Cónicas · Dibujo Técnico II (con soluciones)
PAU Comunitat Valenciana · 5 ejercicios, del más reciente al más antiguo
1. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 1B · Opción B
Obtenga los ejes de una elipse conociendo el foco F₁, una recta tangente t, el valor del eje mayor 2a y la distancia entre los dos focos 2c (1,2 p.). Dibuje también el punto de tangencia T₁ de la elipse con la recta t (0,3 p.). Datos de la figura (mm, origen en F₁, x a la derecha, y hacia arriba): t inclinada 18,5° y a 20,9 mm de F₁; 2a = 79,6 mm y 2c = 59,7 mm.
Simétrico F_1 de F1 respecto de t y foco F2 (2c desde F1, 2a desde F1) Elipse de focos F1 y F2: ejes y punto de tangencia T_1 sobre t Segunda solución: foco F2 y elipse tangente a t (otro corte de las circunferencias) 1. Datos. Eje mayor 2a = 79,6 mm y distancia focal 2c = 59,7 mm, es decir a = 39,8 mm y c = 29,9 mm. De ahí el semieje menor: b = √(a² − c²) = 26,3 mm (el eje menor mide 2b = 52,7 mm).
b² = a² − c²
a = 39,8 ; c = 29,9 ; b = 26,3 mm
2. Simétrico del foco respecto de la tangente. La tangente a una elipse es bisectriz exterior de los radios vectores (propiedad de reflexión): el simétrico F₁* de F₁ respecto de t (en la figura, F_s) está en la prolongación del radio vector de F₂ y cumple |F₂F₁*| = 2a. Se baja la perpendicular desde F₁ a t, y se lleva la misma distancia al otro lado de t.
F₁* = simétrico de F₁ respecto de t
Distancia de F₁ a t: 20,9 mm. F₁* = (13,3 ; −39,7) mm
3. Foco F₂. Debe cumplir dos condiciones: |F₁F₂| = 2c y |F₁F₂| = 2a. Se trazan la circunferencia de centro F₁ y radio 2c y la de centro F₁ y radio 2a; sus cortes son los posibles F₂.
F₂ ∈ c(F₁; 2c) ∩ c(F₁*; 2a)
F₂ = (51,5 ; 30,1) mm (solución principal). Otro corte: F₂′ = (−59,3 ; −7,0) mm
4. Ejes. El eje mayor es la recta F₁F₂ y mide 2a; su punto medio O = (F₁+F₂)/2 es el centro. El eje menor es la perpendicular al mayor por O y mide 2b: se llevan b = 26,3 mm a cada lado de O (o, con el compás, desde F₁ se corta la perpendicular con radio a).
Eje mayor ⟂ eje menor en O
O = (25,8 ; 15,1) ; el eje mayor forma 30,3° con la horizontal
5. Punto de tangencia. T₁ es el corte de la recta F₁F₂ con la tangente t: por reflexión, el rayo de F₂ a F₁ pasa por el punto de contacto.
T₁ = (F₁*F₂) ∩ t
T₁ = (28,1 ; −12,6) mm. Comprobado: T₁F₁ + T₁F₂ = 79,6 mm = 2a
Respuesta final: Eje mayor: recta F₁F₂ con F₂ = (51,5 ; 30,1) mm (2a = 79,6 mm); centro O = (25,8 ; 15,1) mm; eje menor perpendicular por O de longitud 2b = 52,7 mm; punto de tangencia T₁ = (28,1 ; −12,6) mm (coordenadas respecto de F₁). Existe una segunda elipse con F₂′ = (−59,3 ; −7,0) mm.
2. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 1B · Opción B
La recta d es la directriz de una parábola y t₁ y t₂ dos tangentes a la misma. Determine el eje (0,2 p.), el foco (0,5 p.) y el vértice de la parábola (0,2 p.) y obtenga los puntos de tangencia de la parábola contenidos en t₁ y t₂ (0,6 p.). Datos (mm, origen en el punto medio de d): d es x = 0; t₁ pasa por (75,7 ; 43,6) con inclinación 19,5°; t₂ pasa por (80,3 ; −57,7) con inclinación −17,5°.
Simétricas de d respecto de t_1 y t_2: se cortan en el foco F Eje, vértice V y simétricos de F (sobre d) Parábola y puntos de tangencia T_1 y T_2 1. Propiedad de la tangente. La tangente a una parábola es mediatriz del segmento que une el foco con su simétrico respecto de la tangente, y ese simétrico está en la directriz (reflexión: la tangente es bisectriz del ángulo entre el radio vector y la perpendicular a la directriz). Por tanto, F está en la simétrica de d respecto de t₁ y también en la simétrica de d respecto de t₂.
F ∈ s_{t₁}(d) ∩ s_{t₂}(d)
Se trazan las simétricas de d (basta con dos de sus puntos) respecto de t₁ y t₂
2. Foco. Las dos rectas simétricas se cortan en F.
F = s_{t₁}(d) ∩ s_{t₂}(d)
F = (18,5 ; −6,0) mm
3. Eje y vértice. El eje es la perpendicular a d por F. El vértice V es el punto medio entre F y el pie de esa perpendicular sobre d (la parábola equidista de F y de d).
e ⟂ d por F ; V = punto medio de F y su proyección sobre d
Eje: recta horizontal y = −6,0 mm. V = (9,2 ; −6,0) mm; distancia vértice-foco p = 9,2 mm
4. Puntos de tangencia. Si F′ es el simétrico de F respecto de la tangente, el punto de tangencia T está en la perpendicular a d por F′ (porque TF = TF′ = distancia de T a d, y la perpendicular a d por F′ es el lugar de los puntos cuya distancia a la directriz sale del pie F′). Se corta esa perpendicular (paralela al eje) con la tangente correspondiente.
T_i = (paralela al eje por F_i′) ∩ t_i
T₁ = (82,6 ; 46,0) mm ; T₂ = (101,8 ; −64,5) mm
Respuesta final: Eje: la recta por F perpendicular a d (y = −6,0 mm). Foco F = (18,5 ; −6,0) mm; vértice V = (9,2 ; −6,0) mm (p = 9,2 mm). Puntos de tangencia: T₁ = (82,6 ; 46,0) mm en t₁ y T₂ = (101,8 ; −64,5) mm en t₂ (coordenadas respecto del punto medio de d).
3. 2025 · Reserva 2025 (Junio) · Ejercicio 1B · Opción B
Dada una elipse definida por sus focos, y conocida una recta t tangente a la misma, determine el punto P de tangencia de la recta (0,6 p.) y los ejes mayor AA′ (0,4 p.) y menor BB′ (0,5 p.). Datos (mm, origen en F): F′ = (79,8 ; 0,0); t inclinada 34,9° por (0,3 ; 41,9).
Simétrico Fs de F respecto de t; P = FsFp ∩ t Ejes AAp (mayor) y BBp (menor) y centro O Elipse tangente a t en P 1. Simétrico de un foco. Por la propiedad de reflexión, el simétrico F* de F respecto de la tangente t cumple |F*F′| = PF + PF′ = 2a. Se baja la perpendicular de F a t y se lleva la misma distancia al otro lado.
F* = s_t(F)
F* = (−39,1 ; 56,0) mm
2. Punto de tangencia P. Es el único punto de t cuya suma de distancias a los focos es mínima: el corte de F*F′ con t.
P = F*F′ ∩ t
P = (−3,5 ; 39,2) mm; PF + PF′ = 131,5 mm
3. Eje mayor. Está sobre la recta FF′ y mide 2a = |F*F′| = 131,5 mm; su punto medio O es el centro. Se llevan a = 65,7 mm a cada lado de O con el compás.
AA′ = 2a
O = (39,9 ; 0,0) ; A = (105,6 ; 0,0) ; A′ = (−25,8 ; 0,0) mm
4. Eje menor. Perpendicular al mayor por O, con b = √(a² − c²), c = OF = 39,9 mm. Con el compás, centro F y radio a corta la mediatriz de FF′ en B y B′ (BF = BF′ = a).
BB′ = 2b
b = 52,2 mm ; B = (39,9 ; 52,2) ; B′ = (39,9 ; −52,2) mm
Respuesta final: P = (−3,5 ; 39,2) mm; eje mayor AA′ de longitud 131,5 mm sobre FF′ (A = (105,6 ; 0,0), A′ = (−25,8 ; 0,0)); eje menor BB′ de longitud 104,5 mm (B = (39,9 ; 52,2), B′ = (39,9 ; −52,2)); centro O = (39,9 ; 0,0) (respecto de F).
4. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio 4
Dados el foco F y los puntos A y B de una parábola: obtenga la directriz, el eje y el vértice V de la parábola. Seleccione la directriz que se encuentre por debajo del foco (0,8 p.). Obtenga la tangente a la parábola en el punto A (0,7 p.). (1,5 puntos) Datos de la figura (medidos del PDF a tamaño real; origen en F, x a la derecha, y hacia arriba): A = (32,0 ; 119,5); B = (−82,6 ; 25,8) mm.
- a)Obtenga la directriz, el eje y el vértice V (0,8 p.).
- b)Obtenga la tangente en A (0,7 p.).
Directriz: tangente común a las circunferencias (A, AF) y (B, BF) Eje, vértice V = punto medio de FK y parábola Tangente en A = mediatriz de FA′ Apartado a
1. Directriz. Todo punto X de la parábola cumple XF = d(X, directriz). Para A y B: la directriz es tangente a las circunferencias de centro A y radio AF y de centro B y radio BF (ambas pasan por F). Esas circunferencias tienen dos tangentes comunes exteriores; se elige la que queda por debajo del foco. Se construye: circunferencia auxiliar de centro A y radio AF − BF; las tangentes desde B a ella se trasladan después a distancia BF.
d ⊥ n con n·A − c = AF y n·B − c = BF
AF = 123,7 mm, BF = 86,6 mm; n = (-0,418 ; 0,908), inclinación del eje 114,7° ; distancia F–directriz = 28,6 mm
2. Eje y vértice. El eje es la perpendicular a la directriz por F; corta a la directriz en K. El vértice V es el punto medio de FK, porque está a igual distancia del foco que de la directriz.
V = (F + K)/2
K = (11,9 ; -25,9) mm; V = (6,0 ; -13,0) mm; p = FV = 14,3 mm
Apartado b
1. Tangente en A. La tangente es la bisectriz del ángulo FAA′ (A′ es la proyección de A sobre la directriz), y como AF = AA′, es la mediatriz del segmento FA′. Se proyecta A sobre d en A′, se une con F y se traza su mediatriz, que pasa por A.
tA = mediatriz(F A′)
A′ = (83,7 ; 7,1) mm; punto medio M = (41,9 ; 3,6) mm; tA de dirección 94,9°
Respuesta final: Directriz d: recta perpendicular a n = (-0,418 ; 0,908) a 28,6 mm por debajo de F (K = (11,9 ; -25,9)). Eje por F y K (inclinado 114,7°). Vértice V = (6,0 ; -13,0) mm (origen en F). Tangente en A: mediatriz de F y A′ = (83,7 ; 7,1) mm.
5. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio 4
De una hipérbola se conoce el foco F1, el eje, un punto P de la curva y la tangente en dicho punto tP. Obtenga: el otro foco F2 (0,5 p.), los vértices (0,6 p.) y las asíntotas (0,4 p.). Deje indicadas todas las líneas auxiliares de construcción. (1,5 puntos) Datos de la figura (medidos del PDF a tamaño real; origen en F1, x a la derecha, y hacia arriba): el eje es la recta horizontal y = 0; P = (109,3 ; 64,1) mm; tP pasa por P y corta al eje en (57,4 ; 0), con inclinación de unos 51,0° sobre el eje.
- a)Obtenga el otro foco F2 (0,5 p.).
- b)Obtenga los vértices (0,6 p.).
- c)Obtenga las asíntotas (0,4 p.).
F1′ simétrico de F1 respecto de tP; F2 = P F1′ ∩ eje Vértices: circunferencia principal (O, OM); asíntotas por la perpendicular en V Resultado: focos, vértices, asíntotas y la hipérbola Apartado a
1. Propiedad focal: la tangente en un punto de la hipérbola es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores PF1 y PF2. Por tanto el simétrico F1′ de F1 respecto de tP está en la recta PF2. Se traza por F1 la perpendicular a tP y se lleva la misma distancia al otro lado.
F1′ = simetría de F1 respecto de tP
F1′ = (69,2 ; -56,1) mm (origen en F1, y hacia arriba)
2. F2 está a la vez en el eje y en la recta PF1′. Se prolonga PF1′ hasta cortar el eje.
F2 = (P F1′) ∩ eje
F2 = (87,9 ; 0,0) mm; distancia focal 2c = 87,9 mm
Apartado b
1. Vértices. M, el punto medio de F1F1′, es el pie de la perpendicular desde F1 a la tangente y está en la circunferencia principal (centro O, el punto medio de F1F2, radio a). Se traza la circunferencia de centro O que pasa por M y se corta con el eje.
a = OM; V1,2 = O ± a
O = (44,0 ; 0,0) mm; a = OM = 29,6 mm; V1 = (14,4 ; 0,0), V2 = (73,5 ; 0,0) mm
Apartado c
1. Asíntotas. Se traza la circunferencia de diámetro F1F2 (centro O, radio c) y la perpendicular al eje por un vértice V1. Cada punto de corte H cumple OV1² + V1H² = c², así que V1H = b, y OH es una asíntota (pendiente ±b/a). La otra es su simétrica respecto del eje.
b² = c² − a²; asíntotas: rectas por O y (V1 ; ±b)
c = 44,0 mm; b = 32,5 mm; pendiente ±b/a = ±1,100 (ángulo 47,7° con el eje)
Respuesta final: F2 = (87,9 ; 0,0) mm (origen en F1; sobre el eje a 87,9 mm de F1). Centro O = (44,0 ; 0,0); vértices V1 = (14,4 ; 0,0) y V2 = (73,5 ; 0,0) mm (a = 29,6); asíntotas por O con pendientes ±1,100 (b = 32,5 mm, ángulo 47,7° con el eje).