Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2010 · Ordinaria 2010

A.1Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 4 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Dadas las matrices cuadradas $I = 100010001$ y $A = 22 - 3 13 - 3 12 - 2$ , se pide:

a)Calcular las matrices $(A - I)^{2}$ y $A (A - 2 I)$ .
b.1)Justificar razonadamente que existen las matrices inversas de las matrices $A$ y $A - 2 I$ .
b.2)Justificar razonadamente que no existe matriz inversa de la matriz $A - I$ .
c)Determinar el valor del parámetro real $λ$ para el que se verifica $A^{- 1} = λ (A - 2 I)$ .

Apartado a

1. Calculamos $A - I$ y la elevamos al cuadrado.
$A - I = 12 - 3 12 - 3 12 - 3, (A - I)^{2} = 1 + 2 - 3 2 + 4 - 6 - 3 - 6 + 9 1 + 2 - 3 2 + 4 - 6 - 3 - 6 + 9 1 + 2 - 3 2 + 4 - 6 - 3 - 6 + 9 = 000000000$
$(A - I)^{2} = O$
2. Calculamos $A - 2 I$ y multiplicamos por $A$ por la izquierda.
$A - 2 I = 02 - 3 11 - 3 12 - 4, A (A - 2 I) = - 1 00 0 - 1 0 00 - 1$
$A (A - 2 I) = - I$
Por ejemplo, el elemento (1,1) es $2 \cdot 0 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (- 3) = - 1$ y el (1,2) es $2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 3) = 0$ .

Apartado b.1

1. $A$ es invertible: de $A (A - 2 I) = - I$ se sigue $A \cdot (- (A - 2 I)) = I$ , luego $A$ tiene inversa y $A^{- 1} = - (A - 2 I)$ . Igualmente $A - 2 I$ es invertible, con inversa $- A$ , porque $(A - 2 I) \cdot (- A) = I$ también (las dos matrices conmutan).
$∣ A ∣ = 2 (- 6 + 6) - 1 (- 4 + 6) + 1 (- 6 + 9) = 0 - 2 + 3 = 1 \neq = 0$
Existen $A^{- 1}$ y $(A - 2 I)^{- 1} = - A$ .
Alternativa con determinantes: $∣ A - 2 I ∣ = - 1 \neq = 0$ .

Apartado b.2

1. $A - I$ no es invertible: si lo fuera, multiplicando $(A - I)^{2} = O$ por $(A - I)^{- 1}$ obtendríamos $A - I = O$ , es decir $A = I$ , que es falso.
$∣ A - I ∣ = 12 - 3 12 - 3 12 - 3 = 0$ (filas proporcionales)
No existe $(A - I)^{- 1}$ .

Apartado c

1. De $A (A - 2 I) = - I$ multiplicamos por $A^{- 1}$ por la izquierda: $A - 2 I = - A^{- 1}$ , luego $A^{- 1} = - (A - 2 I) = (- 1) (A - 2 I)$ .
$A^{- 1} = - (A - 2 I) = 0 - 2 3 - 1 - 1 3 - 1 - 2 4$
$λ = - 1$
Comprobación: $A \cdot A^{- 1} = I$ con la matriz anterior.

A.2Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 3 apartados
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Dadas las rectas de ecuaciones $r : {5 x + y - z = 4 2 x - 2 y - z = - 5$ y $s : {x - y = - 5 z = 4$ , se pide:

a)Justificar que las rectas $r$ y $s$ se cruzan.
b)Calcular razonadamente la distancia entre las rectas $r$ y $s$ .
c)Determinar la ecuación del plano $π$ que es paralelo y equidistante a las rectas $r$ y $s$ .

Apartado a

1. Sacamos un vector director de cada recta. Para $r$ , el producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen.
$d_{r} = (5, 1, - 1) \times (2, - 2, - 1) = (- 3, 3, - 12) ∥ (1, - 1, 4)$
$d_{r} = (1, - 1, 4)$
2. Para $s$ , de $x - y = - 5$ y $z = 4$ : $x = λ$ , $y = λ + 5$ , $z = 4$ . Pasa por $S (0, 5, 4)$ con dirección $(1, 1, 0)$ . Un punto de $r$ : con $z = 0$ resolvemos $5 x + y = 4$ , $2 x - 2 y = - 5$ .
$x = \frac{1}{4}, y = \frac{11}{4} \Rightarrow R (\frac{1}{4}, \frac{11}{4}, 0) \in r$
$d_{s} = (1, 1, 0)$ , $S (0, 5, 4)$
3. Las direcciones no son proporcionales, así que no son paralelas ni coincidentes. Comprobamos que no se cortan: el determinante formado por $d_{r}$ , $d_{s}$ y $R S$ es distinto de cero.
$R S = (- \frac{1}{4}, \frac{9}{4}, 4), 11 - \frac{1}{4} - 1 1 \frac{9}{4} 404 = 18 \neq = 0$
$r$ y $s$ se cruzan.
Rango 3 de los tres vectores: no son coplanarias.

Apartado b

1. La distancia entre dos rectas que se cruzan es el valor absoluto del producto mixto dividido por el módulo del producto vectorial de las direcciones.
$d_{r} \times d_{s} = (- 4, 4, 2), ∣ d_{r} \times d_{s} ∣ = 6$
2. Aplicamos la fórmula.
$d (r, s) = \frac{∣ [ d _{r} , d _{s} , R S ] ∣}{∣ d _{r} \times d _{s} ∣} = \frac{18}{6} = 3$
$d (r, s) = 3$ unidades

Apartado c

1. El plano $π$ tiene como normal $n = d_{r} \times d_{s} ∥ (- 2, 2, 1)$ (es paralelo a las dos direcciones). Su ecuación es $- 2 x + 2 y + z = k$ .
$n = (- 2, 2, 1)$
2. Evaluamos $- 2 x + 2 y + z$ en un punto de cada recta; el plano equidistante tiene como $k$ la media de los dos valores.
$R : - \frac{1}{2} + \frac{11}{2} + 0 = 5, S : 0 + 10 + 4 = 14, k = \frac{5 + 14}{2} = \frac{19}{2}$
$π : 4 x - 4 y - 2 z + 19 = 0$
Comprobación: la distancia de cada recta al plano es $\frac{9/2}{3} = \frac{3}{2}$ , la mitad de $3$ .

A.3Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Se quiere construir un estadio vallado de $10000$ metros cuadrados de superficie. El estadio está formado por un rectángulo de base $x$ y dos semicírculos exteriores de diámetro $x$ , de manera que cada lado horizontal del rectángulo es diámetro de uno de los semicírculos. El precio de un metro de valla para los lados verticales del rectángulo es de 1 euro y el precio de un metro de valla para las semicircunferencias es de 2 euros. Se pide obtener razonadamente:

a)La longitud del perímetro del campo en función de $x$ .
b)El coste $f (x)$ de la valla en función de $x$ .
c)El valor de $x$ para el que el coste de la valla es mínimo.

Apartado a

1. Llamamos $h$ a la altura del rectángulo. Los dos semicírculos de diámetro $x$ forman un círculo de radio $x /2$ . El área total es la del rectángulo más la del círculo, y vale $10000$ .
$x h + π (\frac{x}{2})^{2} = 10000 \Rightarrow h = \frac{10000}{x} - \frac{π x}{4}$
2. El perímetro está formado por los dos lados verticales (longitud $h$ cada uno) y las dos semicircunferencias, que juntas miden $2 π \cdot \frac{x}{2} = π x$ .
$P (x) = 2 h + π x = \frac{20000}{x} - \frac{π x}{2} + π x = \frac{20000}{x} + \frac{π x}{2}$
$P (x) = \frac{20000}{x} + \frac{π x}{2}$ metros

Apartado b

1. El coste es la longitud de los lados verticales por 1 euro más la de las semicircunferencias por 2 euros.
$f (x) = 2 h \cdot 1 + π x \cdot 2 = 2 (\frac{10000}{x} - \frac{π x}{4}) + 2 π x$
2. Simplificamos.
$f (x) = \frac{20000}{x} - \frac{π x}{2} + 2 π x = \frac{20000}{x} + \frac{3 π}{2} x$
$f (x) = \frac{20000}{x} + \frac{3 π}{2} x$ euros, con $0 < x < \frac{200}{π}$
El dominio sale de exigir $h > 0$ : $x^{2} < 40000/ π$ , es decir $x < 200/ π \approx 112, 8$ .

Apartado c

1. Derivamos e igualamos a cero.
$f^{'} (x) = - \frac{20000}{x ^{2}} + \frac{3 π}{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = \frac{40000}{3 π}$
$x = \frac{200}{3 π} \approx 65, 15$ m
2. Es mínimo porque la segunda derivada es positiva en ese punto, y está dentro del dominio ( $65, 15 < 112, 8$ ).
$f^{''} (x) = \frac{40000}{x ^{3}} > 0$
Mínimo en $x \approx 65, 15$ m (entonces $h \approx 102, 33$ m).
3. Coste mínimo: sustituimos.
$f (\frac{200}{3 π}) = 200 3 π \approx 614, 0$
Coste mínimo $\approx 614$ euros

B.1Opción B10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Dado el sistema de ecuaciones lineales que depende de los parámetros $a$ , $b$ y $c$ : $⎩ ⎨ ⎧ 2 a x + b y + z = 3 c 3 x - 2 b y - 2 cz = a 5 a x - 2 y + cz = - 4 b$ , se pide:

a)Justificar razonadamente que para los valores de los parámetros $a = 0$ , $b = - 1$ y $c = 2$ el sistema es incompatible.
b)Determinar razonadamente los valores de los parámetros $a$ , $b$ y $c$ para los que se verifica que $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ es solución del sistema.
c)Justificar si la solución $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ del sistema del apartado b) es, o no, única.

Apartado a

1. Sustituimos $a = 0$ , $b = - 1$ , $c = 2$ en el sistema.
$⎩ ⎨ ⎧ - y + z = 6 3 x + 2 y - 4 z = 0 - 2 y + 2 z = 4$
2. La tercera ecuación es $- 2 y + 2 z = 4$ , o sea $- y + z = 2$ , y la primera dice $- y + z = 6$ : se contradicen. Con rangos: la matriz de coeficientes tiene rango 2 (las filas 1 y 3 son proporcionales) y la ampliada tiene rango 3.
$rg A = 2, - 1 2 - 2 1 - 4 2 604 \neq = 0 \Rightarrow rg (A ∣ B) = 3$
$rg A < rg (A ∣ B)$ : sistema incompatible.
Comprobación del menor: $- 1 (- 16) - 1 (8) + 6 (4 - 8) = 16 - 8 - 24 = - 16 \neq = 0$ .

Apartado b

1. Que $(1, 2, 3)$ sea solución significa que cumple las tres ecuaciones. Sustituimos $x = 1$ , $y = 2$ , $z = 3$ .
$⎩ ⎨ ⎧ 2 a + 2 b + 3 = 3 c 3 - 4 b - 6 c = a 5 a - 4 + 3 c = - 4 b \Rightarrow ⎩ ⎨ ⎧ 2 a + 2 b - 3 c = - 3 a + 4 b + 6 c = 3 5 a + 4 b + 3 c = 4$
Ahora las incógnitas son $a$ , $b$ y $c$ : es un sistema lineal.
2. Eliminamos $b$ : restando la ecuación 2 de la 3 se va $4 b$ , y restando la 2 de dos veces la 1 también.
$E_{3} - E_{2} : 4 a - 3 c = 1; 2 E_{1} - E_{2} : 3 a - 12 c = - 9 \Rightarrow a = 4 c - 3$
3. Sustituimos $a = 4 c - 3$ en $4 a - 3 c = 1$ y despejamos.
$4 (4 c - 3) - 3 c = 1 \Rightarrow 13 c = 13 \Rightarrow c = 1, a = 1$
De $2 a + 2 b - 3 c = - 3$ : $2 + 2 b - 3 = - 3$ , luego $b = - 1$ .
4. Comprobamos en las tres ecuaciones.
$2 - 2 - 3 = - 3, 1 - 4 + 6 = 3, 5 - 4 + 3 = 4$
$a = 1, b = - 1, c = 1$

Apartado c

1. Con $a = 1$ , $b = - 1$ , $c = 1$ el sistema es $2 x - y + z = 3$ , $3 x + 2 y - 2 z = 1$ , $5 x - 2 y + z = 4$ . Es compatible (tiene la solución $(1, 2, 3)$ ). La solución es única si el determinante de la matriz de coeficientes no es cero.
$235 - 1 2 - 2 1 - 2 1 = 2 (2 - 4) + 1 (3 + 10) + 1 (- 6 - 10) = - 4 + 13 - 16 = - 7 \neq = 0$
$rg A = rg (A ∣ B) = 3$ : sistema compatible determinado.
2. Por tanto $(1, 2, 3)$ es la única solución.
La solución $(1, 2, 3)$ es única.

B.2Opción B10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Sea $r$ la recta de vector director $(2, - 1, 1)$ que pasa por el punto $P = (0, 3, - 1)$ . Se pide:

a)Hallar razonadamente la distancia del punto $A = (0, 1, 0)$ a la recta $r$ .
b)Calcular razonadamente el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos $P$ y $A$ con la recta $r$ en el punto $P$ .
c)Si $Q$ es el punto donde la recta $r$ corta al plano de ecuación $z = 0$ , comprobar que el triángulo de vértices $A P Q$ tiene ángulos iguales en los vértices $P$ y $Q$ .

Apartado a

1. Distancia de un punto a una recta: $d (A, r) = \frac{∣ P A \times v ∣}{∣ v ∣}$ . Con $P A = (0, - 2, 1)$ y $v = (2, - 1, 1)$ .
$P A \times v = i 02 j - 2 - 1 k 11 = (- 2 + 1, 2 - 0, 0 + 4) = (- 1, 2, 4)$
2. Módulos y cociente.
$∣ P A \times v ∣ = 1 + 4 + 16 = 21, ∣ v ∣ = 6, d (A, r) = \frac{21}{6} = \frac{14}{2}$
$d (A, r) = \frac{14}{2} \approx 1, 87$

Apartado b

1. El ángulo entre las dos rectas es el que forman sus vectores directores: $P A = (0, - 2, 1)$ y $v = (2, - 1, 1)$ .
$cos α = \frac{∣ P A \cdot v ∣}{∣ P A ∣ ∣ v ∣} = \frac{∣0 + 2 + 1∣}{5 6} = \frac{3}{30}$
2. Despejamos el ángulo.
$α = arccos \frac{3}{30} \approx 56, 7 9^{\circ}$
$α \approx 56, 7 9^{\circ}$ (agudo; el obtuso sería $123, 2 1^{\circ}$ )
Comprobación: $cos 56, 7 9^{\circ} \approx 0, 5477 = 3/ 30$ .

Apartado c

1. $r : (x, y, z) = (2 t, 3 - t, - 1 + t)$ . Imponemos $z = 0$ .
$- 1 + t = 0 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow Q = (2, 2, 0)$
2. Calculamos los lados que salen de $A$ : si $A P = A Q$ , el triángulo es isósceles con base $P Q$ y los ángulos en $P$ y $Q$ son iguales.
$A P = 0 + 4 + 1 = 5, A Q = 4 + 1 + 0 = 5$
$A P = A Q$ : los ángulos en $P$ y $Q$ son iguales.
$P Q = ∣ v ∣ = 6$ cierra el triángulo.

B.3Opción B10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Dada la función polinómica $f (x) = 4 - x^{2}$ , se pide obtener razonadamente:

a)La gráfica de la curva $y = 4 - x^{2}$ .
b)El punto $P$ de esa curva cuya tangente es perpendicular a la recta de ecuación $x + y = 0$ .
c)Las rectas que pasan por el punto $(- 2, 1)$ y son tangentes a la curva $y = 4 - x^{2}$ , obteniendo los puntos de tangencia.

Tangentes a y = 4 − x² desde (−2, 1)

Apartado a

1. Es una parábola con las ramas hacia abajo ( $- x^{2}$ ). Vértice donde $f^{'} (x) = - 2 x = 0$ , es decir en $x = 0$ . Cortes con los ejes.
$V (0, 4); f (x) = 0 \Rightarrow x = \pm 2;$ cortes $(- 2, 0), (2, 0), (0, 4)$
Parábola simétrica respecto al eje $Y$ , máximo en $(0, 4)$ .

Apartado b

1. La recta $x + y = 0$ tiene pendiente $- 1$ . Una recta perpendicular tiene pendiente $m$ con $m \cdot (- 1) = - 1$ , es decir $m = 1$ . Imponemos $f^{'} (x) = 1$ .
$f^{'} (x) = - 2 x = 1 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}, f (- \frac{1}{2}) = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$
$P (- \frac{1}{2}, \frac{15}{4})$

Apartado c

1. El punto $(- 2, 1)$ está fuera de la parábola (en $x = - 2$ la curva vale $0 < 1$ ). Sea $(t, 4 - t^{2})$ un punto de tangencia: la tangente tiene pendiente $- 2 t$ , y debe pasar por $(- 2, 1)$ .
$(4 - t^{2}) - 1 = - 2 t (t + 2)$
2. Desarrollamos y resolvemos la ecuación de segundo grado.
$3 - t^{2} = - 2 t^{2} - 4 t \Rightarrow t^{2} + 4 t + 3 = 0 \Rightarrow t = - 1 o t = - 3$
Puntos de tangencia: $(- 1, 3)$ y $(- 3, - 5)$
3. Ecuación de cada tangente por punto-pendiente desde $(- 2, 1)$ .
$t = - 1$ : $m = 2$ , $y - 1 = 2 (x + 2) \Rightarrow y = 2 x + 5$ .\qquad $t = - 3$ : $m = 6$ , $y - 1 = 6 (x + 2) \Rightarrow y = 6 x + 13$
Rectas tangentes: $y = 2 x + 5$ (en $(- 1, 3)$ ) e $y = 6 x + 13$ (en $(- 3, - 5)$ )
Comprobación: $2 (- 1) + 5 = 3$ y $6 (- 3) + 13 = - 5$ .