Geometría plana · Dibujo Técnico II (con soluciones)

1. 1. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 1B · Opción B

   Obtenga todos los puntos (y nómbrelos con 1, 2, 3, etc.), situados en tierra firme (fuera del cauce del río), que cumplan simultáneamente las dos condiciones siguientes: a) distan 85 m del punto A, y b) distan 10 m del borde del río. Para cada punto solución, dibuje los segmentos distancia que justifican el cumplimiento de las dos condiciones indicadas. Datos de la figura: plano con escala gráfica 0-50 m (1 m = 1 mm del dibujo, escala 1:1000); río de 20 m de anchura con dos curvas de sentido contrario (centros O₁ y O₂ marcados con una cruz, a 56 m entre sí) y dos tramos rectos; el punto A está en la orilla izquierda, a unos 35 m del río.

   1. 1. Condición a). Los puntos que distan 85 m de A forman la circunferencia de centro A y radio 85 m. Con la escala gráfica: 85 m = 85 mm en el dibujo (escala 1:1000).

      Circunferencia c(A; 85 m)

      Radio 85 mm en el papel

   2. 2. Condición b). Los puntos que distan 10 m de una orilla forman una paralela a la orilla a 10 m (si la orilla es recta) o una concéntrica (si es un arco). Como el punto debe estar en tierra firme, hay que trazarlas solo por el lado de tierra, una a cada lado del río: así el lugar es una línea a cada lado.

      Rectas paralelas a 10 m de los tramos rectos; arcos concéntricos de radio R±10 m

      Orilla izquierda: recta a 10 m, arco concéntrico de centro O₁ y radio 36+10 = 46 m, arco de centro O₂ y radio 20−10 = 10 m. Orilla derecha: recta a 10 m, arco de centro O₁ y radio 16−10 = 6 m, arco de centro O₂ y radio 40+10 = 50 m

   3. 3. Las dos condiciones a la vez: se cortan la circunferencia de 85 m y las líneas a 10 m, descartando los cortes dentro del cauce (donde estaría el río; el eje del río está a 10 m de ambas orillas) y los cortes en la prolongación de una recta más allá de su punto de tangencia con el arco. Quedan exactamente cuatro puntos.

      c(A;85) ∩ líneas a 10 m, solo por el lado de tierra

      1 = (46,4 ; 71,2) m ; 2 = (75,7 ; 38,6) m ; 3 = (85,0 ; −0,8) m ; 4 = (73,7 ; −42,4) m (coordenadas respecto de A, x a la derecha, y hacia arriba)

   4. 4. Segmentos distancia que justifican cada punto: de A al punto (85 m) y del punto a su pie sobre la orilla (10 m): perpendicular a la recta en los tramos rectos y radial (por el centro del arco) en los arcos.

      d(A,i) = 85 m ; d(i,pie) = 10 m

      Pies: 1 → (55,6 ; 67,1) ; 2 → (66,6 ; 42,7) ; 3 → (80,9 ; −10,0) ; 4 → (82,8 ; −38,2) m

   Respuesta final: Hay 4 puntos solución: 1 (46,4 ; 71,2) m, 2 (75,7 ; 38,6) m, 3 (85,0 ; −0,8) m y 4 (73,7 ; −42,4) m respecto de A. Los cuatro distan 85 m de A y 10 m de la orilla, medidos sobre la perpendicular (puntos 1 y 2) o sobre el radio (puntos 3 y 4).

2. 2. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio 1

   Dadas las rectas r y s, represente todos los segmentos de longitud 40 mm que se apoyen en las dos rectas y que formen 45° con la recta r. No borre las construcciones auxiliares y utilice la notación adecuada para entender el procedimiento. (1,5 puntos) Datos de la figura (medidos del PDF a tamaño real; origen en el punto de corte de r y s, x a la derecha, y hacia arriba): s es horizontal; r desciende hacia la derecha con inclinación de unos 26,9° con la horizontal.

   • a)Represente los 4 segmentos de longitud 40 mm que forman 45° con r y se apoyan en r y s (1,5 p.).

   Apartado a

   1. 1. Planteamiento. En el triángulo rectángulo formado por el segmento PQ (hipotenusa 40), su proyección sobre r y la perpendicular desde Q a r, el ángulo en P es 45°: la distancia de Q a r es h = 40·sen 45° = 28,3 mm. Para obtenerla sin calcular, se traza desde un punto O de r un segmento de 40 mm a 45° con r (con el compás: bisectriz de un ángulo recto) y se baja la perpendicular desde su extremo M a r: esa altura es h.

      h = 40·sen 45° = 40/√2

      h = 28,28 mm

   2. 2. Se trazan las dos paralelas a r a distancia h (una a cada lado). Cortan a s en Q1 y Q2: son los únicos puntos de s desde los que puede salir un segmento de 40 mm que forme 45° con r.

      Q1,2 = s ∩ paralelas a r a h

      Q1 = (62,6 ; 0,0) mm ; Q2 = (-62,6 ; 0,0) mm

   3. 3. Con centro en cada Q y radio 40 mm se traza una circunferencia que corta a r en dos puntos P. Cada pareja (P, Q) es una solución: de Q1 salen dos segmentos (uno a cada lado de la perpendicular a r), y lo mismo de Q2.

      P = r ∩ C(Q, 40)

      P1 = (24,6 ; -12,5), Q = (62,6 ; 0,0); P2 = (75,1 ; -38,0), Q = (62,6 ; 0,0); P3 = (-75,1 ; 38,0), Q = (-62,6 ; 0,0); P4 = (-24,6 ; 12,5), Q = (-62,6 ; 0,0)

   Respuesta final: Cuatro segmentos: P1 = (24,6 ; -12,5), Q = (62,6 ; 0,0); P2 = (75,1 ; -38,0), Q = (62,6 ; 0,0); P3 = (-75,1 ; 38,0), Q = (-62,6 ; 0,0); P4 = (-24,6 ; 12,5), Q = (-62,6 ; 0,0) (mm, origen en r ∩ s, x a la derecha, y hacia arriba).

3. 3. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio 1

   Dibuje un rombo sabiendo que uno de los ángulos entre sus lados es de 52,5° y que el radio de la circunferencia inscrita es de 30 mm. Obtenga el ángulo de 52,5° con el compás. Deje indicadas todas las líneas auxiliares de construcción. (1,5 puntos)

   • a)Obtenga el ángulo de 52,5° con el compás (0,3 p.).
   • b)Dibuje el rombo con su circunferencia inscrita de radio 30 mm (1,2 p.).

   Apartado a

   1. 1. Ángulo de 52,5° con el compás. 52,5° = 60° − 7,5° y 7,5° = 60°/8. Con centro en A se traza un arco de radio cualquiera (aquí 50 mm) que corta a la base en M0; con el mismo radio centrado en M0 se corta el arco y sale M60 (ángulo de 60°).

      ∠M0 A M60 = 60° (triángulo equilátero A M0 M60)

      60°

   2. 2. Se bisecan tres veces seguidas: bisectriz de 60° (30°), bisectriz de 30° (15°) y bisectriz de 15° (7,5°). Cada bisectriz se obtiene con dos arcos de igual radio centrados en los extremos del ángulo.

      60° → 30° → 15° → 7,5°

      ∠M0 A M7 = 7,5°

   3. 3. Con el compás se toma la cuerda del arco de 7,5° (M0 a M7, 6,54 mm si el radio es 50) y se lleva hacia atrás desde M60 sobre el mismo arco. El punto M52 queda a 60° − 7,5° = 52,5° de la base; la recta A–M52 es el segundo lado del rombo.

      M52 sobre el arco, con M60–M52 = M0–M7

      ∠M0 A M52 = 52,5°

   Apartado b

   1. 1. Se dibuja una paralela al lado AB a 30 mm (el radio de la inscrita). La bisectriz del ángulo en A es el lugar de los puntos que equidistan de los dos lados; cortada con esa paralela da el centro O de la circunferencia inscrita.

      O = bisectriz ∩ paralela a AB a 30 mm; AO = r/sen(26,25°)

      O = (60,8 ; 30,0) mm; AO = 67,8 mm

   2. 2. Con centro O y radio 30 mm se traza la circunferencia inscrita. Los puntos de tangencia T1 (en AB) y T2 (en AD) son los pies de las perpendiculares desde O a esos lados.

      T1 = pie de O en AB; T2 = pie de O en AD

      T1 = (60,8 ; 0,0); T2 = (37,0 ; 48,3) mm

   3. 3. El centro del rombo es centro de simetría: C es el simétrico de A respecto de O, y T3 y T4 (tangencias de BC y CD) son los simétricos de T1 y T2. Los lados BC y CD son las tangentes a la circunferencia por T3 y T4, paralelas a AD y AB; cortan a los lados iniciales en B y D.

      C = 2O − A; T3 = 2O − T1; T4 = 2O − T2

      B = (75,6 ; 0,0), D = (46,0 ; 60,0), C = (121,7 ; 60,0) mm; lado = 75,6 mm

   Respuesta final: Rombo ABCD con ∠A = 52,5° (60° − 7,5° con compás), lado 75,6 mm y circunferencia inscrita de radio 30 mm de centro O; diagonales AC = 135,7 mm y BD = 66,9 mm. Puntos de tangencia T1–T4 en el punto medio de la altura de cada lado.

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