Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2011 · Extraordinaria 2011

1. Una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero.

2. El determinante se anula para $k=1$ y $k=2$.

1. Con $k=3$: $B=A-3I=\left(\begin{array}{cc}-3& -2\\ 1& 0\end{array}\right)$, con $|B|=0\cdot (-3)+2=2$.

1. Calculamos $A^2$.

2. Igualamos $\alpha A^2+\beta A=-2I$ elemento a elemento.

3. De la primera, $\alpha =1$; de la tercera, $\beta =-3$. Comprobamos en la segunda ($-6+6=0$) y la cuarta ($7-9=-2$).

1. Usamos $M^2=M$ y la propiedad distributiva (el producto de matrices no es conmutativo pero $I$ conmuta con todo).

2. Calculamos los dos productos.

1. Datos de $r$: punto $R=(3,-1,2)$ y director ${\vec{d}}_r=(1,2,1)$. Para $s$ tomamos $y=t$: $x=1-2t$, $z=3t+2+\alpha$.

2. Las direcciones $(1,2,1)$ y $(-2,1,3)$ no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas. Dos rectas están en un mismo plano si y solo si se cortan, es decir, si ${\vec{d}}_r$, ${\vec{d}}_s$ y $\overrightarrow{RS}=(-2,1,\alpha )$ son coplanarios: determinante nulo.

1. El plano contiene a ambas rectas (que se cortan), luego su normal es ${\vec{d}}_r\times {\vec{d}}_s$.

2. Pasa por $R=(3,-1,2)$: $x-y+z=3+1+2=6$.

1. El plano es perpendicular a $r$: su normal es el director de $r$, $(1,2,1)$. Ecuación $x+2y+z+D=0$ por $(1,2,1)$.

1. $x^2$ y $e^{-x}$ están definidas para todo real, así que el dominio es $\mathbb{R}$. Además $f(x)\ge 0$ y $f(0)=0$. Por la derecha, $f\to 0$ ($x\to +\infty$) y por la izquierda $f\to +\infty$ ($x\to -\infty$). Al ser continua, toma todos los valores desde $0$ hacia arriba.

1. Derivamos con la regla del producto.

2. El signo de $f^{\prime }$ es el de $x(2-x)$ (porque $e^{-x}>0$): negativo si $x<0$, positivo en $(0,2)$ y negativo si $x>2$. Por tanto $x=0$ es mínimo relativo y $x=2$ es máximo relativo.

1. Con el signo anterior:

1. Segunda derivada.

2. Resolvemos $x^2-4x+2=0$. A cada lado de las raíces $f^{\prime \prime }$ cambia de signo (positiva fuera de ellas, negativa entre ellas): son puntos de inflexión.

1. Asíntota horizontal en $+\infty$: $x^2{e}^{-x}=\frac{x^2}{e^x}$ es una indeterminación $\infty /\infty$. Aplicamos L'Hôpital dos veces.

2. Gráfica: viene de $+\infty$ por la izquierda, decrece hasta el mínimo $(0,0)$, sube hasta el máximo $(2,4e^{-2})$ y se aproxima a $y=0$ por encima. Cambia de curvatura en $2\pm \sqrt{2}$.

1. Si multiplicamos una matriz de orden $n$ por un escalar $k$, cada una de sus $n$ filas queda multiplicada por $k$, así que $|kT|=k^n|T|$. Aquí $n=3$ y $k=\frac{1}{2}$.

1. Primero calculamos $|M|$ desarrollando por la primera fila.

2. Propiedad: el determinante de un producto es el producto de los determinantes, $|AB|=|A||B|$; por tanto $|M^n|=|M{|}^n$.

1. Usamos $|XYZ|=|X||Y||Z|$ y $|T^{-1}|=\frac{1}{|T|}$ (porque $|T||T^{-1}|=|I|=1$; $T$ es invertible porque $|T|=\sqrt{2}\ne 0$).

1. Sustituimos $(x,y,z)=(1,1,0)$ en la ecuación de ${\pi }_{\alpha }$.

1. Dirección de $r$: con $y=t$ se tiene $x=4t$, $z=t$. Vector director $(4,1,1)$. El plano es paralelo a $r$ cuando su normal ${\vec{n}}_{\alpha }=(2+2\alpha ,1,\alpha )$ es perpendicular a $(4,1,1)$.

2. Sustituimos $\alpha =-1$ en el plano.

1. El plano es perpendicular a $r$ cuando su normal es paralela a ${\vec{d}}_r=(4,1,1)$: $(2+2\alpha ,1,\alpha )=k(4,1,1)$. La segunda coordenada da $k=1$.

2. Sustituimos $\alpha =1$.

1. En el arco, $y=18-\frac{x^2}{2}$. La distancia del punto $(0,9)$ al punto $(x,y)$ es $\sqrt{x^2+(y-9{)}^2}$.

1. Como la raíz es creciente, $f$ y $g(x)=\frac{x^4}{4}-8x^2+81$ tienen los mismos extremos. Derivamos $g$.

2. Segunda derivada $g^{\prime \prime }(x)=3x^2-16$: en $x=\pm 4$ vale $32>0$ (mínimos) y en $x=0$ vale $-16<0$ (máximo relativo, con $f(0)=9$).

1. Comparamos los candidatos: los extremos del intervalo y los puntos críticos.

1. El arco $y=18-\frac{x^2}{2}$ está por encima del eje $X$ en $[-6,6]$ (corta a $y=0$ en $x=\pm 6$).

2. Calculamos la primitiva y aplicamos Barrow.