Campo electromagnético · Física (con soluciones)

PAU Comunitat Valenciana · 40 ejercicios, del más reciente al más antiguo

1. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 2.A
Representa razonadamente los vectores campo eléctrico que generan en el punto $P$ cada una de las tres cargas indicadas en la figura. Razona qué vector de la figura representa el campo eléctrico total en dicho punto $P$ . Si se conoce que el potencial eléctrico que produce la carga positiva $+ Q$ en el punto $P$ es de 100 V, ¿cuál es el potencial eléctrico en $P$ ?
1. 1. Campos individuales (distancia $d$ )
  $E_{0} = \frac{k Q}{d ^{2}}$ . $+ Q$ repele: $E_{1} = E_{0} i$ ; $- Q$ atrae hacia ella: $E_{2} = E_{0} i$ ; $- 2 Q$ atrae hacia ella: $E_{3} = 2 E_{0} j$
  —
2. 2. Campo total
  $E = 2 E_{0} i + 2 E_{0} j$ : componentes iguales, 45° sobre el eje $+ x$
  Vector I
3. 3. Potencial
  $V = \frac{k Q}{d} + \frac{k ( - Q )}{d} + \frac{k ( - 2 Q )}{d} = 100 - 100 - 200$
  $V_{P} = - 200$ V
Respuesta final: Total: vector I; $V_{P} = - 200$ V.
2. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 2.B
Una partícula con carga $q = - 1 0^{- 6}$ C tiene un movimiento rectilíneo uniforme en sentido positivo del eje $x$ , en una región en la que actúan un campo eléctrico y un campo magnético. La velocidad de la partícula es $v = 15$ km/s y el campo magnético es $B = - 0, 8 k$ T. Calcula razonadamente la fuerza eléctrica, $F_{E}$ , que actúa sobre la partícula y el vector campo eléctrico, $E$ . Representa las fuerzas que actúan sobre la partícula y los vectores campo eléctrico y magnético.
Movimiento rectilíneo uniforme: fuerza neta nula
1. 1. Fuerza magnética
  $F_{B} = q v \times B = - 1 0^{- 6} (1, 5 \cdot 1 0^{4} i) \times (- 0, 8 k)$ ; $i \times k = - j$
  $F_{B} = - 1, 2 \cdot 1 0^{- 2} j$ N
2. 2. Movimiento rectilíneo uniforme
  $\sum F = 0 \Rightarrow F_{E} = - F_{B}$
  $F_{E} = + 1, 2 \cdot 1 0^{- 2} j$ N
3. 3. Campo eléctrico
  $E = \frac{F _{E}}{q} = \frac{1 , 2 \cdot 1 0 ^{- 2} j}{- 1 0 ^{- 6}}$
  $E = - 1, 2 \cdot 1 0^{4} j$ N/C
Respuesta final: $F_{E} = 1, 2 \cdot 1 0^{- 2} j$ N; $E = - 1, 2 \cdot 1 0^{4} j$ N/C.
3. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 3.A
Dos cargas puntuales $q_{A}$ y $q_{B}$ se sitúan en los puntos $A (- 1, 0)$ m y $B (1, 0)$ m, respectivamente. Sabiendo que el vector campo eléctrico en el punto $C (0, 1)$ m es $E = 1, 1 j$ kN/C, calcula razonadamente: Dato: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ C $^{- 2}$ .
- a)El valor de ambas cargas.
- b)La energía potencial eléctrica de una carga $q^{'} = 5, 0 \cdot 1 0^{- 6}$ C situada en el punto $C$ y el trabajo realizado al desplazar dicha carga desde el punto $C$ hasta el punto $D (0, - 1)$ m.
Las componentes horizontales se anulan; queda E = 1,1 j kN/C
Apartado a
1. 1. Geometría
  $r_{A C} = r_{B C} = 2$ m; $u_{A} = \frac{1}{2} (1, 1)$ , $u_{B} = \frac{1}{2} (- 1, 1)$ (de la carga a C)
  $r^{2} = 2$
2. 2. Componente $x$ nula
  $E_{x} = \frac{k}{2} \frac{1}{2} (q_{A} - q_{B}) = 0$
  $q_{A} = q_{B} = q$
3. 3. Componente $y$
  $E_{y} = 2 \cdot \frac{k q}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{k q}{2} = 1100 \Rightarrow q = \frac{1100 2}{9 \cdot 1 0 ^{9}}$
  $q_{A} = q_{B} = 1, 73 \cdot 1 0^{- 7} C \approx 0, 173 μ C$
Apartado b
1. 1. Potencial en C
  $V_{C} = \frac{k q _{A}}{2} + \frac{k q _{B}}{2} = 2 k q = 2200$ V
  $V_{C} = 2200$ V
2. 2. Energía potencial
  $E_{p} = q^{'} V_{C} = 5, 0 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 2200$
  $E_{p} = 1, 1 \cdot 1 0^{- 2}$ J
3. 3. Trabajo C→D
  $D$ también está a $2$ m de $A$ y $B$ : $V_{D} = V_{C}$ ; $W = - q^{'} (V_{D} - V_{C})$
  $W = 0$
Respuesta final: $q_{A} = q_{B} \approx 1, 73 \cdot 1 0^{- 7}$ C; $E_{p} = 1, 1 \cdot 1 0^{- 2}$ J; $W_{C \to D} = 0$ .
4. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 3.B
Dos conductores largos y rectilíneos situados en los ejes $x$ e $y$ , trasportan las corrientes $I_{1} = 15$ A e $I_{2} = 10$ A respectivamente, como se muestra en la figura. Calcula: Datos: $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7}$ T m/A; carga del protón, $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.
- a)El campo magnético en el punto $P (2, 2, 0)$ cm.
- b)La fuerza magnética (módulo, dirección y sentido) sobre un protón, que en el punto $P$ , se mueve con una velocidad de $5, 0 \cdot 1 0^{6}$ m/s paralela y del mismo sentido que la corriente eléctrica $I_{2}$ .
Cada hilo crea en P un campo a 2 cm de distancia
Apartado a
1. 1. Campo de $I_{1}$ (eje $x$ , $d = 2$ cm)
  $B_{1} = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π d} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 15}{0 , 02} = 1, 5 \cdot 1 0^{- 4}$ T. Corriente $- i$ , P está en $+ j$ : $(- i) \times j = - k$
  $B_{1} = - 1, 5 \cdot 1 0^{- 4} k$ T
2. 2. Campo de $I_{2}$ (eje $y$ , $d = 2$ cm)
  $B_{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 10}{0 , 02} = 1, 0 \cdot 1 0^{- 4}$ T. Corriente $+ j$ , P en $+ i$ : $j \times i = - k$
  $B_{2} = - 1, 0 \cdot 1 0^{- 4} k$ T
3. 3. Total
  $B = B_{1} + B_{2}$
  $B = - 2, 5 \cdot 1 0^{- 4} k$ T
Apartado b
1. 1. Fuerza de Lorentz
  $F = q v \times B$ con $v = 5, 0 \cdot 1 0^{6} j$
  $F = q v \times B$
2. 2. Cálculo
  $F = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 5 \cdot 1 0^{6} (j \times (- 2, 5 \cdot 1 0^{- 4} k))$ ; $j \times k = i$
  $F = - 2, 0 \cdot 1 0^{- 16} i$ N
Respuesta final: $B = - 2, 5 \cdot 1 0^{- 4} k$ T; $F = - 2, 0 \cdot 1 0^{- 16} i$ N.
5. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 2.A
Una carga puntual $q_{1} = 2 μ$ C se encuentra en el punto $O (0, 0)$ m y una segunda carga de valor desconocido, $q_{2}$ , en el punto $A (0, 3)$ m. Calcula: Dato: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ .
- a)El valor que debe tener $q_{2}$ para que el campo eléctrico generado por ambas cargas en el punto $B (0, 4)$ m sea nulo. Representa los vectores campo eléctrico generados por cada una de las cargas en este punto.
- b)La diferencia de potencial entre el punto $B$ y el punto $C (0, 8)$ m y el trabajo necesario para mover una carga $q_{3} = 0, 1 μ$ C desde $B$ hasta $C$ .
Apartado a
1. 1. Geometría
  $q_{1}$ a $4$ m de $B$ ; $q_{2}$ a $1$ m de $B$ ; ambas en el eje $y$ por debajo de $B$
  Los dos campos tienen la misma dirección ( $y$ )
2. 2. Condición de campo nulo
  $E_{1} = \frac{k q _{1}}{4 ^{2}} j$ (repulsión, $q_{1} > 0$ ); $E_{2} = \frac{k q _{2}}{1 ^{2}} j$ ; $E_{1} + E_{2} = 0$
  $q_{2} = - \frac{q _{1}}{16}$
3. 3. Valor
  $q_{2} = - \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 6}}{16}$
  $q_{2} = - 1, 25 \cdot 1 0^{- 7} C = - 0, 125 μ$ C
Apartado b
1. 1. Potencial en B
  $V_{B} = k (\frac{q _{1}}{4} + \frac{q _{2}}{1}) = 9 \cdot 1 0^{9} (5, 0 \cdot 1 0^{- 7} - 1, 25 \cdot 1 0^{- 7})$
  $V_{B} = 3375$ V
2. 2. Potencial en C
  $V_{C} = k (\frac{q _{1}}{8} + \frac{q _{2}}{5}) = 9 \cdot 1 0^{9} (2, 5 \cdot 1 0^{- 7} - 2, 5 \cdot 1 0^{- 8})$
  $V_{C} = 2025$ V
3. 3. Diferencia y trabajo
  $V_{B} - V_{C} = 1350$ V; $W_{c am p o} = q_{3} (V_{B} - V_{C}) = 1 0^{- 7} \cdot 1350$
  $V_{B} - V_{C} = 1350$ V; $W_{B \to C} = 1, 35 \cdot 1 0^{- 4}$ J
Respuesta final: $q_{2} = - 0, 125 μ$ C; $V_{B} - V_{C} = 1350$ V; $W_{c am p o} = + 1, 35 \cdot 1 0^{- 4}$ J (el trabajo externo es $- 1, 35 \cdot 1 0^{- 4}$ J).
6. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 2.B
Un protón en reposo es acelerado por una diferencia de potencial $Δ V = 2 \cdot 1 0^{4}$ V (radioterapia con protones). A continuación entra en una región con campo magnético constante, uniforme y perpendicular a su trayectoria, $B = 0, 02$ T. Con planteamiento no relativista, determina razonadamente: Datos: $m = 1, 67 \cdot 1 0^{- 27}$ kg; $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.
- a)La energía cinética y el módulo de la velocidad del protón con que entra en la zona del campo magnético.
- b)La expresión y el valor del radio de curvatura de la trayectoria; el tiempo que emplea en describir media órbita; razona si cambia el módulo de la velocidad del protón en esa trayectoria.
Apartado a
1. 1. Energía cinética
  $E_{c} = q Δ V = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 2 \cdot 1 0^{4}$
  $E_{c} = 3, 2 \cdot 1 0^{- 15}$ J
2. 2. Velocidad
  $v = \frac{2 E _{c}}{m} = \frac{6 , 4 \cdot 1 0 ^{- 15}}{1 , 67 \cdot 1 0 ^{- 27}}$
  $v \approx 1, 96 \cdot 1 0^{6}$ m/s
Apartado b
1. 1. Radio de curvatura
  $q v B = \frac{m v ^{2}}{R} \Rightarrow R = \frac{m v}{q B} = \frac{1 , 67 \cdot 1 0 ^{- 27} \cdot 1 , 96 \cdot 1 0 ^{6}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 0 , 02}$
  $R = \frac{m v}{q B} \approx 1, 02$ m
2. 2. Tiempo en media órbita
  $t = \frac{T}{2} = \frac{π R}{v} = \frac{π m}{q B} = \frac{π \cdot 1 , 67 \cdot 1 0 ^{- 27}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 0 , 02}$
  $t \approx 1, 64 \cdot 1 0^{- 6}$ s
3. 3. Módulo de la velocidad
  $F_{B} ⊥ v \Rightarrow W = 0$
  El módulo de $v$ no cambia
Respuesta final: $E_{c} = 3, 2 \cdot 1 0^{- 15}$ J; $v \approx 1, 96 \cdot 1 0^{6}$ m/s; $R \approx 1, 02$ m; $t \approx 1, 64 \cdot 1 0^{- 6}$ s; $∣ v ∣$ constante.
7. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 3.A
En el seno de un campo magnético uniforme se sitúa una espira de sección $S$ constante, de forma que el plano que la contiene es perpendicular al campo. La gráfica representa la fuerza electromotriz inducida en la espira en función del tiempo. Explica cómo varía el campo magnético en los dos tramos de la gráfica. Justifica las respuestas indicando la ley física en que te basas.
1. 1. Ley de Faraday-Lenz
  $ε = - \frac{d Φ}{d t} = - S \frac{d B}{d t}$ (espira perpendicular: $Φ = B S$ )
  $ε \propto d B / d t$
2. 2. Tramo 1 ( $0 < t < t_{1}$ )
  $ε = 0 \Rightarrow \frac{d B}{d t} = 0$
  $B$ constante
3. 3. Tramo 2 ( $t > t_{1}$ )
  $ε = ε_{2} =$ cte $\neq = 0 \Rightarrow \frac{d B}{d t} = - \frac{ε _{2}}{S} =$ cte
  $B$ varía linealmente con el tiempo
Respuesta final: Tramo 1: $B$ constante; tramo 2: $B$ varía linealmente (ritmo constante), según Faraday-Lenz.
8. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 3.B
Explica brevemente qué es un campo de fuerzas conservativo. Una carga $q$ negativa se encuentra en el seno de un campo eléctrico. El valor del trabajo cuando se desplaza entre los puntos $A$ y $B$ de la figura es 0,01 J si se sigue el camino (1). ¿Cuál es el valor del trabajo si se sigue el camino (2)? ¿En qué punto, $A$ o $B$ , es mayor el potencial eléctrico? Razona las respuestas.
Dos caminos entre A y B: en un campo conservativo el trabajo es el mismo
1. 1. Campo conservativo
  $\oint F \cdot d r = 0$ ; $W_{A \to B}$ no depende del camino; existe $E_{p}$ con $W = - Δ E_{p}$
  Ejemplo: campos gravitatorio y electrostático
2. 2. Trabajo por el camino (2)
  El campo eléctrico es conservativo: $W_{(2)} = W_{(1)}$
  $W_{(2)} = 0, 01$ J
3. 3. Potencial
  $W_{A \to B} = q (V_{A} - V_{B}) = 0, 01 > 0$ con $q < 0 \Rightarrow V_{A} - V_{B} < 0$
  $V_{B} > V_{A}$
Respuesta final: Campo conservativo: el trabajo no depende del camino. $W_{(2)} = 0, 01$ J; $V_{B} > V_{A}$ .
9. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 2
Una trabajadora de una planta de electrolisis para la producción de cloro realiza tareas de mantenimiento debajo de un cable conductor, por el que circula una corriente de 18 kA que se puede considerar rectilínea e indefinida. El cable se encuentra a 4 m sobre el suelo, como muestra la figura. Calcula el vector campo magnético sobre la cabeza de la trabajadora (a una altura de 1,6 m) y representa dicho vector conjuntamente con la corriente que circula por el cable. Justifica la respuesta, indicando la ley física en que se fundamenta y el significado de cada una de las magnitudes que intervienen. El Real Decreto 299/2016, contra los riesgos relacionados con la exposición a campos electromagnéticos, establece que la exposición a un campo magnético estático no debe superar los 2 T ¿está protegida la trabajadora en base a esta normativa? Dato: $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7}$ T m/A.
Distancia de la cabeza al cable: r = 4 − 1,6 = 2,4 m
1. 1. Ley de Biot y Savart para un hilo indefinido
  $B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$ ; dirección: $B ⊥$ hilo y radio vector, sentido por la regla de la mano derecha
  $B = μ_{0} I / (2 π r)$
2. 2. Distancia
  $r = 4 - 1, 6 = 2, 4 m$
  $r = 2, 4$ m
3. 3. Módulo
  $B = \frac{4 π \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 18000}{2 π \cdot 2 , 4} = 1, 50 \cdot 1 0^{- 3} T$
  $B = 1, 5 mT$
4. 4. Dirección y sentido
  Corriente hacia $- i$ , punto debajo: $\overset{u}{^} = - j$ ; $(- i) \times (- j) = k$
  $B = 1, 5 \cdot 1 0^{- 3} k T$
5. 5. Normativa
  $1, 5 \cdot 1 0^{- 3} T ≪ 2 T$
  Sí está protegida
Respuesta final: $B = 1, 5 \cdot 1 0^{- 3} k$ T (hacia fuera del papel); sí cumple el límite de 2 T.
10. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 3.A
Se tiene una carga positiva, $q$ , en el origen de coordenadas y otra $- q$ en el punto $(a, 0)$ con $a > 0$ . Obtén razonadamente, con ayuda de una representación vectorial, el sentido del campo eléctrico total producido por ambas cargas, a la izquierda de la carga positiva ( $x < 0$ ), a la derecha de la carga negativa ( $x > a$ ) y en el tramo comprendido entre las dos cargas ( $0 < x < a$ ).
Sentido del campo total en cada zona
1. 1. Campo de cada carga
  $E_{+}$ sale de $+ q$ (se aleja); $E_{-}$ entra en $- q$ (apunta hacia ella). $E = k ∣ Q ∣/ r^{2}$
  —
2. 2. Zona $x < 0$
  $E_{+}$ hacia $- x$ , $E_{-}$ hacia $+ x$ ; $∣ E_{+} ∣ = \frac{k q}{x ^{2}} > ∣ E_{-} ∣ = \frac{k q}{( a + ∣ x ∣ ) ^{2}}$
  Sentido $- i$
3. 3. Zona $0 < x < a$
  Ambos hacia $+ x$ (se alejan de $+ q$ y se acercan a $- q$ )
  Sentido $+ i$
4. 4. Zona $x > a$
  $E_{+}$ hacia $+ x$ , $E_{-}$ hacia $- x$ ; $- q$ más cerca: $∣ E_{-} ∣ > ∣ E_{+} ∣$
  Sentido $- i$
Respuesta final: $x < 0$ : $- i$ ; $0 < x < a$ : $+ i$ ; $x > a$ : $- i$ .
11. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 3.B
Una espira cuadrada de 20 cm de lado se sitúa en el seno de un campo magnético uniforme. El módulo del campo magnético varía en función del tiempo, como se indica en la figura adjunta, y su dirección es perpendicular al plano de la espira. Calcula razonadamente el valor de la fuerza electromotriz inducida en la espira. Dibuja el campo magnético y la corriente inducida sobre la espira, razonando su sentido.
dB/dt = 2 mT / 2 s = 1,0·10⁻³ T/s
Área S = 0,20² = 0,040 m²; el flujo aumenta, la corriente inducida se opone
1. 1. Flujo magnético
  $Φ = B S cos 0^{\circ} = B L^{2}$ , con $S = 0, 2 0^{2} = 0, 040 m^{2}$
  $S = 0, 040$ m $^{2}$
2. 2. Pendiente de la gráfica
  $\frac{d B}{d t} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 3} T}{2 s} = 1, 0 \cdot 1 0^{- 3} T/s$
  $d B / d t = 1 0^{- 3}$ T/s
3. 3. Ley de Faraday-Lenz
  $ε = - \frac{d Φ}{d t} = - S \frac{d B}{d t} = - 4, 0 \cdot 1 0^{- 5} V$
  $∣ ε ∣ = 4, 0 \cdot 1 0^{- 5} V = 40 μ V$
4. 4. Sentido (Lenz)
  $B$ crece $\Rightarrow$ el campo inducido se opone al aumento del flujo
  Si $B$ entra en el papel, $I$ antihoraria; si sale, horaria
Respuesta final: $∣ ε ∣ = 4, 0 \cdot 1 0^{- 5}$ V; la corriente inducida crea un campo opuesto al aumento de $B$ .
12. 2025 · Reserva 2025 (Junio) · Ejercicio 2.A
Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas, $+ Q$ y $- Q$ , separadas por una distancia $2 d = 0, 1$ m, siendo $Q = 5$ nC. La carga $+ Q$ se sitúa en el punto $(- d, 0)$ y la carga $- Q$ en el punto $(d, 0)$ . Calcula el valor del vector campo eléctrico en un punto $P$ de coordenadas $(0, 2 d)$ . Representa gráficamente los vectores campo eléctrico de cada carga y el total en dicho punto. Dato: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ .
Las componentes verticales se anulan; el campo total apunta en +x
1. 1. Distancia a cada carga
  $r = d^{2} + (2 d)^{2} = d 5 = 0, 05005 = 0, 1118$ m
  $r = 0, 1118$ m
2. 2. Módulo de cada campo
  $E_{+} = E_{-} = \frac{k Q}{r ^{2}} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 5 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 0125} = 3600$ N/C
  $3600$ N/C
3. 3. Direcciones
  $E_{+}$ se aleja de $+ Q$ : $\frac{( d , 2 d )}{r}$ ; $E_{-}$ se acerca a $- Q$ : $\frac{( d , - 2 d )}{r}$
  $E_{+} = E_{0} (\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ , $E_{-} = E_{0} (\frac{1}{5}, - \frac{2}{5})$
4. 4. Superposición
  Las componentes $y$ se anulan; $E_{x} = \frac{2 E _{0}}{5} = 3220$ N/C
  $E = 3, 22 \cdot 1 0^{3} i$ N/C
Respuesta final: $E_{P} = 3, 22 \cdot 1 0^{3} i$ N/C.
13. 2025 · Reserva 2025 (Junio) · Ejercicio 2.B
En una región donde existe un campo magnético uniforme se observa la traza de dos partículas cuyas cargas eléctricas tienen el mismo valor absoluto y el mismo módulo de velocidad. Explica el motivo por el cual se curvan sus trayectorias. Razona cuál de estas dos partículas será positiva y cuál negativa. Realiza una representación gráfica de los vectores involucrados. Razona cuál de las dos partículas tendrá mayor masa.
F = q v × B: la partícula 2 (R mayor) tiene mayor masa
1. 1. Motivo de la curvatura
  $F = q v \times B$ es perpendicular a $v$ : no cambia el módulo de $v$ sino su dirección (fuerza centrípeta)
  Trayectoria circular de radio $R = \frac{m v}{∣ q ∣ B}$
2. 2. Signo de las cargas
  Al inicio $v = v i$ y $B = B k$ (saliendo): $v \times B = - v B j$ . Fuerza hacia $- j$ si $q > 0$ y hacia $+ j$ si $q < 0$
  1 (se curva hacia arriba): negativa; 2 (hacia abajo): positiva
3. 3. Masas
  Con $∣ q ∣$ , $v$ y $B$ iguales, $R \propto m$
  Mayor masa: la 2
Respuesta final: 1: negativa; 2: positiva; la 2 tiene mayor masa (mayor radio).
14. 2025 · Reserva 2025 (Junio) · Ejercicio 3.A
La figura representa el valor del flujo magnético que atraviesa una espira plana. Responde razonadamente a las siguientes preguntas, enunciando la ley en la que te basas: ¿en qué tramo la fuerza electromotriz inducida tiene valor nulo? ¿Cuál es el valor de la fuerza electromotriz inducida en el tramo I? ¿En qué tramo es mayor el valor de la corriente eléctrica inducida en la espira?
ε = −dΦ/dt es la pendiente (con signo cambiado): I → +1 V, II → +2 V, III → 0 (duración del tramo III ilustrativa)
1. 1. Ley de Faraday-Lenz
  $ε = - \frac{d Φ}{d t}$ ; la corriente inducida se opone a la variación del flujo; $I = ε / R$
  —
2. 2. Pendientes
  Tramo I: $\frac{- 1 - 0}{1} = - 1$ ; tramo II: $\frac{- 3 - ( - 1 )}{1} = - 2$ ; tramo III: $0$ T m $^{2}$ /s
  $ε_{I} = + 1$ V, $ε_{I I} = + 2$ V, $ε_{I I I} = 0$
3. 3. Respuestas
  fem nula: tramo III (flujo constante); fem en I: $+ 1$ V; mayor corriente: tramo II ( $∣ ε ∣$ máxima)
  III; 1 V; II
Respuesta final: Nula en el tramo III; $ε_{I} = 1$ V; mayor corriente en el tramo II.
15. 2025 · Reserva 2025 (Junio) · Ejercicio 3.B
Se tienen dos corrientes paralelas y muy largas, tal y como muestra la figura. Indica razonadamente si en algún punto de la zona A el campo magnético total puede ser nulo. Deduce el valor del cociente $I_{2} / I_{1}$ si el campo magnético total en el punto $P$ es nulo. Razona la dirección y el sentido del campo magnético en la zona C.
Corrientes del mismo sentido: los campos se oponen entre los hilos y se suman fuera
1. 1. Zona A
  Corrientes del mismo sentido: a la izquierda de ambas, los dos campos tienen el mismo sentido (hacia dentro del papel)
  No puede ser nulo
2. 2. Campo nulo en P
  P está a 1 cm de $I_{1}$ y a 2 cm de $I_{2}$ ; entre hilos los campos son opuestos: $\frac{μ _{0} I _{1}}{2 π ( 0 , 01 )} = \frac{μ _{0} I _{2}}{2 π ( 0 , 02 )}$
  $\frac{I _{2}}{I _{1}} = 2$
3. 3. Zona C
  Corriente en $- j$ y punto a la derecha ( $\overset{u}{^} = + i$ ): $(- j) \times i = + k$ para ambos hilos
  $B$ perpendicular al plano, saliendo del papel ( $+ k$ )
Respuesta final: Zona A: nunca nulo; $I_{2} / I_{1} = 2$ ; zona C: $+ k$ (saliente).
16. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio C2
Dos corrientes eléctricas paralelas y de gran longitud están separadas entre sí una distancia $4 d$ . La corriente $I_{1} = 6$ A está dirigida hacia arriba, como aparece en la figura. Determina el valor y sentido de la corriente $I_{2}$ , para que el campo magnético resultante en el punto $P$ sea nulo. ¿Qué fuerza actuará sobre una carga eléctrica negativa que, pasando por $P$ , se mueva en la misma dirección que las corrientes eléctricas? Razona todas las respuestas.
Entre hilos con corrientes del mismo sentido los campos se oponen
1. 1. Distancias a P
  $d_{1} = 3 d$ (a $I_{1}$ ), $d_{2} = d$ (a $I_{2}$ )
  —
2. 2. Campo de $I_{1}$
  $B_{1} = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π \cdot 3 d}$ ; con $I_{1} ↑$ y P a su derecha: $\overset{}{^} \times \overset{}{^} = - \hat{k}$
  $B_{1}$ entrante (hacia dentro del papel)
3. 3. Sentido de $I_{2}$
  Para anular $B_{1}$ , $B_{2}$ debe ser saliente. P está a la izquierda de $I_{2}$ : $\overset{}{^} \times (- \overset{}{^}) = + \hat{k}$
  $I_{2}$ hacia arriba (mismo sentido que $I_{1}$ )
4. 4. Valor de $I_{2}$
  $\frac{μ _{0} I _{2}}{2 π d} = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π \cdot 3 d} \Rightarrow I_{2} = \frac{I _{1}}{3} = \frac{6}{3}$
  $I_{2} = 2$ A
5. 5. Fuerza sobre la carga
  $F = q v \times B$ con $B (P) = 0$
  $F = 0$
Respuesta final: $I_{2} = 2$ A hacia arriba; $F = 0$ .
17. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio C3
Dos partículas idénticas de carga $q = 1 μ$ C y masa $m = 1$ g se encuentran inicialmente en reposo y separadas por una distancia $d = 1$ m. Calcula la energía mecánica de una de las partículas. Supongamos que una de las partículas permanece fija mientras que la otra se deja libre: ¿cuál es su energía mecánica cuando se encuentra a una distancia de la otra partícula que es diez veces la inicial? Justifica la respuesta. Calcula su velocidad en dicho punto. Nota: considera solo la interacción electrostática. Dato: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ .
1. 1. Energía mecánica inicial
  Reposo: $E_{c} = 0$ ; $E_{m} = E_{p} = \frac{k q ^{2}}{d} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot ( 1 0 ^{- 6} ) ^{2}}{1}$
  $E_{m} = 9 \cdot 1 0^{- 3}$ J
2. 2. A distancia $10 d$
  Solo fuerza electrostática (conservativa): $E_{m}$ se conserva
  $E_{m} = 9 \cdot 1 0^{- 3}$ J
3. 3. Velocidad
  $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = 8, 1 \cdot 1 0^{- 3} \Rightarrow v = \frac{2 \cdot 8 , 1 \cdot 1 0 ^{- 3}}{1 0 ^{- 3}}$
  $v \approx 4, 02$ m/s
Respuesta final: $E_{m} = 9 \cdot 1 0^{- 3}$ J (inicial y a $10 d$ ); $v \approx 4, 02$ m/s.
18. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio C4
Una espira circular de radio 30 cm, contenida en el plano $X Y$ , se encuentra en una zona con un campo magnético uniforme $B = 5 k$ T. Durante 0,1 s el campo magnético aumenta de forma constante hasta valer $10 k$ T. ¿Cuánto valdrá la fuerza electromotriz inducida durante el proceso? Indica cuál será el sentido de la corriente inducida en la espira mediante una figura. Justifica las respuestas indicando la ley física en que te basas.
1. 1. Ley de Faraday
  $ε = - \frac{d Φ}{d t}$ , $Φ = B S cos 0^{\circ}$ ( $B ∥$ normal de la espira)
  —
2. 2. Superficie y variación del flujo
  $S = π r^{2} = π \cdot 0, 3 0^{2} = 0, 2827$ m $^{2}$ ; $ΔΦ = S Δ B = 0, 2827 \cdot 5$
  $ΔΦ = 1, 414$ Wb
3. 3. F.e.m.
  $∣ ε ∣ = \frac{ΔΦ}{Δ t} = \frac{1 , 414}{0 , 1}$
  $∣ ε ∣ \approx 14, 1$ V ( $ε = - 14, 1$ V)
4. 4. Sentido (Lenz)
  El flujo en $+ z$ aumenta: la corriente inducida crea un campo en $- z$ para oponerse
  Sentido horario visto desde $+ z$
Respuesta final: $∣ ε ∣ \approx 14, 1$ V; corriente inducida en sentido horario (visto desde $+ z$ ).
19. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio P2
Dada la distribución de cargas de la figura, calcula: Dato: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ C $^{- 2}$ .
- a)El valor de la carga $q$ para que el campo eléctrico sea nulo en el punto $(0, 1)$ m.
- b)El trabajo necesario para llevar una carga de 5 $μ$ C desde el infinito (donde tiene energía cinética nula) hasta el punto $(0, 1)$ m.
Apartado a
1. 1. Campos de $q_{1}$ y $q_{2}$ en $(0, 1)$
  Distancia $2$ m cada una: $E = \frac{k \cdot 1 0 ^{- 6}}{2} = 4500$ N/C; componentes $x$ opuestas (se anulan), componentes $y$ iguales
  $E_{y} = 2 \cdot 4500 \cdot \frac{1}{2} = 6364$ N/C hacia $+ y$
2. 2. Condición de campo nulo
  $q$ en $(0, 0)$ a 1 m del punto: $E_{q} = \frac{k q}{1 ^{2}} j$ debe ser $- 6364 j$
  $q = - \frac{6364}{9 \cdot 1 0 ^{9}} = - 7, 07 \cdot 1 0^{- 7}$ C
Apartado b
1. 1. Potencial en $(0, 1)$
  $V = \frac{k q _{1}}{2} + \frac{k q _{2}}{2} + \frac{k q}{1} = 12728 - 6364$
  $V = 6364$ V
2. 2. Trabajo
  $W_{e x t} = q^{'} (V - V_{\infty}) = 5 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 6364$
  $W_{e x t} \approx 3, 18 \cdot 1 0^{- 2}$ J
Respuesta final: $q \approx - 0, 707 μ$ C; $V = 6364$ V; $W_{e x t} \approx 3, 18 \cdot 1 0^{- 2}$ J.
20. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio C3
La línea discontinua de la figura representa la trayectoria de una carga $q$ entre las posiciones 1 y 2 dentro de un campo magnético uniforme $B$ . Escribe el nombre y la expresión de la fuerza que el campo ejerce sobre dicha carga. Determina razonadamente el signo de la carga. Explica cuál sería la forma de la trayectoria si por el punto 1 entrara un neutrón con velocidad $v$ .
1. 1. Fuerza
  Fuerza de Lorentz (magnética): $F = q v \times B$
  $∣ F ∣ = q v B sin θ$
2. 2. Signo de la carga
  En 1: $v = v j$ , $B = B k$ (saliente): $v \times B = v B i$ . La trayectoria curva hacia $+ x$ , luego $F ∥ + i$
  $q > 0$
3. 3. Neutrón
  Carga nula: $F = q v \times B = 0$
  Trayectoria rectilínea y uniforme
Respuesta final: $F = q v \times B$ ; $q > 0$ ; el neutrón describe una trayectoria rectilínea.
21. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio C4
Un hilo conductor rectilíneo de gran longitud, situado a lo largo del eje $X$ , transporta una corriente $I = 50$ A en sentido positivo. Determina las coordenadas de los puntos sobre el eje $Y$ en los que el módulo del campo magnético generado sea $B = 1 0^{- 5}$ T. Representa la corriente, las líneas de campo magnético y el vector $B$ en dichos puntos. Escribe la expresión vectorial del campo magnético en dichos puntos. Dato: $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7}$ T m/A.
B = μ₀I/(2πr) = 10⁻⁵ T a r = 1 m
1. 1. Módulo del campo de un hilo
  $B = \frac{μ _{0} I}{2 π d} \Rightarrow d = \frac{μ _{0} I}{2 π B} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 50}{1 0 ^{- 5}}$
  $d = 1$ m
2. 2. Puntos
  Puntos del eje $Y$ a 1 m del eje $X$
  $(0, 1, 0)$ m y $(0, - 1, 0)$ m
3. 3. Vectores
  $B ∥ I \times \overset{r}{^}$ : en $(0, 1)$ : $\overset{}{^} \times \overset{}{^} = \hat{k}$ ; en $(0, - 1)$ : $\overset{}{^} \times (- \overset{}{^}) = - \hat{k}$
  $B = + 1 0^{- 5} k$ T en $(0, 1)$ ; $B = - 1 0^{- 5} k$ T en $(0, - 1)$
Respuesta final: $d = 1$ m; puntos $(0, \pm 1)$ m; $B = \pm 1 0^{- 5} k$ T.
22. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio P1
Dos cargas puntuales, $q_{1} = 4 μ$ C y $q_{2} = - 2 μ$ C, se encuentran en $(0, 0)$ m y $(1, 0)$ m respectivamente. Dato: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ C $^{- 2}$ .
- a)Calcula razonadamente el vector campo eléctrico total en el punto $(1, 1)$ m. Representa gráficamente en dicho punto los vectores campo eléctrico involucrados.
- b)Razona por qué el campo total sobre puntos del eje $X$ solo se puede anular cuando $x > 1$ m. Calcula razonadamente el punto en que dicho campo se anula.
Apartado a
1. 1. Campo de $q_{1}$ en $(1, 1)$
  $r_{1} = 2$ m; $E_{1} = \frac{k q _{1}}{r _{1}^{2}} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 4 \cdot 1 0 ^{- 6}}{2} = 1, 8 \cdot 1 0^{4}$ N/C; repulsiva, dirección $(1, 1) / 2$
  $E_{1} = (1, 27 \cdot 1 0^{4}, 1, 27 \cdot 1 0^{4})$ N/C
2. 2. Campo de $q_{2}$ en $(1, 1)$
  $r_{2} = 1$ m; $E_{2} = \frac{k q _{2}}{1} = 1, 8 \cdot 1 0^{4}$ N/C; atractiva hacia $(1, 0)$ : sentido $- j$
  $E_{2} = (0, - 1, 8 \cdot 1 0^{4})$ N/C
3. 3. Campo total
  $E = E_{1} + E_{2} = (12728, 12728 - 18000)$
  $E \approx (1, 27 \cdot 1 0^{4}, - 5, 27 \cdot 1 0^{3})$ N/C; $∣ E ∣ \approx 1, 38 \cdot 1 0^{4}$ N/C
Apartado b
1. 1. Razonamiento sobre el eje $X$
  $x < 0$ : $E_{1}$ y $E_{2}$ tienen sentidos opuestos, pero $∣ E_{1} ∣ > ∣ E_{2} ∣$ (más carga y más cerca). $0 < x < 1$ : ambos apuntan a $+ x$ (repulsión de $q_{1}$ , atracción hacia $q_{2}$ ) y se suman. $x > 1$ : $E_{1}$ apunta a $+ x$ y $E_{2}$ a $- x$
  El campo solo puede anularse en $x > 1$ m
2. 2. Punto de campo nulo
  $\frac{k ∣ q _{1} ∣}{x ^{2}} = \frac{k ∣ q _{2} ∣}{( x - 1 ) ^{2}} \Rightarrow \frac{x - 1}{x} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
  $x = \frac{1}{1 - 1/ 2} = 2 + 2 \approx 3, 41$ m
Respuesta final: $E (1, 1) \approx (1, 27 \cdot 1 0^{4}, - 5, 27 \cdot 1 0^{3})$ N/C; el campo se anula en $x = 2 + 2 \approx 3, 41$ m.
23. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio C2
El diagrama muestra dos cargas de magnitudes $- q$ y $9 q$ con $q > 0$ . Razona cuál de los vectores dibujados representa el vector campo eléctrico total en el punto $P$ . Si los puntos $P$ y $S$ pertenecen a la misma superficie equipotencial, ¿cuál es el trabajo realizado al llevar una carga $Q$ desde el punto $P$ hasta el punto $S$ ?
En P: E₁ hacia −q, E₂ alejándose de 9q; el total apunta abajo y a la izquierda
1. 1. Geometría
  $d_{- q} = 1$ m (abajo, vertical); $d_{9 q} = 3$ m
  $cos α = 8 /3$ , $sin α = 1/3$ ( $α$ : ángulo del segmento P–9q con la horizontal)
2. 2. Campo de $- q$
  $E_{1} = \frac{k q}{1 ^{2}}$ , atractivo hacia $- q$
  $E_{1} = k q (0, - 1)$
3. 3. Campo de $9 q$
  $E_{2} = \frac{k \cdot 9 q}{3 ^{2}} = k q$ , repulsivo (alejándose de $9 q$ )
  $E_{2} = k q (- 0, 943, + 0, 333)$
4. 4. Campo total
  $E = E_{1} + E_{2} = k q (- 0, 943, - 0, 667)$
  Vector $c$ (abajo-izquierda, $\approx 3 5^{\circ}$ bajo la horizontal)
5. 5. Trabajo P→S
  $W = - Q (V_{S} - V_{P}) = 0$ ( $V_{S} = V_{P}$ )
  $W = 0$
Respuesta final: Campo total: vector $c$ ; $W_{P \to S} = 0$ .
24. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio C3
Un protón se mueve con velocidad $v$ y describe una trayectoria circular en un ciclotrón en el que hay un campo magnético constante $B$ , perpendicular a $v$ . Escribe la expresión de la fuerza que actúa sobre el protón y representa los vectores velocidad, campo magnético y fuerza. Razona por qué la trayectoria es circular. ¿Cómo cambiaría la trayectoria si se tratara de un neutrón?
1. 1. Fuerza
  Fuerza de Lorentz: $F = q v \times B$ , con $∣ F ∣ = q v B$ ( $v ⊥ B$ )
  $F = e v B$
2. 2. Trayectoria circular
  $F ⊥ v$ en todo instante y de módulo constante: no cambia $∣ v ∣$ , solo su dirección
  $F = m \frac{v ^{2}}{R} \Rightarrow R = \frac{m v}{e B}$ (circunferencia)
3. 3. Neutrón
  Carga nula: $F = 0$
  Trayectoria rectilínea con velocidad constante
Respuesta final: $F = q v \times B$ ; trayectoria circular de radio $m v / (e B)$ ; el neutrón iría en línea recta.
25. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio C4
En la figura se muestra una espira circular en el seno de un campo magnético dirigido hacia dentro del plano del papel. Razona si se genera corriente inducida en la espira y en qué sentido, en los siguientes casos: a) el módulo del campo magnético disminuye y la espira permanece fija; b) el radio de la espira aumenta progresivamente y el módulo del campo magnético permanece constante.
1. 1. Ley de Faraday-Lenz
  $ε = - \frac{d Φ}{d t}$ ; $B$ entrante
  —
2. 2. a) $B$ disminuye
  El flujo entrante disminuye ⇒ la espira crea un campo que lo refuerza (entrante)
  Corriente horaria
3. 3. b) $r$ aumenta
  El flujo entrante $B S$ aumenta ⇒ la espira crea un campo saliente
  Corriente antihoraria
Respuesta final: a) corriente inducida horaria; b) antihoraria.
26. 2023 · Extraordinaria 2023 · Ejercicio P2
Dos cargas eléctricas de valor $q_{A} = + 2 μ$ C y $q_{B} = - 2 μ$ C están situadas en los puntos $A (3, 0)$ m y $B (0, 3)$ m, respectivamente. Dato: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ .
- a)Calcula y representa en el punto $C (3, 3)$ m los vectores campo eléctrico generados por cada una de las cargas y el campo eléctrico total.
- b)Calcula el potencial eléctrico en el punto $D (4, 4)$ m. Determina el trabajo para trasladar una carga de $1 0^{- 6}$ C desde el infinito hasta el punto $D$ (potencial nulo en el infinito).
Apartado a
1. 1. Distancias
  $A C = 3$ m (vertical), $B C = 3$ m (horizontal)
  —
2. 2. Campo de $q_{A}$ en C
  $E_{A} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 2 \cdot 1 0 ^{- 6}}{3 ^{2}} = 2000$ N/C, repulsivo: de A hacia C
  $E_{A} = (0, 2000)$ N/C
3. 3. Campo de $q_{B}$ en C
  $E_{B} = 2000$ N/C, atractivo: de C hacia B
  $E_{B} = (- 2000, 0)$ N/C
4. 4. Campo total
  $E = E_{A} + E_{B} = (- 2000, 2000)$
  $∣ E ∣ = 2828$ N/C, a $13 5^{\circ}$ del eje $+ x$
Apartado b
1. 1. Potencial en D
  $d_{A} = d_{B} = 1^{2} + 4^{2} = 17$ m; $V_{D} = k \frac{q _{A} + q _{B}}{17} = k \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 6} - 2 \cdot 1 0 ^{- 6}}{17}$
  $V_{D} = 0$
2. 2. Trabajo
  $W_{e x t} = q (V_{D} - V_{\infty}) = 1 0^{- 6} \cdot 0$
  $W = 0$
Respuesta final: $E_{C} = (- 2000, 2000)$ N/C ( $2, 83 \cdot 1 0^{3}$ N/C a $13 5^{\circ}$ ); $V_{D} = 0$ ; $W = 0$ .
27. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio C2
Dos cargas puntuales $q = - 1$ nC están situadas en los puntos A y B de la circunferencia de radio $r$ de la figura. Representa en el punto O el vector campo eléctrico generado por cada carga y el vector campo total, indicando el ángulo que forma este último con el eje $x$ . Razona el signo y valor de la carga $Q$ que habrá que situar en el punto C (equidistante de A y B) para que el campo total de las tres cargas sea nulo en el punto O.
1. 1. Campo de cada carga en O
  $E = \frac{k ∣ q ∣}{r ^{2}}$ cada una; cargas negativas: el campo apunta hacia la carga. $E_{A} = - E i$ ; $E_{B} = + E j$
  Dos vectores de módulo $E$
2. 2. Campo total
  $E_{A B} = E (- i + j)$
  $∣ E_{A B} ∣ = 2 E$ a $13 5^{\circ}$ del eje $+ x$
3. 3. Carga Q en C ( $- 4 5^{\circ}$ )
  El campo de $Q$ debe valer $E (i - j)$ : apunta hacia C ⇒ atractivo ⇒ $Q < 0$ ; $\frac{k ∣ Q ∣}{r ^{2}} = 2 \frac{k ∣ q ∣}{r ^{2}}$
  $Q = 2 q = - 1, 41$ nC
Respuesta final: $E_{t o t}$ a $13 5^{\circ}$ con $+ x$ , módulo $2 k q / r^{2}$ ; $Q = 2 q = - 1, 41$ nC.
28. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio C3
Un imán se mueve con velocidad $v$ , acercándose perpendicularmente al plano de una espira conductora circular, como indica la figura. Razona por qué se induce una corriente en la espira, basándote en la ley que explica este fenómeno. Explica el sentido de la corriente inducida y dibújalo sobre la espira. ¿Cuál es la corriente inducida si el imán permanece quieto?
1. 1. Ley de Faraday-Lenz
  $ε = - \frac{d Φ}{d t}$ , $Φ = B \cdot S$
  El imán que se acerca aumenta $∣Φ∣$ ⇒ $ε \neq = 0$ ⇒ corriente inducida
2. 2. Sentido
  Polo $N$ hacia la espira: $B$ del imán apunta hacia abajo ( $- z$ ) y crece. Lenz: la espira crea $B_{in d}$ hacia arriba ( $+ z$ )
  Corriente antihoraria vista desde arriba (desde $+ z$ )
3. 3. Imán en reposo
  $d Φ/ d t = 0$
  $I_{in d} = 0$
Respuesta final: Por la variación de flujo (Faraday-Lenz); corriente antihoraria vista desde $+ z$ ; con el imán quieto no hay corriente inducida.
29. 2023 · Ordinaria 2023 · Ejercicio P2
Se tienen tres conductores rectilíneos muy largos y paralelos entre sí. Por dos de los conductores circulan corrientes $I_{1} = 2, 0$ A e $I_{2} = 4, 0$ A en el sentido que se indica en la figura. Dato: $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7}$ T m/A.
- a)Calcula la intensidad y el sentido de la corriente en el otro conductor $I_{3}$ para que el campo magnético en el punto P de la figura sea nulo.
- b)El vector campo magnético en el punto S es $B_{S} = - 7, 5 \cdot 1 0^{- 7} k$ T. Determina la fuerza que actúa sobre una carga de 1 $μ$ C que pasa por S con una velocidad $v = - 1 0^{5} j$ m/s.
Posiciones de los hilos respecto a P (I₃ sentido −y)
Apartado a
1. 1. Campos de $I_{1}$ e $I_{2}$ en P
  P a 4 cm y 8 cm a la izquierda; $B = \frac{μ _{0} I}{2 π d}$ : $B_{1} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 2}{0 , 04} = 1 0^{- 5}$ T; $B_{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 4}{0 , 08} = 1 0^{- 5}$ T
  $B_{1, 2} = + 2 \cdot 1 0^{- 5} k$ T (saliente)
2. 2. Campo necesario de $I_{3}$
  $B_{3} = - 2 \cdot 1 0^{- 5} k$ (entrante) a 20 cm: $B_{3} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} I _{3}}{0 , 20} = 2 \cdot 1 0^{- 5}$
  $I_{3} = 20$ A
3. 3. Sentido
  Hacia abajo ( $- y$ )
  $I_{3} = - 20 j$ A
Apartado b
1. 1. Fuerza de Lorentz
  $F = q v \times B = 1 0^{- 6} (- 1 0^{5} j) \times (- 7, 5 \cdot 1 0^{- 7} k) = 7, 5 \cdot 1 0^{- 8} (j \times k)$
  $F = 7, 5 \cdot 1 0^{- 8} i$ N
Respuesta final: $I_{3} = 20$ A hacia $- y$ ; $F = 7, 5 \cdot 1 0^{- 8} i$ N.
30. 2022 · Extraordinaria 2022 · Ejercicio C3
Una carga de $3 μ$ C entra con velocidad $v = 1 0^{4} $ m/s en una región del espacio en la que existe un campo eléctrico $E = 1 0^{4} $ N/C y un campo magnético $B = ( + k)$ T. Determina el valor de las fuerzas eléctrica, magnética y total que actúan sobre la carga.
1. 1. Fuerza eléctrica
  $F_{e} = q E = 3 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 1 0^{4} $
  $F_{e} = 0, 03 $ N
2. 2. Fuerza magnética
  $F_{m} = q v \times B = 3 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 1 0^{4} ( \times ( + k))$ , con $ \times  = 0$ y $ \times k = - $
  $F_{m} = - 0, 03 $ N
3. 3. Fuerza total (Lorentz)
  $F = F_{e} + F_{m} = 0, 03  - 0, 03 $
  $F = 0$
Respuesta final: $F_{e} = 0, 03 $ N; $F_{m} = - 0, 03 $ N; $F = 0$ .
31. 2022 · Extraordinaria 2022 · Ejercicio C4
El circuito de la figura está formado por una barra metálica que desliza sobre un conductor en forma de $⊐$ . Sobre dicho circuito actúa un campo magnético perpendicular al plano $x y$ , como aparece en la figura. Razona por qué se genera una corriente inducida en el circuito y cuál es su sentido (indícalo claramente con un dibujo). Escribe la ley física en la que te basas para responder, indicando las magnitudes que aparecen en ella.
1. 1. Ley de Faraday-Lenz
  $ε = - \frac{d Φ}{d t}, Φ = B \cdot S = B S cos α$
2. 2. Por qué aparece corriente
  La barra se desplaza con velocidad $v$ hacia $+ x$ : el área del circuito aumenta ( $S = L x$ ) y, con $B$ constante, el flujo aumenta en el tiempo
  $ε = - B L v \neq = 0$
3. 3. Sentido (Lenz)
  $B$ entra en el plano ( $\otimes$ , sentido $- z$ ) y el flujo aumenta; la corriente inducida crea un campo que se opone al aumento, es decir, saliente ( $+ z$ ) dentro de la espira
  Corriente en sentido antihorario
Respuesta final: Hay corriente inducida porque aumenta el flujo; por la ley de Lenz, su sentido es antihorario. $ε = - d Φ/ d t = - B Lv$ .
32. 2022 · Extraordinaria 2022 · Ejercicio P2
Una carga puntual $q_{1} = - 5 μ$ C está situada en el punto $A (3, - 4)$ m y otra segunda, $q_{2} = 4 μ$ C, en el punto $B (0, - 5)$ m. Dato: constante de Coulomb, $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ .
- a)Calcula los vectores campo eléctrico debidos a cada carga y el campo eléctrico total en el origen de coordenadas $O (0, 0)$ m. Representa los tres vectores.
- b)Calcula el potencial eléctrico total producido por las dos cargas en el origen de coordenadas. Calcula el trabajo necesario para trasladar una carga $Q = 1 μ$ C desde el infinito hasta dicho punto considerando nulo el potencial en el infinito.
Apartado a
1. 1. Distancias y vectores unitarios hacia $O$
  $r_{1} = 3^{2} + 4^{2} = 5$ m, $u_{1} = \frac{( - 3 , 4 )}{5}$ ; $r_{2} = 5$ m, $u_{2} = (0, 1)$
2. 2. Campo de $q_{1}$
  $E_{1} = \frac{k q _{1}}{r _{1}^{2}} u_{1} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} ( - 5 \cdot 1 0 ^{- 6} )}{25} (- 0, 6  + 0, 8 )$
  $E_{1} = (1080  - 1440 )$ N/C
3. 3. Campo de $q_{2}$
  $E_{2} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 4 \cdot 1 0 ^{- 6}}{25} $
  $E_{2} = 1440 $ N/C
4. 4. Campo total y representación
  $E = E_{1} + E_{2} = 1080  + (- 1440 + 1440) $
  $E = 1080 $ N/C
Apartado b
1. 1. Potencial total en $O$
  $V = k (\frac{q _{1}}{r _{1}} + \frac{q _{2}}{r _{2}}) = 9 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{- 5 \cdot 1 0 ^{- 6} + 4 \cdot 1 0 ^{- 6}}{5}$
  $V = - 1800$ V
2. 2. Trabajo para traer $Q$ desde el infinito
  $W_{e x t} = Δ E_{p} = Q (V_{O} - V_{\infty}) = 1 0^{- 6} \cdot (- 1800)$
  $W = - 1, 8 \cdot 1 0^{- 3}$ J
Respuesta final: a) $E_{1} = (1080, - 1440)$ , $E_{2} = (0, 1440)$ , $E = (1080, 0)$ N/C. b) $V = - 1800$ V; $W = Q V = - 1, 8 \cdot 1 0^{- 3}$ J.
33. 2022 · Ordinaria 2022 · Ejercicio C2
El potencial eléctrico en el punto A de la figura es nulo y $q_{2} = 1$ nC. Determina el valor de la carga $q_{1}$ y el potencial eléctrico en el punto B. Dato: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ .
1. 1. Potencial en A
  $V_{A} = k (\frac{q _{1}}{4} + \frac{q _{2}}{5}) = 0$ (distancias: $4$ m a $q_{1}$ , $4^{2} + 3^{2} = 5$ m a $q_{2}$ )
  $q_{1} = - \frac{4}{5} q_{2}$
2. 2. Valor de $q_{1}$
  $q_{1} = - 0, 8 \cdot 1$ nC
  $q_{1} = - 0, 8$ nC
3. 3. Potencial en B
  $V_{B} = k (\frac{q _{1}}{5} + \frac{q _{2}}{4}) = 9 \cdot 1 0^{9} (- 1, 6 \cdot 1 0^{- 10} + 2, 5 \cdot 1 0^{- 10})$
  $V_{B} = 0, 81$ V
Respuesta final: $q_{1} = - 0, 8$ nC; $V_{B} = 0, 81$ V.
34. 2022 · Ordinaria 2022 · Ejercicio C3
Una partícula cargada entra con velocidad constante $v$ en el seno de un campo magnético uniforme no nulo $B$ . Escribe qué fuerza aparece sobre la partícula y razona en qué condiciones esta será nula y en qué condiciones será máxima.
1. 1. Fuerza
  Fuerza de Lorentz magnética: $F = q v \times B$ , $∣ F ∣ = q v B sin θ$
  —
2. 2. Nula
  $sin θ = 0$ : $v ∥ B$ (o $v = 0$ , o $q = 0$ )
  $F = 0$ si $v$ y $B$ son paralelos
3. 3. Máxima
  $sin θ = 1$ : $v ⊥ B$
  $F_{ma x} = q v B$
Respuesta final: $F = q v \times B$ ; nula si $v ∥ B$ ; máxima ( $q v B$ ) si $v ⊥ B$ .
35. 2022 · Ordinaria 2022 · Ejercicio C4
Por un hilo rectilíneo indefinido circula una corriente uniforme de intensidad $I$ . Escribe la expresión del módulo del vector campo magnético $B$ generado por dicha corriente y dibuja razonadamente dicho vector en un punto P situado a una distancia $d$ del hilo. Si el módulo del campo magnético en ese punto es de 100 $μ$ T, deduce cuánto valdrá en un punto que se encuentre a una distancia $d /2$ (expresa el resultado en teslas).
B ∝ 1/d: a d/2 el campo se duplica
1. 1. Módulo
  $B = \frac{μ _{0} I}{2 π d}$
  $B \propto 1/ d$
2. 2. A $d /2$
  $B^{'} = \frac{μ _{0} I}{2 π ( d /2 )} = 2 B = 2 \cdot 100 μ T$
  $B^{'} = 2 \cdot 1 0^{- 4}$ T
Respuesta final: $B = μ_{0} I / (2 π d)$ , tangente a la circunferencia de radio $d$ ; a $d /2$ : $B^{'} = 2 \cdot 1 0^{- 4}$ T.
36. 2022 · Ordinaria 2022 · Ejercicio P2
Una carga puntual fija $q_{1} = 1 0^{- 9}$ C se encuentra situada a 1 m de otra carga puntual fija $q_{2} = - 2 q_{1}$ . Datos: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ ; $m_{p} = 1, 67 \cdot 1 0^{- 27}$ kg; $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.
- a)Determina el punto de la recta que contiene las cargas en el cual el campo eléctrico es nulo.
- b)Un protón con velocidad inicial nula se deja libre entre $q_{1}$ y $q_{2}$ , a 90 cm de $q_{2}$ . Determina la diferencia de energía potencial del protón entre el punto inicial y un punto situado a 10 cm de $q_{2}$ . ¿Qué velocidad tendrá el protón cuando alcance este último punto?
Apartado a
1. 1. Zona posible
  Entre las cargas ambos campos apuntan hacia $q_{2}$ y se suman; más allá de $q_{2}$ domina $q_{2}$ (mayor carga y más cerca); el campo solo puede anularse al lado de la carga menor, fuera del segmento (a la izquierda de $q_{1}$ )
  Punto en $x < 0$ (eje con $q_{1}$ en 0 y $q_{2}$ en 1 m)
2. 2. Valor
  $\frac{k q _{1}}{x ^{2}} = \frac{k 2 q _{1}}{( x + 1 ) ^{2}} \Rightarrow \frac{x + 1}{x} = 2$
  $x = \frac{1}{2 - 1} = 2, 41$ m a la izquierda de $q_{1}$ (a 3,41 m de $q_{2}$ )
Apartado b
1. 1. Potenciales
  $V = k (\frac{q _{1}}{r _{1}} + \frac{q _{2}}{r _{2}})$ ; inicio ( $r_{1} = 0, 1$ , $r_{2} = 0, 9$ ): $V_{i} = 9 \cdot 1 0^{9} (\frac{1 0 ^{- 9}}{0 , 1} - \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 9}) = 70$ V; final ( $r_{1} = 0, 9$ , $r_{2} = 0, 1$ ): $V_{f} = 9 \cdot 1 0^{9} (\frac{1 0 ^{- 9}}{0 , 9} - \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 1}) = - 170$ V
  $V_{i} = 70$ V; $V_{f} = - 170$ V
2. 2. Diferencia de energía potencial
  $Δ E_{p} = q (V_{f} - V_{i}) = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \cdot (- 240)$
  $Δ E_{p} = - 3, 84 \cdot 1 0^{- 17}$ J
3. 3. Velocidad
  $\frac{1}{2} m_{p} v^{2} = - Δ E_{p} \Rightarrow v = \frac{2 \cdot 3 , 84 \cdot 1 0 ^{- 17}}{1 , 67 \cdot 1 0 ^{- 27}}$
  $v \approx 2, 14 \cdot 1 0^{5}$ m/s
Respuesta final: Campo nulo a 2,41 m a la izquierda de $q_{1}$ ; $Δ E_{p} = - 3, 84 \cdot 1 0^{- 17}$ J; $v \approx 2, 14 \cdot 1 0^{5}$ m/s.
37. 2021 · Extraordinaria 2021 · Ejercicio C2
Cuatro cargas puntuales están situadas en los vértices A, B, C y D de un cuadrado de 2 m de lado, como se indica en la figura. Si $q = 2 /2$ nC, calcula y representa los vectores campo eléctrico generados por cada una de las cargas y el total, en el centro del cuadrado, punto O. Dato: constante de Coulomb, $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ .
En O: E_A = E_C y E_B = E_D; las componentes y se anulan y E apunta a +x
1. 1. Geometría (A $(0, 0)$ con $+ q$ , B $(0, 2)$ con $+ q$ , C $(2, 2)$ con $- q$ , D $(2, 0)$ con $- q$ ; O $(1, 1)$ )
  Cada vértice dista $r = 2$ m de O; módulo común $E = \frac{k q}{r ^{2}} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 0 , 707 \cdot 1 0 ^{- 9}}{2}$
  $E = 3, 18$ N/C
2. 2. Vectores (positivas: alejan; negativas: acercan)
  $E_{A} = E \frac{( 1 , 1 )}{2}, E_{B} = E \frac{( 1 , - 1 )}{2}, E_{C} = E \frac{( 1 , 1 )}{2}, E_{D} = E \frac{( 1 , - 1 )}{2}$
  Cada uno: $(2, 25; \pm 2, 25)$ N/C
3. 3. Campo total (superposición)
  $E = \sum E_{i} = 4 \cdot 2, 25 $
  $E = 9, 0 $ N/C
Respuesta final: Cada carga crea $E = 3, 18$ N/C en O; el campo total es $E = 9, 0 $ N/C.
38. 2021 · Extraordinaria 2021 · Ejercicio C3
Una partícula de carga $q < 0$ entra con velocidad $v$ en una región en la que hay un campo magnético uniforme normal al plano del papel, tal y como se muestra en la figura. Escribe la expresión del vector fuerza magnética que actúa sobre la carga. Razona si la trayectoria mostrada es correcta y representa razonadamente, en el punto P, los vectores velocidad y fuerza magnética.
1. 1. Fuerza de Lorentz
  $F = q v \times B$
2. 2. Sentido de la curvatura (figura: $B$ entrante, $v$ hacia $+ x$ , $q < 0$ )
  $v \times B = v \overset{}{^} \times (- B \hat{k}) = + v B \overset{}{^}$ ; con $q < 0$ : $F = - ∣ q ∣ v B \overset{}{^}$
  La fuerza inicial apunta hacia abajo: la trayectoria que se curva hacia abajo es correcta
3. 3. Vectores en P
  Movimiento circular uniforme en sentido horario, $r = \frac{m v}{∣ q ∣ B}$
  $v$ tangente a la circunferencia en P (hacia abajo); $F$ radial hacia el centro (hacia la izquierda)
Respuesta final: $F = q v \times B$ ; la trayectoria curvada hacia abajo es correcta para $q < 0$ con $B$ entrante; en P $v$ es tangente y $F$ apunta al centro.
39. 2021 · Extraordinaria 2021 · Ejercicio C4
Una espira rectangular se sitúa en las cercanías de un hilo conductor rectilíneo de gran longitud, recorrido por una corriente eléctrica cuya intensidad aumenta con el tiempo. Razona por qué aparecerá una corriente en la espira, indica cuál será su sentido y enuncia la ley del electromagnetismo que explica este fenómeno.
1. 1. Campo del hilo sobre la espira (figura: $I$ hacia la derecha; espira debajo del hilo)
  $B = \frac{μ _{0} I}{2 π d}$ ; por la regla de la mano derecha, debajo del hilo $B$ es entrante en el papel
2. 2. Ley de Faraday-Lenz
  $ε = - \frac{d Φ}{d t} \neq = 0$
  Aparece una fem inducida y, al ser un circuito cerrado, una corriente
3. 3. Sentido (Lenz)
  El flujo entrante aumenta; la corriente inducida crea un campo saliente en el interior de la espira para oponerse al aumento
  Corriente en sentido antihorario
Respuesta final: Aumenta el flujo, luego $ε = - d Φ/ d t \neq = 0$ (Faraday); por Lenz la corriente inducida es antihoraria.
40. 2021 · Extraordinaria 2021 · Ejercicio P2
Una partícula con carga negativa entra con velocidad constante $v = 2 \cdot 1 0^{5} $ m/s en una región del espacio en la que hay un campo eléctrico uniforme $E = 4 \cdot 1 0^{4} $ N/C y un campo magnético uniforme $B = - B k$ T, siendo $B > 0$ .
- a)Calcula el valor de $B$ necesario para que el movimiento de la partícula sea rectilíneo y uniforme. Representa claramente los vectores $v$ , $E$ , $B$ , la fuerza magnética y la fuerza eléctrica.
- b)En un instante dado se anula el campo eléctrico y el módulo de la fuerza que actúa sobre la partícula a partir de ese instante es $6, 4 \cdot 1 0^{- 15}$ N. Determina el valor de la carga de la partícula.
Apartado a
1. 1. Fuerzas ( $q < 0$ )
  $F_{e} = q E = - ∣ q ∣ 4 \cdot 1 0^{4} $ (hacia $- x$ ); $F_{m} = q v \times B = q (2 \cdot 1 0^{5} ) \times (- B k) = q (- 2 \cdot 1 0^{5} B)  = + ∣ q ∣ 2 \cdot 1 0^{5} B $ (hacia $+ x$ )
2. 2. Movimiento rectilíneo uniforme: fuerza total nula
  $∣ q ∣ E = ∣ q ∣ v B \Rightarrow B = \frac{E}{v} = \frac{4 \cdot 1 0 ^{4}}{2 \cdot 1 0 ^{5}}$
  $B = 0, 2$ T
Apartado b
1. 1. Sin campo eléctrico solo queda la fuerza magnética
  $F = ∣ q ∣ v B \Rightarrow ∣ q ∣ = \frac{F}{v B} = \frac{6 , 4 \cdot 1 0 ^{- 15}}{2 \cdot 1 0 ^{5} \cdot 0 , 2}$
  $∣ q ∣ = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C
Respuesta final: a) $B = 0, 2$ T. b) $q = - 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.