Sistema diédrico · Dibujo Técnico II (con soluciones)

1. 1. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 3

   Dadas las proyecciones de los puntos A y B: a) Obtenga las trazas del plano α, paralelo a la línea de tierra, que contiene a los puntos A y B (0,5 p.). b) Obtenga el vértice C del triángulo rectángulo ABC que pertenece al plano α, sabiendo que el ángulo recto está situado en el vértice A y que C pertenece al plano vertical de proyección (1,5 p.). Datos (mm, x respecto de A): A = (0 ; 11,9 ; 28,2) y B = (−55,8 ; 28,2 ; 0) (alejamiento ; cota).

   • a)Trazas del plano α paralelo a LT que contiene a A y B (0,5 p.).
   • b)Vértice C del triángulo rectángulo ABC en α, con ángulo recto en A y C en el plano vertical (1,5 p.).

   Apartado a

   1. 1. Trazas de α. Como α es paralelo a LT, sus trazas son paralelas a LT. La recta AB está en α y su traza horizontal es B, que ya está en el plano horizontal (B₂ sobre LT, cota 0): α₁ pasa por B₁, paralela a LT. La traza vertical se obtiene prolongando AB hasta el plano vertical (alejamiento 0): se prolonga A₂B₂ hasta cortar la perpendicular a LT que baja del punto donde A₁B₁ corta a LT; por ese punto pasa α₂, paralela a LT.

      α₁ ∥ LT por B₁ ; α₂ ∥ LT por la traza vertical de AB

      α₁ a 28,2 mm por debajo de LT; α₂ a 48,7 mm por encima de LT; inclinación del plano α con el horizontal: 59,9°

   Apartado b

   1. 1. Planteamiento. C está en el plano vertical (alejamiento 0) y en α, luego C está en la traza vertical α₂: C₂ ∈ α₂ y C₁ ∈ LT. Falta su posición sobre α₂, que se fija por la condición de ángulo recto en A: AC ⟂ AB. El triángulo no se ve en verdadera magnitud, así que se abate α.

      C ∈ α₂ ; AC ⟂ AB

      C = (x_C ; 0 ; 48,7)

   2. 2. Abatimiento sobre el plano horizontal alrededor de α₁. Cada punto se desplaza perpendicularmente a α₁ (aquí, hacia atrás), y su distancia a α₁ pasa a ser su distancia sobre el plano, es decir (alejamiento de α₁ − alejamiento del punto)/cos 59,9°. B está en α₁ y no se mueve; A pasa a A* a 32,6 mm de α₁; la abatida de α₂ es la paralela a α₁ a 56,3 mm.

      A* = (x_A ; s_A) con s_A = (y₁ − y_A)/cos φ

      A* = (0,0 ; 32,6) ; B* = (−55,8 ; 0,0) ; α₂ abatida: s = 56,3 mm (x respecto de A, s medido desde α₁)

   3. 3. Ángulo recto. En el abatido, el ángulo A* vale 90°: se traza por A* la perpendicular a AB; corta a la abatida de α₂ en C*.

      C* = (⟂ AB por A*) ∩ (α₂ abatida)

      C* = (−13,8 ; 56,3) ; ángulo BAC* = 90,000° ; |AB| = 64,6 mm, |AC| = 27,4 mm

   4. 4. Desabatimiento y proyecciones de C. Se deshace el giro: C* vuelve a α₂ conservando su abscisa x. C₂ es el punto de α₂ con esa abscisa y C₁ el pie sobre LT.

      C₂ = (x_C ; z₀) ; C₁ = (x_C ; 0)

      C₂ = (−13,8 ; 48,7) mm (sobre α₂) ; C₁ = (−13,8 ; 0,0) mm (sobre LT). C está a 13,8 mm a la izquierda de A

   Respuesta final: Trazas: α₁ paralela a LT por B₁ (28,2 mm bajo LT) y α₂ paralela a LT a 48,7 mm sobre LT. Vértice C = (−13,8 ; 0 ; 48,7) mm respecto de A (C₂ = (−13,8 ; 48,7) sobre α₂ y C₁ = (−13,8 ; 0,0) sobre LT).

2. 2. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 4A · Opción A

   El triángulo ABC, contenido en el Plano Vertical de proyección, es una cara de un octaedro regular contenido en el primer diedro. Dibuje las proyecciones del octaedro (2 p.). Datos (diédrico europeo, mm, x respecto de A₂, cota): A = (0,1 ; 66,7), B = (40,2 ; 21,1), C = (59,6 ; 78,6), triángulo equilátero de lado 60,6 mm con A₁, B₁ y C₁ sobre LT.

   1. 1. Proyecciones de la cara ABC. Está en el plano vertical (alejamiento 0): su proyección vertical es el triángulo dado en verdadera magnitud y su proyección horizontal está sobre LT, en las perpendiculares a LT por A₂, B₂ y C₂. Se halla el centro P de la cara (baricentro = incentro = circuncentro, corte de las medianas).

      A₁, B₁, C₁ ∈ LT ; P = corte de medianas

      A = (0,1 ; 66,7) ; B = (40,2 ; 21,1) ; C = (59,6 ; 78,6) ; P = (33,3 ; 55,5) (x ; cota) mm; P₁ ∈ LT

   2. 2. Distancia entre caras. En un octaedro regular de arista a, las dos caras opuestas son triángulos iguales, paralelos y girados 60°, y cada vértice de una está unido a dos de la otra. La arista A–E (E opuesto a B) proyectada sobre el plano de ABC mide justo R (A + B − 2P = P − C). Se construye un triángulo rectángulo con hipotenusa a (arista) y un cateto R: el otro cateto es la distancia h entre las caras.

      h = √(a² − R²) = a√(2/3)

      h = 49,5 mm (a = 60,6 mm, R = 35,0 mm)

   3. 3. Segmento PQ. Se traza por P la perpendicular al plano vertical (recta de punta: P₂ = Q₂ y, en planta, perpendicular a LT) y se lleva sobre ella la distancia h hacia delante (primer diedro): Q₂ = P₂ y Q₁ a h mm por debajo de LT. Q es el centro de la cara opuesta DEF.

      Q = P + h·(0,1,0)

      Q = (33,3 ; 49,5 ; 55,5) (x ; alejamiento ; cota) mm

   4. 4. Cara DEF. Es el triángulo ABC girado 180° alrededor de Q (el opuesto a cada vértice respecto del centro). En vertical se llevan D₂, E₂, F₂ a los simétricos de A₂, B₂, C₂ respecto de P₂; en horizontal quedan sobre la paralela a LT a h mm: D₁ = (x_D ; h), etc. D es el vértice opuesto a A, E a B y F a C.

      D = 2P − A + h·ŷ ; E = 2P − B + h·ŷ ; F = 2P − C + h·ŷ

      D = (66,5 ; 49,5 ; 44,2) ; E = (26,4 ; 49,5 ; 89,8) ; F = (7,0 ; 49,5 ; 32,3) (x ; alejamiento ; cota) mm

   5. 5. Aristas que unen las caras. Cada vértice de DEF se une con los dos vértices de ABC que no son su opuesto: D con B y C; E con A y C; F con A y B (6 aristas, más las 3 de ABC y las 3 de DEF: 12 en total).

      Aristas D–B, D–C, E–A, E–C, F–A, F–B

      12 aristas de longitud 60,6 mm

   6. 6. Visibilidad. Proyección vertical (se mira de frente): la cara DEF y las tres caras que la rodean están hacia el observador, así que quedan ocultas las 3 aristas de ABC (que estaban dadas con trazo discontinuo) y se ven las otras 9: el contorno es el hexágono formado por las 6 aristas de unión. Proyección horizontal (se mira desde arriba): con el ray-tracing de las 8 caras, quedan ocultas las aristas que están por debajo de otras caras (las que parten de B, el vértice de menor cota).

      Ray-tracing arista a arista

      Vertical: 9 tramos vistos, 3 ocultos. Horizontal: 7 vistos, 5 ocultos

   Respuesta final: Octaedro de arista 60,6 mm con vértices A = (0,1 ; 0,0 ; 66,7), B = (40,2 ; 0,0 ; 21,1), C = (59,6 ; 0,0 ; 78,6) (en el plano vertical) y D = (66,5 ; 49,5 ; 44,2), E = (26,4 ; 49,5 ; 89,8), F = (7,0 ; 49,5 ; 32,3) (x ; alejamiento ; cota, mm, respecto de A₂). Distancia entre las caras ABC y DEF: h = 49,5 mm.

3. 3. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 3

   Dadas las proyecciones de los puntos A, B y C, determine las proyecciones del incentro del triángulo formado por dichos puntos. Datos (mm, x respecto de A; alejamiento ; cota): A = (0 ; 11,8 ; 0), B = (42,4 ; 11,8 ; 42,6), C = (97,5 ; 73,8 ; 0).

   1. 1. Charnela. A y C tienen cota 0: están en el plano horizontal, y la recta AC es la traza horizontal del plano del triángulo. Por eso se abate el plano alrededor de A₁C₁, la única recta que no cambia de longitud.

      Charnela = A₁C₁

      |A₁C₁| = 115,6 mm; el triángulo no está en verdadera magnitud en ninguna proyección

   2. 2. Abatimiento de B. B describe un arco en un plano perpendicular a la charnela, de radio igual a la distancia real de B a AC: hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos d (distancia de B₁ a A₁C₁) y la cota de B (se lleva la cota sobre la perpendicular a A₁C₁ por B₁).

      d_real = √(d² + z_B²)

      d = 22,8 mm ; z_B = 42,6 mm ; d_real = 48,3 mm. B* queda en (56,1 ; −9,8) mm (x ; alejamiento)

   3. 3. Incentro del triángulo abatido. Se trazan las bisectrices de dos ángulos (por ejemplo en A y en C) del triángulo A C B*; su corte es I*, equidistante de los tres lados (centro de la circunferencia inscrita, de radio r = 20,8 mm).

      I* = bisectriz(A) ∩ bisectriz(C)

      I* = (45,9 ; 16,4) mm (en el plano abatido); radio de la inscrita r = 20,8 mm

   4. 4. Desabatimiento. I* está a s = 20,8 mm de la charnela; se deshace el giro sobre la perpendicular a A₁C₁ por I*: I₁ queda sobre esa misma perpendicular, a la distancia s·d/d_real de la charnela (proporcional); la cota de I es s·z_B/d_real. I₂ está en la perpendicular a LT por I₁, a esa cota.

      I₁ = A₁ + (s·d/d_real)·n ; z_I = s·z_B/d_real

      I₁ = (40,0 ; 25,6) mm (x ; alejamiento) ; I₂ = (40,0 ; 18,3) mm (x ; cota)

   Respuesta final: Incentro I = (40,0 ; 25,6 ; 18,3) mm (x ; alejamiento ; cota, respecto de A): I₁ = (40,0 ; 25,6) mm e I₂ = (40,0 ; 18,3) mm (x ; cota). Radio de la circunferencia inscrita r = 20,8 mm.

4. 4. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 4A · Opción A

   Dadas las aristas AB y BC de un cubo contenido en el primer diedro, complete sus proyecciones e indique la visibilidad. Datos (mm, x respecto de A): A = (0 ; 11,1 ; 57,7), B = (29,4 ; 32,8 ; 34,7), C = (47,9 ; 46,6 ; 71,3) (alejamiento ; cota).

   1. 1. Datos. En un cubo, AB y BC son dos aristas que parten del mismo vértice B: tienen la misma longitud y son perpendiculares. A₁, B₁ y C₁ están alineados: el plano ABC contiene a AB y BC y es perpendicular al plano horizontal (proyectante horizontal); su traza horizontal es la recta A₁B₁C₁.

      A₁, B₁, C₁ alineados ⟹ plano ABC proyectante horizontal

      Plano ABC ⟂ plano horizontal; traza horizontal = recta A₁C₁

   2. 2. Verdadera magnitud de la arista. La arista se obtiene con el triángulo rectángulo de catetos la longitud de su proyección horizontal y su diferencia de cotas. AB: 36,6 y 23,0 mm → 43,2 mm; BC: 23,0 y 36,6 mm → 43,2 mm. Coinciden (a = 43,2 mm), y el abatimiento del plano ABC da un ángulo en B de 90°.

      a = √(Δh² + Δz²)

      a = 43,2 mm

   3. 3. Tercera arista BD. Es perpendicular al plano ABC. Como ABC es proyectante horizontal, la perpendicular al plano es una recta horizontal perpendicular a la traza horizontal: B₁D₁ ⟂ A₁C₁ y B₂D₂ ∥ LT. Se lleva sobre B₁D₁ la longitud a (se ve en verdadera magnitud porque BD es horizontal), hacia el lado de mayor alejamiento para que el cubo quede en el primer diedro.

      BD ⟂ α₁ ; |BD| = a ; sentido: alejamiento creciente

      D = (3,7 ; 67,6 ; 34,6) mm (x ; alejamiento ; cota). El sentido contrario saca al cubo del primer diedro (alejamiento negativo)

   4. 4. Resto de vértices. E = A + BD, G = C + BD, H = A + C − B (opuesto de B en la cara ABC) y K = H + BD. Se trazan paralelas a las aristas dadas: en cada proyección el cubo se completa con paralelogramos.

      E = A + (D − B) ; G = C + (D − B) ; H = A + C − B ; K = H + (D − B)

      E = (−25,7 ; 45,9 ; 57,7) ; G = (22,2 ; 81,3 ; 71,2) ; H = (18,5 ; 24,9 ; 94,3) ; K = (−7,2 ; 59,6 ; 94,2) mm

   5. 5. Visibilidad. Se miran las proyecciones con trazado de rayos sobre las 6 caras. En la proyección vertical (mirando desde delante) se ven las caras de mayor alejamiento hacia el observador; en la horizontal (desde arriba), las de mayor cota. Resultado: vertical, 9 tramos vistos y 3 ocultos; horizontal, 9 vistos y 3 ocultos. Las aristas AB y BC, dibujadas a trazos en el enunciado, pasan a ser vistas o ocultas según la figura final.

      Ray-tracing arista a arista

      Visibilidad como en las figuras 2 y 3

   Respuesta final: Cubo de arista 43,2 mm con vértices (x ; alejamiento ; cota, mm, respecto de A): A = (0,0 ; 11,1 ; 57,7), B = (29,4 ; 32,8 ; 34,7), C = (47,9 ; 46,6 ; 71,3), D = (3,7 ; 67,6 ; 34,6), E = (−25,7 ; 45,9 ; 57,7), G = (22,2 ; 81,3 ; 71,2), H = (18,5 ; 24,9 ; 94,3), K = (−7,2 ; 59,6 ; 94,2). Visibilidad: vertical 9 vistas + 3 ocultas; horizontal 9 + 3.

5. 5. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 3

   Se define una pirámide recta de base hexagonal regular y de altura 70 mm contenida en el primer diedro. Su base está contenida en el plano vertical de proyección y AB es uno de sus lados. Represente las proyecciones de la pirámide (1 p.). Dibuje las proyecciones (0,4 p.) y la verdadera magnitud de la sección que le produce el plano α (0,6 p.). Datos de la figura (mm, sistema diédrico europeo): A₂B₂ horizontal, de 40 mm, a 10 mm por encima de la línea de tierra (LT); el plano α tiene la traza vertical α₂ perpendicular a LT en el punto situado 66 mm a la derecha de A₂ y la traza horizontal α₁ a 45° con LT, bajando hacia la izquierda en la proyección horizontal.

   • a)Represente las proyecciones de la pirámide (1 p.).
   • b)Dibuje las proyecciones de la sección que produce el plano α (0,4 p.).
   • c)Dibuje la verdadera magnitud de la sección (0,6 p.).

   Apartado a

   1. 1. Base. Al estar en el plano vertical, la proyección vertical del hexágono es su verdadera forma y la horizontal es un segmento sobre LT. Como la pirámide debe estar en el primer diedro, el hexágono se construye hacia arriba desde AB (cotas ≥ 0). Con compás de abertura AB se trazan arcos desde A y B para hallar el centro O del hexágono y, con la misma abertura desde O, los vértices.

      Hexágono regular de lado 40: centro O₂ = (20 ; 44,6)

      A₂ (0;10), B₂ (40;10), C₂ (60;44,6), D₂ (40;79,3), E₂ (0;79,3), F₂ (−20;44,6) (x respecto de A₂, cota z)

   2. 2. Pirámide recta: el vértice V está en la perpendicular al plano de la base (el plano vertical) por el centro O, a 70 mm hacia delante (primer diedro). V₂ coincide con O₂ y V₁ está a 70 mm por debajo de LT sobre la vertical de O. Se unen V con los vértices.

      V = (20 ; alejamiento 70 ; cota 44,6)

      V₂ = (20 ; 44,6), V₁ = (20 ; −70). La proyección horizontal es el triángulo F₁C₁V₁ con aristas auxiliares a A₁=E₁ y B₁=D₁

   Apartado b

   1. 1. El plano α es proyectante horizontal (α₂ ⟂ LT): todos sus puntos se proyectan horizontalmente sobre α₁. Por tanto la proyección horizontal de la sección es el segmento de α₁ interior a la pirámide. Se cortan α₁ con las proyecciones horizontales de las aristas V₁A₁, V₁B₁, V₁C₁, V₁D₁, V₁E₁ y V₁F₁ para obtener los puntos 1 a 6 (con 1=5 y 2=4 en proyección horizontal).

      Punto i = α₁ ∩ aristas horizontales; el plano corta las 6 aristas laterales (el vértice queda de un lado del plano y la base del otro)

      Puntos de la sección (x, alejamiento, cota) en mm: 1=(14,7,51,3,35,4); 2=(29,6,36,4,28,0); 3=(52,0,14,0,44,6); 4=(29,6,36,4,61,3); 5=(14,7,51,3,53,9); 6=(11,3,54,7,44,6)

   2. 2. Las proyecciones verticales se obtienen subiendo cada punto por su línea de referencia hasta la proyección vertical de la misma arista (V₂A₂, V₂B₂…). El polígono 1₂…6₂ es la proyección vertical de la sección.

      Línea de referencia desde i₁ hasta la arista V₂X₂

      Proyección vertical: 1₂ (14,7 ; 35,4), 2₂ (29,6 ; 28,0), 3₂ (52,0 ; 44,6), 4₂ (29,6 ; 61,3), 5₂ (14,7 ; 53,9), 6₂ (11,3 ; 44,6)

   Apartado c

   1. 1. Verdadera magnitud por abatimiento: se gira el plano α alrededor de su traza horizontal α₁ hasta el plano horizontal. Cada punto describe un arco perpendicular a α₁ cuyo radio es su distancia a la charnela, que (por ser α proyectante horizontal) es su cota. Se lleva la cota de cada punto, perpendicular a α₁, desde su proyección horizontal.

      P̃ᵢ = Pᵢ₁ + zᵢ·(perpendicular unitario a α₁)

      Hexágono abatido con lados 22,4 ; 35,8 ; 35,8 ; 22,4 ; 10,4 ; 10,4 mm (1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-1) y área 1117 mm²

   Respuesta final: Pirámide: hexágono ABCDEF (lado 40 mm, cota inferior 10 mm) en el plano vertical y vértice V a 70 mm de alejamiento sobre el centro. La sección es un hexágono de vértices 1…6 (puntos del paso b), cuya verdadera magnitud, por abatimiento sobre α₁, tiene lados 22,4 ; 35,8 ; 35,8 ; 22,4 ; 10,4 ; 10,4 mm y área 1117 mm².

6. 6. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 4A · Opción A

   Dados los puntos A, B, C y D, determine el ángulo que forman los planos ABC y BCD. Datos de la figura (diédrico, mm, a tamaño real; coordenadas x respecto de A, alejamiento y cota): A (0,0 ; 13,7 ; 52,5), B (18,3 ; 59,6 ; 0,0), C (61,0 ; 13,7 ; 0,0), D (61,0 ; 13,7 ; 41,7). B₂ y C₂ están sobre LT y C₁ = D₁.

   1. 1. Intersección de los planos (0,3 p.). ABC y BCD comparten los puntos B y C, así que su intersección es la recta BC. Además B₂ y C₂ están en LT (cota 0): BC está en el plano horizontal, y C₁ = D₁ indica que CD es perpendicular al plano horizontal, de modo que BCD es proyectante horizontal.

      Intersección = recta BC (B y C comunes)

      BC ⊂ plano horizontal; BCD ⟂ plano horizontal

   2. 2. Cambio de plano vertical (0,3 p.). Se traza una nueva línea de tierra LT′ perpendicular a B₁C₁: la recta BC, vista en la dirección de la intersección, se proyecta como un punto B′=C′ y los dos planos se proyectan como rectas (de canto). El ángulo entre planos es entonces el ángulo entre esas rectas en verdadera magnitud.

      LT′ ⟂ B₁C₁

      B′ = C′ sobre LT′ (cota 0)

   3. 3. Planos en la nueva proyección (2 × 0,5 p.). Cada punto conserva su cota. A′ está a cota 52,5 y a 44,7 mm de B′C′ (distancia lateral de A₁ a la recta B₁C₁); D′ está sobre la vertical de C′ a cota 41,7. Las rectas B′A′ y B′D′ son los planos ABC y BCD de canto.

      A′ = (u=−44,7 ; z=52,5); D′ = (0 ; z=41,7)

      Plano ABC: recta B′A′. Plano BCD: recta vertical B′D′

   4. 4. Ángulo (0,4 p.): se mide el ángulo entre B′A′ y la vertical B′D′. El ángulo diedro entre dos planos es ≤ 90° por convención; el suplementario vale 180° − φ.

      φ = arctan(|u_A| / z_A) = arctan(44,7 / 52,5)

      φ = 40,4° (también 139,6° el suplementario)

   Respuesta final: El ángulo entre los planos ABC y BCD es φ ≈ 40,4° (agudo), siendo el suplementario 139,6°. Se obtiene con un cambio de plano vertical con LT′ ⟂ B₁C₁.

7. 7. 2025 · Reserva 2025 (Junio) · Ejercicio 3

   Represente las proyecciones de una pirámide recta de base triangular regular y de altura 80 mm, contenida en el primer diedro, analizando su visibilidad. Base en α, inscrita en circunferencia de centro O y radio 40 mm, un vértice con cota 65 mm. Datos: α₂ inclinada 54,9°, α₁ ⟂ LT; O = (−27,8 ; 34,8 ; 39,3) mm.

   1. 1. Plano α. α₁ es perpendicular a LT y α₂ está inclinada 54,9° con LT: α es proyectante vertical (perpendicular al plano vertical). Todos sus puntos se proyectan verticalmente sobre α₂. O está en α: O₂ ∈ α₂ y O₁ en la perpendicular a LT, a 34,8 mm de LT.

      α ⟂ PV

      O = (−27,8 ; 34,8 ; 39,3) mm (x ; alejamiento ; cota)

   2. 2. Verdadera magnitud de la base. Se abate α sobre el plano horizontal alrededor de α₁ (charnela): cada punto se desplaza sobre la perpendicular a α₁, y su distancia a α₁ pasa a ser cota/sen 54,9°. Se dibuja la circunferencia de radio 40 mm de centro O* y se busca el vértice de cota 65 mm: en el abatido, la paralela a α₁ a 65/sen 54,9° = 79,4 mm lo corta.

      s = z / sen β

      Vértice A en y = 10,1 mm (alejamiento), cota 65

   3. 3. Triángulo regular. Desde A se inscribe el triángulo equilátero en la circunferencia (compás a 120°). Se obtienen B y C. Se desabate: los vértices vuelven a α₂ con la cota s·sen β y el alejamiento conservado.

      B, C a ±120° de A

      A = (−45,8 ; 10,1 ; 65,0) ; B = (−31,0 ; 74,4 ; 43,9) ; C = (−6,4 ; 20,0 ; 8,9) mm (x ; alejamiento ; cota); lado 69,3 mm

   4. 4. Altura. La pirámide es recta: el vértice V está en la perpendicular a α por O, a 80 mm. Como α es proyectante vertical, esa perpendicular es una recta frontal (paralela al plano vertical) perpendicular a α₂: V₂ está en la perpendicular a α₂ por O₂ a 80 mm, y V₁ en la horizontal por O₁ (mismo alejamiento). Se toma el sentido que lo deja en el primer diedro (hacia arriba y la derecha).

      V = O + 80·n, n ⟂ α

      V = (37,7 ; 34,8 ; 85,3) mm (x ; alejamiento ; cota)

   5. 5. Visibilidad. Con trazado de rayos sobre las 4 caras: proyección vertical 5 tramos vistos y 1 oculto; horizontal 5 vistos y 1 oculto. Se unen V con A, B y C.

      Ray-tracing

      Aristas ocultas: la que queda tapada por las otras caras en cada vista

   Respuesta final: Base ABC con A = (−45,8 ; 10,1 ; 65,0), B = (−31,0 ; 74,4 ; 43,9), C = (−6,4 ; 20,0 ; 8,9) mm y vértice V = (37,7 ; 34,8 ; 85,3) mm (x ; alejamiento ; cota, respecto del punto de LT de las trazas). Visibilidad: vertical 5 vistas + 1 oculta; horizontal 5 + 1.

8. 8. 2025 · Reserva 2025 (Junio) · Ejercicio 4A · Opción A

   Represente las trazas del plano α perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio (1 p.). Represente las proyecciones diédricas de un cono oblicuo, de base circular de radio 24 mm y centro A, apoyado en el plano horizontal, de vértice B (1 p.). Distinga la visibilidad. Datos (mm): A = (0 ; 30,8 ; 0), B = (64,7 ; 79,0 ; 60,9).

   • a)Trazas de α ⟂ AB por su punto medio (1 p.).
   • b)Proyecciones del cono oblicuo y visibilidad (1 p.).

   Apartado a

   1. 1. Punto medio. M se obtiene dividiendo por la mitad A₁B₁ y A₂B₂ (mediatriz en cada proyección).

      M = (A + B)/2

      M = (32,3 ; 54,9 ; 30,5) mm (x ; alejamiento ; cota)

   2. 2. Trazas. Un plano perpendicular a una recta tiene sus trazas perpendiculares a las proyecciones homónimas de la recta: α₁ ⟂ A₁B₁ y α₂ ⟂ A₂B₂. Se traza por M₁ la perpendicular a A₁B₁ (horizontal: se prolonga hasta LT, punto N) y por N la perpendicular a A₂B₂, que es α₂ (se comprueba que pasa por la traza vertical de la horizontal por M).

      α₁ ⟂ A₁B₁ por M₁ ; α₂ ⟂ A₂B₂ por N

      Las trazas se cortan en LT en x = 101,9 mm (respecto de A); α₁ forma 126,7° y α₂ 133,3° con LT

   Apartado b

   1. 1. Base. Como el cono se apoya en el plano horizontal con centro A (cota 0), la base se proyecta en verdadera forma en planta: circunferencia de centro A₁ y radio 24 mm; en el alzado es un segmento sobre LT de 48 mm centrado en A₂.

      c(A₁; 24) ; segmento A₂±24 sobre LT

      Base: (0,0 ; −30,8) mm

   2. 2. Generatrices extremas. En planta, desde B₁ se trazan las tangentes a la circunferencia (circunferencia de diámetro A₁B₁ y arco capaz de 90°); en el alzado, de B₂ a los extremos del segmento de la base.

      Tangentes desde B₁ ; B₂ → A₂ ± 24

      Puntos de tangencia en planta: (19,4 ; −16,7) y (−8,0 ; −53,5) mm; |A₁B₁| = 80,7 mm

   3. 3. Visibilidad. Planta (se mira desde arriba): la superficie lateral cubre el disco de la base; el arco de la circunferencia más alejado de B₁ (entre los puntos de tangencia, por el lado opuesto) es contorno y se ve; el arco cercano a B₁ queda bajo la superficie: trazo discontinuo. Alzado (se mira de frente): las generatrices extremas son contorno visible; la base está sobre LT.

      Arco visto: 36,0° → 250,6° ; oculto: −109,4° → 36,0°

      Planta: arco lejano continuo, cercano a trazos. Alzado: contorno continuo

   Respuesta final: α: trazas α₁ ⟂ A₁B₁ y α₂ ⟂ A₂B₂ por M = (32,3 ; 54,9 ; 30,5) mm, cortándose en LT a x = 101,9 mm. Cono: base c(A₁; 24) en planta (arco lejano de B₁ visto, cercano oculto) y segmento de 48 mm sobre LT en alzado, con generatrices extremas desde B₁ y B₂.

9. 9. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio 5

   Dado el prisma recto de base rectangular y el plano α dado por sus trazas obtenga la sección producida por el plano al prisma en proyecciones (1,2 p.) y en verdadera magnitud (0,8 p.). (2 puntos) Datos de la figura (diédrico europeo, medidos del PDF a tamaño real; origen en el vértice de α sobre LT): α2 a 35,4° y α1 a 53,0° de LT; prisma de 60 mm de altura apoyado en el plano horizontal con base rectangular de 40 × 20 mm cuyo lado largo forma 35° con LT; vértices de la base en planta: (43,9 ; 11,2), (76,7 ; 34,2), (65,2 ; 50,5), (32,4 ; 27,6).

   • a)Sección en proyecciones (1,2 p).
   • b)Sección en verdadera magnitud (0,8 p.).

   Apartado a

   1. 1. Plano y prisma. α2 forma 35,4° con LT hacia arriba y α1 53,0° hacia abajo. La base rectangular de 40 × 20 mm está en el plano horizontal (por eso en el alzado el prisma es un rectángulo de 60 mm de alto con una arista discontinua). Las cuatro aristas verticales se proyectan en la planta como puntos (los vértices del rectángulo).

      α: x = z/tan 35,4° + y/tan 53°

      Vértices de la base (x ; alej.): (32,4 ; 27,6), (65,2 ; 50,5), (76,7 ; 34,2), (43,9 ; 11,2) mm; altura 60 mm

   2. 2. Sección. Cada arista vertical corta al plano α en un punto. Se traza por su proyección horizontal la recta horizontal del plano (paralela a α1) hasta la línea de tierra y se sube a la traza α2: la cota del punto de α sobre cada vértice. Como las cuatro cotas están entre 0 y 60, la sección es un cuadrilátero con un vértice en cada arista.

      z = tan35,4°·(x − y/tan53°)

      Cotas de S1…S4: 8,3, 19,3, 36,2, 25,2 mm

   Apartado b

   1. 1. Verdadera magnitud. Se abate el plano α sobre el horizontal o, equivalentemente, se calculan las coordenadas planas del cuadrilátero (a lo largo de α1 y de la línea de máxima pendiente): resulta un paralelogramo.

      (u, w) = (S·h, S·s) con h ∥ α1 y s línea de máxima pendiente

      Lados: 41,5, 26,2, 41,5, 26,2 mm; área 1070,9 mm²

   Respuesta final: Sección: cuadrilátero con vértices a cotas 8,3, 19,3, 36,2, 25,2 mm sobre los vértices de la base. Verdadera magnitud: paralelogramo de lados 41,5 y 26,2 mm y área 1070,9 mm².

10. 10. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio 6

    Dada la pirámide VABC y el plano α: a) Analice la visibilidad de la pirámide y represéntela (0,4 p.). b) Dibuje las proyecciones de la sección que el plano α produce en la pirámide, analizando también su visibilidad (1,6 p.). (2 puntos) Datos de la figura (diédrico europeo, medidos del PDF a tamaño real; x respecto de A; alejamiento y cota): A = (0 ; 10,5 ; 59,9), B = (0 ; 38,2 ; 13,2), C = (0 ; 92,5 ; 0), V = (53,3 ; 38,2 ; 29,0); α2 a 38,2° y α1 a 45,5° de LT, con vértice sobre LT a x = 103,2 mm (las trazas bajan hacia la izquierda).

    • a)Visibilidad de la pirámide (0,4 p.).
    • b)Proyecciones de la sección con visibilidad (1,6 p.).

    Apartado a

    1. 1. Visibilidad de la pirámide. En cada proyección una arista es oculta si, mirando hacia el observador (desde delante en el alzado, desde arriba en la planta), la tapa alguna cara. Se comprueba arista a arista (cruces de proyecciones y cota o alejamiento relativo de los dos puntos que coinciden); las ocultas se dibujan discontinuas.

       visibilidad por rayos

       Alzado: 3 vistas, 1 ocultas; planta: 3 vistas, 1 ocultas

    Apartado b

    1. 1. Plano α. α2 forma 38,2° y α1 45,5° con LT, a la izquierda de su vértice (x = 103,2 mm sobre LT). Como A, B y C están del lado de LT-izquierda y V del otro, α corta a las tres aristas VA, VB y VC: la sección es un triángulo.

       g(P) = (x0 − x) − z/tan 38,2° − y/tan 45,5°; g(A,B,C) > 0 > g(V)

       g(A) = 16,8, g(B) = 48,9, g(C) = 12,3, g(V) = -24,5

    2. 2. Puntos de corte. Para cada arista se usa un plano proyectante auxiliar que la contiene (o el método de la recta horizontal del plano) y se halla su intersección con α; analíticamente SA = V + t(A − V) con g(SA) = 0.

       S = P + g(P)/(g(P) − g(Q))·(Q − P)

       SA = (x 21,7; alej. 21,8; cota 47,3); SB = (35,5; 38,2; 23,7); SC = (17,8; 74,3; 9,7) mm

    3. 3. Visibilidad de la sección. Un lado de la sección es visible si está sobre una cara visible; se comprueba con rayos: en el alzado se ven 1 tramos y 2 están ocultos; en la planta 1 vistos y 2 ocultos.

       visibilidad de los lados SASB, SBSC, SCSA

       Alzado: 1 vistos / 2 ocultos; planta: 1 / 2

    Respuesta final: Sección triangular SA SB SC con SA = (21,7; 21,8; 47,3), SB = (35,5; 38,2; 23,7), SC = (17,8; 74,3; 9,7) mm (x; alejamiento; cota). Lados 31,9, 42,6, 64,7 mm. Visibilidad por rayos en las figuras.

11. 11. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio 7

    Obtenga la intersección de los tres planos α, β y γ. (2 puntos) Datos de la figura (diédrico europeo, medidos del PDF a tamaño real; origen en el vértice de γ sobre LT; x a la derecha): α de perfil (trazas coincidentes con la vertical por A, a 16,7 mm a la izquierda del origen); β con β2 a cota 31,4 y β1 a 47,1 de alejamiento (ambas paralelas a LT); γ con γ2 a 34,9° (tan 0,698) y γ1 a 68,8° (tan 2,579) de LT, ambas hacia la derecha. A = (−16,7 ; 24,8 ; 39,0).

    • a)Intersección de los tres planos (2 p.).

    Apartado a

    1. 1. Plano α. Sus trazas α1 y α2 son perpendiculares a LT y coinciden con la recta vertical por A: es un plano de perfil (x constante). Todo lo que está en α se proyecta en esa recta, por lo que para ver la intersección hay que usar la vista de perfil.

       α: x = x_A

       x_A = -16,7 mm respecto del vértice de γ

    2. 2. Rectas en α. β es paralelo a LT (β1 y β2 paralelas a LT): corta a α en r, la recta de perfil que une su traza horizontal (alej. 47,1) y su traza vertical (cota 31,4). γ corta a α en s, que une γ1 en x_A (alej. -43,0) y γ2 en x_A (cota -11,6).

       r = α ∩ β ; s = α ∩ γ

       r: (47,1 ; 0) – (0 ; 31,4) (y ; z); s: (-43,0 ; 0) – (0 ; -11,6) (y ; z)

    3. 3. Punto I. En la vista de perfil r y s se cortan en I; sus coordenadas (y, z) dan I1 = (x_A ; y) e I2 = (x_A ; z).

       I = r ∩ s

       I = (x -16,7; alej. 108,5; cota -41,0) mm → cuarto diedro

    Respuesta final: I = (x -16,7; alejamiento 108,5; cota -41,0) mm respecto del vértice de γ sobre LT; I1 = (-16,7 ; 108,5 bajo LT) e I2 = (-16,7 ; 41,0 bajo LT).

12. 12. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio 5

    Dada la pirámide recta de base triangular ABC y vértice V, dibuje las proyecciones (1,2 p.) y la verdadera magnitud (0,8 p.) de la sección que le produce el plano α. (2 puntos) Datos de la figura (diédrico europeo, medidos del PDF a tamaño real; x respecto de A; alejamiento y cota): A = (0 ; 28,5 ; 0), B = (30,1 ; 2,9 ; 0), C = (37,2 ; 41,8 ; 0), V = (22,4 ; 24,4 ; 55,0). Las trazas α2 (a 55,0 de LT, por V2) y α1 (a 41,8 de LT, por C1) son paralelas a LT. En el alzado V2B2 es discontinua.

    • a)Dibuje las proyecciones de la sección (1,2 p.).
    • b)Dibuje la verdadera magnitud de la sección (0,8 p.).

    Apartado a

    1. 1. Lectura del plano. α2 y α1 son paralelas a la línea de tierra, luego α es paralelo a LT y perpendicular al plano de perfil. α2 pasa por V2 (a 55,0 mm de LT) y α1 pasa por C1 (a 41,8 mm de LT, en el plano horizontal).

       α: y/41,8 + z/55,0 = 1 (y = alejamiento, z = cota)

       A = (28,5 ; 0,0) (y;z), B = (2,9 ; 0,0), C = (41,8 ; 0,0), V = (24,4 ; 55,0) (y;z); x(A,B,C,V) = 0 ; 30,1 ; 37,2 ; 22,4

    2. 2. Vista de perfil. Se proyecta la pirámide sobre un plano perpendicular a LT: cada punto pasa a (y, z). El plano α es la recta que une (41,8 ; 0) con (0 ; 55,0). A y B quedan a un lado de α (hacia LT) y V al otro, así que α corta a las aristas VA y VB; C está en α.

       PA = VA ∩ α ; PB = VB ∩ α ; C ∈ α

       En el perfil: PA = (27,0 ; 19,4), PB = (16,1 ; 33,8) (y;z) mm

    3. 3. Se vuelven los puntos al alzado y la planta: PA y PB están en las aristas VA y VB; en el alzado se obtienen sobre V2A2 y V2B2 con la cota del perfil, y en la planta sobre V1A1 y V1B1 con el alejamiento del perfil. Se unen PA, PB y C en cada proyección.

       PA = V + t(A − V), t = g(V)/(g(V) − g(A))

       PA = (7,9 ; 27,0) (x;y), cota 19,4; PB = (25,4 ; 16,1) (x;y), cota 33,8 mm

    Apartado b

    1. 1. Verdadera magnitud. El plano α es proyectante en perfil, así que se abate sobre el plano horizontal girando alrededor de su traza horizontal α1. Cada vértice conserva su x y su distancia a α1 medida en el plano (en el perfil, a lo largo de la recta α).

       w = √((ya − y)² + z²); lados del triángulo abatido

       Lados: PA–PB = 25,1, PB–C = 44,0, C–PA = 38,1 mm; área = 476,9 mm²

    Respuesta final: Sección triangular PA PB C con PA = (x 7,9; alej. 27,0; cota 19,4), PB = (x 25,4; alej. 16,1; cota 33,8) y C = (x 37,2; alej. 41,8; cota 0) mm. Verdadera magnitud: triángulo de lados 25,1, 44,0 y 38,1 mm, área 476,9 mm².

13. 13. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio 6

    Determine las proyecciones de la distancia del punto P al plano definido por los puntos A, B y C. (2 puntos) Datos de la figura (diédrico europeo, medidos del PDF a tamaño real; x respecto de A; alejamiento y cota): A = (0 ; 83,3 ; 61,8), B = (35,9 ; 0 ; 61,8), C = (65,8 ; 0 ; 14,5), P = (8,6 ; 13,1 ; 32,7). B y C están en el plano vertical de proyección; A2 y B2 están a la misma cota.

    • a)Determine las proyecciones de la distancia de P al plano ABC (2 p.).

    Apartado a

    1. 1. Rectas notables del plano. AB tiene sus dos proyecciones paralelas a LT en alzado (A2 y B2 a la misma cota): es una recta horizontal del plano. BC está en el plano vertical de proyección (B1 y C1 sobre LT): es una recta frontal.

       AB horizontal; BC frontal

       cota A = cota B = 61,8 mm; B y C con alejamiento 0

    2. 2. Recta perpendicular al plano por P. Una recta perpendicular a un plano lo es a todas sus rectas: su proyección horizontal p1 es perpendicular a la horizontal AB (A1B1) y su proyección vertical p2 es perpendicular a la frontal BC (B2C2). Se trazan p1 por P1 y p2 por P2.

       p1 ⟂ A1B1 ; p2 ⟂ B2C2

       Dirección de la normal (unitaria): (0,794 ; 0,342 ; 0,503) (x ; alej. ; cota)

    3. 3. Punto I de intersección. Se toma el plano proyectante vertical que contiene a p (su traza horizontal es p1). Corta a AB en M (M1 = p1 ∩ A1B1, M2 sobre A2B2) y a BC en N (N1 = p1 ∩ LT, N2 sobre B2C2). En el alzado, la recta M2N2 es la intersección de ese plano con ABC y corta a p2 en I2.

       I = p ∩ ABC; I2 = p2 ∩ M2N2

       M2 = (26,8 ; 61,8), N2 = (-21,9 ; 152,9); I2 = (33,8 ; 48,7) (x ; cota); I1 = (33,8 ; -24,0)

    Apartado b

    1. 1. La distancia del punto al plano es el segmento PI. Sus proyecciones son P1I1 y P2I2. Verdadera magnitud (no se pide): la hipotenusa del triángulo cuyos catetos son una proyección y la diferencia de coordenadas en la otra dirección.

       d = |PI| = √(Δx² + Δy² + Δz²)

       Δx = 25,2, Δy = 10,9, Δz = 16,0 mm; d = 31,8 mm

    Respuesta final: Proyecciones de la distancia: P1I1 y P2I2 con I = (x 33,8; alej. 24,0; cota 48,7) mm (origen en A, x hacia la derecha). Distancia real d = 31,8 mm.

14. 14. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio 7

    a) Obtenga las proyecciones del cuadrado ABCD (1 p.) sabiendo que está contenido en un plano α perpendicular al Plano Vertical de Proyección y está situado en el primer diedro. b) Siendo el cuadrado ABCD la cara de un hexaedro regular, obtenga las proyecciones del hexaedro sabiendo que está situado por encima del plano α. (1 p.) (2 puntos) Datos de la figura (diédrico europeo, medidos del PDF a tamaño real; x respecto de A, positivo a la derecha; alejamiento y cota): A = (0 ; 38,6 ; 11,4), B = (−29,4 ; 15,6 ; 33,0).

    • a)Obtenga las proyecciones del cuadrado ABCD (1 p.).
    • b)Obtenga las proyecciones del hexaedro regular situado por encima de α (1 p.).

    Apartado a

    1. 1. Plano α. Es perpendicular al plano vertical de proyección, así que su traza vertical α2 es una recta cualquiera (aquí la que pasa por A2 y B2, porque A y B están en α) y su traza horizontal α1 es perpendicular a LT por el punto V0 = α2 ∩ LT. Todo lo contenido en α se proyecta en el alzado sobre α2.

       α2 = A2B2; α1 ⟂ LT por V0

       V0 = (15,4 ; 0) mm; |AB| = 43,2 mm

    2. 2. Abatimiento. Se abate α sobre el plano horizontal girando alrededor de α1. Cada punto, al girar, conserva su alejamiento (se mueve en un plano paralelo al vertical) y se sitúa a una distancia de α1 igual a la que tiene a V0 medida sobre α2. Así (A) y (B) quedan a 19,1 y 55,6 mm de α1.

       (P) = (xV0 − |V0P2| ; alejamiento de P)

       (A) = (-3,7 ; 38,6), (B) = (-40,2 ; 15,6) mm (abscisa ; alejamiento)

    3. 3. Cuadrado abatido. Sobre (A)(B) se construye el cuadrado: perpendiculares por (A) y (B) y distancia |AB|. Se elige el lado que deja el cuadrado en el primer diedro (alejamientos positivos). Se deshace el abatimiento: (C) y (D) vuelven a α2 con su alejamiento (y la misma distancia a V0), y se obtienen C2, D2, C1, D1.

       (D) = (A) + giro 90° de ((B) − (A))

       (C) = (-63,3 ; 52,1), (D) = (-26,8 ; 75,1) mm → C = (x -47,9; alej. 52,1; cota 46,7), D = (x -18,5; alej. 75,1; cota 25,0)

    Apartado b

    1. 1. Hexaedro regular. El cubo tiene por cara ABCD; sus otras aristas, de longitud |AB| = 43,2 mm, son perpendiculares a α: en el alzado, perpendiculares a α2, hacia arriba (el hexaedro está por encima de α); en la planta, de proyección paralela a la normal del plano. Se trazan EA, FB, GC, HD.

       E = A + n·|AB|, F = B + n·|AB|, … con n ⟂ α hacia arriba

       n = (0,594 ; 0 ; 0,805); E = (x 25,6; alej. 38,6; cota 46,1) mm

    2. 2. Visibilidad. En el alzado (mirando desde delante) son vistas las aristas de la cara frontal; en la planta (mirando desde arriba) las de la cara superior. Se determina con rayos hacia el observador: cada arista se divide en tramos y se comprueba si algún triángulo del cubo se interpone.

       visibilidad por trazado de rayos

       Alzado: 5 aristas vistas y 1 ocultas; planta: 9 vistas y 3 ocultas

    Respuesta final: Cuadrado ABCD con C = (x -47,9; alej. 52,1; cota 46,7) y D = (x -18,5; alej. 75,1; cota 25,0) mm, de lado 43,2 mm. Hexaedro con E = (x 25,6; alej. 38,6; cota 46,1), F = (-3,8; 15,6; 67,8), G = (-22,3; 52,1; 81,4) y H = (7,1; 75,1; 59,7) mm.

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