Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2022 · Extraordinaria 2022

110 puntos

Comprobado con cálculo simbólico

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
6 resultados comprobados en 2 apartados
Sin constancia de revisión humana

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Enunciado y criterios oficiales (Conselleria/UV)

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Consideramos las matrices $A = (6204)$ , $B = (- 4 6)$ y $C = (- 2 - 2)$ .

a)
Justifica cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y efectúa las que sean realizables.
- a.1) $B + 2 C A$ (1 punto)
- a.2) $A - (B C)^{T}$ , siendo $(B C)^{T}$ la matriz traspuesta de $B C$ . (2 puntos)
- a.3) $C A B$ (2 puntos)
b)Resuelve la ecuación matricial $\frac{1}{5} (B + A X) = C^{T}$ , siendo $C^{T}$ la matriz traspuesta de $C$ .

Apartado a

1. Dimensiones
$A$ es $2 \times 2$ , $B$ es $2 \times 1$ , $C$ es $1 \times 2$
$C A$ es $1 \times 2$ ; $B C$ es $2 \times 2$ ; $C A B$ es $1 \times 1$
Para multiplicar, columnas de la 1.ª = filas de la 2.ª.
2. a.1) $B + 2 C A$
$B$ es $2 \times 1$ y $2 C A$ es $1 \times 2$ : no tienen la misma dimensión
No se puede realizar
Solo se suman matrices de la misma dimensión.
3. a.2) $A - (B C)^{T}$
$B C = (8 - 12 8 - 12)$ , $(B C)^{T} = (88 - 12 - 12)$ ; $A - (B C)^{T}$ es $2 \times 2$ menos $2 \times 2$
$(- 2 - 6 1216)$
Es realizable: ambas son $2 \times 2$ .
4. a.3) $C A B$
$C A = (- 16 - 8)$ y $(C A) B = - 16 \cdot (- 4) + (- 8) \cdot 6$
$(16)$
Es $1 \times 2$ por $2 \times 1$ : da una matriz $1 \times 1$ .

Apartado b

1. Despejar $X$
$\frac{1}{5} (B + A X) = C^{T} \Rightarrow B + A X = 5 C^{T} \Rightarrow A X = 5 C^{T} - B \Rightarrow X = A^{- 1} (5 C^{T} - B)$
$X = A^{- 1} (5 C^{T} - B)$
$det A = 24 \neq = 0$ , luego $A$ es invertible.
2. Cálculo
$A^{- 1} = (\frac{1}{6} - \frac{1}{12} 0 \frac{1}{4})$ , $5 C^{T} - B = (- 10 - 10) - (- 4 6) = (- 6 - 16)$
$X = (- 1 - \frac{7}{2})$
Se multiplica por la izquierda por $A^{- 1}$ (el orden importa).

210 puntos

Comprobado con cálculo simbólico

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 2 apartados
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Un vendedor dispone de café colombiano y café brasileño, y con ellos realiza mezclas que pone a la venta. Si mezcla a partes iguales los dos tipos de café, obtiene una mezcla que vende a 15 euros el kilo; si la proporción en la mezcla es de una parte de café colombiano por tres partes de café brasileño, vende la mezcla resultante a 10 euros el kilo. El vendedor dispone de 100 kilos de café colombiano y de 210 kilos de café brasileño. Desea hacer las dos mezclas de modo que sus ingresos por venta sean máximos.

a)Halla cuántos kilos de cada mezcla debe producir para obtener el ingreso máximo.
b)¿Cuál es dicho ingreso máximo?

Apartado a

1. Variables y objetivo
$x$ = kg de mezcla 1:1 (15 €/kg), $y$ = kg de mezcla 1:3 (10 €/kg). $F (x, y) = 15 x + 10 y$ (máximo)
$F = 15 x + 10 y$
Se maximizan los ingresos.
2. Restricciones
Colombiano: $0, 5 x + 0, 25 y \leq 100$ ; brasileño: $0, 5 x + 0, 75 y \leq 210$ ; $x, y \geq 0$
$2 x + y \leq 400, 2 x + 3 y \leq 840$
La mezcla 1:3 lleva $\frac{1}{4}$ de colombiano y $\frac{3}{4}$ de brasileño.
3. Región factible
Corte de las rectas: restando, $2 y = 440 \Rightarrow y = 220$ , $x = 90$ . Cortes con ejes: $(200, 0)$ y $(0, 280)$
Polígono de vértices $(0, 0)$ , $(200, 0)$ , $(90, 220)$ , $(0, 280)$
El cuarto vértice $(0, 400)$ de la 1.ª recta queda fuera por la 2.ª.
4. Valor en los vértices
$F (0, 0) = 0$ ; $F (200, 0) = 3000$ ; $F (90, 220) = 1350 + 2200 = 3550$ ; $F (0, 280) = 2800$
Máximo en $(90, 220)$
El máximo está en un vértice.

Apartado b

1. Ingreso máximo
$F (90, 220)$
$3550$ €
Valor de la función objetivo.

310 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
8 resultados comprobados en 5 apartados
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Se considera la función $f (x) = \frac{3 x ^{2} - 4 x - 4}{x ^{2} - x - 1}$ . Se pide:

a)Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.
b)Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.
c)Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d)Los máximos y mínimos locales, si existen.
e)La representación gráfica de la función a partir de los resultados anteriores.

Apartado a

1. Dominio
$x^{2} - x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm 5}{2}$
$D_{f} = R ∖ {\frac{1 - 5}{2}, \frac{1 + 5}{2}}$
Se excluyen los dos ceros del denominador.
2. Cortes
$f (0) = \frac{- 4}{- 1} = 4$ ; $3 x^{2} - 4 x - 4 = (3 x + 2) (x - 2) = 0 \Rightarrow x = - \frac{2}{3}, 2$
$(0, 4)$ , $(- \frac{2}{3}, 0)$ , $(2, 0)$
Eje $Y$ con $x = 0$ ; eje $X$ con numerador nulo.

Apartado b

1. Asíntota horizontal
$lim_{x \to \pm \infty} f (x) = \frac{3}{1}$
$y = 3$
Mismo grado: cociente de coeficientes principales.
2. Asíntotas verticales
Numerador $\neq = 0$ en $x = \frac{1 \pm 5}{2}$ (vale $- \frac{3 + 5}{2}$ y $- \frac{3 - 5}{2}$ , ambos negativos)
$x = \frac{1 - 5}{2} \approx - 0, 618$ y $x = \frac{1 + 5}{2} \approx 1, 618$
Denominador nulo con numerador no nulo.

Apartado c

1. Derivada
$f^{'} (x) = \frac{( 6 x - 4 ) ( x ^{2} - x - 1 ) - ( 3 x ^{2} - 4 x - 4 ) ( 2 x - 1 )}{( x ^{2} - x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x + 2 )}{( x ^{2} - x - 1 ) ^{2}}$
$f^{'} = 0 ⟺ x = - 2, x = 0$
El denominador es positivo, el signo lo da $x (x + 2)$ .
2. Monotonía
$f^{'} > 0$ si $x < - 2$ o $x > 0$ ; $f^{'} < 0$ si $- 2 < x < 0$ (sin los puntos fuera del dominio)
Creciente en $(- \infty, - 2) \cup (0, \frac{1 + 5}{2}) \cup (\frac{1 + 5}{2}, \infty)$ ; decreciente en $(- 2, \frac{1 - 5}{2}) \cup (\frac{1 - 5}{2}, 0)$
Se excluyen las asíntotas.

Apartado d

1. Extremos
En $x = - 2$ : crece y luego decrece; $f (- 2) = \frac{12 + 8 - 4}{4 + 2 - 1} = \frac{16}{5}$ . En $x = 0$ : decrece y luego crece; $f (0) = 4$
Máximo local $(- 2; 3, 2)$ y mínimo local $(0, 4)$
Cambios de signo de $f^{'}$ .

Apartado e

1. Gráfica
A la izquierda de $- 0, 618$ : la curva viene de $y = 3$ por encima, sube al máximo $(- 2; 3, 2)$ y cae a $- \infty$ (pasa por $(- 2/3, 0)$ ). Entre las asíntotas verticales: sale de $+ \infty$ , baja al mínimo $(0, 4)$ y vuelve a $+ \infty$ . A la derecha de $1, 618$ : sale de $- \infty$ , corta el eje en $(2, 0)$ y crece acercándose a $y = 3$ por debajo
Curva con tres ramas
Se integran los resultados anteriores.

410 puntos

Comprobado con cálculo simbólico

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
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Una máquina está productiva durante un año desde su compra. Se sabe que el rendimiento (en porcentaje) que tiene la máquina $x$ meses después de su compra viene dado por la función $f (x) = \frac{1}{10} (800 + 15 x + 6 x^{2} - x^{3})$ para cualquier $x$ entre 0 y 12.

a)¿Es el rendimiento que tiene la máquina un mes después de su compra superior al rendimiento que tiene dos meses después de su compra?
b)¿Tras cuántos meses después de su compra alcanza la máquina su mayor rendimiento? ¿Cuál es dicho rendimiento máximo?
c)A lo largo del año, ¿tiene en algún momento la máquina un rendimiento inferior al $10 %$ ?

Apartado a

1. Comparar $x = 1$ y $x = 2$
$f (1) = \frac{1}{10} (800 + 15 + 6 - 1) = 82$ ; $f (2) = \frac{1}{10} (800 + 30 + 24 - 8) = 84, 6$
No: $f (1) = 82 < f (2) = 84, 6$
Basta evaluar la función en ambos puntos.

Apartado b

1. Punto crítico
$f^{'} (x) = \frac{1}{10} (15 + 12 x - 3 x^{2}) = 0 ⟺ x^{2} - 4 x - 5 = 0 ⟺ x = 5$ (la otra raíz, $- 1$ , no está en $[0, 12]$ )
$x = 5$ meses
El signo de $f^{'}$ cambia de $+$ a $-$ en $x = 5$ .
2. Rendimiento máximo
$f (5) = \frac{1}{10} (800 + 75 + 150 - 125)$ . Comparación con los extremos: $f (0) = 80$ , $f (12) = 11, 6$
$90%$
Hay que comparar también los extremos del intervalo.

Apartado c

1. Rendimiento mínimo
En $[0, 12]$ el mínimo está en un extremo o en un punto crítico; $f (0) = 80$ , $f (5) = 90$ , $f (12) = \frac{1}{10} (800 + 180 + 864 - 1728) = 11, 6$
El mínimo es $11, 6% > 10%$ : nunca baja del $10%$
Como $f$ decrece de $x = 5$ a $x = 12$ , su mínimo es $f (12)$ .

510 puntos

Comprobado con cálculo simbólico

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 4 apartados
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Dados dos sucesos $A$ y $B$ , se sabe que $P (B) = 0, 4$ , $P (A^{c} \cap B^{c}) = 0, 2$ y $P (A \cap B) = 0, 3$ , siendo $A^{c}$ y $B^{c}$ los sucesos complementarios de $A$ y $B$ , respectivamente. Se pide:

a)Calcular la probabilidad del suceso $A \cup B$ .
b)Calcular la probabilidad de que solamente se verifique uno de los sucesos.
c)Calcular la probabilidad de $B$ condicionado a $A$ .
d)¿Son independientes los sucesos $A$ y $B$ ?

Apartado a

1. Unión
$P (A \cup B) = 1 - P (A^{c} \cap B^{c}) = 1 - 0, 2$
$0, 8$
Ley de De Morgan: $(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$ .

Apartado b

1. Solo uno de los sucesos
$P (A \cup B) - P (A \cap B) = 0, 8 - 0, 3$
$0, 5$
Se quita la intersección, donde se verifican ambos.

Apartado c

1. $P (B ∣ A)$
$P (A) = P (A \cup B) - P (B) + P (A \cap B) = 0, 8 - 0, 4 + 0, 3 = 0, 7$ ; $P (B ∣ A) = \frac{0 , 3}{0 , 7}$
$\frac{3}{7} \approx 0, 4286$
Hace falta $P (A)$ , que sale de la fórmula de la unión.

Apartado d

1. Independencia
$P (A) P (B) = 0, 7 \cdot 0, 4 = 0, 28 \neq = 0, 3 = P (A \cap B)$
No son independientes
Independientes si el producto coincide con la intersección.

610 puntos

Comprobado con cálculo simbólico

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Sin constancia de revisión humana

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Enunciado y criterios oficiales (Conselleria/UV)

Ver errores ya corregidos

El director de una entidad que audita la contabilidad de empresas sabe, por experiencias pasadas, que cuando se hace una auditoría el $30 %$ de las empresas merece una calificación de «Excelente», el $50 %$ de las empresas merece la calificación de «Aceptable» y el $20 %$ restante merece una calificación de «Deficiente». El director también sabe que entre los auditores de su entidad hay un $90 %$ de auditores que siempre auditan correctamente y dan a cada empresa la calificación que merece; pero hay un $10 %$ de auditores que no auditan correctamente y dan siempre una calificación de «Aceptable».

a)¿Qué proporción de empresas auditadas por esa entidad recibe la calificación de «Deficiente»?
b)¿Qué proporción de empresas auditadas por esa entidad recibe la calificación que realmente merece?
c)Para analizar si un determinado auditor audita correctamente o no, el director le encarga que audite la contabilidad de una empresa escogida al azar. No sabemos cuál es la calificación que merece esa empresa. Si el auditor da la calificación de «Aceptable», ¿cuál es la probabilidad de que este auditor sea uno de los que siempre auditan correctamente?

Apartado a

1. «Deficiente»
Solo los auditores correctos (90 %) dan «Deficiente», a las empresas que lo merecen (20 %): $0, 9 \cdot 0, 2$
$0, 18$
Los auditores incorrectos dan siempre «Aceptable».

Apartado b

1. Calificación merecida
Correctos: siempre aciertan ( $0, 9$ ). Incorrectos: aciertan si la empresa merece «Aceptable» ( $0, 1 \cdot 0, 5$ ). Total $0, 9 + 0, 05$
$0, 95$
Probabilidad total sobre los dos tipos de auditor.

Apartado c

1. Bayes
$P («Aceptable») = 0, 9 \cdot 0, 5 + 0, 1 \cdot 1 = 0, 55$ ; $P (correcto ∣ Aceptable) = \frac{0 , 9 \cdot 0 , 5}{0 , 55}$
$\frac{9}{11} \approx 0, 8182$
Teorema de Bayes.