Sistema axonométrico · Dibujo Técnico II (con soluciones)

1. 1. 2025 · Extraordinaria 2025 · Ejercicio 4B · Opción B

   Dibuje a escala 1:1 el dibujo isométrico (sin coeficientes de reducción) del sólido representado por sus proyecciones diédricas en sistema europeo completamente acotadas. Incluya todas sus líneas ocultas. Sitúe el punto A sobre el origen de coordenadas. Datos: alzado 73 × 57 con cotas 36 (nervadura delante), 34 (altura de las cuñas delante) y 57 (altura total); planta 73 × 51 con cota 18 (nervadura atrás); perfil 51 × 57 con diagonal desde (atrás, 57) hasta (delante, 34).

   1. 1. Interpretar el sólido. El perfil muestra una diagonal continua de (atrás, 57) a (delante, 34): el borde superior de las dos piezas laterales baja hacia delante (cuñas). La planta muestra una pieza central trapecial (18 mm atrás, 36 mm delante) y el alzado la sitúa a la altura total de 57. Las rectas a trazos del alzado, de (±9 ; 57) a (±18 ; 34), son las aristas por donde las paredes inclinadas de la pieza central cortan a las cuñas; son ocultas porque esas paredes miran hacia atrás (la pieza ensancha hacia delante). Conclusión: bloque 73 × 51 × 57 formado por dos cuñas laterales (cara superior inclinada, 57 mm atrás y 34 mm delante) y una nervadura central de 57 mm de alto con la planta trapecial.

      Cuñas: z = 57 − 23·y/51 ; nervadura: ancho 18 → 36 mm

      Sólido de 6 caras principales + cara inclinada de cada cuña + 2 paredes trapeciales; sus tres vistas ortogonales reproducen exactamente las del enunciado

   2. 2. Ejes y origen. Isométrico sin reducción: los tres ejes forman 120° entre sí y las medidas se llevan en verdadera magnitud. Se toma X a 30° hacia la derecha y abajo, Y a 30° hacia la izquierda y abajo y Z vertical, con A (vértice inferior posterior derecho del sólido) en el origen. El sólido queda hacia −X (izquierda y arriba), +Y (delante, izquierda y abajo) y +Z.

      Proyección: (x ; y ; z) → (cos 30°·(x − y) ; −sen 30°·(x + y) + z)

      Ejes de la figura 1; caja envolvente 73 × 51 × 57

   3. 3. Caja y vértices. Desde A se llevan 73 mm hacia −X, 51 mm hacia +Y y 57 mm hacia +Z. Sobre la cara posterior (y = 0) se marcan la altura 57 mm de toda la cara y los extremos de la nervadura a x = 27,5 y 45,5 (18 mm); sobre la cara frontal (y = 51) las alturas 34 mm de las cuñas y los puntos x = 18,5 y 54,5 (36 mm) de la nervadura.

      Puntos clave en 3D (x ; y ; z)

      Cuñas: (0;0;57), (27,5;0;57), (18,5;51;34), (0;51;34) y su simétrica; nervadura: (27,5;0;57), (45,5;0;57), (54,5;51;57), (18,5;51;57)

   4. 4. Aristas vistas y ocultas. El observador está en la dirección (1, 1, 1): ve la cara superior (cuñas y nervadura), la frontal y la derecha. Con trazado de rayos se clasifican las aristas: 19 tramos vistos y 4 ocultos (la arista posterior inferior, la inferior izquierda, la vertical posterior izquierda y la parte de las aristas de la nervadura tapada por la cuña derecha).

      Trazado de rayos hacia (1,1,1)

      19 tramos continuos + 4 discontinuos

   Respuesta final: Isométrico de la figura 3 (X a 30° derecha-abajo, Y a 30° izquierda-abajo, Z vertical, A en el origen): bloque 73 × 51 × 57 mm con dos cuñas laterales (57 mm atrás, 34 mm delante) y nervadura central trapecial (18 mm atrás, 36 mm delante) de 57 mm de alto; 19 aristas vistas y 4 ocultas.

2. 2. 2025 · Extraordinaria 2025 (Especial DANA) · Ejercicio 4B · Opción B

   Dados el alzado, la planta y el perfil de una pieza, represente la vista directa de esta en perspectiva caballera a la misma escala que las vistas, con CR = 0,6 y líneas ocultas (escala gráfica para la reducción).

   1. 1. Interpretar la pieza. Cuerpo posterior: prisma de 50 × 20 × 45 con un bloque en cuña a la izquierda (x de 0 a 20) cuya cara superior baja de z = 60 (atrás) a z = 45 (delante). Pieza delantera: un cilindro de radio 15 (eje paralelo a Y, centro en x = 25, z = 25) pegado a la cara frontal del cuerpo, del que solo existen la mitad inferior (30 mm de fondo, y de 20 a 50) y el cuarto superior izquierdo (15 mm de fondo, y de 20 a 35); falta el cuarto superior derecho. Las líneas del alzado, planta y perfil dadas se reproducen con este modelo.

      Cuerpo + cuña + semicilindro inferior + cuarto superior izquierdo

      Volumen aproximado: cuerpo 45000 mm³ más cuña 3000 mm³ y las piezas cilíndricas

   2. 2. Escala gráfica de reducción. Las medidas de Y se multiplican por 0,6 = 3/5: sobre una semirrecta auxiliar desde el origen se marcan 5 divisiones iguales; se une la quinta con el extremo de la medida y se traza la paralela por la tercera. Profundidades reducidas: 20 → 12, 35 → 21, 50 → 30 mm.

      y′ = 0,6·y

      Y: 20 → 12 mm ; 35 → 21 mm ; 50 → 30 mm

   3. 3. Ejes y cara de verdadera forma. X horizontal, Z vertical, Y a 45° hacia abajo y a la izquierda. Las caras paralelas al plano XZ (alzado) se dibujan en verdadera forma, también las circunferencias: la cara posterior del cuerpo con la cuña y las caras circulares a y = 20, 35 y 50 son iguales, desplazadas por la reducción.

      Proyección: (x ; y ; z) → (x − 0,6·y·cos 45° ; z − 0,6·y·sen 45°)

      Cara frontal del cuerpo en y = 20 y arcos en y = 20, 35 y 50

   4. 4. Completar y visibilidad. Se unen las caras con paralelas al eje Y (aristas del cuerpo, cuña y generatrices del cilindro: las tangentes a los arcos son paralelas a Y y en la proyección caben solo las generatrices de contorno). El observador ve las caras frontal, superior y derecha: quedan ocultos los tramos de aristas y arcos tapados por otras caras. Resultado: 31 tramos vistos y 10 ocultos.

      Trazado de rayos con la dirección (0,424 ; 1 ; 0,424)

      31 vistos y 10 ocultos (incluye arcos)

   Respuesta final: Perspectiva caballera (figura 3): cuerpo 50 × 20 × 45 con cuña, semicilindro inferior de radio 15 y 30 de fondo y cuarto superior izquierdo de 15 de fondo, con Y reducida a 0,6 (profundidades 12, 21 y 30 mm); 31 tramos vistos y 10 ocultos.

3. 3. 2025 · Ordinaria 2025 · Ejercicio 4B · Opción B

   Dado un sólido por sus vistas en el sistema diédrico europeo, dibuje la perspectiva caballera a escala 3:2, siendo el coeficiente de reducción en el eje Y de ¾ y el ángulo de fuga XOY de 135º. Se valorará el uso de la escala gráfica para aplicar la reducción en el eje Y. Tomar las medidas directamente del dibujo. Datos de las vistas (mm, tomadas del dibujo a tamaño real, aprox. ±0,3 mm): alzado en forma de trapecio isósceles con base inferior 53,5, base superior 18,5 y altura 47,5, y un trapecio interior invertido (anchura 20,0 arriba a 22,5 de altura y 11,0 abajo); perfil con el borde posterior vertical (Y=0), cara superior de profundidad 14,0, cara inclinada que desciende hasta profundidad 33,5 en la base, y un resalte rectangular de 22,5 de alto que sobresale hasta profundidad 42,0.

   1. 1. Interpretar el sólido. El alzado es un trapecio isósceles y el perfil muestra el borde posterior vertical; es un tronco de pirámide (cara posterior vertical y plano frontal inclinado) al que se adosa en la parte frontal inferior un resalte de sección trapecial invertida (más ancho arriba). Medidas en X, Y, Z: base 53,5 × 33,5, cara superior 18,5 × 14,0 a altura 47,5; resalte hasta Y = 42,0 y Z = 22,5.

      Identificación de caras con alzado + perfil

      Cara posterior: trapecio (53,5 · 18,5 · 47,5); cara superior: rectángulo 18,5 × 14; plano frontal inclinado; resalte trapecial

   2. 2. Ejes. X horizontal hacia la derecha, Z vertical hacia arriba, e Y formando 135° con X: el semieje Y positivo (hacia el observador) baja hacia la izquierda, a 45° con la horizontal.

      Ángulo XOY = 135° (Y a 225° sobre el eje X)

      OY: dirección (−0,707 ; −0,707)

   3. 3. Escala 3:2 y reducción 3/4. Las medidas de X y Z se multiplican por 3/2. Las de Y se multiplican por 3/2 y por 3/4 (= 9/8 = 1,125). Se aplica la escala gráfica: sobre una semirrecta auxiliar se marcan 4 divisiones iguales, se une la cuarta con el extremo de la medida y se traza la paralela por la tercera: da los 3/4. Ejemplo con la profundidad máxima 42 × 3/2 = 63 mm → 47,25 mm.

      X′ = 1,5·X ; Z′ = 1,5·Z ; Y′ = 1,5·0,75·Y = 1,125·Y

      Base: 80,25 mm; cara superior: 27,75 mm; altura: 71,25 mm; profundidades reducidas: 15,75 (Y=14,0), 37,69 (Y=33,5), 47,25 (Y=42,0) mm

   4. 4. Cara posterior (Y=0) en verdadera forma a escala 3:2. Desde O: base de 80,25 mm; la cara superior se levanta 71,25 mm y empieza a 26,25 mm de O. Todas las verticales son paralelas a Z.

      Vértices (X′ ; Z′) con Y=0: (0;0), (80,25;0), (54;71,25), (26,25;71,25)

      Cara posterior trazada

   5. 5. Profundidades. Por cada vértice de la cara posterior se trazan paralelas al eje Y (a 225°) y se lleva la profundidad reducida: cara superior (Y=14,0 → 15,75 mm), base (Y=33,5 → 37,69 mm) y resalte (Y=42,0 → 47,25 mm). Se unen los puntos con las aristas del tronco y del resalte.

      Punto (X,Y,Z) → (1,5X − 1,125·Y·cos45° ; 1,5Z − 1,125·Y·sen45°)

      Frente del resalte: (−1,5 ; −33,4) a (15,0 ; −33,4) en la base

   6. 6. Aristas vistas y ocultas. El observador ve las caras frontal (+Y), derecha (+X) y superior (+Z). Se dibujan continuas las aristas vistas (19 tramos) y discontinuas las ocultas (6 tramos): la arista posterior inferior, la inferior izquierda y la vertical posterior izquierda del tronco, la arista inferior izquierda del resalte y su encuentro izquierdo con el plano inclinado, y el trozo de la arista frontal de la base tapado por el resalte.

      Visibilidad: una arista es oculta si un rayo hacia el observador (dirección (0,53 ; 1 ; 0,53) en X, Y, Z) atraviesa el sólido

      Perspectiva final

   Respuesta final: Perspectiva caballera con ejes X (derecha), Z (arriba) e Y a 225° (abajo-izquierda), con X y Z a escala 3:2 e Y a 3:2 × ¾ = 1,125; cara posterior a 80,25 × 71,25 mm (base × altura), profundidad del resalte reducida a 47,25 mm. Aristas vistas continuas y ocultas discontinuas como en la figura final.

4. 4. 2025 · Reserva 2025 (Junio) · Ejercicio 4B · Opción B

   Dado el sólido definido por sus vistas en el sistema diédrico europeo, represente su dibujo isométrico a escala 1:1 sin coeficiente de reducción, con O en el origen y líneas ocultas. Datos: alzado 75 × 36 con rebaje de 20 × 7; perfil con cotas 40, 21, 8, 15, 9, 18.

   1. 1. Interpretar el sólido. El perfil es el contorno de la sección en el plano YZ; el alzado muestra que ese contorno se mantiene en los 75 mm de ancho (todas las líneas horizontales del alzado en z = 15 oculta, z = 23 y z = 36 cruzan todo el ancho). Solo el bloque superior (z de 23 a 36, y de 19 a 40) tiene un rebaje central de 20 mm de ancho (x de 18 a 38) y 7 mm de profundidad (hasta z = 29), que aparece oculto en el perfil.

      Sólido = perfil (y,z) extruido 75 mm en X − rebaje 20 × 7 × 21

      Perfil de 10 vértices: (13;0) (31;0) (31;23) (40;23) (40;36) (19;36) (19;23) (0;23) (0;15) (13;15)

   2. 2. Ejes. Isométrico sin reducción: ejes a 120°, medidas en verdadera magnitud. X a 30° hacia la derecha y abajo, Y a 30° hacia la izquierda y abajo, Z vertical, con O (esquina inferior derecha posterior del sólido) en el origen: el sólido queda hacia −X, +Y y +Z.

      (x ; y ; z) → (cos 30°(x − y) ; −sen 30°(x + y) + z) con origen en O

      Caja envolvente 75 × 40 × 36

   3. 3. Construcción. Se dibuja el perfil en la cara posterior del sólido en el extremo derecho (plano x = 75) llevando y sobre el eje Y y z sobre Z; se copia a 75 mm hacia −X (extrusión) y se unen los vértices con paralelas al eje X; se recorta el rebaje (x de 18 a 38, z de 29 a 36) en el bloque superior.

      Extrusión del perfil + rebaje

      Vértices del perfil proyectados por la fórmula del paso 2

   4. 4. Aristas vistas y ocultas. Observador en la dirección (1, 1, 1): se ven la cara superior, la frontal (y mayor) y la derecha. Resultado del trazado de rayos: 29 tramos vistos y 16 ocultos (entre ellos la arista z = 15 posterior inferior y las aristas ocultas bajo el bloque superior).

      Ray-tracing hacia (1,1,1)

      29 continuos + 16 discontinuos

   Respuesta final: Isométrico de la figura 3: perfil extruido 75 mm en X con O en el extremo derecho y rebaje superior de 20 × 7 mm; 29 tramos vistos y 16 ocultos.

5. 5. 2024 · Extraordinaria 2024 · Ejercicio 8

   Dados el alzado, la planta y la vista lateral de una pieza, represente la vista directa de la misma en dibujo isométrico (sin coeficientes de reducción), a la misma escala que las vistas. Sitúe el punto O en la posición indicada. Incluya todas las líneas ocultas. (2 puntos) Datos de las vistas (mm, medidos del PDF a tamaño real; O en el vértice posterior derecho inferior; Y hacia la izquierda, X hacia el observador): placa 60 × 50 × 10; bloque izquierdo (Y 40–60, X 0–15, Z 10–40); saliente (Y 30–40, X 0–15, Z 30–40); cuña derecha (Y 0–20, X 30–50, plano inclinado de Z 40 en X = 30 a Z 10 en X = 50).

   • a)Dibuje el isométrico con las líneas ocultas (2 p.).

   Apartado a

   1. 1. Lectura de las vistas (escala 1:1; O en el vértice posterior, derecho e inferior). Placa base de 60 (Y) × 50 (X) × 10 (Z). Sobre ella, a la izquierda: un bloque (Y 40 a 60, X 0 a 15, Z 10 a 40) y, pegado a él hacia el centro, un saliente colgante (Y 30 a 40, X 0 a 15, Z 30 a 40) que deja un hueco por debajo. A la derecha: una cuña triangular (Y 0 a 20, X 30 a 50) con cara vertical en X = 30 y plano inclinado hasta Z = 10 en X = 50, vista como triángulo en el perfil.

      Pieza = placa + bloque + saliente + cuña

      Volumen aprox. 46500 mm³

   2. 2. Ejes y medidas. En isométrico los tres ejes forman 120° y se miden en verdadera magnitud (sin coeficientes de reducción). Z vertical, X a 30° hacia abajo y la derecha, Y a 30° hacia abajo y la izquierda. Se sitúa O en la posición indicada y se llevan las medidas: X 50, Y 60, Z 10 para la placa.

      (u, v) = ((X − Y)·cos 30°, Z − (X + Y)·sen 30°)

      Placa dibujada desde O

   3. 3. Se añaden el bloque, el saliente y la cuña llevando sus cotas desde las vistas. Las caras inclinadas (plano de la cuña) se construyen uniendo sus vértices ya situados.

      Vértices de la cuña: (30,0,10), (30,20,10), (30,0,40), (30,20,40), (50,0,10), (50,20,10)

      Isométrico terminado

   4. 4. Líneas ocultas. Con el observador en la dirección (1, 1, 1) se ven las caras superiores, la frontal (X máx) y la izquierda (Y máx). Quedan ocultas las aristas traseras y del lado derecho; se dibujan discontinuas: 13 tramos ocultos y 24 vistos.

      visibilidad por trazado de rayos

      24 vistos, 13 ocultos

   Respuesta final: Isométrico a escala 1:1 desde O (X a la derecha-abajo, Y a la izquierda-abajo, Z vertical): placa 50 × 60 × 10, bloque 15 × 20 × 30, saliente 15 × 10 × 10 y cuña de 20 de ancho. 24 segmentos vistos y 13 ocultos.

6. 6. 2024 · Ordinaria 2024 · Ejercicio 8

   Dados el alzado, la planta y la vista lateral de una pieza, represente la vista directa de la misma en sistema axonométrico oblicuo (perspectiva caballera), a la misma escala que las vistas sabiendo que el coeficiente de reducción es CR = 0,7. Represente también las líneas ocultas. Se valorará el uso de la escala gráfica para aplicar la reducción. (2 puntos) Datos de las vistas (mm, tomadas del PDF a tamaño real; origen O en el vértice posterior derecho inferior; Y hacia la izquierda, X hacia el observador): alzado: bloque de 40 × 20 y resalte a la izquierda de 20 × 10; planta: bloque de 30 de fondo y resalte trapezoidal de 10 de ancho junto al bloque (X 10–20) y de 20 en el extremo (X 5–25); vista lateral: resalte de 10 de alto con las aristas del lado estrecho ocultas. Ejes dados: Z hacia arriba, Y horizontal a la izquierda y X a 45° hacia abajo y a la derecha.

   • a)Dibuje la perspectiva caballera con CR = 0,7 y líneas ocultas (2 p.).

   Apartado a

   1. 1. Lectura de las vistas. Alzado (plano YZ): bloque de 40 de ancho (Y de 0 a 40) y 20 de alto, con un resalte a su izquierda de 20 de ancho (Y 40 a 60) y 10 de alto. Planta: el bloque mide 30 de fondo (X de 0 a 30) y el resalte es un trapecio, de 10 de ancho junto al bloque (X 10 a 20) y de 20 en su extremo (X 5 a 25). Perfil: el resalte tiene 10 de alto y se ve más ancho en el extremo (aristas del lado estrecho ocultas).

      Pieza = prisma 30 × 40 × 20 + tronco de pirámide de 20 de largo y 10 de alto

      Bloque (X 0–30, Y 0–40, Z 0–20) y tronco trapezoidal (Y 40–60, Z 0–10)

   2. 2. Ejes y reducción. El eje Y se dibuja horizontal hacia la izquierda y el Z vertical, ambos a escala 1:1 (esa cara es el alzado, en verdadera magnitud). El eje X, de fuga, se dibuja a 45° hacia abajo y a la derecha y las medidas sobre él se multiplican por CR = 0,7: con la escala gráfica (se lleva 30 mm sobre una regla graduada y se pasa a 21 mm) 30 → 21 y 15 → 10,5.

      u = −Y + 0,7·X·cos 45°; v = Z − 0,7·X·sen 45°

      X = 30 → 21 mm sobre el eje (14,85 mm en horizontal y 14,85 mm en vertical)

   3. 3. Se dibuja la cara de alzado (Y,Z) en verdadera magnitud, se trazan por sus vértices las aristas paralelas a X con longitud 0,7·30 = 21 mm y se une para cerrar el bloque. A partir del lado izquierdo se añaden las aristas del resalte: sus aristas en X no son paralelas a X (el trapecio estrecha hacia el bloque), así que sus vértices se sitúan con X y Y de la planta (X 10 y 20 junto al bloque; 5 y 25 en el extremo).

      P(X,Y,Z) → (−Y + 0,495·X ; Z − 0,495·X)

      Resultado: 18 aristas vistas y 7 ocultas

   4. 4. Líneas ocultas y vistas. Mirando desde delante, la derecha y arriba se ven la cara frontal, la cara de alzado de la izquierda (el resalte) y la cara superior; quedan ocultas las aristas traseras del bloque (las de X = 0 que tapan los costados) y las del resalte que quedan detrás.

      Visibilidad por trazado de rayos hacia el observador

      18 segmentos vistos y 7 ocultos

   Respuesta final: Perspectiva caballera a escala 1:1 en Y y Z y reducción 0,7 en X (45°). Bloque de 30 × 40 × 20 (reducido: fondo 21 mm) con resalte trapezoidal de 20 × 10 y de 10 a 20 de ancho. Aristas: 18 vistas y 7 ocultas (el trazado se detalla en las figuras).

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