Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2016 · Ordinaria 2016

A.1Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Se da el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ a x - z = a 2 x + a y + z = 1 2 x + z = 2$ , donde $a$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Los valores del parámetro $a$ para los cuales el sistema es incompatible.
b)Todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado.
c)La solución del sistema cuando $a = - 1$ .

Apartado a

1. Determinante de la matriz de coeficientes (desarrollo por la 2ª columna, que solo tiene el elemento $a$ ).
$a 22 0 a 0 - 1 11 = a a 2 - 1 1 = a (a + 2)$
2. Se anula para $a = 0$ y $a = - 2$ . Para $a = 0$ el sistema es $- z = 0$ , $2 x + z = 1$ , $2 x + z = 2$ : las dos últimas se contradicen.
$a = 0 : rg A = 2 < 3 = rg (A ∣ b)$
3. Para $a = - 2$ : $- 2 x - z = - 2$ , $2 x - 2 y + z = 1$ , $2 x + z = 2$ . La 1ª y la 3ª son la misma ecuación, así que no hay contradicción: $rg A = rg (A ∣ b) = 2$ .
$a = - 2 : rg A = rg (A ∣ b) = 2 < 3$
Incompatible solo para $a = 0$ .

Apartado b

1. Compatible indeterminado: $a = - 2$ . Sustituimos: la 3ª ecuación da $z = 2 - 2 x$ ; la 2ª, $2 x - 2 y + (2 - 2 x) = 1$ .
$z = 2 - 2 x, 2 - 2 y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$
2. Tomamos $x = λ$ como parámetro.
$(x, y, z) = (λ, \frac{1}{2}, 2 - 2 λ), λ \in R$
Soluciones para $a = - 2$ : $(λ, \frac{1}{2}, 2 - 2 λ)$ .

Apartado c

1. Con $a = - 1$ el determinante vale $- 1 \neq = 0$ : compatible determinado. El sistema es $- x - z = - 1$ , $2 x - y + z = 1$ , $2 x + z = 2$ .
$x + z = 1, 2 x + z = 2$
2. Restando las dos primeras igualdades: $x = 1$ y $z = 0$ . En la 2ª ecuación: $2 - y + 0 = 1$ .
$x = 1, z = 0, y = 1$
Solución para $a = - 1$ : $(x, y, z) = (1, 1, 0)$ .

A.2Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Se dan las rectas $r : {x - 2 y + z + 3 = 0 3 x + y - z + 1 = 0$ y $s : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 y = 2 α z = α - 2$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La recta paralela a $r$ que pasa por el punto $(0, 1, 0)$ .
b)El plano $π$ que contiene a la recta $r$ y es paralelo a $s$ .
c)La distancia entre las rectas $r$ y $s$ .

Apartado a

1. La dirección de $r$ es el producto vectorial de las normales de sus dos planos: $d_{r} = (1, - 2, 1) \times (3, 1, - 1)$ .
$d_{r} = i 13 j - 2 1 k 1 - 1 = (1, 4, 7)$
2. La paralela a $r$ por $(0, 1, 0)$ tiene esa misma dirección.
$\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z}{7}$
Recta paralela: $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z}{7}$ .

Apartado b

1. Un punto de $r$ : con $x = - 1$ salen $y = 0$ , $z = - 2$ (comprobación: $- 1 - 0 - 2 + 3 = 0$ y $- 3 + 0 + 2 + 1 = 0$ ). La dirección de $s$ es $d_{s} = (0, 2, 1)$ .
$P_{r} = (- 1, 0, - 2), d_{r} = (1, 4, 7), d_{s} = (0, 2, 1)$
2. El plano $π$ contiene a $r$ y es paralelo a $s$ : su normal es perpendicular a ambas direcciones.
$n = d_{r} \times d_{s} = (1, 4, 7) \times (0, 2, 1) = (- 10, - 1, 2) ∥ (10, 1, - 2)$
3. Imponemos que pase por $P_{r}$ : $10 (x + 1) + y - 2 (z + 2) = 0$ .
$π : 10 x + y - 2 z + 6 = 0$
$π : 10 x + y - 2 z + 6 = 0$ .

Apartado c

1. Las rectas no son paralelas ( $d_{r} \neq ∥ d_{s}$ ). Como $s ∥ π$ y $r \subset π$ , la distancia entre las rectas es la distancia de cualquier punto de $s$ al plano $π$ . Punto de $s$ : $P_{s} = (1, 0, - 2)$ .
$d (r, s) = d (P_{s}, π) = \frac{∣10 \cdot 1 + 0 - 2 ( - 2 ) + 6∣}{100 + 1 + 4} = \frac{20}{105}$
2. Comprobación con el producto mixto: $P_{r} P_{s} = (2, 0, 0)$ .
$d (r, s) = \frac{P _{r} P _{s} \cdot ( d _{r} \times d _{s} )}{∣ d _{r} \times d _{s} ∣} = \frac{∣ - 20∣}{105} = \frac{4 105}{21} \approx 1, 95$
$d (r, s) = \frac{4 105}{21} \approx 1, 95$ u.

A.3Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Se da la función $f$ definida por $f (x) = \frac{1}{x ^{2} - 5 x + 6}$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Dominio y asíntotas de la función $f$ .
b)Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$ .
c)La integral $\int f (x) d x$ .
d)El valor de $a > 4$ para el que el área de la superficie limitada por la curva $y = f (x)$ y las rectas $y = 0$ , $x = 4$ y $x = a$ es $ln (3/2)$ .

f(x) = 1/(x² − 5x + 6): asíntotas x = 2 y x = 3

Apartado a

1. Factorizamos el denominador: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ . Dominio: $R ∖ {2, 3}$ .
$Dom f = R ∖ {2, 3}$
2. En $x = 2$ y $x = 3$ el denominador se anula con numerador 1: asíntotas verticales. En el infinito $f \to 0$ .
$lim_{x \to 2^{\pm}} f = \mp \infty, lim_{x \to 3^{\pm}} f = \pm \infty, lim_{x \to \pm \infty} f = 0$
Asíntotas verticales $x = 2$ , $x = 3$ y horizontal $y = 0$ .

Apartado b

1. Derivada.
$f^{'} (x) = - \frac{2 x - 5}{( x ^{2} - 5 x + 6 ) ^{2}}$
2. El denominador es positivo; el signo es el de $5 - 2 x$ . En $x = 5/2$ la derivada se anula y cambia de $+$ a $-$ : máximo relativo, $f (5/2) = - 4$ .
Crece en $(- \infty, 2)$ y $(2, \frac{5}{2})$ ; decrece en $(\frac{5}{2}, 3)$ y $(3, + \infty)$ .
Máximo relativo en $(\frac{5}{2}, - 4)$ .

Apartado c

1. Descomposición en fracciones simples: $\frac{1}{( x - 2 ) ( x - 3 )} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3}$ con $A = - 1$ , $B = 1$ .
$f (x) = \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 2}$
2. Integramos término a término.
$\int f (x) d x = ln ∣ x - 3∣ - ln ∣ x - 2∣ + C = ln \frac{x - 3}{x - 2} + C$
$\int f d x = ln \frac{x - 3}{x - 2} + C$

Apartado d

1. Para $a > 4$ la función es positiva ( $x > 3$ ), así que el área es la integral. Barrow.
$\int_{4}^{a} f d x = ln \frac{a - 3}{a - 2} - ln \frac{1}{2} = ln \frac{2 ( a - 3 )}{a - 2}$
2. Igualamos a $ln \frac{3}{2}$ y despejamos.
$\frac{2 ( a - 3 )}{a - 2} = \frac{3}{2} \Rightarrow 4 a - 12 = 3 a - 6 \Rightarrow a = 6$
$a = 6$

B.1Opción B10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se da la matriz $A = 500012 0 - 2 1$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La comprobación de que $A^{- 1} = \frac{1}{5} A^{t}$ , siendo $A^{t}$ la matriz traspuesta de $A$ .
b)Los valores del parámetro real $λ$ para los cuales $A - λ I$ no es invertible, siendo $I$ la matriz identidad de orden 3.
c)El determinante de una matriz cuadrada $B$ cuyo determinante es mayor que 0 y verifica la ecuación $B^{- 1} = B^{t}$ .

Apartado a

1. Comprobamos que $A \cdot A^{t} = 5 I$ (las filas de $A$ tienen módulo $^{2}$ 5 y son ortogonales entre sí).
$A \cdot A^{t} = 500012 0 - 2 1 500 01 - 2 021 = 500050005 = 5 I$
2. Dividiendo por 5 la igualdad $A \cdot A^{t} = 5 I$ , la matriz $\frac{1}{5} A^{t}$ es la inversa de $A$ .
$A \cdot (\frac{1}{5} A^{t}) = I \Rightarrow A^{- 1} = \frac{1}{5} A^{t} = 5^{- 1} A^{t}$
Se cumple $A^{- 1} = 5^{- 1} A^{t}$ .

Apartado b

1. $A - λ I$ no es invertible si su determinante es cero. Desarrollamos por la 1ª fila.
$∣ A - λ I ∣ = (5 - λ) 1 - λ 2 - 2 1 - λ = (5 - λ) [(1 - λ)^{2} + 4]$
2. El corchete es siempre $\geq 4 > 0$ (suma de un cuadrado y 4), así que no tiene raíces reales. Solo se anula el primer factor.
$λ = 5$
El único valor real es $λ = 5$ .

Apartado c

1. De $B^{- 1} = B^{t}$ se obtiene $B \cdot B^{t} = I$ . Tomando determinantes y usando $∣ B^{t} ∣ = ∣ B ∣$ :
$∣ B ∣ \cdot ∣ B^{t} ∣ = ∣ B ∣^{2} = ∣ I ∣ = 1 \Rightarrow ∣ B ∣ = \pm 1$
2. Como el enunciado dice que $∣ B ∣ > 0$ , descartamos $- 1$ .
$∣ B ∣ = 1$
$∣ B ∣ = 1$ .

B.2Opción B10 puntos

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Se da el plano $π : 6 x + 3 y + 2 z - 12 = 0$ y los puntos $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ y $C (0, 0, 3)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La ecuación implícita del plano $σ$ que pasa por los puntos $A$ , $B$ y $C$ , y la posición relativa de los planos $σ$ y $π$ .
b)El área del triángulo de vértices $A$ , $B$ y $C$ .
c)Un punto $P$ del plano $π$ y el volumen del tetraedro cuyos vértices son $P$ , $A$ , $B$ y $C$ .

Tetraedro PABC: P en π, paralelo al plano ABC (altura 6/7)

Apartado a

1. Con los puntos $A (1, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ , $C (0, 0, 3)$ el plano en forma de segmentos es $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ ; multiplicando por 6:
$σ : 6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0$
2. Comparamos con $π : 6 x + 3 y + 2 z - 12 = 0$ : normales iguales y términos independientes distintos.
$\frac{6}{6} = \frac{3}{3} = \frac{2}{2} \neq = \frac{- 6}{- 12}$
Los planos son paralelos y distintos.

Apartado b

1. $A B = (- 1, 2, 0)$ y $A C = (- 1, 0, 3)$ .
$A B \times A C = (6, 3, 2), ∣ \cdot ∣ = 36 + 9 + 4 = 7$
2. Área: la mitad del módulo.
$\overset{ˊ}{A} rea = \frac{7}{2}$
Área $= \frac{7}{2} = 3, 5 u^{2}$

Apartado c

1. Elegimos un punto de $π$ : por ejemplo $P (2, 0, 0)$ ( $6 \cdot 2 = 12$ ). Como $π ∥ σ$ , cualquier punto de $π$ está a la misma distancia del plano $A B C$ .
$d (P, σ) = \frac{∣12 - 6∣}{7} = \frac{6}{7}$
2. Volumen: un tercio de la base por la altura.
$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{6}{7} = 1$
$P (2, 0, 0)$ y $V = 1 u^{3}$ (vale lo mismo para cualquier $P \in π$ ).

B.3Opción B10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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3 resultados comprobados en 3 apartados
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Cada día, una planta productora de acero vende $x$ toneladas de acero de baja calidad e $y$ toneladas de acero de alta calidad. Por restricciones del sistema de producción debe suceder que $y = \frac{23 - 5 x}{10 - x}$ , siendo $0 < x < \frac{23}{5}$ . El precio de una tonelada de acero de alta calidad es de 900 euros y el precio de una tonelada de acero de baja calidad es de 300 euros. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Los ingresos obtenidos en un día en función de $x$ .
b)Cuántas toneladas de cada tipo de acero se deben vender en un día para que los ingresos obtenidos ese día sean máximos.
c)El ingreso máximo que se puede obtener por las ventas de acero en un día.

Ingresos diarios: máximo de 2100 € en x = 1

Apartado a

1. Ingresos $= 300 x + 900 y$ (precio por tonelada por toneladas vendidas), con $y = \frac{23 - 5 x}{10 - x}$ .
$I (x) = 300 x + 900 \cdot \frac{23 - 5 x}{10 - x}, 0 < x < \frac{23}{5}$
$I (x) = 300 x + \frac{900 ( 23 - 5 x )}{10 - x}$

Apartado b

1. Derivada: $\frac{d}{d x} \frac{23 - 5 x}{10 - x} = \frac{- 5 ( 10 - x ) + ( 23 - 5 x )}{( 10 - x ) ^{2}} = \frac{- 27}{( 10 - x ) ^{2}}$ .
$I^{'} (x) = 300 - \frac{24300}{( 10 - x ) ^{2}}$
2. Igualamos a cero: $(10 - x)^{2} = 81$ . Con $0 < x < \frac{23}{5}$ solo vale $10 - x = 9$ .
$x = 1$
$x = 1$ ; $y = \frac{23 - 5}{9} = 2$ t de alta calidad
Es máximo: $I^{'} > 0$ si $x < 1$ y $I^{'} < 0$ si $x > 1$ (o $I^{''} (1) = - \frac{48600}{729} < 0$ ).

Apartado c

1. Ingresos con $x = 1$ , $y = 2$ .
$I (1) = 300 \cdot 1 + 900 \cdot 2 = 2100$
$I_{m a x} = 2100$ €/día