Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2023 · Ordinaria 2023

12.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 2 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Dadas las matrices $A = 100 2 m 3 010$ , $X = x y z$ y $B = m 09$ :

a)Estudiar cuándo la ecuación matricial $A^{2} X = B$ tiene solución en función del parámetro real $m$ .
b)Encontrar todas las soluciones de la ecuación anterior cuando éstas existan.

Apartado a

1. Calculamos $A^{2}$ .
$A^{2} = 100 2 m 3 010^{2} = 100 2 m + 2 m^{2} + 3 3 m 2 m 3$
2. La ecuación $A^{2} X = B$ tiene solución única si $A^{2}$ es invertible. Calculamos $det A$ desarrollando por la primera columna y usamos $det A^{2} = (det A)^{2}$ .
$det A = 1 \cdot m 3 10 = - 3 \Rightarrow det A^{2} = 9 \neq = 0$
Para todo $m \in R$ la ecuación tiene solución, y es única.
El valor 9 no depende de $m$ ; por tanto no hay valores de $m$ sin solución (el rango es 3 siempre).

Apartado b

1. Resolvemos el sistema $A^{2} X = B$ por sustitución, empezando por las ecuaciones más sencillas (tercera y segunda).
$⎩ ⎨ ⎧ x + (2 m + 2) y + 2 z = m (m^{2} + 3) y + m z = 0 3 m y + 3 z = 9$
2. De la tercera: $z = 3 - m y$ . En la segunda: $(m^{2} + 3) y + m (3 - m y) = 0 \Rightarrow 3 y + 3 m = 0 \Rightarrow y = - m$ ; luego $z = 3 + m^{2}$ .
$y = - m, z = m^{2} + 3$
3. En la primera: $x = m - (2 m + 2) (- m) - 2 (m^{2} + 3) = m + 2 m^{2} + 2 m - 2 m^{2} - 6$ .
$x = 3 m - 6$
$X = 3 m - 6 - m m^{2} + 3$ (única, para cada $m$ )
Comprobación: $A^{2} X = B$ para todo $m$ (con SymPy).

22.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 2 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Dadas las matrices $A = (100111)$ , $B = (12 1 - 1 10)$ y $C = (0 - α^{2} α 0)$ :

a)Obtener la matriz $(A B^{T} + I)^{- 1}$ , donde $I$ es la matriz identidad de las dimensiones adecuadas para realizar la operación.
b)Comprobar que $C^{2} = - α^{3} I$ , donde $I$ es la matriz identidad, y calcular $C^{13}$ .

Apartado a

1. $A$ y $B$ son $2 \times 3$ ; $B^{t}$ es $3 \times 2$ , luego $A B^{t}$ es $2 \times 2$ y se le puede sumar la identidad $2 \times 2$ .
$B^{t} = 111 2 - 1 0, A B^{t} = (22 2 - 1)$
2. Sumamos $I$ y calculamos el determinante.
$A B^{t} + I = (3220), det = 3 \cdot 0 - 2 \cdot 2 = - 4 \neq = 0$
Es invertible.
3. Inversa de una matriz $2 \times 2$ : intercambiar la diagonal, cambiar el signo de la otra y dividir entre el determinante.
$(A B^{t} + I)^{- 1} = \frac{1}{- 4} (0 - 2 - 2 3) = (0 \frac{1}{2} \frac{1}{2} - \frac{3}{4})$
$(A B^{t} + I)^{- 1} = (0 \frac{1}{2} \frac{1}{2} - \frac{3}{4})$
Comprobación: $(3220) (0 \frac{1}{2} \frac{1}{2} - \frac{3}{4}) = I$ .

Apartado b

1. Calculamos $C^{2}$ .
$C^{2} = (0 - α^{2} α 0) (0 - α^{2} α 0) = (- α^{3} 0 0 - α^{3}) = - α^{3} I$
$C^{2} = - α^{3} I$ \ \checkmark
2. Descomponemos el exponente: $C^{13} = (C^{2})^{6} C$ y como $C^{2} = - α^{3} I$ conmuta con todo, $(C^{2})^{6} = (- α^{3})^{6} I = α^{18} I$ .
$C^{13} = α^{18} C = α^{18} (0 - α^{2} α 0)$
$C^{13} = (0 - α^{20} α^{19} 0)$

32.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 2 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Dada la recta $r : {x - y = 1 x + 2 y + z = 0$ y los puntos $P = (0, 0, 3)$ y $Q = (2, 2, a)$ , obtener:

a)Los valores del parámetro real $a$ , si existen, para los que son paralelas la recta $r$ y la recta que pasa por los puntos $P$ y $Q$ .
b)La ecuación del plano perpendicular a $r$ y que pasa por $P$ .

Esquema: PQ paralela a r (a = −3) y plano π perpendicular a r por P

Apartado a

1. Dirección de $r$ : producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen.
$d_{r} = (1, - 1, 0) \times (1, 2, 1) = i 11 j - 1 2 k 01 = (- 1, - 1, 3)$
2. La recta $P Q$ tiene dirección $P Q = (2, 2, a - 3)$ . Es paralela a $r$ si es proporcional a $d_{r}$ .
$\frac{2}{- 1} = \frac{2}{- 1} = \frac{a - 3}{3} \Rightarrow a - 3 = - 6$
$a = - 3$
Las dos primeras razones coinciden ( $- 2$ ), así que existe un único valor de $a$ .

Apartado b

1. El plano perpendicular a $r$ tiene como normal la dirección de $r$ y pasa por $P = (0, 0, 3)$ .
$- 1 (x - 0) - 1 (y - 0) + 3 (z - 3) = 0 ⟺ - x - y + 3 z - 9 = 0$
$x + y - 3 z + 9 = 0$
Comprobación: $P$ cumple $0 + 0 - 9 + 9 = 0$ .

42.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Dada la recta $r : {5 x + y + 7 z = 16 9 x - y + 7 z = 12$ y el punto $P = (0, 5, 2)$ se pide:

a)Comprobar que el punto $Q = (2, 6, 0)$ pertenece a la recta $r$ y encontrar la recta $s$ que pasa por los puntos $P$ y $Q$ .
b)Obtener el ángulo que forman la recta $r$ y la recta $s$ .
c)Obtener la proyección ortogonal del punto $P$ en la recta $r$ .

Apartado a

1. Sustituimos $Q = (2, 6, 0)$ en las dos ecuaciones de $r$ .
$5 \cdot 2 + 6 + 0 = 16 ✓, 9 \cdot 2 - 6 + 0 = 12 ✓$
$Q \in r$
2. La recta $s$ pasa por $P = (0, 5, 2)$ y $Q$ : dirección $P Q = (2, 1, - 2)$ .
$s : (x, y, z) = (0, 5, 2) + μ (2, 1, - 2) ⟺ \frac{x}{2} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z - 2}{- 2}$
$s : \frac{x}{2} = y - 5 = \frac{z - 2}{- 2}$

Apartado b

1. Dirección de $r$ : producto vectorial de las normales $(5, 1, 7)$ y $(9, - 1, 7)$ .
$d_{r} = (5, 1, 7) \times (9, - 1, 7) = (14, 28, - 14) ∥ (1, 2, - 1)$
2. Ángulo entre rectas: el agudo entre sus direcciones.
$cos θ = \frac{∣ ( 1 , 2 , - 1 ) \cdot ( 2 , 1 , - 2 ) ∣}{6 \cdot 3} = \frac{6}{3 6} = \frac{6}{3}$
$θ = arccos \frac{6}{3} \approx 35, 2 6^{\circ}$

Apartado c

1. La proyección $P^{'}$ de $P$ sobre $r$ es el pie de la perpendicular. Tomamos $r$ por $Q$ con $d = (1, 2, - 1)$ : $P^{'} = Q + λ d$ con $P^{'} P \cdot d = 0$ .
$λ = \frac{QP \cdot d}{∣ d ∣ ^{2}} = \frac{( - 2 , - 1 , 2 ) \cdot ( 1 , 2 , - 1 )}{6} = \frac{- 6}{6} = - 1$
2. Sustituimos $λ = - 1$ en $Q + λ d$ .
$P^{'} = (2, 6, 0) - (1, 2, - 1) = (1, 4, 1)$
$P^{'} = (1, 4, 1)$
Comprobación: $P^{'} P = (- 1, 1, 1)$ y $(- 1, 1, 1) \cdot (1, 2, - 1) = 0$ .

52.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Considerar la función $f (x) = \frac{1}{x} + ln (x + 1)$ . Obtener:

a)El dominio y las asíntotas de $f (x)$ .
b)Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f (x)$ y sus máximos y mínimos.
c)El área comprendida entre la curva $y = f (x)$ y las rectas $y = 0$ , $x = 1$ y $x = 2$ .

Apartado a

1. $ln (x + 1)$ exige $x + 1 > 0$ y $\frac{1}{x}$ exige $x \neq = 0$ .
$Dom f = (- 1, 0) \cup (0, + \infty)$
$Dom f = (- 1, 0) \cup (0, \infty)$
2. Límites en los extremos del dominio.
$x \to - 1^{+} lim f = - 1 + (- \infty) = - \infty, x \to 0^{-} lim f = - \infty, x \to 0^{+} lim f = + \infty, x \to + \infty lim f = + \infty$
Asíntotas verticales $x = - 1$ y $x = 0$ ; ni horizontales ni oblicuas
En $+ \infty$ : $f (x) / x \to 0$ , así que no hay oblicua.

Apartado b

1. Derivada y puntos críticos.
$f^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x + 1} = \frac{x ^{2} - x - 1}{x ^{2} ( x + 1 )} = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm 5}{2}$
Los dos están en el dominio: $\frac{1 - 5}{2} \approx - 0, 618 \in (- 1, 0)$ y $\frac{1 + 5}{2} \approx 1, 618 > 0$ .
2. El denominador $x^{2} (x + 1)$ es positivo en el dominio, luego el signo de $f^{'}$ es el de $x^{2} - x - 1$ (positivo fuera de las raíces, negativo entre ellas).
$f^{'} > 0$ en $(- 1, \frac{1 - 5}{2})$ y en $(\frac{1 + 5}{2}, \infty)$ ; $f^{'} < 0$ en $(\frac{1 - 5}{2}, 0)$ y en $(0, \frac{1 + 5}{2})$
Máximo relativo en $x = \frac{1 - 5}{2}$ ( $f \approx - 2, 580$ ) y mínimo relativo en $x = \frac{1 + 5}{2}$ ( $f \approx 1, 580$ )

Apartado c

1. En $[1, 2]$ la función es positiva ( $\frac{1}{x} > 0$ y $ln (x + 1) > 0$ ), así que el área es la integral. Primitiva de $ln (x + 1)$ : por partes, $\int ln (x + 1) d x = (x + 1) ln (x + 1) - (x + 1)$ .
$A = \int_{1}^{2} (\frac{1}{x} + ln (x + 1)) d x = [ln x + (x + 1) ln (x + 1) - (x + 1)]_{1}^{2}$
2. Evaluamos.
$A = (ln 2 + 3 ln 3 - 3) - (0 + 2 ln 2 - 2) = 3 ln 3 - ln 2 - 1$
$A = 3 ln 3 - ln 2 - 1 \approx 1, 603 u^{2}$

62.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 2 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

El corte vertical de la entrada a la plaza amurallada de cierto pueblo tiene forma de parábola con ecuación $y = - x^{2} + 12$ , donde $x$ e $y$ se miden en metros e $y = 0$ representa el suelo. Se desea poner una puerta rectangular de modo que las dos esquinas superiores estén en la parábola y las inferiores en el suelo. El resto de la entrada va cerrado con piedra. Calcular:

a)Las dimensiones de la puerta para que tenga la mayor superficie posible.
b)Utilizando la puerta del apartado anterior, obtener el área de la parte frontal de la puerta y el área de la parte frontal de la entrada recubierta por piedra.

Puerta de máxima superficie: 4 m × 8 m

Apartado a

1. Sean los vértices superiores $(\pm x, 12 - x^{2})$ (simétricos, sobre la parábola) con $0 < x < 12$ . La puerta mide $2 x$ de ancho y $12 - x^{2}$ de alto.
$S (x) = 2 x (12 - x^{2}) = 24 x - 2 x^{3}$
2. Derivamos e igualamos a cero.
$S^{'} (x) = 24 - 6 x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = 2$ (descartamos $x = - 2$ )
3. Es máximo porque $S^{''} (x) = - 12 x < 0$ en $x = 2$ . Dimensiones: ancho $2 x = 4$ y alto $12 - 4 = 8$ .
$S^{''} (2) = - 24 < 0$
Puerta de $4 m$ de ancho por $8 m$ de alto

Apartado b

1. Área de la puerta.
$S (2) = 4 \cdot 8 = 32$
Puerta: $32 m^{2}$
2. Área frontal de la entrada completa (bajo la parábola, de $- 12$ a $12$ con $12 = 23$ ): $\int (12 - x^{2}) d x$ . La parte de piedra es la diferencia.
$A_{entrada} = 2 \int_{0}^{23} (12 - x^{2}) d x = 2 [12 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{23} = 2 (243 - 83) = 323$
Piedra: $323 - 32 \approx 23, 43 m^{2}$
La entrada completa mide $323 \approx 55, 43 m^{2}$ .

72.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 2 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Tenemos dos monedas distintas $M_{1}$ y $M_{2}$ . La probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda $M_{1}$ es $x$ y la probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda $M_{2}$ es $y$ .

a)Si lanzamos las dos monedas al mismo tiempo, calcular las probabilidades de no obtener ninguna cara, de obtener solo una cara y de obtener dos caras.
b)Después de lanzar las dos monedas, volvemos a lanzar solamente las monedas en las que no hemos obtenido cara. Calcular las probabilidades de que el resultado final haya sido obtener ninguna cara, obtener solo una cara y obtener dos caras.

Primer lanzamiento: M₁ (ramas x, 1−x) y M₂ (ramas y, 1−y)

Apartado a

1. Los lanzamientos de las dos monedas son independientes: $P (C_{1}) = x$ , $P (\overline{C_{1}}) = 1 - x$ , $P (C_{2}) = y$ , $P (\overline{C_{2}}) = 1 - y$ .
$P (0 caras) = (1 - x) (1 - y)$
Ninguna cara: las dos son cruz.
2. Una sola cara: cara en la primera y cruz en la segunda, o al revés (sucesos incompatibles). Dos caras: ambas.
$P (1 cara) = x (1 - y) + (1 - x) y, P (2 caras) = x y$
$P_{0} = (1 - x) (1 - y), P_{1} = x (1 - y) + y (1 - x), P_{2} = x y$
Comprobación: $P_{0} + P_{1} + P_{2} = 1$ .

Apartado b

1. Cada moneda se lanza una segunda vez solo si salió cruz. Una moneda con probabilidad de cara $p$ acaba con cara con probabilidad $1 - (1 - p)^{2}$ (cara en el primer o en el segundo lanzamiento) y sin cara con $(1 - p)^{2}$ . Las dos monedas son independientes.
$M_{1} : c_{1} = 1 - (1 - x)^{2} = x (2 - x); M_{2} : c_{2} = y (2 - y)$
2. Resultado final: ninguna cara, solo una o dos.
$P (0) = (1 - x)^{2} (1 - y)^{2}$
$P_{0} = (1 - x)^{2} (1 - y)^{2}$
3. Una cara: la primera termina con cara y la segunda sin cara, o al revés.
$P (1) = x (2 - x) (1 - y)^{2} + (1 - x)^{2} y (2 - y)$
$P_{1} = x (2 - x) (1 - y)^{2} + y (2 - y) (1 - x)^{2}$
4. Dos caras: ambas terminan con cara.
$P (2) = x (2 - x) \cdot y (2 - y)$
$P_{2} = x y (2 - x) (2 - y)$
Comprobación: $P_{0} + P_{1} + P_{2} = 1$ .

82.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 2 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Cada fin de semana llegan al aeropuerto de Alicante 161 vuelos. De estos 161 vuelos, 95 proceden del territorio nacional, 50 proceden de la Unión Europea y 16 proceden de países de fuera de la Unión Europea. Sabiendo que el 5% de los vuelos con procedencia nacional, el 4% de los vuelos con procedencia de la Unión Europea y el 6.25% del resto de vuelos se retrasan:

a)Calcular la probabilidad de que durante el fin de semana un vuelo se retrase.
b)Sabiendo que un vuelo concreto se ha retrasado, calcular la probabilidad de que este vuelo proceda de la Unión Europea.

Apartado a

1. Sea $N$ = vuelo nacional, $U$ = de la UE, $O$ = de fuera de la UE y $T$ = vuelo retrasado. $P (N) = \frac{95}{161}$ , $P (U) = \frac{50}{161}$ , $P (O) = \frac{16}{161}$ ; $P (T ∣ N) = 0, 05$ , $P (T ∣ U) = 0, 04$ , $P (T ∣ O) = 0, 0625$ .
$P (T) = \frac{95}{161} \cdot 0, 05 + \frac{50}{161} \cdot 0, 04 + \frac{16}{161} \cdot 0, 0625 = \frac{4 , 75 + 2 + 1}{161}$
$P (T) = \frac{7 , 75}{161} = \frac{31}{644} \approx 0, 0481$
Probabilidad total; el numerador es el número esperado de vuelos retrasados (7,75 de 161).

Apartado b

1. Teorema de Bayes.
$P (U ∣ T) = \frac{P ( U ) P ( T ∣ U )}{P ( T )} = \frac{2/161}{7 , 75/161} = \frac{2}{7 , 75}$
$P (U ∣ T) = \frac{8}{31} \approx 0, 2581$