Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2026 · Ordinaria 2026

12.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · revisión humana pendiente

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
11 resultados comprobados en 4 apartados
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En un laboratorio de ensayos se estudia qué material es más adecuado para utilizarlo como contenedor de fluidos. Se ha realizado un ensayo de tracción en dos probetas de los materiales A y B. Se obtiene la siguiente gráfica tensión-deformación para ambos materiales. [Figura: ejes σ (MPa) en vertical (marcas 100 y 200) y ε en horizontal (marcas 0,005 y 0,01). Material A: recta elástica desde el origen hasta el punto (ε=0,005; σ≈150 MPa), después curva con endurecimiento hasta ≈200 MPa. Material B: recta elástica desde el origen hasta el punto (ε=0,01; σ=100 MPa), después curva con máximo ≈120 MPa.]

a)Sabiendo que para una tensión de 100 MPa ambos materiales se comportan de forma elástica y lineal, indicar qué material es más rígido. Razonar las respuestas.
b)Calcular el módulo de elasticidad (módulo de Young) de ambos materiales.
c)Si el material A en el ensayo se ha realizado con una probeta cilíndrica de diámetro 25 mm y longitud 100 mm calcular el alargamiento que sufre al aplicar una fuerza de 10000 N.
d)Para la planificación de la producción en serie de estos contenedores se opta por dividir el proyecto en pequeñas tareas que se revisan cada semana. ¿Qué beneficios aporta este tipo de planificación? Indicar si existe alguna y justificar como mínimo una metodología de proyectos que use este tipo de procedimientos.

Ensayo de traccion (esquematico): E_A = 150/0,005, E_B = 100/0,01

Apartado a

1. Qué mide la rigidez
Rigidez = resistencia a deformarse elásticamente = pendiente de la zona lineal $σ$ – $ε$
Más rígido = mayor pendiente
Para una misma tensión (100 MPa) el material que menos se deforma es el más rígido.
2. Comparación a 100 MPa
A: la recta elástica llega a $σ = 150$ MPa con $ε = 0, 005$ , luego a 100 MPa $ε_{A} = 100/30000 \approx 0, 0033$ . B: llega a 100 MPa con $ε_{B} = 0, 01$
$ε_{A} < ε_{B}$ : el material A es más rígido
La recta de A es más empinada que la de B en el gráfico.

Apartado b

1. Ley de Hooke en la zona elástica
$E = \frac{σ}{ε}$
—
Se toma un punto de cada recta elástica leído en el gráfico (punto marcado con línea discontinua).
2. Material A
$E_{A} = \frac{150 MPa}{0 , 005}$
$E_{A} = 30000$ MPa $= 30$ GPa
El punto marcado de A está a mitad entre las marcas de 100 y 200 MPa: 150 MPa.
3. Material B
$E_{B} = \frac{100 MPa}{0 , 01}$
$E_{B} = 10000$ MPa $= 10$ GPa
$E_{A} / E_{B} = 3$ : A es tres veces más rígido.

Apartado c

1. Sección de la probeta
$S = \frac{π d ^{2}}{4} = \frac{π \cdot 2 5 ^{2}}{4}$
$S \approx 490, 9$ mm $^{2}$
—
2. Tensión aplicada
$σ = \frac{F}{S} = \frac{10 000 N}{490 , 9 mm ^{2}}$
$σ \approx 20, 4$ MPa
20,4 MPa < 100 MPa: seguimos en la zona elástica lineal, la ley de Hooke es válida.
3. Alargamiento
$Δ L = ε L_{0} = \frac{σ}{E _{A}} L_{0} = \frac{20 , 37}{30 000} \cdot 100$
$Δ L \approx 0, 068$ mm
$ε \approx 6, 8 \cdot 1 0^{- 4}$ .

Apartado d

1. Qué planificación es
Dividir el proyecto en tareas cortas (iteraciones o sprints de una semana) con revisión periódica del resultado: planificación iterativa e incremental (enfoque ágil)
—
—
2. Beneficios
Entregas parciales y frecuentes; detección temprana de errores y menor coste de corregirlos; adaptación a cambios de requisitos; reducción del riesgo; visibilidad del avance y mejora continua en cada revisión
—
—
3. Metodología
Scrum (sprints de 1–4 semanas con planificación, reunión diaria, revisión y retrospectiva). Otras: Kanban, Extreme Programming (iteraciones de 1–2 semanas)
Scrum
En las metodologías en cascada (waterfall) el cliente no ve resultados hasta el final.

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Dado el diagrama de bloques representado en la siguiente figura: [Figura: la entrada X (signo +) entra en un sumador cuya realimentación negativa (−) procede de H1; después G1 y G2 en serie. La salida de G2 se realimenta a través de H1 al primer sumador y entra (+) en un segundo sumador, cuya realimentación negativa (−) procede de H2; a continuación G3 y la salida Y. H2 toma Y a la salida de G3.]

a)Calcular la función de transferencia M entre la entrada X y la salida Y (M = Y/X).
b)Indicar en qué consiste la acción de control generada por un regulador PI.

Dos lazos de realimentacion negativa en cascada

Apartado a

1. Lazo interno 1 (sumador con H1)
El error es $e_{1} = X - H_{1} u$ con $u = G_{1} G_{2} e_{1}$ , luego $u = G_{1} G_{2} (X - H_{1} u)$
$M_{1} = \frac{u}{X} = \frac{G _{1} G _{2}}{1 + G _{1} G _{2} H _{1}}$
Realimentación negativa: $\frac{directa}{1 + lazo}$ . La salida de $G_{2}$ es la que se realimenta por $H_{1}$ y la que llega al segundo sumador.
2. Lazo 2 (sumador con H2)
$Y = G_{3} (u - H_{2} Y)$
$M_{2} = \frac{Y}{u} = \frac{G _{3}}{1 + G _{3} H _{2}}$
—
3. Cascada
Los dos bloques están en serie: $M = M_{1} \cdot M_{2}$
$M = \frac{G _{1} G _{2} G _{3}}{( 1 + G _{1} G _{2} H _{1} ) ( 1 + G _{3} H _{2} )}$
Desarrollado: $M = \frac{G _{1} G _{2} G _{3}}{1 + G _{1} G _{2} H _{1} + G _{3} H _{2} + G _{1} G _{2} G _{3} H _{1} H _{2}}$ (comprobado con SymPy).

Apartado b

1. Definición
Regulador Proporcional-Integral: $u (t) = K_{p} e (t) + K_{i} \int_{0}^{t} e (τ) d τ$ , con $K_{i} = K_{p} / T_{i}$ ; en Laplace $C (s) = K_{p} (1 + \frac{1}{T _{i} s})$
Acción proporcional + acción integral sobre el error $e = r - y$
—
2. Efecto de cada acción
Proporcional: respuesta inmediata y proporcional al error actual, reduce el error pero deja error en régimen permanente. Integral: acumula el error en el tiempo y sigue aumentando mientras $e \neq = 0$
Anula el error en régimen permanente (error estacionario nulo)
—
3. Contrapartida
La acción integral añade un polo en el origen y retardo: puede aumentar el sobreimpulso y ralentizar la respuesta; $T_{i}$ pequeño actúa más rápido pero con menos estabilidad
—
—

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El esquema eléctrico correspondiente a la alimentación de una máquina disponible en una industria cárnica de la provincia de Alicante viene representado en la siguiente figura: [Figura: fuente de tensión alterna Ve en serie con una bobina L, una resistencia R y un condensador C.] Datos: Ve = 100 V (tensión eficaz de la fuente de alimentación); L = 5 mH (inductancia en la bobina); R = 10 Ω (resistencia); C = 500 μF (capacidad del condensador); f = 50 Hz (frecuencia).

a)Calcular la impedancia total del circuito.
b)Calcular el valor eficaz de la corriente que circula por el circuito.
c)Calcular la potencia activa, reactiva y aparente.

Circuito RLC serie

Apartado a

1. Pulsación
$ω = 2 π f = 2 π \cdot 50$
$ω = 314, 16$ rad/s
—
2. Reactancias
$X_{L} = ω L = 314, 16 \cdot 5 \cdot 1 0^{- 3}$ ; $X_{C} = \frac{1}{ω C} = \frac{1}{314 , 16 \cdot 500 \cdot 1 0 ^{- 6}}$
$X_{L} = 1, 571 Ω$ ; $X_{C} = 6, 366 Ω$
—
3. Impedancia
$\overset{ˉ}{Z} = R + j (X_{L} - X_{C}) = 10 + j (1, 571 - 6, 366)$
$\overset{ˉ}{Z} = 10 - j 4, 795 Ω$ ; $∣ Z ∣ = 1 0^{2} + 4, 79 5^{2} \approx 11, 09 Ω$ ; $φ = - 25, 6^{\circ}$
$φ < 0$ : el circuito es capacitivo (la corriente adelanta a la tensión), porque $X_{C} > X_{L}$ .

Apartado b

1. Corriente eficaz
$I = \frac{V _{e}}{∣ Z ∣} = \frac{100}{11 , 09}$
$I \approx 9, 02$ A
—

Apartado c

1. Potencia activa
$P = I^{2} R = 9, 01 7^{2} \cdot 10$
$P \approx 813$ W
También $P = V_{e} I cos φ = 100 \cdot 9, 017 \cdot 0, 9017$ ; $cos φ = R /∣ Z ∣ = 0, 9017$ .
2. Potencia reactiva
$Q = I^{2} (X_{L} - X_{C}) = 9, 01 7^{2} \cdot (- 4, 795)$
$Q \approx - 390$ var (capacitiva, $∣ Q ∣ \approx 390$ var)
El signo negativo indica que el circuito, en conjunto, entrega potencia reactiva.
3. Potencia aparente
$S = V_{e} I = 100 \cdot 9, 017$
$S \approx 902$ VA
Comprobación: $S = P^{2} + Q^{2} = 81 3^{2} + 39 0^{2} = 902$ VA.

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Para el accionamiento de una bomba de agua en una explotación agraria de Clemenules, se utiliza un motor eléctrico de corriente alterna monofásica conectado a la red de suministro de 230 V. Datos del motor:

Tensión nominal: 230 V
Potencia útil: 15 kW
Rendimiento: 80 %
Factor de potencia: 0.7 inductivo El cable de alimentación tiene una resistencia total (ida y vuelta) de 0.05 Ω.

a)Calcular la intensidad consumida por el motor y su potencia reactiva.
b)Para mejorar el factor de potencia, se conecta una batería de condensadores en paralelo con el motor que aporta una potencia reactiva de 15 kVAr. Calcular la nueva intensidad que circula por el cable de alimentación hacia el conjunto motor-batería (se asume que la tensión en bornes del conjunto se mantiene constante en 230 V).
c)Para estimar la mejora que se logra, calcular la caída de tensión en el cable (ΔV) antes y después de la conexión de la batería de condensadores.

Triangulo de potencias (kW, kVAr, kVA)

Apartado a

1. Potencia absorbida
$P_{ab s} = \frac{P _{u}}{η} = \frac{15 000}{0 , 8}$
$P_{ab s} = 18750$ W
La potencia útil es la mecánica del eje; la eléctrica que consume es mayor por las pérdidas.
2. Intensidad
$I = \frac{P _{ab s}}{V cos φ} = \frac{18 750}{230 \cdot 0 , 7}$
$I \approx 116, 5$ A
Monofásica: $P = V I cos φ$ .
3. Potencia reactiva
$S = V I = 26786$ VA; $φ = arccos 0, 7 = 45, 5 7^{\circ}$ ; $Q = P tan φ = 18750 \cdot 1, 0202$
$Q \approx 19129$ var $\approx 19, 1$ kvar
Inductiva: $Q > 0$ .

Apartado b

1. Reactiva tras la batería
$Q^{'} = Q - Q_{C} = 19129 - 15000$
$Q^{'} \approx 4129$ var
La batería no cambia $P$ (los condensadores no consumen potencia activa).
2. Aparente e intensidad
$S^{'} = P^{2} + Q^{'2} = 1875 0^{2} + 412 9^{2} = 19199$ VA; $I^{'} = \frac{S ^{'}}{V} = \frac{19 199}{230}$
$I^{'} \approx 83, 5$ A
Nuevo $cos φ^{'} = P / S^{'} = 0, 977$ . La intensidad baja un 28 %.

Apartado c

1. Caída antes
$Δ V = R I = 0, 05 \cdot 116, 5$
$Δ V \approx 5, 82$ V
$\approx 2, 5 %$ de 230 V. Se toma $Δ V = R I$ (cable resistivo).
2. Caída después
$Δ V^{'} = R I^{'} = 0, 05 \cdot 83, 5$
$Δ V^{'} \approx 4, 17$ V
Las pérdidas en el cable ( $R I^{2}$ ) pasan de 678 W a 348 W.

3BOpción B2.5 puntos

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Se proyecta un soporte triangular asimétrico (ABC) de barras de acero de sección circular para un equipo de inspección industrial. Es necesario validar que la estructura es estable y que las barras no fallarán bajo las cargas de servicio. Datos de la estructura:

Triángulo con base horizontal AB = 1.2 m y el vértice C a una altura de 0.8 m y a 0.4 m (en horizontal) del apoyo A.
En el punto C se aplican dos fuerzas: una vertical de 600 N hacia abajo y una horizontal de 100 N hacia la derecha.
Acero con un límite elástico σe = 240 MPa. [Figura: triángulo ABC con A (apoyo fijo) y B (apoyo móvil con rodillos) en la base, C en el vértice; fuerzas de 600 N hacia abajo y 100 N hacia la derecha en C; reacciones RAx (dibujada hacia la derecha), RAy y RBy hacia arriba; cotas 0.8 m (altura), 0.4 m y 0.8 m (horizontales) y 1.2 m (base).]

a)Representar el Diagrama de Cuerpo Rígido (DCR) de la estructura completa y calcular el valor de las reacciones externas (RAx, RAy, RBy) necesarias para el equilibrio.
b)Determinar el esfuerzo axial que soporta la barra AB y representar su diagrama de sólido rígido para justificar razonadamente si la barra trabaja a tracción o a compresión.
c)Suponiendo que las barras tienen una sección circular sólida, determinar el diámetro mínimo (en mm) que debe tener la barra AB para que no se produzca el fallo del material, cumpliendo con un coeficiente de seguridad n = 3.

DCR de la estructura (dimensiones en m; R_Ax sale negativa: va hacia la izquierda)

Diagrama de solido rigido de la barra AB: F_AB = 266,7 N, traccion

Apartado a

1. DCR
Estructura completa libre con sus cargas en C y reacciones: apoyo fijo en A ( $R_{A x}, R_{A y}$ ) y apoyo móvil en B (solo $R_{B y}$ vertical). A $(0; 0)$ , B $(1, 2; 0)$ , C $(0, 4; 0, 8)$ m
Ver figura
El apoyo móvil solo da reacción perpendicular a la superficie de apoyo (vertical).
2. $\sum F_{x} = 0$
$R_{A x} + 100 = 0$
$R_{A x} = - 100$ N
El signo negativo: va hacia la izquierda (la figura del enunciado la dibuja a la derecha como hipótesis).
3. $\sum M_{A} = 0$
$R_{B y} \cdot 1, 2 - 600 \cdot 0, 4 - 100 \cdot 0, 8 = 0$
$R_{B y} = \frac{240 + 80}{1 , 2} = 266, 7$ N
La fuerza vertical genera momento horario por su brazo horizontal 0,4 m; la horizontal por su brazo vertical 0,8 m.
4. $\sum F_{y} = 0$
$R_{A y} + R_{B y} - 600 = 0$
$R_{A y} = 333, 3$ N
Comprobación: $333, 3 + 266, 7 = 600$ N.

Apartado b

1. Método de los nudos en A
Barra AC forma $α$ con la horizontal ( $sin α = 0, 8/0, 894$ , $cos α = 0, 4/0, 894$ ). Se supone cada barra a tracción (sale del nudo)
—
—
2. $\sum F_{y} = 0$ en A
$R_{A y} + F_{A C} sin α = 0 \Rightarrow F_{A C} = - \frac{333 , 3}{0 , 894}$
$F_{A C} = - 372, 7$ N (compresión)
—
3. $\sum F_{x} = 0$ en A
$R_{A x} + F_{A C} cos α + F_{A B} = 0 \Rightarrow F_{A B} = 100 - (- 372, 7) (0, 447)$
$F_{A B} = + 266, 7$ N
—
4. Tracción o compresión
Signo positivo: la fuerza sobre el nudo apunta hacia fuera de la barra. DSR de AB: dos fuerzas iguales y opuestas en sus extremos que tiran de la barra hacia fuera (figura)
TRACCIÓN, $N_{A B} = 266, 7$ N
Comprobación en el nudo B: $R_{B y} + F_{B C} sin 4 5^{\circ} = 0 \Rightarrow F_{B C} = - 377, 1$ N (compresión), y en $x$ : $- F_{A B} - F_{B C} cos 4 5^{\circ} = - 266, 7 + 266, 7 = 0$ .

Apartado c

1. Tensión admisible
$σ_{a d m} = \frac{σ _{e}}{n} = \frac{240}{3}$
$σ_{a d m} = 80$ MPa
—
2. Sección mínima
$S \geq \frac{N _{A B}}{σ _{a d m}} = \frac{266 , 7 N}{80 N/mm ^{2}}$
$S_{min} = 3, 33$ mm $^{2}$
—
3. Diámetro
$d = \frac{4 S}{π} = \frac{4 \cdot 3 , 33}{π}$
$d_{min} \approx 2, 06$ mm
En la práctica se redondearía a 2,5 o 3 mm; además habría que comprobar el pandeo de las barras comprimidas AC y BC.

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Se quiere instalar una nevera solar en una casa de campo sin conexión a la red eléctrica. Dicha nevera funciona idealmente como un refrigerador de Carnot con una temperatura interior de 5 ºC, y en verano la temperatura exterior es de unos 35 ºC. Para conservar los alimentos la nevera necesita extraer 300 W de calor del interior, y el instalador de los paneles solares indica que la máxima potencia eléctrica disponible es de 150 W. Con estos datos: Fórmulas facilitadas: $η = 1 - T_{f} / T_{c}$ ; $C O P_{r e f} = T_{f} / (T_{c} - T_{f})$ ; $C O P_{b c} = T_{c} / (T_{c} - T_{f})$

a)Calcular el coeficiente de rendimiento (COP) de una nevera ideal que opera mediante un ciclo de Carnot entre esas dos temperaturas.
b)Determinar la potencia mínima necesaria para extraer 300 W de calor del interior.
c)Indicar si la potencia disponible (150 W) es suficiente para el funcionamiento de la nevera en condiciones ideales, justificando la respuesta.

Refrigerador ideal de Carnot

Apartado a

1. Temperaturas absolutas
$T_{f} = 5 + 273, 15 = 278, 15$ K; $T_{c} = 35 + 273, 15 = 308, 15$ K
—
Siempre en kelvin en Carnot.
2. COP del refrigerador
$C O P_{r e f} = \frac{T _{f}}{T _{c} - T _{f}} = \frac{278 , 15}{308 , 15 - 278 , 15}$
$COP_{ref}\approx9{,}27
Se usa $C O P_{r e f}$ (no $C O P_{b c}$ ) porque el objetivo es extraer calor del foco frío.

Apartado b

1. Definición
$C O P_{r e f} = \frac{Q _{f}}{W} \Rightarrow W = \frac{Q _{f}}{C O P _{r e f}}$
—
$Q_{f}$ y $W$ en vatios son calor y trabajo por unidad de tiempo.
2. Potencia mínima
$P_{min} = \frac{300}{9 , 27}$
$P_{min} \approx 32, 4$ W
Calor cedido al exterior: $Q_{c} = 300 + 32, 4 = 332, 4$ W.

Apartado c

1. Comparación
$P_{d i s p} = 150 W > P_{min} = 32, 4 W$
Sí es suficiente
Con 150 W una nevera ideal extraería $150 \cdot 9, 27 \approx 1391$ W; sobra margen (4,6 veces).
2. Matiz
Un frigorífico real tiene $C O P$ de 1,5–3 (entre un 20 % y un 30 % del ideal), por lo que necesitaría unos 100–200 W: el margen real es mucho más justo
—
Pero la pregunta pide condiciones ideales.

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En un proceso industrial se verifica la calidad de unas piezas metálicas. Las piezas pasan a través de tres sensores que determinan su estado. Si al menos dos sensores detectan defectos en las mismas, serán desechadas.

a)Escribir la tabla de verdad de la función de salida del detector de piezas defectuosas.
b)Simplificar la función lógica mediante el método de Karnaugh.
c)Implementar el circuito con puertas lógicas universales NAND.

Karnaugh de F(a,b,c): agrupaciones bc, ac y ab

F = ab + ac + bc con puertas NAND

Apartado a

1. Variables
$a, b, c = 1$ si el sensor detecta defecto; $F = 1$ si al menos dos sensores detectan defecto (pieza desechada)
—
—
2. Tabla de verdad
$ab c$ : 000→0, 001→0, 010→0, 011→1, 100→0, 101→1, 110→1, 111→1
$F = \sum m (3, 5, 6, 7)$
Hay 4 combinaciones con dos o más unos.

Apartado b

1. Mapa de Karnaugh
Filas $a$ (0,1); columnas $b c$ en orden Gray 00, 01, 11, 10. Unos en $m_{3}$ (a=0,bc=11), $m_{5}$ , $m_{7}$ , $m_{6}$ (a=1)
Ver figura
—
2. Agrupaciones
Parejas: $m_{3} + m_{7}$ (columna 11) $= b c$ ; $m_{5} + m_{7}$ $= a c$ ; $m_{7} + m_{6}$ $= ab$ . El $m_{7}$ se aprovecha tres veces
$F = ab + a c + b c$
Cada pareja elimina una variable. No se puede agrupar más porque no hay cuartetos.

Apartado c

1. Pasar a NAND
Doble negación y De Morgan: $F = \overline{\overline{ab + a c + b c}} = \overline{\overline{ab} \cdot \overline{a c} \cdot \overline{b c}}$
$F = \overline{\overline{ab} \cdot \overline{a c} \cdot \overline{b c}}$
$\overline{x y}$ es una NAND.
2. Circuito
Tres NAND de 2 entradas ( $\overline{ab}$ , $\overline{a c}$ , $\overline{b c}$ ) cuyas salidas entran en una NAND de 3 entradas que da $F$ (figura). Total: 4 puertas
4 puertas NAND
Si solo hay NAND de dos entradas, la NAND de 3 se obtiene con una NAND de 2 y una NAND de 2 como inversor.