Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2013 · Ordinaria 2013

A.1Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Se tiene el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ 2 x + 5 y = a - x - 4 y = b 2 x + y = c$ , donde $a$ , $b$ y $c$ son tres números reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La relación que deben verificar los números $a$ , $b$ y $c$ para que el sistema sea compatible.
b)La solución del sistema cuando $a = - 1$ , $b = 2$ y $c = 3$ .
c)La solución del sistema cuando los números $a$ , $b$ y $c$ verifican la relación $a = c = - 2 b$ .

Apartado a

1. La matriz de coeficientes $A$ es de $3 \times 2$ y tiene rango 2 (el menor $2 - 1 5 - 4 = - 8 + 5 = - 3 \neq = 0$ ). El sistema es compatible si la ampliada también tiene rango 2, es decir, si su determinante $3 \times 3$ es nulo.
$2 - 1 2 5 - 4 1 a b c = 0$
2. Desarrollamos por la tercera columna.
$a - 1 2 - 4 1 - b 2251 + c 2 - 1 5 - 4 = a (- 1 + 8) - b (2 - 10) + c (- 8 + 5) = 7 a + 8 b - 3 c$
Compatible $⟺ 7 a + 8 b - 3 c = 0$

Apartado b

1. Con $a = - 1$ , $b = 2$ , $c = 3$ : $7 (- 1) + 8 \cdot 2 - 3 \cdot 3 = - 7 + 16 - 9 = 0$ , luego es compatible. Resolvemos con las dos primeras ecuaciones: $2 x + 5 y = - 1$ , $- x - 4 y = 2$ , de donde $x = - 4 y - 2$ .
$2 (- 4 y - 2) + 5 y = - 1 \Rightarrow - 3 y = 3 \Rightarrow y = - 1, x = - 4 (- 1) - 2 = 2$
$(x, y) = (2, - 1)$
Comprobación en la tercera: $2 \cdot 2 - 1 = 3 = c$ .

Apartado c

1. Si $a = c = - 2 b$ , la relación se cumple para todo $b$ : $7 (- 2 b) + 8 b - 3 (- 2 b) = - 14 b + 8 b + 6 b = 0$ . Resolvemos con las dos primeras: $2 x + 5 y = - 2 b$ y $- x - 4 y = b$ , de donde $x = - 4 y - b$ .
$2 (- 4 y - b) + 5 y = - 2 b \Rightarrow - 3 y = 0 \Rightarrow y = 0, x = - b$
$(x, y) = (- b, 0)$
Tercera ecuación: $2 (- b) + 0 = - 2 b = c$ ✓.
2. Como el rango es 2 (igual al número de incógnitas), la solución es única para cada $b$ .
Para cada $b \in R$ : $(x, y) = (- b, 0)$ .

A.2Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Sean $O = (0, 0, 0)$ , $A = (1, 0, 1)$ , $B = (2, 1, 0)$ y $C = (0, 2, 3)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El área del triángulo de vértices $O$ , $A$ y $B$ (3 puntos) y el volumen del tetraedro de vértices $O$ , $A$ , $B$ y $C$ (2 puntos).
b)La distancia del vértice $C$ al plano que contiene al triángulo $O A B$ .
c)La distancia del punto $C^{'}$ al plano que contiene al triángulo $O A B$ , siendo $C^{'}$ el punto medio del segmento de extremos $O$ y $C$ .

Apartado a

1. El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados: $O A = (1, 0, 1)$ , $O B = (2, 1, 0)$ .
$O A \times O B = i 12 j 01 k 10 = (0 - 1, 2 - 0, 1 - 0) = (- 1, 2, 1)$
2. Área.
$S = \frac{1}{2} ∣ (- 1, 2, 1) ∣ = \frac{6}{2}$
Área del triángulo $O A B = \frac{6}{2} \approx 1, 22$
3. El volumen del tetraedro es un sexto del valor absoluto del producto mixto $[O A, O B, O C]$ , con $O C = (0, 2, 3)$ .
$V = \frac{1}{6} 120012103 = \frac{1}{6} ∣3 + 4∣ = \frac{7}{6}$
$V = \frac{7}{6} \approx 1, 17$
Equivalente: $(O A \times O B) \cdot O C = (- 1, 2, 1) \cdot (0, 2, 3) = 7$ .

Apartado b

1. El plano $O A B$ tiene normal $(- 1, 2, 1)$ y pasa por el origen: $- x + 2 y + z = 0$ . Distancia de $C = (0, 2, 3)$ .
$d (C, π) = \frac{∣ - 0 + 4 + 3∣}{1 + 4 + 1} = \frac{7}{6} = \frac{7 6}{6}$
$d = \frac{7 6}{6} \approx 2, 86$
Comprobación con la fórmula del volumen: $V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{2} \cdot \frac{7}{6} = \frac{7}{6}$ ✓.

Apartado c

1. El punto medio de $O$ y $C$ es $C^{'} = (0, 1, \frac{3}{2})$ .
$d (C^{'}, π) = \frac{∣0 + 2 + \frac{3}{2} ∣}{6} = \frac{7/2}{6} = \frac{7 6}{12}$
$d = \frac{7 6}{12} \approx 1, 43$
Es la mitad de la distancia de $C$ , porque $O$ está en el plano.

A.3Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se estudió el movimiento de un meteorito del sistema solar durante un mes. Se obtuvo que la ecuación de su trayectoria $T$ es $y^{2} = 2 x + 9$ , siendo $- 4, 5 \leq x \leq 8$ e $y \geq 0$ , estando situado el Sol en el punto $(0, 0)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La distancia del meteorito al Sol desde un punto $P$ de su trayectoria cuya abscisa es $x$ .
b)El punto $P$ de la trayectoria $T$ donde el meteorito alcanza la distancia mínima al Sol.
c)Distancia mínima del meteorito al Sol.

Apartado a

1. Un punto de la trayectoria es $P = (x, 2 x + 9)$ (con $y \geq 0$ ). Su distancia al origen es $x^{2} + y^{2}$ .
$d (x) = x^{2} + 2 x + 9, - 4, 5 \leq x \leq 8$
$d (x) = x^{2} + 2 x + 9$

Apartado b

1. La raíz es creciente, así que $d$ es mínima donde lo es $D (x) = d (x)^{2} = x^{2} + 2 x + 9$ (más cómoda de derivar).
$D^{'} (x) = 2 x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 1$
2. Es mínimo porque $D^{''} (x) = 2 > 0$ , y $x = - 1$ está en el intervalo $[- 4, 5, 8]$ . Comparamos con los extremos: $D (- 4, 5) = 20, 25$ y $D (8) = 89$ , ambos mayores que $D (- 1) = 8$ .
$y = 2 (- 1) + 9 = 7$
$P = (- 1, 7) \approx (- 1; 2, 65)$

Apartado c

1. Distancia mínima.
$d_{m i n} = D (- 1) = 1 - 2 + 9 = 8 = 22$
$d_{m i n} = 22 \approx 2, 83$

B.1Opción B10 puntos

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Dadas las matrices $A = - 2 14 012 00 - 2$ y $B = 200 1 - 1 0 252$ , obtener razonadamente el valor de los determinantes siguientes, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) $∣ A + B ∣$ y $\frac{1}{2} (A + B)^{- 1}$ .
b) $(A + B)^{- 1} A$ y $A^{- 1} (A + B)$ .
c) $2 A B A^{- 1}$ y $A^{3} B^{- 1}$ .

Apartado a

1. Sumamos las matrices y calculamos el determinante (desarrollo por la primera columna).
$A + B = 014102250, ∣ A + B ∣ = 0 - 1 (0 - 20) + 2 (2 - 0) = 20 + 4 = 24$
$∣ A + B ∣ = 24$
2. Propiedades: $∣ k M ∣ = k^{n} ∣ M ∣$ para una matriz de orden $n$ y $∣ M^{- 1} ∣ = 1/∣ M ∣$ . Aquí $n = 3$ .
$\frac{1}{2} (A + B)^{- 1} = (\frac{1}{2})^{3} \frac{1}{∣ A + B ∣} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{24} = \frac{1}{192}$
$\frac{1}{2} (A + B)^{- 1} = \frac{1}{192}$

Apartado b

1. Necesitamos $∣ A ∣$ y $∣ B ∣$ . Las dos son triangulares, así que el determinante es el producto de la diagonal.
$∣ A ∣ = (- 2) \cdot 1 \cdot (- 2) = 4, ∣ B ∣ = 2 \cdot (- 1) \cdot 2 = - 4$
2. Usamos $∣ X Y ∣ = ∣ X ∣∣ Y ∣$ y $∣ X^{- 1} ∣ = 1/∣ X ∣$ .
$(A + B)^{- 1} A = \frac{∣ A ∣}{∣ A + B ∣} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}; A^{- 1} (A + B) = \frac{∣ A + B ∣}{∣ A ∣} = \frac{24}{4} = 6$
$\frac{1}{6}$ y $6$

Apartado c

1. $∣2 A B A^{- 1} ∣ = 2^{3} ∣ A ∣ ∣ B ∣ ∣ A ∣^{- 1} = 8∣ B ∣$ (el factor $∣ A ∣$ se cancela).
$2 A B A^{- 1} = 8 \cdot 4 \cdot (- 4) \cdot \frac{1}{4} = - 32$
$- 32$
2. $∣ A^{3} B^{- 1} ∣ = ∣ A ∣^{3} ∣ B ∣^{- 1}$ .
$A^{3} B^{- 1} = \frac{4 ^{3}}{- 4} = - 16$
$- 16$

B.2Opción B10 puntos

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Dados los puntos $A = (1, 0, 1)$ , $B = (2, - 1, 0)$ , $C = (0, 1, 1)$ y $P = (0, - 3, 2)$ , se pide calcular razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La distancia del punto $P$ al punto $A$ .
b)La distancia del punto $P$ a la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$ .
c)La distancia del punto $P$ al plano que pasa por los puntos $A$ , $B$ y $C$ .

Apartado a

1. Módulo del vector $A P = (0 - 1, - 3 - 0, 2 - 1) = (- 1, - 3, 1)$ .
$d (P, A) = 1 + 9 + 1 = 11$
$d (P, A) = 11 \approx 3, 32$

Apartado b

1. La recta $A B$ pasa por $A$ con director $A B = (1, - 1, - 1)$ . Fórmula: $d = \frac{∣ A P \times A B ∣}{∣ A B ∣}$ .
$A P \times A B = i - 1 1 j - 3 - 1 k 1 - 1 = (3 + 1, 1 - 1, 1 + 3) = (4, 0, 4)$
2. Módulos y cociente.
$d (P, A B) = \frac{∣ ( 4 , 0 , 4 ) ∣}{∣ ( 1 , - 1 , - 1 ) ∣} = \frac{4 2}{3} = \frac{4 6}{3}$
$d = \frac{4 6}{3} \approx 3, 27$

Apartado c

1. El plano $A B C$ pasa por $A$ con $A B = (1, - 1, - 1)$ y $A C = (- 1, 1, 0)$ . Normal: su producto vectorial.
$n = (1, - 1, - 1) \times (- 1, 1, 0) = (0 + 1, 1 - 0, 1 - 1) = (1, 1, 0)$
2. Ecuación por $A$ : $x + y + D = 0$ con $1 + 0 + D = 0$ .
$π : x + y - 1 = 0$
Comprobación: $B$ : $2 - 1 = 1$ ✓; $C$ : $0 + 1 = 1$ ✓.
3. Distancia de $P = (0, - 3, 2)$ .
$d (P, π) = \frac{∣0 - 3 - 1∣}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 22$
$d = 22 \approx 2, 83$

B.3Opción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Dada la función $f$ definida por $f (x) = sen x$ , para cualquier valor real $x$ , se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La ecuación de la recta tangente a la curva $y = f (x)$ en el punto de abscisa $x = π /6$ .
b)La ecuación de la recta normal a la curva $y = f (x)$ en el punto de abscisa $x = π /3$ . Se recuerda que la recta normal a una curva en un punto $P$ es la recta que pasa por ese punto $P$ y es perpendicular a la recta tangente a la curva en el punto $P$ .
c)El ángulo formado por las rectas determinadas en los apartados a) y b).

Apartado a

1. Punto: $f (π /6) = sen \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ . Pendiente: $f^{'} (x) = cos x$ , luego $f^{'} (π /6) = cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$ .
$y - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} (x - \frac{π}{6})$
Tangente: $y = \frac{3}{2} x + \frac{1}{2} - \frac{3 π}{12}$
Numéricamente: $y \approx 0, 866 x + 0, 047$ .

Apartado b

1. Punto: $f (π /3) = \frac{3}{2}$ . La pendiente de la tangente es $f^{'} (π /3) = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ ; la normal, perpendicular, tiene pendiente $- 1/ f^{'} = - 2$ .
$y - \frac{3}{2} = - 2 (x - \frac{π}{3})$
Normal: $y = - 2 x + \frac{3}{2} + \frac{2 π}{3}$
Numéricamente: $y \approx - 2 x + 2, 96$ .

Apartado c

1. El ángulo entre dos rectas de pendientes $m_{1} = \frac{3}{2}$ y $m_{2} = - 2$ cumple $tan θ = \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}}$ .
$tan θ = \frac{\frac{3}{2} + 2}{1 - 3} = \frac{4 + 3}{2 ( 3 - 1 )} = \frac{7 + 5 3}{4} \approx 3, 915$
2. Despejamos el ángulo (agudo). Con vectores directores $(1, \frac{3}{2})$ y $(1, - 2)$ : $cos θ = \frac{∣1 - 3 ∣}{7/4 5} = \frac{2 ( 3 - 1 )}{35} \approx 0, 2475$ .
$θ = arctan \frac{7 + 5 3}{4} \approx 75, 6 7^{\circ}$
$θ \approx 75, 6 7^{\circ} (\approx 1, 32 rad)$
Es el ángulo agudo entre las rectas; el otro ángulo es $104, 3 3^{\circ}$ .