Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2026 · Extraordinaria 2026

12.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · revisión humana pendiente

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 4 apartados
Revisión humana pendiente

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Una empresa tecnológica proyecta la construcción de un nuevo Centro de Procesamiento de Datos (CPD). Para minimizar su impacto ambiental, se planea alimentar los servidores mediante una instalación solar fotovoltaica en la cubierta y utilizar un sistema de refrigeración basado en bombas de calor geotérmicas, que aprovechan la temperatura estable del subsuelo.

a)Enumerar tres documentos técnicos fundamentales que deben formar parte de la memoria final de este proyecto de ingeniería.
b)Analizar el impacto ambiental que aporta este diseño. Identificar una ventaja y un inconveniente.
c)Los servidores del CPD generan una carga térmica constante de 150 kW que debe ser disipada por la bomba de calor. Si la bomba de calor geotérmica instalada tiene un coeficiente de rendimiento (COP) de refrigeración de 4, calcular la potencia eléctrica media (en kW) que consumiría el sistema de refrigeración.
d)Analizar cómo el uso de la IA puede ayudar a que estos edificios afecten menos a la red eléctrica a la que están conectados.

Apartado a

1. Documentos de la memoria final
Tres de: memoria descriptiva y justificativa (con cálculos); planos; pliego de condiciones; presupuesto y mediciones; estudio de seguridad y salud; estudio de impacto ambiental
—
Basta citar tres; el proyecto de ingeniería completo se compone de memoria, planos, pliego y presupuesto.

Apartado b

1. Ventaja ambiental
La generación fotovoltaica y la refrigeración geotérmica (energías renovables) reducen el consumo de electricidad de la red convencional, las emisiones de CO $_{2}$ y la dependencia de combustibles fósiles
Ventaja: menores emisiones y consumo de energía primaria
La bomba de calor geotérmica mantiene un COP alto gracias a la temperatura estable del subsuelo.
2. Inconveniente ambiental
Perforación de sondeos geotérmicos (alteración del subsuelo y posible afección a acuíferos), ocupación de la cubierta, fabricación y residuos de los paneles al final de su vida útil, e intermitencia de la fotovoltaica (necesita respaldo de red o baterías)
Inconveniente: impacto sobre el terreno y huella de fabricación/residuos
Basta un inconveniente bien razonado.

Apartado c

1. Potencia eléctrica de la refrigeración
$C O P_{r e f} = \frac{Q _{f}}{W} \Rightarrow W = \frac{150}{4}$
$W = 37, 5$ kW
La bomba cede al terreno $Q_{c} = Q_{f} + W = 187, 5$ kW; el consumo eléctrico es una cuarta parte de la carga térmica.

Apartado d

1. IA y red eléctrica
La IA puede predecir la demanda de los servidores y la producción fotovoltaica y desplazar las cargas de cálculo flexibles a las horas de más sol o menos demanda; optimizar la refrigeración y la gestión de baterías para recortar los picos de consumo; y participar en servicios de flexibilidad de la red (respuesta a la demanda)
Menos picos de potencia y menos estrés para la red
Ejemplo: aplazar tareas no urgentes de procesamiento a las horas centrales del día, cuando sobra producción solar.

2AOpción A2.5 puntos

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En la figura siguiente se representa una viga con dos apoyos en los puntos A y B que soporta un bloque 1 que tiene un peso de 500 kg (repartido uniformemente sobre toda su longitud), y un bloque 2 de 250 kg, que se encuentra suspendido mediante dos cables en los puntos C y D. Considerando despreciable el peso propio de la viga: [Figura: viga horizontal de 5 m con cotas de 1 m. Apoyo A a 1 m del extremo izquierdo y apoyo B en el extremo derecho (x=5 m). El bloque 1 (ancho 1 m) descansa sobre la viga entre x=1 y x=2 m. El bloque 2 cuelga de los puntos C (x=3 m) y D (x=4 m) mediante dos cables.]

a)Dibujar el diagrama de cuerpo libre indicando todas las fuerzas que actúan sobre la viga.
b)Calcular las reacciones en los apoyos.

DCL de la viga: R_A = 5212 N, R_B = 2146 N (g = 9,81 m/s²)

Apartado a

1. Datos y pesos
$W_{1} = m_{1} g = 500 \cdot 9, 81 = 4905$ N (repartido en 1 m, resultante en $x = 1, 5$ m); $W_{2} = 250 \cdot 9, 81 = 2452, 5$ N, que se reparte en dos cables: $T_{C} = T_{D} = 1226, 25$ N en $x = 3$ m y $x = 4$ m
—
Con $g = 9, 8$ los resultados cambian menos de un 0,1 %.
2. Diagrama de cuerpo libre
Sobre la viga actúan hacia abajo: la carga repartida de 4905 N (bloque 1, entre $x = 1$ y $2$ m), y las tensiones de los cables $T_{C}$ y $T_{D}$ ; hacia arriba: las reacciones $R_{A}$ (en $x = 1$ m) y $R_{B}$ (en $x = 5$ m). Sin fuerzas horizontales; el peso de la viga se desprecia
—
Ver figura (origen en el extremo izquierdo).

Apartado b

1. Momentos respecto de A
$\sum M_{A} = 0 : R_{B} \cdot 4 = 4905 \cdot 0, 5 + 1226, 25 \cdot 2 + 1226, 25 \cdot 3 = 2452, 5 + 2452, 5 + 3678, 75$
$R_{B} = \frac{8583 , 75}{4} = 2146$ N
—
2. Equilibrio vertical
$R_{A} + R_{B} = W_{1} + W_{2} = 4905 + 2452, 5 = 7357, 5$ N
$R_{A} = 7357, 5 - 2146 = 5212$ N
En kilogramos-fuerza: $R_{A} = 531, 3$ kgf y $R_{B} = 218, 8$ kgf (suma 750 kgf).

2BOpción B2.5 puntos

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Para elegir el material a emplear en el mecanismo de un engranaje se realizan diferentes ensayos para determinar sus características. Contestar las siguientes cuestiones: Fórmula: $H B = \frac{F}{S} = \frac{2 F}{π D ( D - D ^{2} - d ^{2} )}$

a)Si se emplea una barra de dicho material de 20 cm de longitud y 15 mm de diámetro, esta se alarga 1 mm al someterla a tracción con una carga de 20 kN. Calcular su módulo de elasticidad E.
b)En un ensayo de dureza se observa que una bola de acero de 10 mm de diámetro sometida a una carga de 2000 kg deja una huella de 5 mm. Calcular el valor de dureza Brinell (HB).

Apartado a

1. Sección y tensión
$S = \frac{π d ^{2}}{4} = \frac{π \cdot 1 5 ^{2}}{4} = 176, 7$ mm $^{2}$ ; $σ = \frac{F}{S} = \frac{20 000}{176 , 7}$
$σ = 113, 2$ MPa
—
2. Deformación unitaria
$ε = \frac{Δ L}{L _{0}} = \frac{1 mm}{200 mm}$
$ε = 0, 005$
—
3. Módulo de elasticidad
$E = \frac{σ}{ε} = \frac{113 , 2}{0 , 005}$
$E = 22640$ MPa $\approx 22, 6$ GPa
Ley de Hooke (zona elástica). Es un valor bajo, propio de un material tipo aleación ligera o fundición, no de un acero ( $E \approx 210$ GPa).

Apartado b

1. Dureza Brinell
$H B = \frac{2 F}{π D ( D - D ^{2} - d ^{2} )} = \frac{2 \cdot 2000}{π \cdot 10 ( 10 - 100 - 25 )}$
Denominador: $π \cdot 10 \cdot (10 - 8, 660) = 42, 09$
—
2. Resultado
$H B = \frac{4000}{42 , 09}$
$H B = 95, 0$
Carga en kgf (kp), $D$ y $d$ en mm: $H B$ en kgf/mm $^{2}$ ; $d / D = 0, 5$ , dentro del intervalo válido.

3AOpción A2.5 puntos

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Para la producción de agua caliente sanitaria (ACS) se utiliza un termo eléctrico que posee una resistencia calefactora de 26.45 Ω y que está conectado a la red eléctrica de 230 V. Fórmulas facilitadas: $η = 1 - T_{f} / T_{c}$ ; $C O P_{r e f} = T_{f} / (T_{c} - T_{f})$ ; $C O P_{b c} = T_{c} / (T_{c} - T_{f})$

a)Calcular la potencia consumida por el termo eléctrico original en vatios (W), que es con la que calienta el agua.
b)Se sustituye por un nuevo aerotermo que se considera una bomba de calor que funciona según un ciclo de Carnot ideal que trabaja con un foco caliente (el agua) que está a Tª = 55 °C y un foco frío (ambiente) que está a Tª = 15 °C. Si debe aportar al agua la misma potencia calorífica que el termo original, calcular la potencia eléctrica que consumiría el aerotermo. Justificar la respuesta calculando primero el coeficiente de rendimiento (COP) de la bomba de calor.
c)El depósito del termo cuenta con un ánodo de sacrificio de magnesio. Explicar brevemente cuál es su función técnica y por qué es necesario en este tipo de instalaciones.

Apartado a

1. Potencia del termo
$P = \frac{V ^{2}}{R} = \frac{23 0 ^{2}}{26 , 45}$
$P = 2000$ W
Toda la energía eléctrica se convierte en calor por efecto Joule (rendimiento 1).

Apartado b

1. Temperaturas en kelvin
$T_{c} = 55 + 273, 15 = 328, 15$ K; $T_{f} = 15 + 273, 15 = 288, 15$ K
—
—
2. COP de la bomba de calor
Es una bomba de calor (se aprovecha el foco caliente): $C O P_{b c} = \frac{T _{c}}{T _{c} - T _{f}} = \frac{328 , 15}{40}$
$C O P_{b c} = 8, 20$
Se usa $C O P_{b c}$ y no $C O P_{r e f}$ porque interesa el calor cedido al foco caliente (el agua).
3. Potencia eléctrica del aerotermo
$C O P_{b c} = \frac{Q _{c}}{W} \Rightarrow W = \frac{Q _{c}}{C O P _{b c}} = \frac{2000}{8 , 20}$
$W = 244$ W
Consume 12 veces menos que el termo (244 W frente a 2000 W). Los 1756 W restantes se toman del aire exterior.

Apartado c

1. Ánodo de sacrificio
El magnesio es menos noble (potencial más negativo) que el acero del depósito: en el par galvánico se oxida él y protege al acero (protección catódica)
Evita la corrosión del depósito
El agua caliente, con oxígeno y sales disueltas, corroe el acero y puede perforar el depósito; por eso se instala el ánodo y se sustituye periódicamente cuando se consume.

3BOpción B2.5 puntos

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Un taller utiliza un cilindro neumático de doble efecto para marcar piezas especiales. El circuito es el mostrado en la figura. [Figura: cilindro de doble efecto con el vástago a la derecha; cada cámara se alimenta a través de una válvula reguladora de caudal unidireccional (estrangulador regulable al 30 % con antirretorno que permite el paso libre hacia el cilindro). Una válvula 4/3 de centro cerrado, con muelle y mando neumático en ambos extremos, tiene la presión en la vía 1, escape en 3, la vía 4 a la cámara trasera (lado del émbolo) y la vía 2 a la cámara del vástago. Dos válvulas 3/2 normalmente cerradas con pulsador y retorno por muelle, P1 y P2, conectadas a la red de aire, dan la señal de pilotaje: P1 al extremo izquierdo (conecta 1 con 4 y 2 con 3) y P2 al extremo derecho (conecta 1 con 2 y 4 con 3).]

a)Explicar detalladamente el funcionamiento del cilindro, indicando qué sucede cuando se acciona cada pulsador y cuando se deja de hacerlo.
b)¿Qué movimiento es más rápido, el que se tiene al accionar P1 o P2? Justificar la respuesta.
c)¿Qué sucede si se mantiene accionado uno de los pulsadores durante más tiempo que lo que tarda el cilindro en hacer todo su recorrido? ¿Qué se podría incluir en el circuito para no tener ese comportamiento?
d)La empresa se plantea reducir la presión de trabajo de 6 a 4 bar. Justificar razonadamente cómo afecta esta medida al consumo de energía eléctrica.

Apartado a

1. Funcionamiento con P1
Reposo: sin pulsar P1 ni P2 no llega aire a los pilotos y los muelles dejan la válvula 4/3 en posición central, con todas las vías cerradas. Al pulsar P1 se pilota el extremo izquierdo: la válvula pasa a 1→4 y 2→3. El aire entra por la cámara del émbolo y la del vástago se vacía por el escape: el vástago avanza
Con P1 el vástago sale (avance)
Al soltar P1 se despilota, los muelles centran la válvula y el cilindro se detiene en la posición en que esté (las cámaras quedan cerradas); no vuelve solo.
2. Funcionamiento con P2
Al pulsar P2 se pilota el extremo derecho: posición cruzada, 1→2 y 4→3. El aire entra por la cámara del vástago y la del émbolo se vacía: el vástago retrocede. Al soltar P2 la válvula vuelve al centro y el cilindro se detiene
Con P2 el vástago entra (retroceso)
Cuando los dos pulsadores están sin accionar el cilindro mantiene su posición.

Apartado b

1. Velocidad
Los reguladores con antirretorno dejan entrar el aire libremente y estrangulan la salida (30 %). La velocidad la fija el caudal de aire que escapa dividido por el área de la cámara que se vacía. Con P1 se vacía la cámara del vástago (área anular, menor); con P2, la del émbolo (área completa, mayor)
Más rápido el movimiento de P1 (avance)
Con el mismo estrangulamiento, vaciar una cámara de menor área da más velocidad. Si se interpretara la regulación a la entrada, la conclusión se invertiría.

Apartado c

1. Si se mantiene el pulsador
El cilindro llega al final de carrera y se queda parado con la cámara de trabajo a la presión de red mientras se mantiene el pulsador; la válvula sigue pilotada y el cilindro no vuelve hasta que se suelte y se pulse el otro
Se mantiene la fuerza en el extremo, sin retroceso automático
Se evita incluyendo un final de carrera (válvula de rodillo o sensor de posición) que anule el pilotaje al llegar al extremo o un temporizador/válvula de impulso que limite la duración de la señal.

Apartado d

1. Reducir la presión de 6 a 4 bar
El consumo de aire (volumen normal) por ciclo es proporcional a la presión absoluta: $\frac{4 + 1}{6 + 1} = 0, 71$ . La energía de compresión isoterma por ciclo es proporcional a $p ln p$ : $\frac{5 ln 5}{7 ln 7} = 0, 59$
Menos aire y menos energía eléctrica del compresor: ahorro teórico de ≈ 29 % en aire y ≈ 41 % en energía (valor máximo teórico)
En la práctica el ahorro es menor (del orden de un 7 % por bar). La fuerza del cilindro $F = p A$ baja un 33 %: hay que comprobar que sigue marcando bien las piezas.

4AOpción A2.5 puntos

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Un sistema de control de riego solo permite regar una parcela a la vez (riego = 1). Se dispone de tres parcelas en el sistema de control (A, B, C). Si se selecciona más de una parcela a la vez el sistema no permite el riego. Además, existe un sensor que está activo (sensor = 1) si se ha regado en las últimas 24 horas y no permite regar (riego = 0). Así pues, solo con una parcela seleccionada y sin regar en las últimas 24 horas se permite el riego.

a)Calcular la tabla de verdad de este circuito y la función lógica asociada.
b)Obtener el mapa de Karnaugh asociado, y la función combinacional del mismo. Implementar la función usando las puertas lógicas adecuadas. Razone sus respuestas.
c)Razonar las diferencias entre sistemas digitales combinacionales y secuenciales. ¿Son ambos aplicables a este problema?

Karnaugh de riego(A,B,C,S): tres unos sin agrupar

Apartado a

1. Planteamiento
Variables $A, B, C$ (parcela seleccionada) y $S$ (sensor, 1 = regado en 24 h). $R = 1$ solo si exactamente una parcela está seleccionada y $S = 0$
Casos con $R = 1$ : $A B C S = 1000, 0100, 0010$ (minterms 8, 4 y 2)
Con dos o tres parcelas o ninguna, $R = 0$ ; con $S = 1$ , $R = 0$ .
2. Tabla de verdad y función
$R = 1$ en $A \overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C} \overset{ˉ}{S}$ , $\overset{ˉ}{A} B \overset{ˉ}{C} \overset{ˉ}{S}$ y $\overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B} C \overset{ˉ}{S}$ ; en las otras 13 combinaciones $R = 0$
$R = A \overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C} \overset{ˉ}{S} + \overset{ˉ}{A} B \overset{ˉ}{C} \overset{ˉ}{S} + \overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B} C \overset{ˉ}{S} = \overset{ˉ}{S} (A \overset{ˉ}{B} \overset{ˉ}{C} + \overset{ˉ}{A} B \overset{ˉ}{C} + \overset{ˉ}{A} \overset{ˉ}{B} C)$
Forma canónica de suma de minterms.

Apartado b

1. Mapa de Karnaugh
Los tres unos están aislados: ninguno es adyacente a otro (cada par difiere en dos variables); no se pueden formar grupos de 2
Función simplificada = la misma suma de 3 productos de 4 variables
Se puede sacar factor común $\overset{ˉ}{S}$ , pero no reducir más.
2. Implementación
4 inversores ( $\overset{ˉ}{A}, \overset{ˉ}{B}, \overset{ˉ}{C}, \overset{ˉ}{S}$ ), 3 puertas AND de 4 entradas y 1 puerta OR de 3 entradas (en total 8 puertas)
—
Alternativa: solo NAND (3 NAND de 4 entradas y 1 NAND de 3 entradas con las entradas negadas).

Apartado c

1. Combinacional frente a secuencial
Combinacional: la salida depende solo de las entradas actuales (sin memoria). Secuencial: depende también del estado anterior (usa biestables/memoria y reloj)
—
—
2. Aplicación al problema
El circuito de riego, con el sensor como entrada, es combinacional. Para fabricar el propio sensor («¿se ha regado en las últimas 24 h?») hace falta recordar el pasado: lógica secuencial (biestable y temporizador)
Ambos son aplicables: combinacional para la decisión, secuencial para el sensor
Si el sensor ya viene dado, basta la lógica combinacional.

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Funciones de transferencia y diagramas de bloques

a)Dibujar el diagrama de bloques de un sistema de control que tiene la siguiente función de transferencia, donde la entrada es X y la salida Y: $\frac{Y}{X} = \frac{P _{1} \cdot ( P _{2} \cdot P _{3} )}{1 + P _{2} \cdot P _{3} \cdot P _{4}} \cdot \frac{P _{5}}{1 + P _{5}}$
b)Analizar el siguiente diagrama de bloques y calcular su función de transferencia Y/X, donde la entrada es X y salida es Y. [Figura: la entrada X (+) entra en un sumador cuya realimentación negativa (−) procede de P3; después P1 y P2 en serie. La salida de P2 se realimenta a través de P3 al primer sumador y entra (+) en un segundo sumador, cuya realimentación negativa (−) procede de P5; a continuación P4 y la salida Y. P5 toma Y a la salida de P4.]
c)Indicar si la función de transferencia del apartado (a) previo se corresponde con un sistema de control de lazo cerrado o abierto y justificarlo.

Y/X = P1·P2·P3/(1+P2·P3·P4) · P5/(1+P5)

Apartado a

1. Descomposición
$\frac{Y}{X} = P_{1} \cdot \frac{P _{2} P _{3}}{1 + P _{2} P _{3} P _{4}} \cdot \frac{P _{5}}{1 + P _{5}}$ : tres bloques en serie
Un bloque $P_{1}$ ; un lazo cerrado (directa $P_{2} P_{3}$ , realimentación negativa $P_{4}$ ); un lazo cerrado (directa $P_{5}$ , realimentación negativa unitaria)
$\frac{G}{1 + G H}$ es la función de un lazo con realimentación negativa.
2. Diagrama de bloques
$X \to P_{1} \to$ sumador $(+, -) \to P_{2} \to P_{3} \to$ sumador $(+, -) \to P_{5} \to Y$ ; $P_{4}$ realimenta la salida de $P_{3}$ al primer sumador; la salida $Y$ vuelve al segundo sumador (realimentación unitaria)
—
Ver figura.

Apartado b

1. Primer lazo
$M_{1} = \frac{P _{1} P _{2}}{1 + P _{1} P _{2} P _{3}}$
—
La salida de $P_{2}$ se realimenta por $P_{3}$ al primer sumador; $P_{1} P_{2}$ forman la vía directa.
2. Segundo lazo
$M_{2} = \frac{P _{4}}{1 + P _{4} P _{5}}$
—
$P_{5}$ realimenta $Y$ al segundo sumador; $P_{4}$ es la vía directa.
3. Función de transferencia
Los dos lazos están en serie: $M = M_{1} \cdot M_{2}$
$\frac{Y}{X} = \frac{P _{1} P _{2} P _{4}}{( 1 + P _{1} P _{2} P _{3} ) ( 1 + P _{4} P _{5} )}$
Comprobada con SymPy resolviendo el sistema de ecuaciones de los dos sumadores.

Apartado c

1. Lazo abierto o cerrado
Tiene términos de la forma $1 + G H$ en los denominadores: hay realimentación, la salida (o una señal interna) se devuelve a la entrada
Lazo cerrado (con dos lazos internos)
Un lazo abierto sería solo un producto de bloques, sin denominador.