Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2019 · Ordinaria 2019

1.AOpción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 2 apartados
Sin constancia de revisión humana

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Enunciado y criterios oficiales (Conselleria/UV)

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Un inversor dispone de 9000 euros y quiere invertir en dos tipos de productos financieros: A y B. La inversión en el producto A debe superar los 5000 euros y, además, esta debe ser el doble, al menos, que la inversión en el producto B. Se sabe que la rentabilidad del producto A es del $2, 7 %$ y la del producto B del $6, 3 %$ .

a)¿Cuánto ha de invertir en cada producto para que la rentabilidad sea máxima?
b)¿Cuál es esa rentabilidad máxima?

Apartado a

1. Función de rentabilidad
$A, B$ = euros invertidos en cada producto: $R (A, B) = 0, 027 A + 0, 063 B$
$R (A, B) = 0, 027 A + 0, 063 B$
Rentabilidad por euro invertido en cada producto.
2. Restricciones
$A \geq 5000$ (debe superar los $5000$ ), $A \geq 2 B$ , $A + B \leq 9000$ , $B \geq 0$
Maximizar $R$ con esas restricciones
Cada condición del enunciado.
3. Región factible
$A = 5000$ con $B = 0$ : $(5000, 0)$ ; $A + B = 9000$ con $B = 0$ : $(9000, 0)$ ; $A = 5000$ con $A = 2 B$ : $(5000, 2500)$ ; $A = 2 B$ con $A + B = 9000$ : $(6000, 3000)$
Cuadrilátero de vértices $(5000, 0)$ , $(9000, 0)$ , $(6000, 3000)$ , $(5000, 2500)$
Cada vértice cumple las demás desigualdades.
4. Evaluar $R$
$R (5000, 0) = 135$ ; $R (9000, 0) = 243$ ; $R (6000, 3000) = 162 + 189 = 351$ ; $R (5000, 2500) = 135 + 157, 5 = 292, 5$
Máximo en $(6000, 3000)$
El máximo está en un vértice.

Apartado b

1. Rentabilidad máxima
$R (6000, 3000) = 0, 027 \cdot 6000 + 0, 063 \cdot 3000$
$351$ €
Valor de $R$ en el óptimo.

1.BOpción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 3 apartados
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Dadas las matrices $A = (3111) y B = (0 - 1 22)$ Se pide (siendo $A^{t}$ y $B^{t}$ las matrices traspuestas de $A$ y $B$ , respectivamente):

a)Calcular $(A B)^{- 1}$ .
b)Calcular $A B^{t} - A^{t} B$ .
c)Resolver la ecuación $B^{t} X + A^{t} B = A^{t}$ .

Apartado a

1. Producto $A B$
$A B = (3 \cdot 0 + 1 \cdot (- 1) 1 \cdot 0 + 1 \cdot (- 1) 3 \cdot 2 + 1 \cdot 2 1 \cdot 2 + 1 \cdot 2) = (- 1 - 1 84)$
$∣ A B ∣ = - 4 + 8 = 4 \neq = 0$
Existe la inversa.
2. Inversa
$(A B)^{- 1} = \frac{1}{4} (41 - 8 - 1)$
$(A B)^{- 1} = (1 \frac{1}{4} - 2 - \frac{1}{4})$
Diagonal intercambiada y signos cambiados.

Apartado b

1. Traspuestas y productos
$A^{t} = A$ , $B^{t} = (02 - 1 2)$ ; $A B^{t} = (22 - 1 0)$ ; $A^{t} B = A B = (- 1 - 1 84)$
$A B^{t} - A^{t} B = (33 - 9 - 3)$
$A$ es simétrica, así que $A^{t} = A$ .

Apartado c

1. Despejar $X$
$B^{t} X = A^{t} - A^{t} B \Rightarrow X = (B^{t})^{- 1} (A^{t} - A^{t} B)$
$A^{t} - A^{t} B = (42 - 7 - 3)$
$∣ B^{t} ∣ = 2 \neq = 0$ : existe $(B^{t})^{- 1} = (1 - 1 \frac{1}{2} 0)$ .
2. Producto
$X = (1 - 1 \frac{1}{2} 0) (42 - 7 - 3)$
$X = (5 - 4 - \frac{17}{2} 7)$
Comprobación: $B^{t} X + A^{t} B = A^{t}$ .

2.AOpción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
6 resultados comprobados en 5 apartados
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Dada la función $f (x) = \frac{x ^{2}}{2 - x}$ , se pide:

a)Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.
b)Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.
c)Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d)Los máximos y mínimos locales.
e)La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores.

Apartado a

1. Dominio y cortes
El denominador se anula en $x = 2$ ; $f (0) = 0$ ; $x^{2} = 0 ⟺ x = 0$
$Dom f = R ∖ {2}$ ; único corte $(0, 0)$
Ambos ejes se cortan en el origen.

Apartado b

1. Asíntotas
$lim_{x \to 2^{-}} f = + \infty$ , $lim_{x \to 2^{+}} f = - \infty$ ; $lim_{x \to \pm \infty} f = \mp \infty$ (el grado del numerador supera en uno al del denominador: $f = - x - 2 + \frac{4}{2 - x}$ )
Vertical $x = 2$ ; no hay asíntotas horizontales
La asíntota oblicua $y = - x - 2$ existe, pero no se pedía.

Apartado c

1. Derivada
$f^{'} (x) = \frac{2 x ( 2 - x ) + x ^{2}}{( 2 - x ) ^{2}} = \frac{x ( 4 - x )}{( 2 - x ) ^{2}}$
$f^{'} = 0 ⟺ x = 0$ o $x = 4$
Regla del cociente.
2. Signo
$x < 0$ : $-$ ; $0 < x < 2$ : $+$ ; $2 < x < 4$ : $+$ ; $x > 4$ : $-$
Crece en $(0, 2) \cup (2, 4)$ ; decrece en $(- \infty, 0) \cup (4, + \infty)$
El denominador es positivo; el signo lo da $x (4 - x)$ .

Apartado d

1. Extremos
En $x = 0$ cambia de $-$ a $+$ , $f (0) = 0$ ; en $x = 4$ de $+$ a $-$ , $f (4) = \frac{16}{- 2} = - 8$
Mínimo local $(0, 0)$ ; máximo local $(4, - 8)$
Cambio de signo de $f^{'}$ .

Apartado e

1. Gráfica
Asíntota vertical $x = 2$ y oblicua $y = - x - 2$ ; mínimo $(0, 0)$ ; máximo $(4, - 8)$
Para $x < 2$ : baja desde $+ \infty$ (en $- \infty$ ) hasta el mínimo $(0, 0)$ y sube a $+ \infty$ en $x = 2$ . Para $x > 2$ : desde $- \infty$ en $x = 2$ sube hasta el máximo $(4, - 8)$ y baja a $- \infty$
Se une la información de los apartados anteriores.

2.BOpción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
6 resultados comprobados en 4 apartados
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En los primeros 6 años, una empresa obtuvo unos beneficios (en decenas de miles de euros) que pueden representarse mediante la función $f (t) = t^{3} - 8 t^{2} + 15 t$ , donde $t$ es el tiempo en años transcurridos.

a)Determinar los periodos en los que la empresa tuvo beneficios y en los que tuvo pérdidas.
b)¿En qué valor de $t$ se alcanzó el máximo beneficio y cuál fue este? (2+1 puntos)
c)¿En qué valor de $t$ se tuvo la máxima pérdida y cuál fue esta? (2+1 puntos)
d)Suponiendo que a partir de los 6 años los beneficios siguen la misma función, ¿volverá a tener la empresa periodos alternos de beneficios y pérdidas? Justifica la respuesta.

Apartado a

1. Factorizar
$f (t) = t (t^{2} - 8 t + 15) = t (t - 3) (t - 5)$
Raíces $t = 0, 3, 5$
Los beneficios cambian de signo en las raíces.
2. Signo en $(0, 6]$
$f (1) = 8 > 0$ ; $f (4) = - 4 < 0$ ; $f (5, 5) > 0$
Beneficios en $(0, 3)$ y $(5, 6]$ ; pérdidas en $(3, 5)$
Se evalúa un punto de cada intervalo.

Apartado b

1. Puntos críticos
$f^{'} (t) = 3 t^{2} - 16 t + 15 = 0 \Rightarrow t = \frac{8 \pm 19}{3} \approx 1, 214; 4, 120$
Valores: $f (1, 214) \approx 8, 21$ ; $f (4, 120) \approx - 4, 06$
Raíces de la ecuación de segundo grado.
2. Máximo beneficio
Se compara con el extremo del intervalo: $f (6) = 216 - 288 + 90 = 18$
Máximo en $t = 6$ con $18$ decenas de miles, es decir $180000$ €
El máximo absoluto en $[0, 6]$ está en el extremo $t = 6$ (el máximo local $8, 21$ es menor).

Apartado c

1. Máxima pérdida
La pérdida mayor ocurre en el mínimo local $t = \frac{8 + 19}{3} \approx 4, 119$ ; $f \approx - 4, 0607$
$t \approx 4, 119$ años; pérdida de $\approx 40607$ €
Mínimo de la función en el tramo de pérdidas.

Apartado d

1. Más allá de $t = 6$
$f^{'} (t) > 0$ para $t > \frac{8 + 19}{3}$ y $f (5) = 0$ : $f$ es creciente desde $t \approx 4, 12$ y no vuelve a cruzar el eje
No habrá nuevos periodos alternos: beneficios siempre crecientes
Un polinomio de grado $3$ con $3$ raíces ya usadas ( $0, 3, 5$ ) no vuelve a cambiar de signo.

3.AOpción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

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4 resultados comprobados en 3 apartados
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En una cierta ciudad, las dos terceras partes de los hogares tienen una Smart TV, de los cuales, las tres octavas partes han contratado algún servicio de televisión de pago, porcentaje que baja al $30 %$ si consideramos el total de los hogares. Si se elige un hogar al azar

a)¿Cuál es la probabilidad de que no tenga Smart TV pero sí haya contratado televisión de pago?
b)¿Cuál es la probabilidad de que tenga Smart TV si sabemos que ha contratado televisión de pago?
c)¿Cuál es la probabilidad de que no tenga Smart TV si sabemos que no ha contratado televisión de pago?

Apartado a

1. Datos
$S$ = Smart TV, $T$ = TV de pago: $P (S) = \frac{2}{3}$ ; $P (T ∣ S) = \frac{3}{8} \Rightarrow P (S \cap T) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{4}$ ; $P (T) = 0, 30$
$P (\overline{S} \cap T) = 0, 30 - 0, 25$
Los que contratan se reparten entre tener o no Smart TV.
2. Sin Smart TV y con TV de pago
$P (\overline{S} \cap T) = \frac{3}{10} - \frac{1}{4} = \frac{1}{20}$
$0, 05$
Resta de las dos probabilidades.

Apartado b

1. Condicionada
$P (S ∣ T) = \frac{1/4}{3/10}$
$\frac{5}{6} \approx 0, 833$
Definición.

Apartado c

1. Condicionada al contrario
$P (\overline{S} \cap \overline{T}) = 1 - P (S) - P (\overline{S} \cap T) = 1 - \frac{2}{3} - \frac{1}{20} = \frac{17}{60}$ ; $P (\overline{T}) = 0, 7$
$P (\overline{S} ∣ \overline{T}) = \frac{17/60}{7/10} = \frac{17}{42} \approx 0, 4048$
Los que no tienen Smart TV son $\frac{1}{3}$ , de los que $\frac{1}{20}$ contratan.

3.BOpción B10 puntos

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Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
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Ver errores ya corregidos

Sabemos que el $5 %$ de los hombres y el $2 %$ de las mujeres que trabajan en una empresa tienen un salario mensual mayor que 5000 euros. Se sabe también que el $30 %$ de los trabajadores de dicha empresa son mujeres.

a)Calcula la probabilidad de que un trabajador de la empresa, elegido al azar, tenga un salario mensual mayor que 5000 euros.
b)Si se elige al azar un trabajador de la empresa y se observa que su salario mensual es mayor que 5000 euros, ¿cuál es la probabilidad de que dicho trabajador sea mujer?
c)¿Qué porcentaje de trabajadores de la empresa son hombres con un salario mensual mayor que 5000 euros?

Apartado a

1. Probabilidad total
$P (> 5000) = 0, 70 \cdot 0, 05 + 0, 30 \cdot 0, 02 = 0, 035 + 0, 006$
$0, 041$
Teorema de la probabilidad total.

Apartado b

1. Bayes
$P (mujer ∣ > 5000) = \frac{0 , 006}{0 , 041}$
$\approx 0, 1463$
Teorema de Bayes.

Apartado c

1. Hombres con salario alto
$P (hombre \cap > 5000) = 0, 70 \cdot 0, 05 = 0, 035$
$3, 5 %$
Probabilidad del producto, expresada en porcentaje.