Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2009 · Ordinaria 2009

1.1Opción 13.3 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
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Dadas las matrices cuadradas $A = 300630021$ , $B = 18004818012126$ e $I = 100010001$ , se pide:

a)Justificar que la matriz $A$ tiene inversa y obtener razonadamente la matriz inversa $A^{- 1}$ , incluyendo en la respuesta todos los pasos que llevan a la obtención de $A^{- 1}$ (1,1 puntos).
b)Calcular, razonadamente, el determinante de la matriz $3 A^{- 1}$ , incluyendo en la respuesta todos los pasos realizados (1,1 puntos).
c)Obtener razonadamente los valores reales $x$ , $y$ , $z$ que verifican la ecuación $x I + y A + z A^{2} = B$ (1,1 puntos).

Apartado a

1. Determinante: la matriz es triangular superior, así que es el producto de la diagonal.
$∣ A ∣ = 3 \cdot 3 \cdot 1 = 9 \neq = 0$
$∣ A ∣ = 9 \neq = 0$ : $A$ tiene inversa.
2. Matriz de cofactores, traspuesta (adjunta) y división por $∣ A ∣ = 9$ .
$Cof (A) = 3 - 6 12 03 - 6 009, A^{- 1} = \frac{1}{9} Cof (A)^{t} = \frac{1}{9} 300 - 6 30 12 - 6 9$
$A^{- 1} = \frac{1}{3} 00 - \frac{2}{3} \frac{1}{3} 0 \frac{4}{3} - \frac{2}{3} 1$
Comprobación: $A A^{- 1} = I$ .

Apartado b

1. Para una matriz de orden $3$ , $∣ k M ∣ = k^{3} ∣ M ∣$ , y $∣ A^{- 1} ∣ = 1/∣ A ∣$ .
$∣3 A^{- 1} ∣ = 3^{3} ∣ A^{- 1} ∣ = 27 \cdot \frac{1}{9} = 3$
$∣3 A^{- 1} ∣ = 3$

Apartado c

1. Calculamos $A^{2}$ .
$A^{2} = 90036901281$
2. Igualamos las entradas de $x I + y A + z A^{2} = B$ : $(1, 1)$ y $(2, 2)$ dan la misma ecuación; además $(3, 3)$ , $(1, 2)$ y $(2, 3)$ .
$⎩ ⎨ ⎧ x + 3 y + 9 z = 18 x + y + z = 6 6 y + 36 z = 48 2 y + 8 z = 12$
3. De $2 y + 8 z = 12$ : $y = 6 - 4 z$ . En $6 y + 36 z = 48$ : $36 - 24 z + 36 z = 48$ , luego $z = 1$ y $y = 2$ . De $x + y + z = 6$ : $x = 3$ .
$z = 1, y = 6 - 4 = 2, x = 6 - 2 - 1 = 3$
$x = 3, y = 2, z = 1$
Comprobación en $(1, 1)$ : $3 + 3 \cdot 2 + 9 \cdot 1 = 18$ ; en $(1, 3)$ : $0 + 0 + 12 \cdot 1 = 12$ .

1.2Opción 13.3 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
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Dado el sistema de ecuaciones lineales $⎩ ⎨ ⎧ (α + 3) x - 4 y - 2 z = 4 x - 2 y - (α + 2) z = 2 2 x + (α - 3) y - 2 z = 4$ , se pide, razonando las respuestas:

a)Justificar que para el valor $α = 0$ el sistema es incompatible (1,1 puntos).
b)Determinar los valores del parámetro $α$ para los que el sistema es compatible y determinado (1,1 puntos).
c)Resolver el sistema para el valor del parámetro $α$ para el cual es compatible indeterminado (1,1 puntos).

Apartado a

1. Calculamos el determinante de $A$ (la matriz de coeficientes) en función de $α$ .
$∣ A ∣ = α + 3 12 - 4 - 2 α - 3 - 2 - (α + 2) - 2 = α (α + 1)^{2}$
$∣ A ∣ = α (α + 1)^{2}$
2. Con $α = 0$ : $∣ A ∣ = 0$ y el menor $31 - 4 - 2 = - 2 \neq = 0$ , luego $rango (A) = 2$ . En la ampliada, el menor formado por las columnas de $x$ , $y$ y los términos independientes vale $312 - 4 - 2 - 3 424 = 3 (- 8 + 6) + 4 (4 - 4) + 4 (- 3 + 4) = - 6 + 0 + 4 = - 2 \neq = 0$ .
$rango (A) = 2 < 3 = rango (A^{*})$
Por Rouché–Frobenius, el sistema es incompatible para $α = 0$ .

Apartado b

1. Es compatible determinado cuando $rango (A) = 3$ , es decir, $∣ A ∣ \neq = 0$ .
$α (α + 1)^{2} \neq = 0$
$α \neq = 0$ y $α \neq = - 1$

Apartado c

1. Queda $α = - 1$ (raíz doble). Con $α = - 1$ las tres ecuaciones son $2 x - 4 y - 2 z = 4$ , $x - 2 y - z = 2$ y $2 x - 4 y - 2 z = 4$ : todas equivalentes a $x - 2 y - z = 2$ . Rango $1$ en $A$ y en $A^{*}$ : compatible indeterminado con dos parámetros.
$α = - 1 : ⎩ ⎨ ⎧ 2 x - 4 y - 2 z = 4 x - 2 y - z = 2 2 x - 4 y - 2 z = 4 \Leftrightarrow x - 2 y - z = 2$
2. Tomamos $y = λ$ y $z = μ$ como parámetros.
$x = 2 + 2 λ + μ$
$(x, y, z) = (2 + 2 λ + μ, λ, μ)$ , $λ, μ \in R$
Es el plano $x - 2 y - z = 2$ .

2.1Opción 23.3 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Sean $A$ , $B$ y $C$ los puntos de intersección del plano de ecuación $x + 4 y - 2 z - 4 = 0$ con los tres ejes coordenados $O X$ , $O Y$ y $O Z$ , respectivamente. Se pide calcular razonadamente:

a)El área del triángulo $A B C$ (1,1 puntos).
b)El perímetro del triángulo $A B C$ (1,1 puntos).
c)Los tres ángulos interiores del triángulo $A B C$ (1,1 puntos).

Apartado a

1. Cortes con los ejes: $y = z = 0 \Rightarrow x = 4$ ; $x = z = 0 \Rightarrow y = 1$ ; $x = y = 0 \Rightarrow - 2 z = 4 \Rightarrow z = - 2$ .
$A = (4, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, - 2)$
2. Área $= \frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣$ con $A B = (- 4, 1, 0)$ y $A C = (- 4, 0, - 2)$ .
$A B \times A C = (- 2, - 8, 4), S = \frac{1}{2} 4 + 64 + 16 = \frac{84}{2} = 21$
$S = 21 \approx 4, 58 u^{2}$

Apartado b

1. Longitud de los tres lados.
$∣ A B ∣ = 16 + 1 = 17, ∣ A C ∣ = 16 + 4 = 25, ∣ B C ∣ = 1 + 4 = 5$
2. Suma de los lados.
$P = 17 + 25 + 5 = 17 + 35$
$P = 17 + 35 \approx 10, 83 u$

Apartado c

1. Ángulo en $A$ entre $A B$ y $A C$ ; en $B$ entre $B A = (4, - 1, 0)$ y $B C = (0, - 1, - 2)$ ; en $C$ entre $C A = (4, 0, 2)$ y $C B = (0, 1, 2)$ .
$cos \hat{A} = \frac{16}{17 \cdot 2 5} = \frac{8}{85}, cos \hat{B} = \frac{1}{17 5} = \frac{1}{85}, cos \hat{C} = \frac{4}{2 5 5} = \frac{2}{5}$
2. Calculamos los arcos.
$\hat{A} \approx 29, 8^{\circ}, \hat{B} \approx 83, 8^{\circ}, \hat{C} \approx 66, 4^{\circ}$
$\hat{A} \approx 29, 8^{\circ}$ , $\hat{B} \approx 83, 8^{\circ}$ , $\hat{C} \approx 66, 4^{\circ}$
Comprobación: suman $18 0^{\circ}$ .

2.2Opción 23.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Dados los puntos $O = (0, 0, 0)$ , $A = (4, 4, 0)$ y $P = (0, 0, 12)$ , se pide obtener razonadamente:

a)La ecuación de la recta que pasa por $A$ y es perpendicular al plano de ecuación $z = 0$ (1 punto).
b)La ecuación de un plano que cumpla las dos condiciones siguientes: pase por $P$ y por un punto $Q$ de la recta de ecuación $x = y = 4$ ; sea perpendicular a la recta que pasa por $O$ y $Q$ (2,3 puntos por hallar uno de los dos planos solución).

Apartado a

1. El vector director de la recta es el normal del plano $z = 0$ , es decir, $(0, 0, 1)$ .
$⎩ ⎨ ⎧ x = 4 y = 4 z = λ$
$r : x = 4, y = 4$ (recta paralela al eje $Z$ por $A$ )

Apartado b

1. Un punto de la recta $x = y = 4$ es $Q = (4, 4, q)$ . El plano buscado tiene como normal $O Q = (4, 4, q)$ y pasa por $P$ y por $Q$ , así que $O Q ⊥ P Q$ (pues $P Q$ está contenido en el plano).
$P Q = (4, 4, q - 12) \Rightarrow O Q \cdot P Q = 16 + 16 + q (q - 12) = 0$
2. Resolvemos la ecuación de segundo grado.
$q^{2} - 12 q + 32 = 0 \Rightarrow q = 4 o q = 8$
$Q = (4, 4, 4)$ o $Q = (4, 4, 8)$
3. Con $Q = (4, 4, 4)$ : normal $(4, 4, 4) ∥ (1, 1, 1)$ y pasa por $P = (0, 0, 12)$ . Con $Q = (4, 4, 8)$ : normal $(4, 4, 8) ∥ (1, 1, 2)$ y pasa por $P$ .
$π_{1} : x + y + z = 12 π_{2} : x + y + 2 z = 24$
Planos solución: $x + y + z - 12 = 0$ y $x + y + 2 z - 24 = 0$
Comprobación: $Q = (4, 4, 4) \in π_{1}$ ( $12 = 12$ ) y $Q = (4, 4, 8) \in π_{2}$ ( $4 + 4 + 16 = 24$ ).

3.1Opción 33.3 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
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Se considera la función $f (x) = \frac{1}{( 3 - x ) ( 3 + x )}$ . Se pide:

a)Determinar, razonadamente, el dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f (x) = \frac{1}{( 3 - x ) ( 3 + x )}$ (1 punto).
b)Obtener razonadamente los valores $A$ y $B$ tales que $\frac{1}{( 3 - x ) ( 3 + x )} = \frac{A}{3 - x} + \frac{B}{3 + x}$ (1 punto).
c)Calcular razonadamente el área de la superficie $S$ limitada por la curva $y = \frac{1}{( 3 - x ) ( 3 + x )}$ , el eje $O X$ y las rectas de ecuaciones $x = - 2$ y $x = 2$ (1,3 puntos).

Área bajo 1/(9 − x²) entre −2 y 2

Apartado a

1. El denominador $(3 - x) (3 + x) = 9 - x^{2}$ se anula en $x = \pm 3$ .
$Dom f = R ∖ {- 3, 3}$
2. Derivada: $f (x) = \frac{1}{9 - x ^{2}}$ , luego $f^{'} (x) = \frac{2 x}{( 9 - x ^{2} ) ^{2}}$ . El denominador es positivo en el dominio, así que el signo de $f^{'}$ es el de $x$ .
$f^{'} (x) < 0 ⟺ x < 0, f^{'} (x) > 0 ⟺ x > 0$
$f$ decrece en $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0)$ y crece en $(0, 3) \cup (3, + \infty)$ ; mínimo relativo en $(0, \frac{1}{9})$ .

Apartado b

1. Reducimos a común denominador: $1 = A (3 + x) + B (3 - x)$ . Con $x = 3$ : $1 = 6 A$ ; con $x = - 3$ : $1 = 6 B$ .
$A = \frac{1}{6}, B = \frac{1}{6}$
$A = B = \frac{1}{6}$

Apartado c

1. En $[- 2, 2]$ no hay discontinuidades y $f > 0$ , así que el área es la integral. Usamos la descomposición: $\int \frac{d x}{3 - x} = - ln ∣3 - x ∣$ y $\int \frac{d x}{3 + x} = ln ∣3 + x ∣$ .
$S = \int_{- 2}^{2} \frac{1}{6} (\frac{1}{3 - x} + \frac{1}{3 + x}) d x = \frac{1}{6} [ln ∣3 + x ∣ - ln ∣3 - x ∣]_{- 2}^{2} = \frac{1}{6} [ln \frac{3 + x}{3 - x}]_{- 2}^{2}$
2. Evaluamos: en $x = 2$ , $ln 5$ ; en $x = - 2$ , $ln \frac{1}{5} = - ln 5$ .
$S = \frac{1}{6} (ln 5 - ln \frac{1}{5}) = \frac{2 ln 5}{6}$
$S = \frac{ln 5}{3} \approx 0, 536 u^{2}$

3.2Opción 33.3 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
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Dada la función real $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ , se pide calcular razonadamente:

a)La función $f (x) + f (- x)$ (1,1 puntos).
b)La integral $\int_{- a}^{a} f (x) d x$ , donde $a$ es un número real positivo (1,1 puntos).
c)El punto de inflexión de $f (x)$ (1,1 puntos).

Apartado a

1. Calculamos $f (- x)$ y sumamos.
$f (- x) = e^{- x} - e^{x} = - f (x) \Rightarrow f (x) + f (- x) = (e^{x} - e^{- x}) + (e^{- x} - e^{x}) = 0$
$f (x) + f (- x) = 0$ para todo $x$ : $f$ es impar.

Apartado b

1. Una primitiva es $F (x) = e^{x} + e^{- x}$ . Aplicamos la regla de Barrow.
$\int_{- a}^{a} (e^{x} - e^{- x}) d x = [e^{x} + e^{- x}]_{- a}^{a} = (e^{a} + e^{- a}) - (e^{- a} + e^{a}) = 0$
$\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0$
Es coherente con el apartado anterior: una función impar tiene las áreas simétricas con signos opuestos.

Apartado c

1. Derivamos: $f^{'} (x) = e^{x} + e^{- x}$ y $f^{''} (x) = e^{x} - e^{- x} = f (x)$ . La inflexión está donde $f^{''}$ se anula y cambia de signo.
$f^{''} (x) = e^{x} - e^{- x} = 0 \Rightarrow e^{2 x} = 1 \Rightarrow x = 0$
2. Comprobamos el cambio de signo: $f^{''} (x) < 0$ si $x < 0$ y $f^{''} (x) > 0$ si $x > 0$ (o $f^{'''} (0) = 2 \neq = 0$ ). Ordenada: $f (0) = 1 - 1 = 0$ .
$f^{'''} (x) = e^{x} + e^{- x} \Rightarrow f^{'''} (0) = 2 \neq = 0$
Punto de inflexión: $(0, 0)$ .

4.1Opción 43.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 2 apartados
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Se desea construir una bodega con forma de paralelepípedo rectangular de $100 m^{3}$ de volumen de manera que el largo de su base sea $\frac{4}{3}$ de la anchura $x$ de su base. Se sabe que los precios de un metro cuadrado de suelo, de techo y de pared lateral son, respectivamente, $225 €/m^{2}$ , $300 €/m^{2}$ y $256 €/m^{2}$ . Determinar razonadamente:

a)El valor $x$ de la anchura de la base que minimiza el coste (2,3 puntos).
b)Dicho coste mínimo (1 punto).

Apartado a

1. Base: ancho $x$ y largo $\frac{4}{3} x$ , de área $\frac{4}{3} x^{2}$ . Con volumen $100$ , la altura es $h = \frac{100}{\frac{4}{3} x ^{2}} = \frac{75}{x ^{2}}$ .
$V = x \cdot \frac{4}{3} x \cdot h = 100 \Rightarrow h = \frac{75}{x ^{2}}$
2. Coste: suelo y techo $(225 + 300) \cdot \frac{4}{3} x^{2}$ ; paredes laterales $256 \cdot$ (perímetro $\times$ altura), con perímetro $2 x + \frac{8}{3} x = \frac{14}{3} x$ .
$C (x) = 525 \cdot \frac{4}{3} x^{2} + 256 \cdot \frac{14 x}{3} \cdot \frac{75}{x ^{2}} = 700 x^{2} + \frac{89 600}{x}, x > 0$
3. Derivamos e igualamos a cero.
$C^{'} (x) = 1400 x - \frac{89 600}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow x^{3} = 64 \Rightarrow x = 4$
4. $C^{''} (x) = 1400 + \frac{179 200}{x ^{3}} > 0$ : mínimo. Con $x = 4$ : largo $\frac{16}{3} \approx 5, 33$ m y altura $75/16 \approx 4, 69$ m.
$C^{''} (4) = 1400 + 2800 = 4200 > 0$
$x = 4 m$

Apartado b

1. Sustituimos $x = 4$ en la función de coste.
$C (4) = 700 \cdot 16 + \frac{89 600}{4} = 11200 + 22400$
Coste mínimo: $33600 €$

4.2Opción 43.3 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 2 apartados
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Un proveedor vende un producto a un comerciante al precio de $300$ euros la unidad. El comerciante incrementa la cantidad de $300$ euros en un $40 %$ para obtener el precio de venta al público. El comerciante sabe que a ese precio venderá $50$ unidades cada mes y que durante el mes de rebajas por cada $3$ euros de reducción en el precio de venta de la unidad conseguirá un incremento de ventas de $5$ unidades. Se pide determinar, razonando las respuestas, el número de unidades que debe pedir al proveedor para venderlas en el mes de rebajas y el precio de venta de cada unidad, para maximizar sus beneficios durante ese periodo.

a)El número de unidades que debe pedir al proveedor (2 puntos).
b)El precio de venta de cada unidad (1,3 puntos).

Apartado a

1. Precio de venta al público: $300 \cdot 1, 4 = 420$ €. Sea $k$ el número de rebajas de $3$ €: el precio es $420 - 3 k$ y se venden $50 + 5 k$ unidades.
$Beneficio (k) = (420 - 3 k - 300) (50 + 5 k) = (120 - 3 k) (50 + 5 k) = 6000 + 450 k - 15 k^{2}$
2. Derivamos e igualamos a cero: $B^{'} (k) = 450 - 30 k = 0$ , $k = 15$ . Como $B^{''} (k) = - 30 < 0$ , es un máximo.
$k = 15 \Rightarrow unidades = 50 + 5 \cdot 15 = 125$
Debe pedir $125$ unidades.

Apartado b

1. Precio: $420 - 3 \cdot 15 = 375$ €.
$Beneficio m \overset{a}{ˊ} ximo = (375 - 300) \cdot 125 = 9375 €$
Precio de venta: $375$ € por unidad.
Con ese precio vende $125$ unidades y obtiene $9375$ € de beneficio.