Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2018 · Extraordinaria 2018

A.1Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Dado el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ x + y = 1 (a - 1) y + z = 0 x + a y + (a - 1) z = a$ , donde $a$ es un parámetro real, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Los valores del parámetro $a$ para los cuales el sistema es compatible.
b)Las soluciones del sistema cuando $a = 1$ .
c)La solución del sistema cuando $a = 0$ .

Apartado a

1. Determinante de la matriz de coeficientes.
$∣ A ∣ = 101 1 a - 1 a 01 a - 1 = (a - 1) (a - 2)$
2. Si $a \neq = 1$ y $a \neq = 2$ , $∣ A ∣ \neq = 0$ y el sistema es compatible determinado.
$a \neq = 1, 2 \Rightarrow rg A = rg (A ∣ b) = 3$
3. Para $a = 1$ : el sistema es $x + y = 1$ , $z = 0$ , $x + y = 1$ . La 3ª repite la 1ª: $rg A = rg (A ∣ b) = 2$ , compatible indeterminado.
$a = 1 : rg A = rg (A ∣ b) = 2$
4. Para $a = 2$ : $x + y = 1$ , $y + z = 0$ , $x + 2 y + z = 2$ . Sumando las dos primeras, $x + 2 y + z = 1 \neq = 2$ : contradicción, $rg A = 2 < 3 = rg (A ∣ b)$ .
$a = 2 : rg A = 2 < 3 = rg (A ∣ b)$
Compatible para $a \neq = 2$ (incompatible solo para $a = 2$ ).

Apartado b

1. Con $a = 1$ queda $z = 0$ y $x + y = 1$ . Tomamos $y = λ$ .
$(x, y, z) = (1 - λ, λ, 0), λ \in R$
Para $a = 1$ : $(1 - λ, λ, 0)$ , $λ \in R$ .

Apartado c

1. Con $a = 0$ ( $∣ A ∣ = 2 \neq = 0$ ): $x + y = 1$ , $- y + z = 0$ , $x - z = 0$ . Entonces $z = y$ y $x = z$ , luego $x = y = z$ .
$x = y = z, x + y = 1 \Rightarrow 2 x = 1$
Para $a = 0$ : $(x, y, z) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

A.2Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

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Se tienen el plano $π : x - y + z - 3 = 0$ , la recta $s : {x - 2 y = 0 z = 0$ y el punto $A (1, 1, 1)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La recta que pasa por $A$ , corta a la recta $s$ y es paralela al plano $π$ .
b)El plano que pasa por $A$ , es perpendicular al plano $π$ y paralelo a la recta $s$ .
c)Discute si el punto $(3, 2, 1)$ está en la recta paralela a $s$ que pasa por $(5, 3, 1)$ .

Apartado a

1. La recta $s$ en paramétricas: $x = 2 t$ , $y = t$ , $z = 0$ . Un punto genérico de $s$ es $Q_{t} = (2 t, t, 0)$ y $A Q_{t} = (2 t - 1, t - 1, - 1)$ .
$d_{s} = (2, 1, 0), A = (1, 1, 1)$
2. La recta buscada es $A Q_{t}$ ; es paralela a $π$ si $A Q_{t} ⊥ n_{π} = (1, - 1, 1)$ .
$(2 t - 1) - (t - 1) - 1 = 0 \Rightarrow t - 1 = 0 \Rightarrow t = 1$
3. Con $t = 1$ : $Q = (2, 1, 0)$ y $A Q = (1, 0, - 1)$ .
$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z - 1}{- 1} ⟺ {y = 1 x + z = 2$
Recta: $(x, y, z) = (1 + λ, 1, 1 - λ)$ .

Apartado b

1. El plano es perpendicular a $π$ y paralelo a $s$ : su normal es perpendicular a $n_{π} = (1, - 1, 1)$ y a $d_{s} = (2, 1, 0)$ .
$n = (1, - 1, 1) \times (2, 1, 0) = (- 1, 2, 3)$
2. Pasa por $A$ : $- x + 2 y + 3 z + D = 0 \Rightarrow - 1 + 2 + 3 + D = 0 \Rightarrow D = - 4$ .
$- x + 2 y + 3 z - 4 = 0 ⟺ x - 2 y - 3 z + 4 = 0$
Plano: $x - 2 y - 3 z + 4 = 0$ .

Apartado c

1. La recta paralela a $s$ por $(5, 3, 1)$ es $(5 + 2 μ, 3 + μ, 1)$ . Buscamos $μ$ con $(5 + 2 μ, 3 + μ, 1) = (3, 2, 1)$ .
$5 + 2 μ = 3 \Rightarrow μ = - 1; 3 + μ = 2 \Rightarrow μ = - 1; z = 1$
2. Las tres coordenadas dan el mismo $μ = - 1$ : el punto sí está en la recta.
$(3, 2, 1) = (5, 3, 1) - 1 \cdot (2, 1, 0)$
Sí: $(3, 2, 1)$ está en la recta paralela a $s$ por $(5, 3, 1)$ .

A.3Opción A10 puntos

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Consideramos la función $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x cos (π x)$ , que depende de los parámetros $a, b, c$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La relación entre los coeficientes $a, b, c$ sabiendo que $f (x)$ toma el valor 22 cuando $x = 1$ .
b)La relación que deben verificar los coeficientes $a, b$ y $c$ para que sea horizontal la recta tangente a la curva $y = f (x)$ en el punto $P$ de dicha curva, sabiendo que la abscisa del punto $P$ es $x = 1$ .
c) $\int_{0}^{1} x cos (π x) d x$

Apartado a

1. Sustituimos $x = 1$ en $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x cos (π x)$ con $cos π = - 1$ .
$f (1) = a + b + c \cdot 1 \cdot (- 1) = a + b - c = 22$
$a + b - c = 22$

Apartado b

1. Derivamos (regla del producto en el último sumando).
$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c cos (π x) - π c x sen (π x)$
2. La tangente es horizontal en $x = 1$ si $f^{'} (1) = 0$ . Como $cos π = - 1$ y $sen π = 0$ , el último término se anula.
$f^{'} (1) = 3 a + 2 b - c - 0 = 0$
$3 a + 2 b - c = 0$

Apartado c

1. Integración por partes: $u = x$ , $d v = cos (π x) d x$ .
$d u = d x, v = \frac{sen ( π x )}{π}$
2. Aplicamos $\int u d v = uv - \int v d u$ y hallamos la primitiva.
$\int x cos (π x) d x = \frac{x sen ( π x )}{π} - \frac{1}{π} \int sen (π x) d x = \frac{x sen ( π x )}{π} + \frac{cos ( π x )}{π ^{2}}$
3. Evaluamos entre 0 y 1 (regla de Barrow): en $x = 1$ , $sen π = 0$ y $cos π = - 1$ ; en $x = 0$ , $sen 0 = 0$ y $cos 0 = 1$ .
$\int_{0}^{1} x cos (π x) d x = (0 - \frac{1}{π ^{2}}) - (0 + \frac{1}{π ^{2}}) = - \frac{2}{π ^{2}}$
$\int_{0}^{1} x cos (π x) d x = - \frac{2}{π ^{2}} \approx - 0, 203$

B.1Opción B10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Resolver los siguientes apartados, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Dadas $A$ y $B$ , matrices cuadradas del mismo orden tales que $A B = A$ y $B A = B$ , deducir que $A^{2} = A$ y $B^{2} = B$ .
b)Dada la matriz $A = (1000)$ , se pide encontrar los parámetros $a, b$ para que la matriz $B = (a 1 0 b)$ cumpla que $B^{2} = B$ pero $A B \neq = A$ y $B A \neq = B$ .
c)Sabiendo que $x y z 123012 = 3$ , obtener razonadamente el valor de los determinantes $2 x 2 y 2 z 123012$ y $x + 1 y + 3 z + 5 123012$ .

Apartado a

1. Usamos las dos igualdades dadas para sustituir. Para $A$ : $A^{2} = A \cdot A = (A B) \cdot A$ (porque $A = A B$ ) $= A (B A) = A \cdot B = A B = A$ .
$A^{2} = (A B) A = A (B A) = A B = A$
2. Para $B$ : $B^{2} = B \cdot B = (B A) \cdot B$ (porque $B = B A$ ) $= B (A B) = B \cdot A = B A = B$ .
$B^{2} = (B A) B = B (A B) = B A = B$
$A^{2} = A$ y $B^{2} = B$ .
Se usa la asociatividad del producto matricial; no hace falta que las matrices conmuten.

Apartado b

1. Calculamos $B^{2}$ y la igualamos a $B$ .
$B^{2} = (a 1 0 b)^{2} = (a^{2} a + b 0 b^{2}) = (a 1 0 b) \Rightarrow a^{2} = a, b^{2} = b, a + b = 1$
2. $a, b \in {0, 1}$ con $a + b = 1$ : dos casos, $(a, b) = (1, 0)$ o $(0, 1)$ . Como $A B = (a 0 00)$ , con $a = 1$ saldría $A B = A$ (no lo queremos). Con $a = 0$ : $A B = 0 \neq = A$ y $B A = (0100) \neq = B$ .
$a = 0, b = 1$
$a = 0, b = 1$

Apartado c

1. Multiplicar una columna por 2 multiplica el determinante por 2.
$2 x 2 y 2 z 123012 = 2 \cdot 3 = 6$
2. En el segundo, la primera columna es $(x, y, z)^{t} + (1, 3, 5)^{t}$ . El determinante es lineal en cada columna, y la columna $(1, 3, 5)^{t}$ es la suma de la 2ª y la 3ª ( $(1, 2, 3) + (0, 1, 2)$ ): dependiente, aporta determinante 0.
$x + 1 y + 3 z + 5 123012 = x y z 123012 + 135123012 = 3 + 0 = 3$
Los determinantes valen $6$ y $3$ .

B.2Opción B10 puntos

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Dada la recta $r : {x + y = 3 x + 4 y - z = 8$ se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ .
b)La ecuación del plano $π$ que es paralelo a $r$ y pasa por los puntos $(5, 0, 1)$ y $(4, 1, 0)$ .
c)La distancia entre la recta $r$ y el plano $π$ obtenido en el apartado anterior.

La recta r es paralela a π: d(r, π) = √2

Apartado a

1. Tomamos $y = λ$ como parámetro. De la 1ª: $x = 3 - λ$ . De la 2ª: $z = x + 4 y - 8$ .
$x = 3 - λ, z = (3 - λ) + 4 λ - 8 = 3 λ - 5$
2. Ecuaciones paramétricas (punto $(3, 0, - 5)$ , dirección $(- 1, 1, 3)$ ).
$r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 3 - λ y = λ z = - 5 + 3 λ$
$x = 3 - λ, y = λ, z = - 5 + 3 λ$

Apartado b

1. El plano contiene el vector $A B$ con $A (5, 0, 1)$ , $B (4, 1, 0)$ y es paralelo a $r$ , luego también contiene la dirección de $r$ .
$A B = (- 1, 1, - 1), d_{r} = (- 1, 1, 3)$
2. Normal: producto vectorial.
$n = (- 1, 1, - 1) \times (- 1, 1, 3) = (4, 4, 0) ∥ (1, 1, 0)$
3. El plano es $x + y + D = 0$ por $A (5, 0, 1)$ : $D = - 5$ . Comprobación con $B$ : $4 + 1 - 5 = 0$ .
$π : x + y - 5 = 0$
$π : x + y = 5$

Apartado c

1. La recta es paralela al plano ( $d_{r} \cdot n = - 1 + 1 + 0 = 0$ ), así que la distancia es la de cualquier punto de $r$ a $π$ . Tomamos $(3, 0, - 5)$ .
$d (r, π) = \frac{∣3 + 0 - 5∣}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 2$
$d (r, π) = 2 \approx 1, 41$

B.3Opción B10 puntos

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Dentro de una cartulina rectangular se desea hacer un dibujo que ocupe un rectángulo $R$ de $600 cm^{2}$ de área de manera que: Por encima y por debajo de $R$ deben quedar unos márgenes de 3 cm de altura cada uno. Los márgenes a izquierda y a derecha de $R$ deben tener una anchura de 2 cm cada uno. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El área de la cartulina en función de la base $x$ del rectángulo $R$ .
b)El valor de $x$ para el cual el área de la cartulina es mínima.
c)Las dimensiones de dicha cartulina de área mínima.

Cartulina de área mínima: R mide 20 × 30 y los márgenes son 2 cm y 3 cm

Apartado a

1. El rectángulo $R$ tiene base $x$ y área 600, luego su altura es $\frac{600}{x}$ . La cartulina añade 2 cm a cada lado (4 en total en horizontal) y 3 cm arriba y abajo (6 en vertical).
$base = x + 4, altura = \frac{600}{x} + 6$
2. Área de la cartulina.
$A (x) = (x + 4) (\frac{600}{x} + 6) = 600 + 6 x + \frac{2400}{x} + 24 = 6 x + \frac{2400}{x} + 624, x > 0$
$A (x) = 6 x + \frac{2400}{x} + 624$

Apartado b

1. Derivamos e igualamos a cero.
$A^{'} (x) = 6 - \frac{2400}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow x^{2} = 400 \Rightarrow x = 20$ (solo vale la positiva)
2. Es un mínimo: $A^{''} (x) = \frac{4800}{x ^{3}} > 0$ para $x > 0$ (o: $A^{'} < 0$ si $x < 20$ y $A^{'} > 0$ si $x > 20$ ).
$A^{''} (20) = \frac{4800}{8000} = 0, 6 > 0$
$x = 20 cm$

Apartado c

1. Con $x = 20$ el rectángulo $R$ mide $20 \times 30$ . La cartulina mide:
$base = 20 + 4 = 24 cm, altura = 30 + 6 = 36 cm$
Cartulina de $24 \times 36$ cm, de área mínima $864 cm^{2}$ .