Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2018 · Ordinaria 2018

A.1Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Se tiene el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ y - z = 1 - a - x + z = 5 - a x + y - z = 1$ , donde $a$ es un parámetro real. Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Los valores del parámetro $a$ para los cuales el sistema es compatible determinado.
b)Las soluciones del sistema cuando $a = 3$ .
c)Las soluciones del sistema para los valores de $a$ que lo hacen compatible indeterminado.

Apartado a

1. Matriz de coeficientes y su determinante (desarrollo por la 1ª fila).
$∣ A ∣ = 0 - 1 - a 101 - 1 1 - 1 = - - 1 - a 1 - 1 - - 1 - a 01 = - (1 + a) - (- 1) = - a$
2. Compatible determinado si y solo si $∣ A ∣ \neq = 0$ .
$- a \neq = 0 ⟺ a \neq = 0$
Compatible determinado para $a \neq = 0$ .

Apartado b

1. Con $a = 3$ : $y - z = - 2$ , $- x + z = 5$ , $- 3 x + y - z = 1$ . De la 2ª, $z = x + 5$ ; de la 1ª, $y = z - 2 = x + 3$ .
$z = x + 5, y = x + 3$
2. Sustituimos en la 3ª ecuación.
$- 3 x + (x + 3) - (x + 5) = 1 \Rightarrow - 3 x - 2 = 1 \Rightarrow x = - 1$
3. Con $x = - 1$ : $z = 4$ , $y = 2$ . Comprobación en la 1ª: $2 - 4 = - 2$ .
$(x, y, z) = (- 1, 2, 4)$
Para $a = 3$ : $(x, y, z) = (- 1, 2, 4)$ .

Apartado c

1. El único valor que anula $∣ A ∣$ es $a = 0$ . Entonces el sistema es $y - z = 1$ , $- x + z = 5$ , $y - z = 1$ : la 1ª y la 3ª coinciden, $rg A = rg (A ∣ b) = 2 < 3$ : compatible indeterminado.
$a = 0 : rg A = rg (A ∣ b) = 2$
2. De la 2ª, $z = x + 5$ ; de la 1ª, $y = 1 + z = x + 6$ . Parámetro $x = λ$ .
$(x, y, z) = (λ, λ + 6, λ + 5), λ \in R$
Para $a = 0$ : $(λ, λ + 6, λ + 5)$ , $λ \in R$ .

A.2Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Dados los puntos $A (- 1, 2, λ)$ , $B (2, 3, 5)$ y $C (3, 5, 3)$ , donde $λ$ es un parámetro real.

a)El valor del parámetro $λ$ para que el segmento $A C$ sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo de vértices $A$ , $B$ y $C$ .
b)El área del triángulo de vértices $A$ , $B$ y $C$ cuando $λ = 6$ .
c)La ecuación del plano que contiene al triángulo de vértices $A$ , $B$ y $C$ cuando $λ = 6$ .

Triángulo rectángulo: la hipotenusa AC, el ángulo recto en B (λ = 5/2)

Apartado a

1. Si $A C$ es la hipotenusa, el ángulo recto está en $B$ : $B A ⊥ B C$ .
$B A = (- 3, - 1, λ - 5), B C = (1, 2, - 2)$
2. Producto escalar igual a cero.
$- 3 - 2 - 2 (λ - 5) = 5 - 2 λ = 0 \Rightarrow λ = \frac{5}{2}$
$λ = \frac{5}{2}$

Apartado b

1. Con $λ = 6$ : $A (- 1, 2, 6)$ . Vectores desde $A$ : $A B = (3, 1, - 1)$ y $A C = (4, 3, - 3)$ .
$A B \times A C = i 34 j 13 k - 1 - 3 = (0, 5, 5)$
2. El área es la mitad del módulo del producto vectorial.
$\overset{ˊ}{A} rea = \frac{1}{2} 0 + 25 + 25 = \frac{5 2}{2}$
Área $= \frac{5 2}{2} \approx 3, 54 u^{2}$

Apartado c

1. El vector normal del plano es el producto vectorial anterior, proporcional a $(0, 1, 1)$ .
$n = (0, 1, 1) \Rightarrow y + z + D = 0$
2. Imponemos que pase por $B (2, 3, 5)$ : $3 + 5 + D = 0 \Rightarrow D = - 8$ . Comprobación con $A$ ( $2 + 6 = 8$ ) y $C$ ( $5 + 3 = 8$ ).
$y + z - 8 = 0$
Plano $y + z = 8$ .

A.3Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Dada la función $f (x) = \frac{1}{x ^{2} - x}$ se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El dominio y las asíntotas de la función $f (x)$ .
b)Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f (x)$ .
c)El área limitada por la curva $y = f (x)$ , el eje de abscisas y las rectas $x = 2$ y $x = 3$ .

f(x) = 1/(x² − x): asíntotas x = 0, x = 1 e y = 0; área entre 2 y 3

Apartado a

1. El denominador $x^{2} - x = x (x - 1)$ se anula en $x = 0$ y $x = 1$ .
$Dom f = R ∖ {0, 1}$
2. Asíntotas verticales en $x = 0$ y $x = 1$ (el numerador vale 1). Los límites laterales tienen signos opuestos.
$lim_{x \to 0^{+}} f = - \infty, lim_{x \to 0^{-}} f = + \infty, lim_{x \to 1^{+}} f = + \infty, lim_{x \to 1^{-}} f = - \infty$
3. Grado del numerador menor que el del denominador: asíntota horizontal $y = 0$ en $\pm \infty$ .
$lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x ^{2} - x} = 0$
Dominio $R ∖ {0, 1}$ ; asíntotas $x = 0$ , $x = 1$ e $y = 0$ .

Apartado b

1. Derivada con la regla del cociente: $f^{'} (x) = - \frac{2 x - 1}{( x ^{2} - x ) ^{2}}$ . El denominador es positivo.
$f^{'} (x) = - \frac{2 x - 1}{( x ^{2} - x ) ^{2}}$
2. El signo de $f^{'}$ es el de $- (2 x - 1)$ : positivo si $x < \frac{1}{2}$ , negativo si $x > \frac{1}{2}$ (excluidos $x = 0$ y $x = 1$ del dominio).
$f^{'} > 0$ en $(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{2})$ ; $f^{'} < 0$ en $(\frac{1}{2}, 1) \cup (1, + \infty)$
Crece en $(- \infty, 0)$ y $(0, \frac{1}{2})$ ; decrece en $(\frac{1}{2}, 1)$ y $(1, + \infty)$ (máximo relativo en $(\frac{1}{2}, - 4)$ ).

Apartado c

1. En $[2, 3]$ , $f > 0$ y no hay asíntotas. Descomponemos en fracciones simples: $\frac{1}{x ( x - 1 )} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}$ .
$A = \int_{2}^{3} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}) d x = [ln ∣ x - 1∣ - ln ∣ x ∣]_{2}^{3}$
2. Evaluamos en los extremos.
$A = (ln 2 - ln 3) - (ln 1 - ln 2) = ln \frac{4}{3} \approx 0, 288$
Área $= ln \frac{4}{3} \approx 0, 288 u^{2}$ .

B.1Opción B10 puntos

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Sea $A$ una matriz cuadrada tal que $A^{2} + 2 A = 3 I$ , donde $I$ es la matriz identidad.

a)Los valores de $a$ y $b$ para los cuales $A^{- 1} = a A + b I$ .
b)Los valores de $α$ y $β$ para los cuales $A^{4} = α A + β I$ .
c)El determinante de la matriz $2 B^{- 1}$ , sabiendo que $B$ es una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante es 2.

Apartado a

1. De $A^{2} + 2 A = 3 I$ sacamos $A$ como factor común.
$A (A + 2 I) = 3 I \Rightarrow A \cdot \frac{A + 2 I}{3} = I$
2. Existe una matriz que multiplicada por $A$ da la identidad: $A$ es invertible y esa matriz es $A^{- 1}$ .
$A^{- 1} = \frac{1}{3} A + \frac{2}{3} I$
$a = \frac{1}{3}, b = \frac{2}{3}$

Apartado b

1. De $A^{2} + 2 A = 3 I$ despejamos $A^{2} = 3 I - 2 A$ . Elevamos al cuadrado para obtener $A^{4} = (A^{2})^{2}$ .
$A^{4} = (3 I - 2 A)^{2} = 9 I - 12 A + 4 A^{2}$
2. Sustituimos de nuevo $A^{2} = 3 I - 2 A$ y reducimos.
$A^{4} = 9 I - 12 A + 4 (3 I - 2 A) = 21 I - 20 A$
$α = - 20, β = 21$

Apartado c

1. Para una matriz de orden $n = 3$ : $∣ k M ∣ = k^{3} ∣ M ∣$ y $∣ M^{- 1} ∣ = \frac{1}{∣ M ∣}$ .
$∣2 B^{- 1} ∣ = 2^{3} \cdot \frac{1}{∣ B ∣} = \frac{8}{2} = 4$
$∣2 B^{- 1} ∣ = 4$

B.2Opción B10 puntos

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Dados el punto $A (5, 7, 3)$ y la recta $r : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{2}$ . Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La recta $s$ que corta a la recta $r$ , pasa por el punto $A$ , y es perpendicular a la recta $r$ .
b)La distancia del punto $A$ a la recta $r$ .
c)La distancia del punto $B (1, 1, 1)$ al plano $π$ que pasa por $(3, - 1, 0)$ y es perpendicular a $r$ .

Distancia de A a r: |AH| = √21

Apartado a

1. Un punto genérico de $r$ es $R_{λ} = (3 - λ, - 1 + 3 λ, 2 λ)$ . El vector desde $A$ es $A R_{λ} = (- 2 - λ, - 8 + 3 λ, - 3 + 2 λ)$ .
$A R_{λ} = (- 2 - λ, 3 λ - 8, 2 λ - 3)$
2. $s$ es perpendicular a $r$ : $A R_{λ} \cdot (- 1, 3, 2) = 0$ .
$(2 + λ) + 3 (3 λ - 8) + 2 (2 λ - 3) = 14 λ - 28 = 0 \Rightarrow λ = 2$
3. El punto de corte es $H (1, 5, 4)$ y la dirección de $s$ es $A H = (- 4, - 2, 1)$ .
$s : \frac{x - 5}{- 4} = \frac{y - 7}{- 2} = \frac{z - 3}{1}$
$s$ pasa por $A$ y $H (1, 5, 4)$ con dirección $(- 4, - 2, 1)$ .

Apartado b

1. La distancia de $A$ a $r$ es la longitud del segmento perpendicular $A H$ hallado antes. También vale $\frac{∣ R A \times d ∣}{∣ d ∣}$ .
$d (A, r) = ∣ A H ∣ = 16 + 4 + 1 = 21$
2. Comprobación con el producto vectorial: $R A = (2, 8, 3)$ y $d = (- 1, 3, 2)$ .
$d (A, r) = \frac{∣ R A \times d ∣}{∣ d ∣} = \frac{∣ ( 7 , - 7 , 14 ) ∣}{14} = \frac{7 6}{14} = 21$
$d (A, r) = 21 \approx 4, 58$

Apartado c

1. El plano perpendicular a $r$ tiene por normal el vector director $(- 1, 3, 2)$ : $- x + 3 y + 2 z + D = 0$ . Pasa por $(3, - 1, 0)$ : $- 3 - 3 + D = 0 \Rightarrow D = 6$ .
$π : - x + 3 y + 2 z + 6 = 0$
2. Distancia de $B (1, 1, 1)$ al plano.
$d (B, π) = \frac{∣ - 1 + 3 + 2 + 6∣}{1 + 9 + 4} = \frac{10}{14} = \frac{5 14}{7}$
$d (B, π) = \frac{5 14}{7} \approx 2, 67$

B.3Opción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se divide un alambre de longitud 100 cm en dos partes. Con una de ellas, de longitud $x$ , se construye un triángulo equilátero y con la otra, de longitud $100 - x$ , se construye un cuadrado.

a)La función de la variable $x$ que expresa la suma de las áreas del triángulo equilátero y del cuadrado, siendo $0 \leq x \leq 100$ .
b)El valor de la variable $x$ en el intervalo $[0, 100]$ para el cual dicha función alcanza su mínimo valor.
c)El valor de la variable $x$ en el intervalo $[0, 100]$ para el cual dicha función alcanza su máximo valor. Interpretar el resultado obtenido.

El alambre de 100 cm se corta en x (triángulo) y 100 − x (cuadrado)

Apartado a

1. Triángulo equilátero con perímetro $x$ : lado $\frac{x}{3}$ y área $\frac{3}{4} ℓ^{2}$ .
$A_{△} = \frac{3}{4} (\frac{x}{3})^{2} = \frac{3}{36} x^{2}$
2. Cuadrado con perímetro $100 - x$ : lado $\frac{100 - x}{4}$ .
$A_{□} = (\frac{100 - x}{4})^{2} = \frac{( 100 - x ) ^{2}}{16}$
3. Sumamos.
$S (x) = \frac{3}{36} x^{2} + \frac{( 100 - x ) ^{2}}{16}, 0 \leq x \leq 100$
$S (x) = \frac{3}{36} x^{2} + \frac{( 100 - x ) ^{2}}{16}$

Apartado b

1. Derivamos e igualamos a cero.
$S^{'} (x) = \frac{3}{18} x - \frac{100 - x}{8} = 0 \Rightarrow x (\frac{3}{18} + \frac{1}{8}) = \frac{100}{8}$
2. Despejamos: $x = \frac{900}{9 + 4 3}$ . Racionalizando, $x = \frac{900 ( 9 - 4 3 )}{33} = \frac{300 ( 9 - 4 3 )}{11}$ . La segunda derivada es positiva ( $S^{''} = \frac{3}{18} + \frac{1}{8} > 0$ ): es un mínimo.
$x = \frac{2700 - 1200 3}{11} \approx 56, 5 cm$
Mínimo en $x = \frac{300 ( 9 - 4 3 )}{11} \approx 56, 5$ cm, con $S \approx 271, 9 cm^{2}$ .

Apartado c

1. $S$ es una parábola con mínimo en el interior; el máximo en $[0, 100]$ está en un extremo. Comparamos.
$S (0) = \frac{10 0 ^{2}}{16} = 625 cm^{2}, S (100) = \frac{3}{36} \cdot 10000 \approx 481, 1 cm^{2}$
2. El mayor valor es $S (0) = 625$ : máximo en $x = 0$ .
$x = 0$
Máximo en $x = 0$ ( $625 cm^{2}$ ).
Interpretación: el área total es máxima cuando todo el alambre se usa para el cuadrado (no se hace triángulo). A igual perímetro el cuadrado encierra más área que el triángulo equilátero.