Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2012 · Extraordinaria 2012

A.1Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Sea el sistema de ecuaciones $S : ⎩ ⎨ ⎧ x - 2 y - 3 z = 0 3 x + 10 y - z = 0 x + 14 y + α z = 0$ , donde $α$ es un parámetro real. Obtener razonadamente:

a)La solución del sistema $S$ cuando $α = 0$ .
b)El valor de $α$ para el que el sistema $S$ tiene infinitas soluciones.
c)Todas las soluciones del sistema $S$ cuando se da a $α$ el valor obtenido en el apartado b).

Apartado a

1. El sistema es homogéneo (todos los términos independientes son 0), así que siempre es compatible. Es determinado si el determinante de la matriz de coeficientes no se anula. Con $α = 0$ :
$131 - 2 1014 - 3 - 1 0 = 1 (0 + 14) + 2 (0 + 1) - 3 (42 - 10) = 14 + 2 - 96 = - 80 \neq = 0$
$rg A = 3$ : solo la solución trivial.
2. Conclusión.
$(x, y, z) = (0, 0, 0)$
$(x, y, z) = (0, 0, 0)$

Apartado b

1. Calculamos el determinante en función de $α$ (desarrollo por la primera fila).
$∣ A ∣ = 1 (10 α + 14) + 2 (3 α + 1) - 3 (42 - 10) = 16 α - 80$
2. Un sistema homogéneo tiene infinitas soluciones cuando $∣ A ∣ = 0$ .
$16 α - 80 = 0 \Rightarrow α = 5$
$α = 5$
Para $α = 5$ el rango es 2: el menor $13 - 2 10 = 16 \neq = 0$ .

Apartado c

1. Con $α = 5$ el rango es 2, así que sobra una ecuación (la tercera es combinación de las dos primeras). La dirección de las soluciones de las dos primeras ecuaciones es el producto vectorial de sus coeficientes.
$(1, - 2, - 3) \times (3, 10, - 1) = (32, - 8, 16) = 8 (4, - 1, 2)$
Soluciones: $(x, y, z) = (4 λ, - λ, 2 λ), λ \in R$
Comprobación en la tercera ecuación: $4 λ - 14 λ + 10 λ = 0$ .

A.2Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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En el espacio se tiene la recta $r : {x + y - z = 1 x - y - z = 0$ y el plano $π : x + m z = 0$ , donde $m$ es un parámetro real. Obtener razonadamente:

a)Un vector director de la recta $r$ .
b)El valor de $m$ para el que la recta $r$ y el plano $π$ son perpendiculares.
c)El valor de $m$ para el que la recta $r$ y el plano $π$ son paralelos.
d)La distancia entre $r$ y $π$ cuando se da a $m$ el valor obtenido en el apartado c).

Apartado a

1. Producto vectorial de las normales de los dos planos que definen la recta: $(1, 1, - 1) \times (1, - 1, - 1)$ .
$d_{r} = (- 1 - 1, - 1 + 1, - 1 - 1) = (- 2, 0, - 2) ∥ (1, 0, 1)$
$d_{r} = (1, 0, 1)$
Un punto de $r$ : sumando las ecuaciones, $2 x - 2 z = 1$ ; restando, $y = \frac{1}{2}$ . Con $z = 0$ : $R = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ .

Apartado b

1. La recta es perpendicular al plano cuando el director de la recta es paralelo a la normal del plano $n = (1, 0, m)$ .
$(1, 0, m) ∥ (1, 0, 1) \Rightarrow m = 1$
$m = 1$

Apartado c

1. Recta y plano son paralelos cuando el director de la recta es perpendicular a la normal del plano.
$d_{r} \cdot n = (1, 0, 1) \cdot (1, 0, m) = 1 + m = 0 \Rightarrow m = - 1$
$m = - 1$
2. Para que sea paralela y no esté contenida en el plano, el punto $R = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ no debe cumplir su ecuación $x - z = 0$ .
$\frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \neq = 0$
Paralelos y disjuntos: $r$ no está contenida en $π$ .

Apartado d

1. Con $m = - 1$ el plano es $x - z = 0$ . Como $r$ es paralela, la distancia de la recta al plano es la de cualquier punto de $r$ , por ejemplo $R$ .
$d (R, π) = \frac{∣1/2 - 0∣}{1 ^{2} + 0 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{1/2}{2} = \frac{2}{4}$
$d (r, π) = \frac{2}{4} \approx 0, 354$

A.3Opción A10 puntos

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Se definen las funciones $f$ y $g$ por $f (x) = - x^{2} + 2 x$ y $g (x) = x^{2}$ . Obtener razonadamente:

a)Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada una de esas dos funciones.
b)El máximo relativo de la función $f (x) = - x^{2} + 2 x$ y el mínimo relativo de $g (x) = x^{2}$ .
c)Los puntos de intersección de las curvas $y = - x^{2} + 2 x$ e $y = x^{2}$ .
d)El área encerrada entre las curvas $y = - x^{2} + 2 x$ e $y = x^{2}$ , donde en ambas curvas la $x$ varía entre 0 y 1.

Área entre f y g en [0, 1]: 1/3

Apartado a

1. $f^{'} (x) = - 2 x + 2$ se anula en $x = 1$ : positiva si $x < 1$ , negativa si $x > 1$ . $g^{'} (x) = 2 x$ se anula en $x = 0$ : negativa si $x < 0$ , positiva si $x > 0$ .
$f^{'} (x) = - 2 x + 2, g^{'} (x) = 2 x$
$f$ crece en $(- \infty, 1)$ y decrece en $(1, + \infty)$ ; $g$ decrece en $(- \infty, 0)$ y crece en $(0, + \infty)$ .

Apartado b

1. En $x = 1$ la derivada de $f$ pasa de positiva a negativa (y $f^{''} = - 2 < 0$ ): máximo. En $x = 0$ la derivada de $g$ pasa de negativa a positiva (y $g^{''} = 2 > 0$ ): mínimo.
$f (1) = - 1 + 2 = 1, g (0) = 0$
Máximo relativo de $f$ en $(1, 1)$ ; mínimo relativo de $g$ en $(0, 0)$ .

Apartado c

1. Igualamos y factorizamos.
$- x^{2} + 2 x = x^{2} ⟺ 2 x^{2} - 2 x = 0 ⟺ 2 x (x - 1) = 0$
$x = 0, x = 1$
2. Calculamos las ordenadas con $g (x) = x^{2}$ .
$g (0) = 0, g (1) = 1$
Puntos $(0, 0)$ y $(1, 1)$

Apartado d

1. En $(0, 1)$ , por ejemplo en $x = \frac{1}{2}$ : $f = \frac{3}{4} > g = \frac{1}{4}$ , así que $f$ está por encima de $g$ .
$\overset{ˊ}{A} rea = \int_{0}^{1} [(- x^{2} + 2 x) - x^{2}] d x = \int_{0}^{1} (2 x - 2 x^{2}) d x$
2. Primitiva y regla de Barrow.
$[x^{2} - \frac{2 x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Área $= \frac{1}{3} u^{2}$

B.1Opción B10 puntos

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Se dan las matrices $A = (11 - 1 1)$ , $U = (1001)$ y $B$ , donde $B$ es una matriz de dos filas y dos columnas que no tiene ningún elemento nulo y que verifica la relación $B^{2} = - 7 B + U$ . Obtener razonadamente:

a)Los números reales $a$ y $b$ tales que $A^{2} = a A + b U$ .
b)Los números reales $p$ y $q$ tales que $B^{- 1} = pB + q U$ (2 puntos), justificando que la matriz $B$ tiene inversa (2 puntos).
c)Obtener los valores $x$ e $y$ para los que se verifica que $B^{3} = x B + y U$ .

Apartado a

1. Calculamos $A^{2}$ .
$A^{2} = (11 - 1 1) (11 - 1 1) = (02 - 2 0)$
2. Igualamos con $a A + b U = (a + b a - a a + b)$ .
$⎩ ⎨ ⎧ a + b = 0 - a = - 2 a = 2 \Rightarrow a = 2, b = - 2$
$a = 2, b = - 2$
Es decir, $A^{2} = 2 A - 2 U$ .

Apartado b

1. Reordenamos la relación $B^{2} = - 7 B + U$ como $B^{2} + 7 B = U$ y sacamos factor común $B$ (con $U$ como identidad).
$B (B + 7 U) = U$
2. Esto significa que $B + 7 U$ es una matriz que multiplicada por $B$ da la identidad: $B$ tiene inversa (su determinante es distinto de cero, pues $∣ B ∣ \cdot ∣ B + 7 U ∣ = ∣ U ∣ = 1$ ) y su inversa es $B + 7 U$ .
$B^{- 1} = B + 7 U = 1 \cdot B + 7 \cdot U$
$p = 1, q = 7$ (y $B$ es invertible)
Se comprueba también por la izquierda: $(B + 7 U) B = B^{2} + 7 B = U$ .

Apartado c

1. Calculamos $B^{3} = B \cdot B^{2}$ y sustituimos $B^{2} = - 7 B + U$ .
$B^{3} = B (- 7 B + U) = - 7 B^{2} + B$
2. Volvemos a sustituir $B^{2}$ .
$B^{3} = - 7 (- 7 B + U) + B = 49 B - 7 U + B = 50 B - 7 U$
$x = 50, y = - 7$
Comprobación con una matriz concreta que cumpla la relación: se verifica $B^{3} = 50 B - 7 U$ .

B.2Opción B10 puntos

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En el espacio se dan los planos $π, σ$ y $τ$ de ecuaciones $π : 2 x - y + z = 3$ ; $σ : x - y + z = 2$ ; $τ : 3 x - y - a z = b$ , siendo $a$ y $b$ parámetros reales, y la recta $r$ intersección de los planos $π$ y $σ$ . Obtener razonadamente:

a)Un punto, el vector director y las ecuaciones de la recta $r$ .
b)La ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y pasa por el punto $(2, 1, 3)$ .
c)Los valores de $a$ y de $b$ para que el plano $τ$ contenga a la recta $r$ , intersección de los planos $π$ y $σ$ .

Apartado a

1. Restamos las ecuaciones de $π$ y $σ$ : $(2 x - y + z) - (x - y + z) = 3 - 2$ , luego $x = 1$ . Entonces $- y + z = 1$ . Tomamos $y = t$ .
$r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 y = t z = 1 + t$
Punto $(1, 0, 1)$ y director $d_{r} = (0, 1, 1)$ ; $r : x = 1, z = y + 1$
Comprobación con $t$ cualquiera: $2 - t + 1 + t = 3$ y $1 - t + 1 + t = 2$ .

Apartado b

1. Los planos que contienen a $r$ son los del haz $λ (2 x - y + z - 3) + μ (x - y + z - 2) = 0$ . Imponemos que pase por $(2, 1, 3)$ : $π$ vale $4 - 1 + 3 - 3 = 3$ y $σ$ vale $2 - 1 + 3 - 2 = 2$ .
$3 λ + 2 μ = 0 \Rightarrow λ = 2, μ = - 3$
2. Sustituimos y simplificamos.
$2 (2 x - y + z - 3) - 3 (x - y + z - 2) = x + y - z = 0$
$x + y - z = 0$
Comprobación: $(2, 1, 3)$ : $2 + 1 - 3 = 0$ ; $(1, 0, 1)$ : $0$ ; el director $(0, 1, 1)$ cumple $0 + 1 - 1 = 0$ .

Apartado c

1. Para que $τ$ contenga a $r$ , el director de $r$ debe ser perpendicular a la normal de $τ$ , $(3, - 1, - a)$ .
$(0, 1, 1) \cdot (3, - 1, - a) = - 1 - a = 0 \Rightarrow a = - 1$
$a = - 1$
2. Además un punto de $r$ , por ejemplo $(1, 0, 1)$ , debe estar en $τ$ : $3 x - y + z = b$ (porque $- a z = z$ ).
$3 \cdot 1 - 0 + 1 = 4 = b$
$a = - 1, b = 4$
Con otro punto de $r$ , $(1, 1, 2)$ : $3 - 1 + 2 = 4$ . Es consistente.

B.3Opción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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5 resultados comprobados en 4 apartados
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Se desea construir un depósito cilíndrico de $100 m^{3}$ de capacidad, abierto por la parte superior. Su base es un círculo en posición horizontal de radio $x$ y la pared vertical del depósito es una superficie cilíndrica perpendicular a su base. El precio del material de la base del depósito es 4 euros/m $^{2}$ . El precio del material de la pared vertical es 2 euros/m $^{2}$ . Obtener razonadamente:

a)El área de la base en función de su radio $x$ .
b)El área de la pared vertical del cilindro en función de $x$ .
c)La función $f (x)$ que da el coste del depósito.
d)El valor $x$ del radio de la base para el que el coste del depósito es mínimo y el valor de dicho coste mínimo.

Apartado a

1. La base es un círculo de radio $x$ .
$A_{base} = π x^{2}$
$A_{base} = π x^{2} m^{2}$

Apartado b

1. La altura $h$ sale del volumen: $π x^{2} h = 100$ . El área de la pared lateral es la longitud de la circunferencia por la altura.
$h = \frac{100}{π x ^{2}}, A_{pared} = 2 π x h = 2 π x \cdot \frac{100}{π x ^{2}} = \frac{200}{x}$
$A_{pared} = \frac{200}{x} m^{2}$

Apartado c

1. Coste = precio de la base por su área + precio de la pared por la suya.
$f (x) = 4 \cdot π x^{2} + 2 \cdot \frac{200}{x}$
$f (x) = 4 π x^{2} + \frac{400}{x}$ euros ( $x > 0$ )

Apartado d

1. Derivamos e igualamos a cero.
$f^{'} (x) = 8 π x - \frac{400}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow x^{3} = \frac{50}{π}$
$x = 3 \frac{50}{π} \approx 2, 515 m$
2. Es un mínimo porque $f^{''} (x) = 8 π + \frac{800}{x ^{3}} > 0$ para todo $x > 0$ .
$f^{''} (x) = 8 π + \frac{800}{x ^{3}} > 0$
3. Coste mínimo: de $8 π x^{3} = 400$ se tiene $\frac{400}{x} = 8 π x^{2}$ , luego $f = 12 π x^{2}$ .
$f_{m i n} = 12 π (\frac{50}{π})^{2/3} \approx 12 π \cdot 6, 327 \approx 238, 53$
Coste mínimo $\approx 238, 53$ euros
La altura resulta $h = \frac{100}{π x ^{2}} \approx 5, 03$ m, el doble del radio.