Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2019 · Extraordinaria 2019

A.1Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Se da el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 3 z = α x - 2 y + 2 z = 5 3 x - y + 5 z = α + 1$ , donde $α$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Los valores de $α$ para los que el sistema es compatible y determinado.
b)La solución del sistema cuando $α = - 1$ .
c)El valor de $α$ para que el sistema tenga una solución $(x, y, z)$ que verifique $x + y + z = 0$ .

Apartado a

1. La matriz de coeficientes no contiene $α$ : calculamos su determinante.
$213 0 - 2 - 1 325 = 2 (- 10 + 2) - 0 + 3 (- 1 + 6) = - 16 + 15 = - 1 \neq = 0$
2. Con $∣ A ∣ \neq = 0$ el rango es 3 para cualquier $α$ (Rouché–Frobenius).
Compatible determinado para todo $α \in R$ .
Compatible determinado $\forall α \in R$ .

Apartado b

1. Con $α = - 1$ el sistema es $2 x + 3 z = - 1$ , $x - 2 y + 2 z = 5$ , $3 x - y + 5 z = 0$ . De la primera, $x = \frac{- 1 - 3 z}{2}$ .
$x = - \frac{1 + 3 z}{2}$
2. Sustituimos en las otras dos y despejamos (o aplicamos Cramer con $∣ A ∣ = - 1$ ).
$x = \frac{- 1 5 0 0 - 2 - 1 3 2 5}{- 1}, \dots \Rightarrow (x, y, z) = (7, - 4, - 5)$
$(x, y, z) = (7, - 4, - 5)$
Comprobación: $2 x + 3 z = - 1$ , $x - 2 y + 2 z = 5$ , $3 x - y + 5 z = 0$ .

Apartado c

1. La solución es única para cada $α$ (apartado a). La resolvemos en función de $α$ con Cramer ( $∣ A ∣ = - 1$ ).
$x = 2 α + 9, y = - 4, z = - α - 6$
2. Imponemos $x + y + z = 0$ .
$α - 1 = 0 \Rightarrow α = 1$
$α = 1$
Entonces $(x, y, z) = (11, - 4, - 7)$ , que suma 0.

A.2Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

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Se da el plano $π : 2 x + y + 2 z = 8$ y el punto $P = (10, 0, 10)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La distancia del punto $P$ al plano $π$ .
b)El área del triángulo cuyos vértices son los puntos $A$ , $B$ y $C$ , obtenidos al hallar la intersección del plano $π$ con los ejes de coordenadas.
c)El volumen del tetraedro cuyos vértices son $P$ , $A$ , $B$ y $C$ .

Base ABC (área 24) y altura d(P, π) = 32/3

Apartado a

1. Distancia de un punto a un plano: $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ con el plano escrito $2 x + y + 2 z - 8 = 0$ .
$d (P, π) = \frac{∣2 \cdot 10 + 0 + 2 \cdot 10 - 8∣}{4 + 1 + 4} = \frac{32}{3}$
$d (P, π) = \frac{32}{3} \approx 10, 67$

Apartado b

1. Cortes con los ejes: $y = z = 0 \Rightarrow x = 4$ ; $x = z = 0 \Rightarrow y = 8$ ; $x = y = 0 \Rightarrow z = 4$ .
$A (4, 0, 0), B (0, 8, 0), C (0, 0, 4)$
2. El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de $A B = (- 4, 8, 0)$ y $A C = (- 4, 0, 4)$ .
$A B \times A C = (32, 16, 32), ∣ \cdot ∣ = 1024 + 256 + 1024 = 48$
3. Mitad del módulo.
$\overset{ˊ}{A} rea = \frac{48}{2} = 24$
Área $= 24 u^{2}$

Apartado c

1. El tetraedro $P A B C$ tiene por base el triángulo $A B C$ (que está en $π$ ) y por altura la distancia de $P$ a $π$ (apartado a).
$V = \frac{1}{3} \cdot \overset{ˊ}{A} rea_{A B C} \cdot d (P, π) = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot \frac{32}{3} = \frac{256}{3}$
$V = \frac{256}{3} \approx 85, 3 u^{3}$
Comprobación con el producto mixto: $\frac{1}{6} ∣ det (P A, P B, P C) ∣ = \frac{256}{3}$ .

A.3Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Se da la función real $h$ definida por $h (x) = \frac{x ^{3} + x ^{2} + 5 x - 3}{x ^{2} + 2 x + 5}$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El dominio de la función $h$ . Los límites $lim_{x \to + \infty} h (x)$ y $lim_{x \to 0} h (x)$ .
b)La asíntota de la curva $y = h (x)$ .
c)La primitiva de la función $h$ (es decir, $\int h (x) d x$ ) y el área de la superficie encerrada entre las rectas $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 5$ y la curva $y = h (x)$ .

Asíntota oblicua y = x − 1 y área entre x = 1 y x = 5

Apartado a

1. El denominador $x^{2} + 2 x + 5$ tiene discriminante $4 - 20 = - 16 < 0$ : nunca se anula. El dominio es todo $R$ .
$Dom h = R$
2. En $+ \infty$ el grado del numerador (3) supera al del denominador (2): el límite es infinito con el signo de $x$ .
$lim_{x \to + \infty} h (x) = + \infty$
3. $h$ es continua en $0$ (está en el dominio), así que el límite es el valor de la función.
$lim_{x \to 0} h (x) = h (0) = \frac{- 3}{5} = - \frac{3}{5}$
Dominio $R$ ; $lim_{x \to + \infty} h = + \infty$ y $lim_{x \to 0} h = - \frac{3}{5}$ .

Apartado b

1. Dividimos los polinomios: $x^{3} + x^{2} + 5 x - 3 = (x - 1) (x^{2} + 2 x + 5) + (2 x + 2)$ .
$h (x) = x - 1 + \frac{2 x + 2}{x ^{2} + 2 x + 5}$
2. La fracción tiende a 0 en $\pm \infty$ , así que la curva se acerca a la recta $y = x - 1$ . No hay asíntotas verticales (dominio $R$ ) ni horizontales.
$lim_{x \to \pm \infty} [h (x) - (x - 1)] = 0$
Asíntota oblicua $y = x - 1$ (en ambos lados).

Apartado c

1. Separamos la división: $\int h d x = \int (x - 1) d x + \int \frac{2 x + 2}{x ^{2} + 2 x + 5} d x$ . El numerador de la fracción es exactamente la derivada del denominador.
$\int h (x) d x = \frac{x ^{2}}{2} - x + ln (x^{2} + 2 x + 5) + C$
Primitiva: $\frac{x ^{2}}{2} - x + ln (x^{2} + 2 x + 5) + C$ .
No hace falta valor absoluto en el logaritmo: el argumento es siempre positivo.
2. En $[1, 5]$ la función es positiva ( $h (1) = \frac{1}{2}$ y crece), así que el área es la integral sin valor absoluto. Aplicamos la regla de Barrow.
$A = [\frac{x ^{2}}{2} - x + ln (x^{2} + 2 x + 5)]_{1}^{5} = (\frac{25}{2} - 5 + ln 40) - (\frac{1}{2} - 1 + ln 8) = 8 + ln 5$
$A = 8 + ln 5 \approx 9, 61 u^{2}$

B.1Opción B10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se dan las matrices $A = (1 - 1 46)$ y $X = (x y)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Los valores de $α$ para los que la ecuación matricial $A X = α X$ solo admite una solución.
b)Todas las soluciones de la ecuación matricial $A X = 5 X$ .
c)Comprobar que $X = (41)$ es una solución de la ecuación matricial $A X = 2 X$ y, sin calcular la matriz $A^{100}$ , obtener el valor $β$ tal que $A^{100} (41) = β (41)$ .

Apartado a

1. Pasamos todo a un miembro: $A X = α X ⟺ (A - α I) X = 0$ . Este sistema homogéneo siempre admite $X = 0$ ; es la única solución cuando $∣ A - α I ∣ \neq = 0$ .
$A - α I = (1 - α - 1 4 6 - α)$
2. Determinante.
$∣ A - α I ∣ = (1 - α) (6 - α) + 4 = α^{2} - 7 α + 10 = (α - 2) (α - 5)$
3. Solo hay solución única (la trivial $X = 0$ ) si el determinante no es cero.
$α \neq = 2$ y $α \neq = 5$
Solución única ( $X = 0$ ) para $α \neq = 2, 5$ .
Para $α = 2$ y $α = 5$ hay infinitas soluciones: son los valores propios de $A$ .

Apartado b

1. Con $α = 5$ : $(A - 5 I) X = 0$ .
$(- 4 - 1 41) (x y) = (00) \Rightarrow - 4 x + 4 y = 0, - x + y = 0$
2. Las dos ecuaciones son la misma: $y = x$ . Solución con un parámetro.
$X = λ (11), λ \in R$
$(x, y) = (λ, λ)$

Apartado c

1. Calculamos $A (41)$ .
$(1 - 1 46) (41) = (82) = 2 (41)$
2. Si $A X = 2 X$ , aplicando $A$ otra vez: $A^{2} X = A (2 X) = 2 A X = 4 X$ , y por inducción $A^{n} X = 2^{n} X$ .
$A^{100} (41) = 2^{100} (41)$
$β = 2^{100}$

B.2Opción B10 puntos

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3 resultados comprobados en 3 apartados
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Se dan en el espacio la recta $r : \frac{x - α}{- 1} = \frac{y}{- 4} = \frac{z}{β}$ y el plano $π : x + 2 y + 3 z = 6$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La posición relativa de la recta $r$ y el plano $π$ en función de los parámetros reales $α$ y $β$ .
b)La distancia entre la recta $r$ y el plano $π$ cuando $α = 6$ y $β = 3$ .
c)La ecuación del plano que pasa por $(0, 0, 0)$ y que no corta al plano $π$ .

Apartado a

1. La recta pasa por $R = (α, 0, 0)$ y tiene dirección $d = (- 1, - 4, β)$ . La normal del plano es $n = (1, 2, 3)$ .
$d \cdot n = - 1 - 8 + 3 β = 3 β - 9$
2. Si $β \neq = 3$ , $d \cdot n \neq = 0$ : la recta corta al plano en un punto (secante), sea cual sea $α$ .
$β \neq = 3 \Rightarrow$ secantes
3. Si $β = 3$ , la recta es paralela al plano. Está contenida si $R \in π$ : $α + 0 + 0 = 6$ .
$β = 3 : R \in π ⟺ α = 6$
$β \neq = 3$ : secantes. $β = 3$ y $α = 6$ : $r \subset π$ . $β = 3$ y $α \neq = 6$ : paralelos sin contacto.

Apartado b

1. Con $α = 6$ y $β = 3$ estamos en el caso en que la recta está contenida en el plano: $R = (6, 0, 0) \in π$ y $d \cdot n = 0$ .
$d (r, π) = 0$
La distancia es $0$ : la recta está contenida en el plano.

Apartado c

1. Un plano que no corta a $π$ es paralelo a él: sus normales son proporcionales. Si pasa por el origen, su término independiente es 0.
$x + 2 y + 3 z = 0$
Plano: $x + 2 y + 3 z = 0$ .

B.3Opción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 4 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Un proyectil está unido al punto $(0, 2)$ por una cuerda elástica y tensa. El proyectil recorre la curva $y = 4 - x^{2}$ de extremos $(- 2, 0)$ y $(2, 0)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La función de la variable $x$ que expresa la distancia entre un punto cualquiera $(x, 4 - x^{2})$ de la curva $y = 4 - x^{2}$ y el punto $(0, 2)$ .
b)Los puntos de la curva $y = 4 - x^{2}$ a mayor distancia absoluta del punto $(0, 2)$ para $- 2 \leq x \leq 2$ .
c)Los puntos de la curva $y = 4 - x^{2}$ a menor distancia absoluta del punto $(0, 2)$ para $- 2 \leq x \leq 2$ .
d)El área de la superficie por la que se ha movido la cuerda elástica, es decir, el área comprendida entre las curvas $y = 4 - x^{2}$ e $y = 2 - ∣ x ∣$ cuando $- 2 \leq x \leq 2$ .

Región barrida por la cuerda: entre y = 4 − x² e y = 2 − |x|

Apartado a

1. Con la curva $y = 4 - x^{2}$ (que pasa por $(- 2, 0)$ y $(2, 0)$ ) un punto es $(x, 4 - x^{2})$ . Distancia al punto $(0, 2)$ :
$d (x) = x^{2} + (4 - x^{2} - 2)^{2} = x^{2} + (2 - x^{2})^{2}$
2. Desarrollamos el radicando.
$d (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 4$
$d (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 4$

Apartado b

1. Maximizar $d$ es maximizar $d^{2} = g (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 4$ (la raíz es creciente). Puntos críticos: $g^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x = 2 x (2 x^{2} - 3) = 0$ .
$x = 0, x = \pm 3/2$
2. Comparamos $g$ en los puntos críticos y en los extremos del intervalo $[- 2, 2]$ .
$g (0) = 4, g (\pm 3/2) = \frac{7}{4}, g (\pm 2) = 8$
Máxima distancia en $x = \pm 2$ : puntos $(- 2, 0)$ y $(2, 0)$ , con $d = 8 = 22$ .

Apartado c

1. El mínimo de $g$ es el menor de los valores anteriores: $\frac{7}{4}$ , en $x = \pm 3/2$ .
$y = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$
Mínima distancia en $(\pm \frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ , con $d = \frac{7}{2} \approx 1, 32$ .
$x = 0$ da un máximo relativo de $g$ (valor 4), no el mínimo.

Apartado d

1. Por simetría respecto al eje $O Y$ calculamos de $0$ a $2$ y duplicamos. En $[0, 2]$ la recta es $y = 2 - x$ . Cortes con la parábola: $4 - x^{2} = 2 - x \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (y $x = - 1$ , fuera de $[0, 2]$ ). En $[0, 2]$ la parábola está por encima.
$4 - x^{2} \geq 2 - x$ en $[0, 2]$
2. Integramos la diferencia.
$A = 2 \int_{0}^{2} [(4 - x^{2}) - (2 - x)] d x = 2 \int_{0}^{2} (2 + x - x^{2}) d x = 2 [2 x + \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = 2 (4 + 2 - \frac{8}{3}) = \frac{20}{3}$
$A = \frac{20}{3} \approx 6, 67 u^{2}$