Transformaciones geométricas: homología, afinidad, semejanza · Dibujo Técnico II (con soluciones)
PAU Comunitat Valenciana · 5 ejercicios, del más reciente al más antiguo
1. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 1A · Opción A
Dados los puntos A′ y B′, afines de A y B respectivamente, y sabiendo que la afinidad es ortogonal: represente el eje y la dirección de afinidad (0,7 p.) y obtenga la figura afín a la ABCDEF (0,8 p.). Datos (mm, origen en A): A = A′ = (0 ; 0), B = (24,2 ; 36,3), C = (−13,6 ; 61,8), D = (−51,4 ; 5,4), E = (−41,1 ; −9,3), F = (−27,1 ; 17,8), B′ = (42,6 ; 16,8).
- a)Represente el eje y la dirección de afinidad (0,7 p.).
- b)Obtenga la figura afín a la ABCDEF (0,8 p.).
Dirección d = BBp y eje e ⟂ d por A (afinidad ortogonal) Afines de C, D, E, F con la pareja B–Bp (puntos dobles Q sobre e) Figura afín ApBpCpDpEpFp y original ABCDEF Apartado a
1. Dirección de afinidad. Cada punto y su afín están en una recta de dirección d: d es la recta que une B con B′. Se traza BB′.
d = BB′
d forma 46,5° con la horizontal (apunta a la derecha y abajo); |BB′| = 26,8 mm
2. Eje. A coincide con A′ (A = A′): un punto que se corresponde consigo mismo está en el eje, así que el eje pasa por A. Al ser ortogonal la afinidad, el eje es perpendicular a la dirección d: se traza por A la perpendicular a BB′.
e ⟂ d, e ∋ A
Eje e por A con dirección (0,726 ; 0,688). B está a 9,7 mm del eje y B′ a 17,1 mm al otro lado
Apartado b
1. Afín de cada vértice. Se une cada vértice X con B y se prolonga hasta cortar al eje en Q (punto doble). La recta QB′ es la afín de XB, y el afín X′ es el corte de QB′ con la recta por X paralela a d (perpendicular al eje).
Q = XB ∩ e ; X′ = QB′ ∩ (X + t·d)
Se repite para C, D, E y F; A′ = A (está en el eje)
2. Resultado numérico. La distancia de cada vértice al eje se multiplica por k = −1,761 y cambia de lado: X′ = X + (k − 1)·[(X − A)·n]·n, con n = d.
X′ = X + (k − 1)·dist·n
A′ = (0,0 ; 0,0) ; B′ = (42,6 ; 16,8) ; C′ = (89,3 ; −46,8) ; D′ = (23,2 ; −73,3) ; E′ = (−0,2 ; −52,4) ; F′ = (32,8 ; −45,4) mm
3. Se unen los afines en el mismo orden: A′B′C′D′E′F′. Es un hexágono cóncavo con los lados paralelos a los de ABCDEF cuyas rectas se cortan en el eje.
Polígono A′B′C′D′E′F′
Figura afín como en la figura 3
Respuesta final: Dirección de afinidad d = BB′; eje e perpendicular a d por A (k = −1,761, afinidad ortogonal de razón negativa). Figura afín: A′ = (0,0 ; 0,0) ; B′ = (42,6 ; 16,8) ; C′ = (89,3 ; −46,8) ; D′ = (23,2 ; −73,3) ; E′ = (−0,2 ; −52,4) ; F′ = (32,8 ; −45,4) mm (respecto de A).
2. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 1A · Opción A
Determine el punto C′, transformado de C en la afinidad de eje e y dirección de afinidad d, de forma que el rombo representado se transforme en un rectángulo (0,9 p.). Represente el rectángulo afín (0,6 p.). Datos de la figura (mm sobre el enunciado a tamaño real; origen en C, x a la derecha, y hacia arriba): rombo de diagonales horizontal 59,8 y vertical 34,6; el eje e es una recta horizontal a 27,2 por encima de C; la dirección de afinidad d forma 70,0° con la horizontal (baja hacia la derecha).
- a)Determine el punto C′ (0,9 p.).
- b)Represente el rectángulo afín (0,6 p.).
Los lados TL y TR prolongados cortan al eje e en P y Q (puntos dobles) Arco capaz de 90° sobre PQ y recta de afinidad por T: corta en T′ Resultado: rectángulo afín L′T′R′B′ y punto C′ Apartado a
1. Lectura de la afinidad. Los puntos del eje e son dobles (se transforman en sí mismos) y cada punto X y su afín X′ están en una recta de dirección d. Para que el rombo L-T-R-B pase a ser un rectángulo hay que conseguir que, en el vértice transformado T′, los dos lados formen 90°.
Datos: eje e (horizontal), dirección d, rombo con C centro.
Condición: ∠L′T′R′ = 90°
2. Se prolongan los lados TL y TR hasta cortar el eje e: son los puntos dobles P y Q, por los que pasarán los lados afines T′L′ y T′R′.
P = TL ∩ e ; Q = TR ∩ e
P = (17,1 ; 27,2), Q = (−17,1 ; 27,2) mm
3. Arco capaz de 90° sobre el segmento PQ: la circunferencia de diámetro PQ (centro el punto medio M de PQ). Cualquier punto X de ella cumple ∠PXQ = 90°, que es justo la condición del paso 1.
M = (P+Q)/2, radio = |PQ|/2
M = (0,0 ; 27,2) mm, radio 17,1 mm
4. T′ está en la recta de afinidad que pasa por T (dirección d). Se corta esa recta con la circunferencia de diámetro PQ: salen dos puntos; se toma el del mismo lado del eje que T, de modo que la afinidad conserve la orientación (razón positiva).
T′ = (recta por T con dirección d) ∩ circunferencia de diámetro PQ
T′ = (2,6 ; 10,3) mm. Razón de afinidad k = 1,709
5. Punto C′. C′ está en la recta de afinidad por C. Como C es el punto medio de la diagonal TB y la afinidad conserva los puntos medios, C′ es el punto medio de T′B′ (B′ se obtiene en el paso siguiente). Equivale a trasladar C a lo largo de d la misma razón k.
B′ = B + t·d con t = s(k−1)/|dy| ; C′ = (T′+B′)/2
C′ = (7,0 ; −19,3) mm respecto de C, a 20,5 mm de C sobre la recta de dirección d
Apartado b
1. Rectángulo afín. Los lados T′L′ y T′R′ van de T′ a P y a Q; L′, R′ y B′ están en las rectas por L, R y B paralelas a d. Se cierra con paralelas (los lados opuestos de un rectángulo son paralelos).
L′, R′, B′ por intersección de T′P y T′Q con las rectas de afinidad
L′ = (−22,9 ; −19,3), R′ = (36,9 ; −19,3), B′ = (11,5 ; −48,9) mm. Lados 39,0 × 45,3 mm
Respuesta final: C′ = (7,0 ; −19,3) mm respecto de C (sobre la recta de dirección d por C, a 20,5 mm). El rectángulo afín es L′T′R′B′ con T′ = (2,6 ; 10,3) sobre la circunferencia de diámetro PQ (arco capaz de 90°), de lados 39,0 y 45,3 mm.
3. 2025 · Reserva 2025 (Junio) · Ejercicio 1A · Opción A
Dados los puntos A, B e I, siendo AB el lado de un triángulo e I el incentro del mismo, construya el triángulo ABC (0,7 p.). Si además consideramos I como el centro de una homología de eje E, obtenga el triángulo homólogo, sabiendo que B′ el homólogo del punto B está contenido en la recta m dada (0,8 p.). Datos (mm, origen en A): A sobre E; B = (−58,9 ; −0,1); I = (−26,6 ; 20,3); E y m medidas del dibujo.
- a)Construya el triángulo ABC (0,7 p.).
- b)Obtenga el triángulo homólogo con centro I, eje E y B′ en m (0,8 p.).
Triángulo ABC: AC y BC simétricas de AB respecto de las bisectrices AI y BI Homología de centro I, eje E y Bp ∈ m Triángulo homólogo ApBpCp (Ap = A) Apartado a
1. Lados AC y BC. I es el incentro: AI y BI son bisectrices de los ángulos A y B. Por tanto, el lado AC es el simétrico del lado AB respecto de la bisectriz AI, y el lado BC es el simétrico de BA respecto de BI. Se halla el simétrico de B respecto de AI (con el compás: arcos desde A y desde I) y se traza la recta A–B* ; análogamente para B.
AC = s_{AI}(AB) ; BC = s_{BI}(BA)
AC con dirección (−0,265 ; 0,964) ; BC con dirección (0,433 ; 0,901)
2. Vértice C. Es el corte de las rectas AC y BC (en el semiplano de I).
C = AC ∩ BC
C = (−21,4 ; 78,0) mm. Lados: AB = 58,9, BC = 86,7, CA = 80,9 mm
Apartado b
1. Homología. I es el centro y E el eje. Cada punto, su homólogo y el centro están alineados: B′ está en la recta IB. Como B′ ∈ m, se obtiene como corte de IB con m. A está en el eje E: es doble (A′ = A).
B′ = IB ∩ m ; A′ = A
B′ = (62,6 ; 76,5) mm (al otro lado de I respecto de B: razón de homología −2,761)
2. Vértice C′. El lado BC corta al eje en Q (punto doble): BC y B′C′ se cortan en Q. C′ está en la recta IC y en la recta QB′.
Q = BC ∩ E ; C′ = IC ∩ QB′
Q = (−68,1 ; −19,1) ; C′ = (−27,5 ; 10,6) mm
3. Triángulo homólogo. Se unen A′ (= A), B′ y C′.
A′B′C′
A′ = (0,0 ; 0,0) ; B′ = (62,6 ; 76,5) ; C′ = (−27,5 ; 10,6) mm
Respuesta final: Triángulo ABC con C = (−21,4 ; 78,0) mm (A = (0 ; 0), B = (−58,9 ; −0,1), incentro I = (−26,6 ; 20,3), r = 20,3 mm). Triángulo homólogo: A′ = A = (0 ; 0), B′ = (62,6 ; 76,5) mm y C′ = (−27,5 ; 10,6) mm (coordenadas respecto de A).
4. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio 3
Represente un triángulo ABC en el que el ángulo en C sea de 45° y la longitud AC de 60 mm. De todas las soluciones posibles elija aquella en la que el punto C está lo más cerca posible del borde inferior del papel (0,6 p.). Dados los puntos A′-B′-D′ homólogos de A, B y D respectivamente, determine el centro y el eje de la homología (0,6 p.). Obtenga el triángulo homólogo de ABC (0,3 p.). (1,5 puntos) Datos de la figura (medidos del PDF a tamaño real; origen en A, x a la derecha, y hacia arriba): B = (62,8 ; 14,7); A′ = (22,0 ; 94,7); B′ = (43,9 ; 85,1); D = D′ = (−12,6 ; 47,9) mm.
- a)Triángulo ABC con ∠C = 45° y AC = 60 mm, con C lo más bajo posible (0,6 p.).
- b)Centro y eje de la homología (0,6 p.) y triángulo homólogo de ABC (0,3 p.).
Triángulo ABC: C en la circunferencia (A, 60) y en el arco capaz de 45° más bajo Centro O = AA′ ∩ BB′ y eje e por D y X = AB ∩ A′B′ Triángulo homólogo A′B′C′ Apartado a
1. Lugar geométrico del ángulo. Los puntos desde los que se ve AB bajo 45° forman dos arcos capaces (uno a cada lado de AB). Cada uno es un arco de la circunferencia de radio R = AB/(2·sen 45°) cuyo centro está en la mediatriz de AB, a AB/2 del punto medio. (Se obtienen con el ángulo de 45° en A: perpendicular a la bisectriz del recto en B.)
R = AB/(2 sen 45°); centro a AB/2·cot 45° del punto medio
AB = 64,5 mm; R = 45,6 mm; centros en (24,0 ; 38,8) y (38,8 ; -24,0)
2. Condición AC = 60. Con centro en A y radio 60 se corta cada arco capaz. De los puntos obtenidos (solo valen los que están en el arco mayor, donde el ángulo es 45° y no 135°) se elige el más bajo del papel (menor y).
C ∈ C(A, 60) ∩ arcos capaces; C de menor y
Soluciones válidas: C = (-17,6 ; 57,4) (ángulo 45,00°); C = (9,7 ; -59,2) (ángulo 45,00°)
Apartado b
1. Centro de homología. Cada punto, su homólogo y el centro están alineados: O = AA′ ∩ BB′.
O = AA′ ∩ BB′
O = (30,9 ; 133,1) mm
2. Eje de homología. Dos rectas homólogas se cortan en el eje: AB y A′B′ se cortan en X. El eje pasa por X y por el punto doble D.
eje = X D ; X = AB ∩ A′B′
X = (155,1 ; 36,4) mm; eje de dirección -3,9°
3. Triángulo homólogo. La recta AC corta al eje en Y; su homóloga A′C′ pasa por A′ e Y. C′ está también en la recta OC. Se obtiene C′ = OC ∩ A′Y y se une con A′ y B′.
C′ = OC ∩ A′Y ; Y = AC ∩ eje
Y = (-7,8 ; 47,6) mm; C′ = (27,7 ; 103,6) mm
Respuesta final: C = (9,7 ; -59,2) mm (origen en A), con ∠C = 45° y AC = 60 mm. Centro de homología O = (30,9 ; 133,1) mm; eje por D y X = (155,1 ; 36,4) mm. Triángulo homólogo A′B′C′ con C′ = (27,7 ; 103,6) mm.
5. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio 2
Dado el segmento AB, construya el triángulo equilátero ABC con el vértice C lo más alto posible (0,3 p.). Halle el homólogo de ABC (1,2 p.) sabiendo que: el centro del triángulo es el centro de homología O; la paralela a BC desde el vértice A es el eje de homología E; el homólogo de B está contenido en la recta r dada. (1,5 puntos) Datos de la figura (medidos del PDF a tamaño real; origen en A, x a la derecha, y hacia arriba): B = (92,2 ; −39,1) mm (|AB| = 100,1 mm); la recta r pasa por (156,6 ; −52,0) y (90,6 ; −74,4) mm, con inclinación de unos 18,7° sobre la horizontal.
- a)Construya el triángulo equilátero ABC con C lo más alto posible (0,3 p.).
- b)Halle el homólogo de ABC (1,2 p.).
Datos y triangulo ABC: centro O y eje E paralelo a BC por A B′ = OB ∩ r; B′C′ ∥ BC ∥ E Triángulo homólogo A′B′C′ (A′ = A, por estar en el eje) Apartado a
1. Triángulo equilátero ABC con C lo más alto posible. Con centro en A y en B y radio AB se trazan dos arcos que se cortan en dos puntos (uno por encima de AB y otro por debajo); se toma el de arriba como C.
C = intersección de las circunferencias (A, AB) y (B, AB), la de arriba
C = (80,0 ; 60,3) mm; AB = 100,1 mm (mm, origen en A, y hacia arriba)
2. Datos de la homología. El centro O es el centro del triángulo: el baricentro, punto de corte de las medianas (en un equilátero coincide con el incentro y el circuncentro). El eje E es la recta paralela a BC que pasa por A.
O = (A + B + C)/3; E ∥ BC por A
O = (57,4 ; 7,0) mm
Apartado b
1. Homólogo de B. Un punto y su homólogo están alineados con el centro O. Se traza la recta OB y se corta con r, que es donde debe estar B′.
B′ = OB ∩ r
B′ = (113,0 ; -66,8) mm; razón OB′/OB = 1,598
2. La recta BC es paralela al eje E, así que se corta con E en el infinito; su homóloga B′C′ también lo hace: es paralela a E (y a BC) y pasa por B′. Se traza esa paralela.
B′C′ ∥ E por B′
Recta B′C′ conocida
3. Homólogo de C. C′ está alineado con O y C, y sobre la paralela B′C′. Se prolonga OC hasta cortar esa paralela. Se unen A′ (= A), B′ y C′.
C′ = OC ∩ (B′C′)
C′ = (93,5 ; 92,1) mm; lados A′B′ = 131,2, B′C′ = 160,1, A′C′ = 131,2 mm
Respuesta final: ABC equilátero con C = (80,0 ; 60,3) mm (origen en A); centro O = (57,4 ; 7,0) mm. El homólogo es A′B′C′ con A′ = A, B′ = (113,0 ; -66,8) mm (OB ∩ r) y C′ = (93,5 ; 92,1) mm (OC ∩ paralela a BC por B′).