Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2015 · Ordinaria 2015

A.1Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Se dan las matrices $A = (12 - 3 2)$ y $B = (12 3 - 2)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La matriz inversa de la matriz $A$ .
b)Las matrices $X$ e $Y$ de orden $2 \times 2$ tales que $X A = B$ y $A Y = B$ (2 + 2 puntos).
c)Justificar razonadamente que si $M$ es una matriz cuadrada tal que $M^{2} = I$ , donde $I$ es la matriz identidad del mismo orden que $M$ , entonces se verifica la igualdad $M^{3} = M^{7}$ .

Apartado a

1. Determinante de $A$ .
$∣ A ∣ = 1 \cdot 2 - (- 3) \cdot 2 = 2 + 6 = 8 \neq = 0$
$A$ es invertible.
2. La inversa de una matriz $2 \times 2$ se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal, cambiando de signo los otros dos y dividiendo entre el determinante.
$A^{- 1} = \frac{1}{8} (2 - 2 31) = (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \frac{3}{8} \frac{1}{8})$
$A^{- 1} = (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \frac{3}{8} \frac{1}{8})$
Comprobación: $A \cdot A^{- 1} = \frac{1}{8} (2 + 6 4 - 4 3 - 3 6 + 2) = I$ .

Apartado b

1. $X A = B$ : multiplicamos por $A^{- 1}$ por la derecha (el orden importa): $X = B A^{- 1}$ .
$X = (12 3 - 2) \frac{1}{8} (2 - 2 31) = \frac{1}{8} (2 - 6 4 + 4 3 + 3 6 - 2) = \frac{1}{8} (- 4 8 64)$
$X = (- \frac{1}{2} 1 \frac{3}{4} \frac{1}{2})$
2. $A Y = B$ : multiplicamos por $A^{- 1}$ por la izquierda: $Y = A^{- 1} B$ .
$Y = \frac{1}{8} (2 - 2 31) (12 3 - 2) = \frac{1}{8} (2 + 6 - 2 + 2 6 - 6 - 6 - 2) = \frac{1}{8} (80 0 - 8)$
$Y = (10 0 - 1)$
Comprobación: $X A = B$ y $A Y = B$ se cumplen al multiplicar.

Apartado c

1. Si $M^{2} = I$ , entonces $M^{3} = M \cdot M^{2} = M \cdot I = M$ .
$M^{3} = M M^{2} = M I = M$
2. Y $M^{7} = M \cdot (M^{2})^{3} = M \cdot I^{3} = M \cdot I = M$ (agrupamos los seis factores restantes de tres en tres).
$M^{7} = M (M^{2})^{3} = M I = M$
$M^{3} = M = M^{7}$ , luego $M^{3} = M^{7}$ .
Es decir, las potencias impares coinciden con $M$ y las pares con $I$ .

A.2Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
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Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La ecuación del plano $π$ que pasa por el punto $P (2, 0, 1)$ y es perpendicular a la recta $r : {x + 2 y = 0 z = 0$ .
b)Las coordenadas del punto $Q$ situado en la intersección de la recta $r$ y del plano $π$ .
c)La distancia del punto $P$ a la recta $r$ (3 puntos), y justificar razonadamente que la distancia del punto $P$ a un punto cualquiera de la recta $r$ es mayor o igual que $\frac{3 5}{5}$ (2 puntos).

Apartado a

1. La recta $r$ es $x = - 2 y$ , $z = 0$ : con $y = t$ se obtiene $(- 2 t, t, 0)$ , director $d_{r} = (- 2, 1, 0)$ . El plano perpendicular a $r$ tiene esa normal.
$- 2 x + y + D = 0, P (2, 0, 1) : - 4 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = 4$
$π : - 2 x + y + 4 = 0 ⟺ 2 x - y - 4 = 0$
Comprobación: $P$ : $4 - 0 - 4 = 0$ ✓. Se puede usar también como normal $(2, - 1, 0)$ .

Apartado b

1. Sustituimos los puntos de $r$ , $(- 2 t, t, 0)$ , en la ecuación del plano.
$2 (- 2 t) - t - 4 = 0 \Rightarrow - 5 t = 4 \Rightarrow t = - \frac{4}{5}$
$Q = (\frac{8}{5}, - \frac{4}{5}, 0)$
Comprobación en $r$ : $\frac{8}{5} + 2 (- \frac{4}{5}) = 0$ ✓.

Apartado c

1. $P Q$ es perpendicular a $r$ , así que $d (P, r) = ∣ P Q ∣$ . $QP = (2 - \frac{8}{5}, \frac{4}{5}, 1) = (\frac{2}{5}, \frac{4}{5}, 1)$ .
$d (P, r) = \frac{4}{25} + \frac{16}{25} + 1 = \frac{45}{25} = \frac{3}{5} = \frac{3 5}{5}$
$d (P, r) = \frac{3 5}{5} \approx 1, 34$
Con la fórmula del producto vectorial se obtiene lo mismo.
2. Justificación: sea $X$ un punto cualquiera de $r$ . El segmento $QX$ está sobre $r$ y es perpendicular a $P Q$ , así que por Pitágoras $∣ P X ∣^{2} = ∣ P Q ∣^{2} + ∣ QX ∣^{2} \geq ∣ P Q ∣^{2}$ .
$∣ P X ∣^{2} = ∣ P Q ∣^{2} + ∣ QX ∣^{2} \geq ∣ P Q ∣^{2} = \frac{9}{5}$
$∣ P X ∣ \geq \frac{3 5}{5}$ para todo punto $X$ de $r$ (con igualdad solo en $X = Q$ ).
Es decir, la distancia de un punto a una recta es la menor de las distancias a sus puntos.

A.3Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
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Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función real $f$ definida por $f (x) = (x - 1) (x - 3)$ , siendo $x$ un número real.
b)El área del recinto acotado limitado entre las curvas $y = (x - 1) (x - 3)$ e $y = - (x - 1) (x - 3)$ .
c)El valor positivo de $a$ para el cual el área limitada entre la curva $y = a (x - 1) (x - 3)$ , el eje $Y$ y el segmento que une los puntos $(0, 0)$ y $(1, 0)$ es $4/3$ .

Recinto entre y = (x−1)(x−3) e y = −(x−1)(x−3): área 8/3

Apartado a

1. Desarrollamos: $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ . Derivada y signo.
$f^{'} (x) = 2 x - 4 = 0 ⟺ x = 2$
$f$ decrece en $(- \infty, 2)$ y crece en $(2, + \infty)$ (mínimo en $x = 2$ , $f (2) = - 1$ )
Es una parábola con las ramas hacia arriba y vértice en $(2, - 1)$ .

Apartado b

1. Las dos curvas son simétricas respecto al eje $X$ . Se cortan donde $(x - 1) (x - 3) = - (x - 1) (x - 3)$ , es decir, donde $(x - 1) (x - 3) = 0$ .
$x = 1, x = 3$
2. En $(1, 3)$ , $f (x) = (x - 1) (x - 3) < 0$ , así que $y = - (x - 1) (x - 3)$ está por encima. El área es la integral de la diferencia.
$\overset{ˊ}{A} rea = \int_{1}^{3} [- (x - 1) (x - 3) - (x - 1) (x - 3)] d x = 2 \int_{1}^{3} (- x^{2} + 4 x - 3) d x$
3. Primitiva y regla de Barrow.
$2 [- \frac{x ^{3}}{3} + 2 x^{2} - 3 x]_{1}^{3} = 2 [(- 9 + 18 - 9) - (- \frac{1}{3} + 2 - 3)] = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$
Área $= \frac{8}{3} u^{2}$

Apartado c

1. Entre $x = 0$ y $x = 1$ la curva $y = a (x - 1) (x - 3)$ es positiva (con $a > 0$ : $(x - 1) < 0$ y $(x - 3) < 0$ ), y el recinto limitado por la curva, el eje $Y$ y el segmento $[0, 1]$ del eje $X$ tiene por área la integral entre $0$ y $1$ .
$\int_{0}^{1} a (x^{2} - 4 x + 3) d x = a [\frac{x ^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x]_{0}^{1} = a (\frac{1}{3} - 2 + 3) = \frac{4 a}{3}$
2. Igualamos al área pedida.
$\frac{4 a}{3} = \frac{4}{3}$
$a = 1$

B.1Opción B10 puntos

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Se da el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ (1 - α) x + (2 α + 1) y + (2 α + 2) z = α α x + α y = 2 α + 2 2 x + (α + 1) y + (α - 1) z = α^{2} - 2 α + 9$ , donde $α$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Todas las soluciones del sistema cuando $α = 1$ .
b)La justificación razonada de si el sistema es compatible o incompatible cuando $α = 2$ .
c)Los valores de $α$ para los que el sistema es compatible y determinado.

Apartado a

1. Con $α = 1$ : $3 y + 4 z = 1$ , $x + y = 4$ , $2 x + 2 y = 8$ . La tercera ecuación es el doble de la segunda, así que sobra una. De $x + y = 4$ y $3 y + 4 z = 1$ :
$y = \frac{1 - 4 z}{3}, x = 4 - y = \frac{11 + 4 z}{3}$
2. Tomamos $z = 3 μ$ para evitar fracciones.
$(x, y, z) = (\frac{11}{3} + 4 μ, \frac{1}{3} - 4 μ, 3 μ), μ \in R$
Infinitas soluciones (rango 2 en las dos matrices).
Comprobación en la primera ecuación: $0 \cdot x + 3 (\frac{1}{3} - 4 μ) + 4 \cdot 3 μ = 1$ ✓.

Apartado b

1. Con $α = 2$ : $- x + 5 y + 6 z = 2$ , $2 x + 2 y = 6$ , $2 x + 3 y + z = 9$ . El rango de $A$ es 2: $∣ A ∣ = 0$ y el menor $- 1 2 52 = - 12 \neq = 0$ . Orlamos con los términos independientes $(2, 6, 9)$ (columnas 1, 2 y 4):
$- 1 22 523269 = - 1 (18 - 18) - 5 (18 - 12) + 2 (6 - 4) = 0 - 30 + 4 = - 26 \neq = 0$
$rg A = 2 < 3 = rg (A ∣ B)$ : incompatible.

Apartado c

1. El sistema es compatible determinado cuando el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. Desarrollamos por la segunda fila.
$∣ A ∣ = - α 2 α + 1 α + 1 2 α + 2 α - 1 + α 1 - α 2 2 α + 2 α - 1 = - α (- 5 α - 3) + α (- α^{2} - 2 α - 5)$
2. Simplificamos y factorizamos.
$∣ A ∣ = - α^{3} + 3 α^{2} - 2 α = - α (α - 1) (α - 2)$
Compatible determinado $⟺ α \in / {0, 1, 2}$
Para $α = 0$ la segunda ecuación es $0 = 2$ : incompatible. Para $α = 1$ indeterminado y para $α = 2$ incompatible.

B.2Opción B10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se dan las rectas $r : {x - y + 3 = 0 2 x - z + 2 = 0$ y $s : {3 y + 1 = 0 x - 2 z - 3 = 0$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El plano paralelo a la recta $s$ que contiene a la recta $r$ .
b)La recta $t$ que pasa por el punto $(0, 0, 0)$ , sabiendo que un vector director de $t$ es perpendicular a un vector director de $r$ y también es perpendicular a un vector director de $s$ .
c)Averiguar razonadamente si existe o no un plano perpendicular a $s$ que contenga a la recta $r$ .

Apartado a

1. Director de $r$ : producto vectorial de las normales $(1, - 1, 0)$ y $(2, 0, - 1)$ . Punto: con $x = 0$ , $y = 3$ y $z = 2$ .
$d_{r} = (1, - 1, 0) \times (2, 0, - 1) = (1 - 0, 0 + 1, 0 + 2) = (1, 1, 2), R = (0, 3, 2) \in r$
2. Director de $s$ : con $y = - \frac{1}{3}$ y $x = 2 z + 3$ , tomando $z = u$ : $(3 + 2 u, - \frac{1}{3}, u)$ . Director $d_{s} = (2, 0, 1)$ .
$d_{s} = (2, 0, 1), S = (3, - \frac{1}{3}, 0) \in s$
3. El plano contiene a $r$ (pasa por $R$ y admite $d_{r}$ ) y es paralelo a $s$ (admite $d_{s}$ ). Normal: $d_{r} \times d_{s}$ .
$n = (1, 1, 2) \times (2, 0, 1) = (1 - 0, 4 - 1, 0 - 2) = (1, 3, - 2)$
4. Ecuación $x + 3 y - 2 z + D = 0$ por $R (0, 3, 2)$ : $0 + 9 - 4 + D = 0$ .
$D = - 5$
$π : x + 3 y - 2 z - 5 = 0$
Comprobación: contiene a $r$ (el director cumple $1 + 3 - 4 = 0$ ) y es paralelo a $s$ ( $2 + 0 - 2 = 0$ ).

Apartado b

1. La dirección de $t$ debe ser perpendicular a $d_{r}$ y a $d_{s}$ : es $d_{r} \times d_{s} = (1, 3, - 2)$ . Como pasa por el origen:
$t : (x, y, z) = λ (1, 3, - 2) ⟺ x = \frac{y}{3} = \frac{z}{- 2}$
$t : ⎩ ⎨ ⎧ x = λ y = 3 λ z = - 2 λ$

Apartado c

1. Un plano perpendicular a $s$ tiene como normal $d_{s} = (2, 0, 1)$ . Para que contenga a la recta $r$ , el director de $r$ debe ser perpendicular a esa normal: $d_{r} \cdot d_{s} = 0$ .
$d_{r} \cdot d_{s} = (1, 1, 2) \cdot (2, 0, 1) = 2 + 0 + 2 = 4 \neq = 0$
No existe ningún plano perpendicular a $s$ que contenga a $r$ .
Equivalente: $r$ no es perpendicular a la normal del plano, así que no puede estar contenida en él.

B.3Opción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

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3 resultados comprobados en 3 apartados
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Un pueblo está situado en el punto $A (0, 4)$ de un sistema de referencia cartesiano. El tramo de un río situado en el término municipal del pueblo describe la curva $y = \frac{x ^{2}}{4}$ , siendo $- 6 \leq x \leq 6$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La distancia entre un punto $P (x, y)$ del río y el pueblo en función de la abscisa $x$ de $P$ .
b)El punto o puntos del tramo del río situados a distancia mínima del pueblo.
c)El punto o puntos del tramo del río situados a distancia máxima del pueblo.

Río y = x²/4 y pueblo A(0, 4): mínimos y máximos de la distancia

Apartado a

1. Un punto del río es $P = (x, \frac{x ^{2}}{4})$ . Distancia a $A (0, 4)$ .
$d (x) = x^{2} + (\frac{x ^{2}}{4} - 4)^{2} = x^{2} + \frac{x ^{4}}{16} - 2 x^{2} + 16$
$d (x) = \frac{x ^{4}}{16} - x^{2} + 16, x \in [- 6, 6]$

Apartado b

1. Como la raíz es creciente, minimizamos $D (x) = d (x)^{2} = \frac{x ^{4}}{16} - x^{2} + 16$ .
$D^{'} (x) = \frac{x ^{3}}{4} - 2 x = \frac{x}{4} (x^{2} - 8) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm 22$
2. Clasificamos con $D^{''} (x) = \frac{3 x ^{2}}{4} - 2$ : en $x = \pm 22$ vale $4 > 0$ (mínimos); en $x = 0$ vale $- 2 < 0$ (máximo relativo).
$D (\pm 22) = \frac{64}{16} - 8 + 16 = 12, y = \frac{( 2 2 ) ^{2}}{4} = 2$
Distancia mínima $d = 12 = 23 \approx 3, 46$ en $P = (\pm 22, 2)$

Apartado c

1. El máximo absoluto está entre los puntos críticos y los extremos del intervalo $x = \pm 6$ : $D (0) = 16$ , $D (\pm 22) = 12$ y $D (\pm 6) = 81 - 36 + 16 = 61$ .
$D (\pm 6) = 61 > D (0) = 16 > D (\pm 22) = 12$
Distancia máxima $d = 61 \approx 7, 81$ en $P = (\pm 6, 9)$
Los puntos $(\pm 6, 9)$ son los extremos del tramo de río.