- 0, 6  - 0, 8 )$ ; $g_{2} = 2, 67 \cdot 1 0^{- 12} (0, 6  - 0, 8 )$
  $g_{1} = (- 1, 60  - 2, 13 ) \cdot 1 0^{- 12}$ , $g_{2} = (1, 60  - 2, 13 ) \cdot 1 0^{- 12}$ N/kg
3. 3. Campo total y punto de campo nulo
  $g = g_{1} + g_{2} = - 4, 27 \cdot 1 0^{- 12} $ N/kg
  $g = - 4, 27 \cdot 1 0^{- 12} $ N/kg
Apartado b
1. 1. Potenciales
  $V_{1} = V_{2} = - \frac{G m}{r} = - \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11}}{5} = - 1, 33 \cdot 1 0^{- 11}$ J/kg; $V = V_{1} + V_{2}$
  $V = - 2, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ J/kg
2. 2. Punto de potencial nulo
  $V = - G (\frac{m}{r _{1}} + \frac{m}{r _{2}}) < 0$ en todo punto
  No existe ningún punto con $V = 0$ (salvo en el infinito)
Respuesta final: a) $g = - 4, 27 \cdot 1 0^{- 12} $ N/kg; se anula en $(0, 0)$ . b) $V = - 2, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ J/kg; nunca es nulo.
32. 2019 · Ordinaria 2019 · Ejercicio 1.A
Sobre un cuerpo sólo actúan fuerzas gravitatorias. Al trasladarse el cuerpo entre dos puntos, A y B, su energía potencial gravitatoria aumenta en $2000 J$ . ¿Cuál es el valor del trabajo que realizan las fuerzas conservativas que actúan sobre el cuerpo? ¿En cuál de los dos puntos su velocidad es mayor?
Al subir de A a B la energía potencial aumenta 2000 J: el campo hace W = −2000 J y la velocidad es menor en B
1. 1. Trabajo de las fuerzas conservativas
  $W_{co n s} = - Δ E_{p} = - (+ 2000)$
  $W_{co n s} = - 2000 J$
2. 2. Teorema de la energía cinética
  $W_{t o t a l} = W_{co n s} = Δ E_{c} \Rightarrow E_{c, B} - E_{c, A} = - 2000 J$
  $E_{c, B} < E_{c, A}$
3. 3. Punto de mayor velocidad
  $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} \Rightarrow v_{A} > v_{B}$
  La velocidad es mayor en $A$
Respuesta final: $W_{co n s} = - 2000 J$ ; la velocidad es mayor en $A$ (menor $E_{p}$ ).
33. 2019 · Ordinaria 2019 · Ejercicio 1.B
Un satélite artificial de la Tierra tiene una velocidad de $4, 2 km/s$ en una determinada órbita circular. Calcula: Datos: constante de gravitación universal, $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} /k g^{2}$ ; masa de la Tierra, $M_{T} = 6 \cdot 1 0^{24} kg$ ; radio de la Tierra, $R_{T} = 6400 km$ .
- a)Las expresiones del radio de la órbita y del periodo del movimiento, así como sus valores numéricos.
- b)La velocidad con la que debe lanzarse el satélite desde la superficie terrestre para situarlo en dicha órbita.
Órbita de radio r = GM/v²: 2,27·10⁷ m desde el centro
Apartado a
1. 1. Radio de la órbita
  $\frac{G M _{T} m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow r = \frac{G M _{T}}{v ^{2}} = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 \cdot 1 0 ^{24}}{420 0 ^{2}}$
  $r = 2, 27 \cdot 1 0^{7} m$
2. 2. Periodo
  $T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \cdot 2 , 27 \cdot 1 0 ^{7}}{4200}$
  $T = 3, 39 \cdot 1 0^{4} s \approx 9, 4 h$
Apartado b
1. 1. Conservación de la energía mecánica (superficie → órbita)
  $\frac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{G M _{T} m}{R _{T}} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M _{T} m}{r} \Rightarrow v_{0} = v^{2} + 2 G M_{T} (\frac{1}{R _{T}} - \frac{1}{r})$
2. 2. Valor numérico
  $v_{0} = 420 0^{2} + 2 \cdot 4, 002 \cdot 1 0^{14} (\frac{1}{6 , 4 \cdot 1 0 ^{6}} - \frac{1}{2 , 27 \cdot 1 0 ^{7}})$
  $v_{0} = 1, 04 \cdot 1 0^{4} m/s$
Respuesta final: a) $r = G M_{T} / v^{2} = 2, 27 \cdot 1 0^{7}$ m; $T = 2 π r / v = 3, 39 \cdot 1 0^{4}$ s. b) $v_{0} \approx 10, 4$ km/s.
34. 2018 · Extraordinaria 2018 · Ejercicio 1.A
Un planeta, de masa $M = 0, 86 M_{T i er r a}$ y radio un $4 %$ mayor que el de la Tierra, orbita alrededor de la estrella TRAPPIST-1. Calcula:
- a)El peso de un astronauta en la superficie del planeta si su peso en la superficie terrestre es $800 N$ .
- b)La expresión de la velocidad de escape del planeta. Realiza el cálculo numérico sabiendo que la velocidad de escape de la Tierra es de $11, 2 km/s$ .
Planeta: g = 0,795 g_T y v_e = 10,2 km/s (Tierra: 11,2 km/s)
Apartado a
1. 1. Relación entre las gravedades
  $g = \frac{GM}{R ^{2}} \Rightarrow \frac{g _{p}}{g _{T}} = \frac{M _{p}}{M _{T}} (\frac{R _{T}}{R _{p}})^{2} = \frac{0 , 86}{1 , 0 4 ^{2}}$
  $\frac{g _{p}}{g _{T}} = 0, 795$
2. 2. Peso en el planeta
  $P_{p} = P_{T} \cdot 0, 795 = 800 \cdot 0, 795$
  $P_{p} = 636 N$
Apartado b
1. 1. Velocidad de escape
  $\frac{1}{2} m v_{e}^{2} - \frac{GM m}{R} = 0 \Rightarrow v_{e} = \frac{2 GM}{R}$
2. 2. En relación con la Tierra
  $\frac{v _{e, p}}{v _{e, T}} = \frac{M _{p}}{M _{T}} \cdot \frac{R _{T}}{R _{p}} = \frac{0 , 86}{1 , 04} = 0, 909$
  $v_{e, p} = 0, 909 \cdot 11, 2 = 10, 2 km/s$
Respuesta final: a) $P = 636$ N. b) $v_{e} = 2 GM / R$ ; $v_{e} = 10, 2$ km/s.
35. 2018 · Extraordinaria 2018 · Ejercicio 1.B
Deduce razonadamente la expresión que relaciona el periodo de una órbita circular con su radio. El radio de la órbita terrestre es de $1, 5 \cdot 1 0^{11} m$ y el de la órbita de Urano es de $2, 9 \cdot 1 0^{12} m$ . Calcula el periodo orbital de Urano, suponiendo que la órbita de los planetas alrededor del Sol es circular.
T² ∝ r³: r_U = 19,3 r_T ⇒ T_U ≈ 85 años
1. 1. Fuerza gravitatoria como fuerza centrípeta
  $\frac{GM m}{r ^{2}} = m ω^{2} r = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r$
2. 2. Tercera ley de Kepler
  $T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} r^{3} \Rightarrow \frac{T ^{2}}{r ^{3}} = cte$
3. 3. Periodo de Urano (en años terrestres)
  $\frac{T _{U}}{T _{T}} = (\frac{r _{U}}{r _{T}})^{3/2} = (\frac{2 , 9 \cdot 1 0 ^{12}}{1 , 5 \cdot 1 0 ^{11}})^{3/2} = 19, 3 3^{1, 5}$
  $T_{U} = 85, 0 a \overset{n}{˜} os \approx 2, 7 \cdot 1 0^{9} s$
Respuesta final: $T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} r^{3}$ ; $T_{U} \approx 85$ años.
36. 2018 · Ordinaria 2018 · Ejercicio 1.A
Deduce razonadamente la expresión que permite calcular el radio de una órbita circular descrita por un planeta alrededor de una estrella de masa $M$ , conociendo la velocidad orbital del planeta. Supongamos dos planetas cuyas velocidades orbitales alrededor de la misma estrella son $v_{1}$ y $v_{2}$ , siendo $v_{1} > v_{2}$ . ¿Qué planeta tiene el radio orbital mayor? Razona la respuesta.
v₁ > v₂ ⇒ r₁ < r₂ (r = GM/v²)
1. 1. Segunda ley de Newton con fuerza gravitatoria
  $\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{r}$
2. 2. Radio de la órbita
  $r = \frac{GM}{v ^{2}}$
  $r = \frac{GM}{v ^{2}}$
3. 3. Comparación
  $r_{1} = \frac{GM}{v _{1}^{2}}, r_{2} = \frac{GM}{v _{2}^{2}} \Rightarrow \frac{r _{2}}{r _{1}} = \frac{v _{1}^{2}}{v _{2}^{2}} > 1$
  $r_{2} > r_{1}$ : el planeta 2 tiene el radio orbital mayor
Respuesta final: $r = GM / v^{2}$ ; el planeta 2 (el más lento) tiene la órbita de mayor radio.
37. 2018 · Ordinaria 2018 · Ejercicio 1.B
Tau Ceti es una estrella que, como nuestro Sol, tiene un sistema planetario. La masa de ese sistema solar es $0, 7$ veces la masa del nuestro. Considerando ambos sistemas como dos masas puntuales separadas una distancia $d$ , calcula el punto donde se anula el campo gravitatorio originado exclusivamente por dichas masas. Calcula primero la posición del punto en función de $d$ y realiza después el cálculo numérico en km sabiendo que $d = 12$ años-luz. Dato: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$
Punto de campo nulo a 0,545 d del Sol (y 0,455 d de Tau Ceti)
1. 1. Condición de campo nulo (entre las dos masas, a $x$ del Sol)
  $\frac{GM}{x ^{2}} = \frac{G 0 , 7 M}{( d - x ) ^{2}}$
2. 2. Resolvemos
  $\frac{d - x}{x} = 0, 7 = 0, 8367 \Rightarrow x = \frac{d}{1 + 0 , 7}$
  $x = 0, 5445 d$ (desde el Sol); $d - x = 0, 4555 d$ desde Tau Ceti
3. 3. Distancia en kilómetros
  $d = 12 \cdot c \cdot (365 \cdot 86400 s) = 12 \cdot 3 \cdot 1 0^{8} \cdot 3, 1536 \cdot 1 0^{7} = 1, 135 \cdot 1 0^{17} m = 1, 135 \cdot 1 0^{14} km$
4. 4. Posición
  $x = 0, 5445 \cdot 1, 135 \cdot 1 0^{14} km$
  $x = 6, 18 \cdot 1 0^{13} km$ del Sol
Respuesta final: $x = \frac{d}{1 + 0 , 7} = 0, 545 d$ desde el Sol; $x = 6, 2 \cdot 1 0^{13}$ km.
38. 2017 · Extraordinaria 2017 · Ejercicio 1.A
Deduce la expresión de la velocidad de un planeta en órbita circular alrededor del Sol, en función de la masa del Sol y del radio de la órbita. Suponiendo que Marte sigue una órbita circular, con un radio de $2, 3 \cdot 1 0^{8} km$ , a una velocidad $v = 8, 7 \cdot 1 0^{4} km/h$ , calcula de forma razonada la masa del Sol. Dato: constante de gravitación universal, $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} /k g^{2}$
Órbita de Marte: r = 2,3·10¹¹ m, v = 2,42·10⁴ m/s ⇒ M = v²r/G
1. 1. Velocidad orbital
  $\frac{GM m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow v = \frac{GM}{r}$
2. 2. Masa del Sol
  $M = \frac{v ^{2} r}{G}$ con $v = \frac{8 , 7 \cdot 1 0 ^{4}}{3 , 6} = 2, 417 \cdot 1 0^{4} m/s$ y $r = 2, 3 \cdot 1 0^{11} m$
  $M = \frac{( 2 , 417 \cdot 1 0 ^{4} ) ^{2} \cdot 2 , 3 \cdot 1 0 ^{11}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11}} = 2, 01 \cdot 1 0^{30} kg$
Respuesta final: $v = GM / r$ ; $M_{S o l} = 2, 0 \cdot 1 0^{30}$ kg.
39. 2017 · Extraordinaria 2017 · Ejercicio 1.B
Determina razonadamente la relación $g_{M} / g_{T}$ , donde $g_{M}$ es la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de Marte y $g_{T}$ la de la Tierra, sabiendo que la masa de Marte es $0, 11$ veces la de la Tierra y que su radio es $0, 53$ veces el terrestre. Un cuerpo que en la Tierra pesa $2, 6 N$ , ¿cuánto pesará en Marte?
1. 1. Relación de intensidades
  $g = \frac{GM}{R ^{2}} \Rightarrow \frac{g _{M}}{g _{T}} = \frac{M _{M}}{M _{T}} (\frac{R _{T}}{R _{M}})^{2} = \frac{0 , 11}{0 , 5 3 ^{2}}$
  $\frac{g _{M}}{g _{T}} = 0, 392$
2. 2. Peso en Marte
  $P_{M} = P_{T} \cdot 0, 392 = 2, 6 \cdot 0, 392$
  $P_{M} = 1, 02 N$
Respuesta final: $g_{M} / g_{T} = 0, 39$ ; el cuerpo pesa $1, 02$ N en Marte.
40. 2017 · Ordinaria 2017 · Ejercicio 1.A
Calcula razonadamente la velocidad de escape desde la superficie de un planeta cuyo radio es $2$ veces el de la Tierra y su masa es $8$ veces la de la Tierra. Dato: velocidad de escape desde la superficie de la Tierra, $v = 11, 2 km/s$ .
1. 1. Velocidad de escape
  $\frac{1}{2} m v_{e}^{2} - \frac{GM m}{R} = 0 \Rightarrow v_{e} = \frac{2 GM}{R}$
2. 2. Cociente con la Tierra
  $\frac{v _{p}}{v _{T}} = \frac{M _{p}}{M _{T}} \cdot \frac{R _{T}}{R _{p}} = \frac{8}{2} = 2$
  $v_{p} = 2 \cdot 11, 2 = 22, 4 km/s$
Respuesta final: $v_{e} = 2 GM / R$ ; $v_{p} = 22, 4$ km/s.