Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2011 · Ordinaria 2011

A.1Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Sea el sistema de ecuaciones $S : ⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = m 2 x + 3 z = 2 m + 1 x + 3 y + (m - 2) z = m - 1$ donde $m$ es un parámetro real. Obtener razonadamente:

a)Todas las soluciones del sistema $S$ cuando $m = 2$ .
b)Todos los valores de $m$ para los que el sistema $S$ tiene una solución única.
c)El valor de $m$ para el que el sistema $S$ admite la solución $(x, y, z) = (\frac{3}{2}, - \frac{1}{2}, 0)$ .

Apartado a

1. Con $m = 2$ el sistema es $x + y + z = 2$ , $2 x + 3 z = 5$ , $x + 3 y = 1$ . Despejamos de la segunda $x = \frac{5 - 3 z}{2}$ y de la tercera $y = \frac{1 - x}{3}$ .
$y = \frac{1 - \frac{5 - 3 z}{2}}{3} = \frac{- 3 + 3 z}{6} = \frac{z - 1}{2}$
2. Comprobamos que la primera ecuación se cumple para todo $z$ (de ahí que haya infinitas soluciones).
$x + y + z = \frac{5 - 3 z}{2} + \frac{z - 1}{2} + z = \frac{4 - 2 z}{2} + z = 2$
$(x, y, z) = (\frac{5 - 3 λ}{2}, \frac{λ - 1}{2}, λ), λ \in R$
Rangos: $rg A = rg (A ∣ B) = 2 < 3$ : compatible indeterminado con un parámetro.

Apartado b

1. La solución es única cuando la matriz de coeficientes tiene rango 3, es decir, determinante distinto de cero.
$∣ A ∣ = 121103 13 m - 2 = 0 + 3 + 6 - 0 - 9 - 2 (m - 2) = - 2 (m - 2) = 4 - 2 m$
Solución única $⟺ m \neq = 2$ .
Para $m = 2$ no hay solución única (apartado a).

Apartado c

1. Sustituimos $(3/2, - 1/2, 0)$ en cada ecuación: $x + y + z = 1 = m$ ; $2 x + 3 z = 3 = 2 m + 1$ ; $x + 3 y + (m - 2) z = 0 = m - 1$ .
$m = 1, 2 m + 1 = 3 \Rightarrow m = 1, m - 1 = 0 \Rightarrow m = 1$
$m = 1$
Las tres ecuaciones dan el mismo valor, así que es el único posible. Como $m = 1 \neq = 2$ , esa es además la única solución del sistema.

A.2Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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En el espacio se dan las rectas $r : {x + z = 2 2 x - y + z = 0$ y $s : {2 x - y = 3 x - y - z = 2$ . Obtener razonadamente:

a)Un punto y un vector director de cada recta.
b)La posición relativa de las rectas $r$ y $s$ .
c)La ecuación del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$ .

Apartado a

1. Recta $r$ : dirección = producto vectorial de las normales de los dos planos. Punto: damos $z = 0$ .
$d_{r} = (1, 0, 1) \times (2, - 1, 1) = (0 \cdot 1 - 1 \cdot (- 1), 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1, - 1 - 0) = (1, 1, - 1)$
$R = (2, 4, 0)$ (de $x = 2$ , $y = 4$ ), $d_{r} = (1, 1, - 1)$
Comprobación: $x + z = 2$ y $2 \cdot 2 - 4 + 0 = 0$ .
2. Recta $s$ : normales $(2, - 1, 0)$ y $(1, - 1, - 1)$ . Punto: con $z = 0$ , $2 x - y = 3$ y $x - y = 2$ dan $x = 1$ , $y = - 1$ .
$d_{s} = (2, - 1, 0) \times (1, - 1, - 1) = (1, 2, - 1)$
$S = (1, - 1, 0)$ , $d_{s} = (1, 2, - 1)$

Apartado b

1. Los vectores directores $(1, 1, - 1)$ y $(1, 2, - 1)$ no son proporcionales: las rectas no son paralelas ni coincidentes. Miramos si se cortan con el determinante de $d_{r}$ , $d_{s}$ y $R S = (- 1, - 5, 0)$ .
$11 - 1 12 - 5 - 1 - 1 0 = 1 (0 - 5) - 1 (0 - 1) + (- 1) (- 5 + 2) = - 5 + 1 + 3 = - 1 \neq = 0$
Las rectas se cruzan (no son coplanarias).
Al ser el determinante $\neq = 0$ no hay punto común.

Apartado c

1. El plano contiene a $r$ (pasa por $R$ y admite $d_{r}$ ) y es paralelo a $s$ (admite $d_{s}$ ): su normal es $d_{r} \times d_{s}$ .
$n = (1, 1, - 1) \times (1, 2, - 1) = (- 1 + 2, - 1 + 1, 2 - 1) = (1, 0, 1)$
2. Imponemos que pase por $R = (2, 4, 0)$ .
$x + z + D = 0, 2 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = - 2$
$π : x + z - 2 = 0$
Es el primero de los planos que definen $r$ . Como $n \cdot d_{s} = 1 - 1 = 0$ , $s$ es paralela a él.

A.3Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Sea $f$ la función definida por $f (x) = \frac{x}{x ^{2} - 3 x + 2}$ . Obtener razonadamente:

a)El dominio y las asíntotas de la función $f (x)$ .
b)Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f (x)$ .
c)La integral $\int f (x) d x = \int \frac{x}{x ^{2} - 3 x + 2} d x$ .

Apartado a

1. El denominador se anula donde $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2) = 0$ .
$Dom f = R ∖ {1, 2}$
2. Asíntotas verticales: estudiamos los límites laterales en $x = 1$ y $x = 2$ (el numerador no se anula ahí).
$lim_{x \to 1^{-}} f = + \infty, lim_{x \to 1^{+}} f = - \infty; lim_{x \to 2^{-}} f = - \infty, lim_{x \to 2^{+}} f = + \infty$
Verticales: $x = 1$ y $x = 2$
3. Asíntota horizontal: el grado del numerador (1) es menor que el del denominador (2).
$lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x ^{2} - 3 x + 2} = 0$
Horizontal: $y = 0$ (en $\pm \infty$ ). No hay oblicuas.

Apartado b

1. Derivada (regla del cociente).
$f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} - 3 x + 2 ) - x ( 2 x - 3 )}{( x ^{2} - 3 x + 2 ) ^{2}} = \frac{2 - x ^{2}}{( x ^{2} - 3 x + 2 ) ^{2}}$
2. El denominador es siempre positivo en el dominio, así que el signo de $f^{'}$ es el de $2 - x^{2}$ . Se anula en $x = \pm 2$ .
$f^{'} > 0 ⟺ - 2 < x < 2; f^{'} < 0 ⟺ ∣ x ∣ > 2$
3. Teniendo en cuenta los puntos donde no está definida ( $x = 1$ , $x = 2$ ), los intervalos son:
$Crece en (- 2, 1) \cup (1, 2); decrece en (- \infty, - 2) \cup (2, 2) \cup (2, \infty)$
Mínimo relativo en $x = - 2$ ( $f = \frac{- 2}{4 + 3 2} \approx - 0, 17$ ) y máximo relativo en $x = 2$ ( $f \approx - 5, 83$ ).
Esos valores: $f (2) = \frac{2}{4 - 3 2} \approx - 5, 83$ .

Apartado c

1. Descomponemos en fracciones simples: $\frac{x}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$ , de donde $x = A (x - 2) + B (x - 1)$ . Con $x = 1$ : $A = - 1$ . Con $x = 2$ : $B = 2$ .
$\frac{x}{x ^{2} - 3 x + 2} = \frac{- 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}$
2. Integramos cada término.
$\int f (x) d x = - ln ∣ x - 1∣ + 2 ln ∣ x - 2∣ + C$
$\int f (x) d x = 2 ln ∣ x - 2∣ - ln ∣ x - 1∣ + C$
Se comprueba derivando: $\frac{2}{x - 2} - \frac{1}{x - 1} = \frac{x}{x ^{2} - 3 x + 2}$ .

B.1Opción B10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 3 apartados
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Se da la matriz $A = - 1 02 0 m 1 10 m^{2} - 1$ , donde $m$ es un parámetro real.

a)Obtener razonadamente el rango o característica de la matriz $A$ en función de los valores de $m$ .
b)Explicar por qué es invertible la matriz $A$ cuando $m = 1$ .
c)Obtener razonadamente la matriz inversa $A^{- 1}$ de $A$ cuando $m = 1$ , indicando los distintos pasos para la obtención de $A^{- 1}$ . Comprobar que los productos $A A^{- 1}$ y $A^{- 1} A$ dan la matriz unidad.

Apartado a

1. Calculamos el determinante (desarrollo por la fila 2, que solo tiene el elemento $m$ ).
$∣ A ∣ = m \cdot (- 1)^{2 + 2} - 1 2 1 m^{2} - 1 = m (- (m^{2} - 1) - 2) = m (- m^{2} - 1) = - m (m^{2} + 1)$
2. $m^{2} + 1 > 0$ siempre, así que el determinante se anula solo para $m = 0$ . Si $m \neq = 0$ , $∣ A ∣ \neq = 0$ y el rango es 3.
$∣ A ∣ = 0 ⟺ m = 0$
Si $m \neq = 0$ : $rg A = 3$ .
3. Para $m = 0$ la matriz es $- 1 02 001 10 - 1$ . El rango es al menos 2 por el menor no nulo de las filas 1 y 3, columnas 1 y 2, y no es 3 porque $∣ A ∣ = 0$ .
$- 1 2 01 = - 1 \neq = 0$
Si $m = 0$ : $rg A = 2$ .

Apartado b

1. Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es cero. Con $m = 1$ :
$∣ A ∣ = - 1 \cdot (1 + 1) = - 2 \neq = 0$
$A$ es invertible para $m = 1$ (rango 3).

Apartado c

1. Para $m = 1$ , $A = - 1 02 011100$ . Paso 1: matriz de cofactores (adjuntos).
$Cof A = 01 - 1 0 - 2 0 - 2 1 - 1$
Por ejemplo, $C_{11} = 1100 = 0$ y $C_{13} = 0211 = - 2$ .
2. Paso 2: la inversa es la traspuesta de la matriz de adjuntos dividida entre el determinante.
$A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} (Cof A)^{t} = - \frac{1}{2} 00 - 2 1 - 2 1 - 1 0 - 1 = 001 - \frac{1}{2} 1 - \frac{1}{2} \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2}$
$A^{- 1} = 001 - \frac{1}{2} 1 - \frac{1}{2} \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2}$
3. Paso 3: comprobación.
$A A^{- 1} = - 1 02 011100 001 - \frac{1}{2} 1 - \frac{1}{2} \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} = 100010001$
$A A^{- 1} = A^{- 1} A = I$
Se hace igual con $A^{- 1} A$ : ambos productos dan la identidad.

B.2Opción B10 puntos

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En el espacio se dan las rectas $r : ⎩ ⎨ ⎧ x = λ y = 1 - λ z = 3$ y $s : x - 1 = y = z - 3$ . Obtener razonadamente:

a)Un vector director de cada una de dichas rectas $r$ y $s$ .
b)La ecuación del plano perpendicular a la recta $r$ que pasa por el punto $(0, 1, 3)$ .
c)El punto de intersección de las rectas $r$ y $s$ (2 puntos) y la ecuación del plano $π$ que contiene a estas rectas $r$ y $s$ (3 puntos).

Apartado a

1. De $r$ leemos directamente el coeficiente de $λ$ . En $s$ , escribimos $x - 1 = y = z - 3 = μ$ : $(x, y, z) = (1 + μ, μ, 3 + μ)$ .
$d_{r} = (1, - 1, 0), d_{s} = (1, 1, 1)$
$d_{r} = (1, - 1, 0)$ , $d_{s} = (1, 1, 1)$

Apartado b

1. El plano perpendicular a $r$ tiene como normal el vector director de $r$ : $x - y + D = 0$ . Imponemos que contenga a $(0, 1, 3)$ .
$0 - 1 + D = 0 \Rightarrow D = 1$
$x - y + 1 = 0$
Es un plano paralelo al eje $Z$ .

Apartado c

1. Igualamos $r$ y $s$ : $λ = 1 + μ$ , $1 - λ = μ$ , $3 = 3 + μ$ .
$μ = 0, λ = 1 (y 1 - 1 = 0 = μ ✓)$
$P = (1, 0, 3)$
Las tres ecuaciones se cumplen, luego las rectas se cortan en $P$ .
2. El plano contiene a ambas rectas, que se cortan: su normal es $d_{r} \times d_{s}$ .
$n = (1, - 1, 0) \times (1, 1, 1) = (- 1, - 1, 2) ∥ (1, 1, - 2)$
3. Imponemos que pase por $P = (1, 0, 3)$ .
$x + y - 2 z + D = 0 \Rightarrow 1 + 0 - 6 + D = 0 \Rightarrow D = 5$
$π : x + y - 2 z + 5 = 0$
Comprobación: $(0, 1, 3) \in r$ : $0 + 1 - 6 + 5 = 0$ ; $(2, 1, 4) \in s$ : $2 + 1 - 8 + 5 = 0$ .

B.3Opción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
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Se desea construir un campo rectangular con vértices $A$ , $B$ , $C$ y $D$ de manera que: los vértices $A$ y $B$ sean puntos del arco de la parábola $y = 4 - x^{2}$ , $- 2 \leq x \leq 2$ , y el segmento de extremos $A$ y $B$ es horizontal; los vértices $C$ y $D$ sean puntos del arco de la parábola $y = x^{2} - 16$ , $- 4 \leq x \leq 4$ , y el segmento de extremos $C$ y $D$ es también horizontal; los puntos $A$ y $C$ deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real positivo $x$ ; los puntos $B$ y $D$ deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real negativo $- x$ . Se pide obtener razonadamente:

a)La expresión $S (x)$ del área del campo rectangular en función del número real positivo $x$ .
b)El número real positivo $x$ para el que el área $S (x)$ es máxima.
c)El valor del área máxima.

Apartado a

1. Vértices: $A = (x, 4 - x^{2})$ , $B = (- x, 4 - x^{2})$ , $C = (x, x^{2} - 16)$ , $D = (- x, x^{2} - 16)$ . Como $A$ y $B$ están en el arco $- 2 \leq x \leq 2$ , el dominio es $0 < x \leq 2$ .
$base A B = 2 x, altura A C = (4 - x^{2}) - (x^{2} - 16) = 20 - 2 x^{2}$
2. Área = base · altura.
$S (x) = 2 x (20 - 2 x^{2}) = 40 x - 4 x^{3}, 0 < x \leq 2$
$S (x) = 40 x - 4 x^{3}$

Apartado b

1. Derivamos e igualamos a cero.
$S^{'} (x) = 40 - 12 x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = \frac{10}{3} \Rightarrow x = \frac{10}{3} = \frac{30}{3} \approx 1, 826$
Solo cuenta la raíz positiva.
2. Está en el dominio ( $1, 826 < 2$ ) y es máximo porque $S^{''} (x) = - 24 x < 0$ . Comparamos con el extremo $x = 2$ : $S (2) = 80 - 32 = 48$ , menor que el valor en el punto crítico.
$S (\frac{30}{3}) \approx 48, 69 > S (2) = 48$
$x = \frac{10}{3} = \frac{30}{3} \approx 1, 83$

Apartado c

1. Sustituimos: $S = x (40 - 4 x^{2})$ con $x^{2} = 10/3$ .
$S_{m a x} = \frac{30}{3} (40 - \frac{40}{3}) = \frac{30}{3} \cdot \frac{80}{3} = \frac{80 30}{9}$
Área máxima $= \frac{80 30}{9} \approx 48, 69 u^{2}$