Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2025 (Reserva) · Reserva 2025 (Junio)

1.A2 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 2 apartados
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La órbita de la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente circular, tiene un radio de 149,6 millones de km y un periodo de 365,25 días. Deduce razonadamente: Datos: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ ; radio del Sol, $R = 6, 96 \cdot 1 0^{5}$ km.

a)La expresión que permite calcular la masa del Sol, determina su valor y calcula la aceleración de la gravedad sobre su superficie.
b)La expresión de la velocidad mínima que necesitaría un objeto para que, al lanzarlo desde la superficie del Sol, se pueda alejar indefinidamente de éste. Calcula su valor.

La fuerza gravitatoria del Sol es la fuerza centrípeta de la Tierra

Apartado a

1. Fuerza gravitatoria = centrípeta
$\frac{GM m}{r ^{2}} = m ω^{2} r = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r$
$T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{GM} r^{3}$
Tercera ley de Kepler deducida.
2. Masa del Sol
$M = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}}$ con $r = 1, 496 \cdot 1 0^{11}$ m y $T = 365, 25 \cdot 86400 = 3, 15576 \cdot 1 0^{7}$ s
$M \approx 1, 99 \cdot 1 0^{30} kg$
Datos en SI.
3. Gravedad superficial
$g = \frac{GM}{R ^{2}} = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 1 , 99 \cdot 1 0 ^{30}}{( 6 , 96 \cdot 1 0 ^{8} ) ^{2}} = 274$
$g_{S} \approx 274 m/ s^{2}$
Unas 28 veces la gravedad terrestre.

Apartado b

1. Velocidad de escape
$\frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GM m}{R} = 0 \Rightarrow v_{esc} = \frac{2 GM}{R} = 6, 18 \cdot 1 0^{5}$
$v_{esc} \approx 6, 18 \cdot 1 0^{5}$ m/s
Energía mecánica nula como mínimo.

1.B2 puntos

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En septiembre de 2023, la NASA y otras agencias espaciales celebraron el éxito de la misión OSIRIS-REx, que trajo muestras del asteroide Bennu a la Tierra. Se sabe que Bennu tiene un diámetro de aproximadamente 493 m y una masa estimada de $6 \cdot 1 0^{10}$ kg. Datos: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ ; $R_{T} = 6370$ km; $M_{T} = 6 \cdot 1 0^{24}$ kg.

a)Se envió de vuelta a la Tierra un contenedor de 46 kg con muestras del asteroide. Este llegó a la atmósfera superior (133 km de altura) con una velocidad de 44500 km/h e inició las maniobras de frenado. Finalmente aterrizó en un campo de pruebas en Utah. ¿Cuánta energía mecánica perdió en el descenso, hasta aterrizar?
b)Calcula cuántas veces menos pesará este contenedor situado en la superficie de Bennu en comparación con su peso en la superficie de la Tierra. Supón que Bennu tiene forma esférica y es homogéneo.

Apartado a

1. Energía mecánica al entrar en la atmósfera
$E_{1} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M _{T} m}{R _{T} + h}$ , $v = 44500/3, 6 = 1, 236 \cdot 1 0^{4}$ m/s
$E_{1} \approx 6, 83 \cdot 1 0^{8} J$
$\frac{1}{2} m v^{2} = 3, 51 \cdot 1 0^{9}$ J y $E_{p} = - 2, 83 \cdot 1 0^{9}$ J (en la forma $- GM m / r$ ).
2. Energía mecánica al aterrizar (en reposo en la superficie)
$E_{2} = - \frac{G M _{T} m}{R _{T}} = - 2, 89 \cdot 1 0^{9}$
$E_{2} \approx - 2, 89 \cdot 1 0^{9} J$
Se desprecia la rotación terrestre.
3. Energía perdida
$Δ E = E_{1} - E_{2} = 3, 57 \cdot 1 0^{9}$
$E_{p er d i d a} \approx 3, 6 \cdot 1 0^{9}$ J
Se disipa en rozamiento con la atmósfera y frenado.

Apartado b

1. Peso en la Tierra
$g_{T} = \frac{G M _{T}}{R _{T}^{2}} = 9, 86$ m/s $^{2}$ ; $P_{T} = 46 \cdot g_{T} = 453, 7$ N
$P_{T} \approx 454$ N
—
2. Peso en Bennu
$R_{B} = 246, 5$ m; $g_{B} = \frac{G M _{B}}{R _{B}^{2}} = 6, 59 \cdot 1 0^{- 5}$ m/s $^{2}$ ; $P_{B} = 46 g_{B} = 3, 03 \cdot 1 0^{- 3}$ N
$P_{B} \approx 3, 0 \cdot 1 0^{- 3}$ N
Radio = mitad del diámetro.
3. Cociente
$\frac{P _{T}}{P _{B}} = \frac{g _{T}}{g _{B}} = 1, 5 \cdot 1 0^{5}$
$\approx 1, 5 \cdot 1 0^{5}$ veces menos
La masa del contenedor se cancela.

2.A1.5 puntos

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Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas, $+ Q$ y $- Q$ , separadas por una distancia $2 d = 0, 1$ m, siendo $Q = 5$ nC. La carga $+ Q$ se sitúa en el punto $(- d, 0)$ y la carga $- Q$ en el punto $(d, 0)$ . Calcula el valor del vector campo eléctrico en un punto $P$ de coordenadas $(0, 2 d)$ . Representa gráficamente los vectores campo eléctrico de cada carga y el total en dicho punto. Dato: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ .

Las componentes verticales se anulan; el campo total apunta en +x

1. Distancia a cada carga
$r = d^{2} + (2 d)^{2} = d 5 = 0, 05005 = 0, 1118$ m
$r = 0, 1118$ m
$d = 0, 05$ m.
2. Módulo de cada campo
$E_{+} = E_{-} = \frac{k Q}{r ^{2}} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 5 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 0125} = 3600$ N/C
$3600$ N/C
$r^{2} = 5 d^{2} = 0, 0125$ m $^{2}$ .
3. Direcciones
$E_{+}$ se aleja de $+ Q$ : $\frac{( d , 2 d )}{r}$ ; $E_{-}$ se acerca a $- Q$ : $\frac{( d , - 2 d )}{r}$
$E_{+} = E_{0} (\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ , $E_{-} = E_{0} (\frac{1}{5}, - \frac{2}{5})$
Dibujar ambos vectores con origen en P.
4. Superposición
Las componentes $y$ se anulan; $E_{x} = \frac{2 E _{0}}{5} = 3220$ N/C
$E = 3, 22 \cdot 1 0^{3} i$ N/C
El campo total del dipolo es paralelo al eje que une las cargas (de $+ Q$ hacia $- Q$ ).

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En una región donde existe un campo magnético uniforme se observa la traza de dos partículas cuyas cargas eléctricas tienen el mismo valor absoluto y el mismo módulo de velocidad. Explica el motivo por el cual se curvan sus trayectorias. Razona cuál de estas dos partículas será positiva y cuál negativa. Realiza una representación gráfica de los vectores involucrados. Razona cuál de las dos partículas tendrá mayor masa.

F = q v × B: la partícula 2 (R mayor) tiene mayor masa

1. Motivo de la curvatura
$F = q v \times B$ es perpendicular a $v$ : no cambia el módulo de $v$ sino su dirección (fuerza centrípeta)
Trayectoria circular de radio $R = \frac{m v}{∣ q ∣ B}$
Ley de Lorentz; el trabajo magnético es nulo.
2. Signo de las cargas
Al inicio $v = v i$ y $B = B k$ (saliendo): $v \times B = - v B j$ . Fuerza hacia $- j$ si $q > 0$ y hacia $+ j$ si $q < 0$
1 (se curva hacia arriba): negativa; 2 (hacia abajo): positiva
Dibujo: en el origen $v$ , $B$ y $F$ de cada partícula, apuntando al centro de su circunferencia.
3. Masas
Con $∣ q ∣$ , $v$ y $B$ iguales, $R \propto m$
Mayor masa: la 2
La partícula 2 describe la curva de mayor radio.

3.A1.5 puntos

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La figura representa el valor del flujo magnético que atraviesa una espira plana. Responde razonadamente a las siguientes preguntas, enunciando la ley en la que te basas: ¿en qué tramo la fuerza electromotriz inducida tiene valor nulo? ¿Cuál es el valor de la fuerza electromotriz inducida en el tramo I? ¿En qué tramo es mayor el valor de la corriente eléctrica inducida en la espira?

ε = −dΦ/dt es la pendiente (con signo cambiado): I → +1 V, II → +2 V, III → 0 (duración del tramo III ilustrativa)

1. Ley de Faraday-Lenz
$ε = - \frac{d Φ}{d t}$ ; la corriente inducida se opone a la variación del flujo; $I = ε / R$
—
La fem depende de la pendiente de $Φ (t)$ .
2. Pendientes
Tramo I: $\frac{- 1 - 0}{1} = - 1$ ; tramo II: $\frac{- 3 - ( - 1 )}{1} = - 2$ ; tramo III: $0$ T m $^{2}$ /s
$ε_{I} = + 1$ V, $ε_{I I} = + 2$ V, $ε_{I I I} = 0$
Unidades: T m $^{2}$ /s = V.
3. Respuestas
fem nula: tramo III (flujo constante); fem en I: $+ 1$ V; mayor corriente: tramo II ( $∣ ε ∣$ máxima)
III; 1 V; II
Con $R$ fija, $I \propto ∣ ε ∣$ .

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Se tienen dos corrientes paralelas y muy largas, tal y como muestra la figura. Indica razonadamente si en algún punto de la zona A el campo magnético total puede ser nulo. Deduce el valor del cociente $I_{2} / I_{1}$ si el campo magnético total en el punto $P$ es nulo. Razona la dirección y el sentido del campo magnético en la zona C.

Corrientes del mismo sentido: los campos se oponen entre los hilos y se suman fuera

1. Zona A
Corrientes del mismo sentido: a la izquierda de ambas, los dos campos tienen el mismo sentido (hacia dentro del papel)
No puede ser nulo
Se suman: $B = \frac{μ _{0}}{2 π} (\frac{I _{1}}{x} + \frac{I _{2}}{x + 3}) > 0$ .
2. Campo nulo en P
P está a 1 cm de $I_{1}$ y a 2 cm de $I_{2}$ ; entre hilos los campos son opuestos: $\frac{μ _{0} I _{1}}{2 π ( 0 , 01 )} = \frac{μ _{0} I _{2}}{2 π ( 0 , 02 )}$
$\frac{I _{2}}{I _{1}} = 2$
Se iguala el módulo; el sentido ya es opuesto.
3. Zona C
Corriente en $- j$ y punto a la derecha ( $\overset{u}{^} = + i$ ): $(- j) \times i = + k$ para ambos hilos
$B$ perpendicular al plano, saliendo del papel ( $+ k$ )
Los dos campos se suman; dirección tangente a circunferencias alrededor de los hilos.

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En la figura se muestra la propagación de una onda transversal sinusoidal para el instante $t = 1$ s. La onda se mueve hacia la derecha sobre el eje $x$ , su periodo es $T = 2$ s y su amplitud $A = 20$ cm. Si el punto O es el origen de coordenadas, determina razonadamente:

a)La longitud de onda, la frecuencia angular, la velocidad de propagación, la fase inicial y escribe la función de onda.
b)La expresión de la velocidad de vibración. Calcula dicha velocidad para $t = 10$ s y $x = 1$ m.

y(x, t=1 s) = −0,20 cos(10πx)

Apartado a

1. Longitud de onda
40 cm abarcan dos ciclos: $2 λ = 40$ cm
$λ = 20$ cm $= 0, 20$ m
Lectura de la figura.
2. Frecuencia angular y velocidad
$ω = \frac{2 π}{T} = π$ rad/s; $k = \frac{2 π}{λ} = 10 π$ rad/m; $v = \frac{λ}{T}$
$ω = π$ rad/s; $v = 0, 10$ m/s
—
3. Fase inicial
$y = A cos (ω t - k x + φ_{0})$ ; en $t = 1$ , $x = 0$ : $y = - A \Rightarrow cos (π + φ_{0}) = - 1$
$φ_{0} = 0$
Con $sin$ en lugar de $cos$ sería $φ_{0} = π /2$ .
4. Función de onda
$y (x, t) = 0, 20 cos (π t - 10 π x)$ (SI)
$y = 0, 20 cos (π t - 10 π x)$ m
El signo $- k x$ indica propagación hacia $+ x$ .

Apartado b

1. Velocidad de vibración
$v_{y} = \frac{\partial y}{\partial t} = - A ω sin (ω t - k x) = - 0, 20 π sin (π t - 10 π x)$
$v_{y} = - 0, 20 π sin (π t - 10 π x)$ m/s
Derivada parcial respecto a $t$ .
2. En $t = 10$ s, $x = 1$ m
$sin (10 π - 10 π) = sin 0 = 0$
$v_{y} = 0$
El punto está en un extremo de su oscilación (elongación $+ A$ ).

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Un objeto está situado 20 cm a la izquierda de una lente de $- 4$ dioptrías. Se pide:

a)Calcular la posición de la imagen. Realiza un trazado de rayos con la posición de la imagen, del objeto, de la lente y de los puntos focales. Indica las características de la imagen que se forma.
b)¿Qué distancia y hacia dónde habría que mover el objeto para que la imagen tenga la mitad del tamaño del objeto y a derechas?

Trazado de rayos (cm; altura del objeto ilustrativa): imagen virtual, derecha y menor

Apartado a

1. Distancia focal
$f^{'} = \frac{1}{P} = \frac{1}{- 4} = - 0, 25$ m $= - 25$ cm (divergente); $s = - 20$ cm
$f^{'} = - 25$ cm
Convenio DIN.
2. Ecuación de Gauss
$\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{s} = - \frac{1}{25} - \frac{1}{20} = - \frac{9}{100}$
$s^{'} = - 11, 1$ cm
Imagen a la izquierda de la lente.
3. Aumento y características
$m = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{- 11 , 1}{- 20} = 0, 556$
Virtual, derecha y menor ( $m \approx 0, 56$ )
Trazado: rayo paralelo se abre como si saliera de $F^{'}$ (a la izquierda); rayo central no se desvía; las prolongaciones se cortan entre el objeto y la lente.

Apartado b

1. Condición del aumento
Mitad y derecha: $m = + \frac{1}{2} = \frac{s ^{'}}{s} \Rightarrow s^{'} = \frac{s}{2}$
$s^{'} = s /2$
Una lente divergente siempre da imagen virtual, derecha y menor.
2. Posición del objeto
$\frac{2}{s} - \frac{1}{s} = \frac{1}{s} = \frac{1}{f ^{'}} \Rightarrow s = f^{'} = - 25$ cm
$s = - 25$ cm
Comprobación: $s^{'} = - 12, 5$ cm; $\frac{1}{- 12 , 5} - \frac{1}{- 25} = - 0, 04 = \frac{1}{f ^{'}}$ .
3. Desplazamiento
$25 - 20 = 5$ cm
Alejarlo 5 cm (hacia la izquierda)
—

51.5 puntos

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El 19/11/2024 aparecía en prensa la siguiente noticia: «Los berberechos de corazón (Corculum cardissa) crean una fibra óptica a través de su concha que ilumina su interior». Supongamos que podemos simular dicha fibra óptica como un cilindro lleno de una sustancia de índice de refracción $n_{1} = 1, 55$ y cuyo recubrimiento es una sustancia de índice de refracción $n_{2}$ . Indica cómo se denomina el fenómeno que se produce en el punto B. ¿Qué es el ángulo límite? Razona cuál de los índices $n_{1}$ o $n_{2}$ es mayor. Sabiendo que $n_{0} = 1, 33$ , ¿con qué ángulo, $ε_{1}$ , debe incidir un rayo de luz en el punto A para que pasando por el punto B salga por el punto C, tal como muestra la figura? Razona todas las respuestas.

1. Fenómeno en B
El rayo no pasa al recubrimiento y se refleja completamente
Reflexión total interna
Condición: ángulo de incidencia en B mayor que el límite.
2. Ángulo límite
Ángulo de incidencia a partir del cual no hay rayo refractado: $sin θ_{L} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ (refracción a $9 0^{\circ}$ )
$θ_{L} = arcsin (n_{2} / n_{1})$
Solo existe si la luz pasa a un medio de menor índice.
3. Comparación de índices
Para que haya ángulo límite: $sin θ_{L} = n_{2} / n_{1} < 1$
$n_{1} > n_{2}$
El núcleo tiene mayor índice que el recubrimiento.
4. Ángulo de refracción en A
$tan θ_{r} = \frac{d /2}{d} = 0, 5 \Rightarrow θ_{r} = 26, 5 7^{\circ}$ (respecto a la normal en A, que es el eje)
$θ_{r} = 26, 5 7^{\circ}$
La normal a la cara de entrada es paralela al eje.
5. Ley de Snell en A
$n_{0} sin ε_{1} = n_{1} sin θ_{r} \Rightarrow sin ε_{1} = \frac{1 , 55 \cdot 0 , 4472}{1 , 33} = 0, 5212$
$ε_{1} \approx 31, 4^{\circ}$
En B el ángulo de incidencia es $63, 4^{\circ}$ : hay reflexión total si $n_{2} < 1, 39$ .

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En la gráfica adjunta se representa el potencial de frenado, $V_{F}$ , de los electrones emitidos por un metal en función de la frecuencia, $f$ , de la luz que incide sobre él. Nombra y explica el fenómeno. Sabiendo que la ecuación de la recta es $V_{F} = 4, 12 \cdot 1 0^{- 15} f - 4, 5$ , determina el valor de la constante de Planck y el de la frecuencia umbral. Dato: carga elemental, $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.

V_F = (h/e) f − φ/e: la pendiente da h

1. Fenómeno
Los fotones con energía $h f \geq W_{0}$ arrancan electrones de la superficie metálica
Efecto fotoeléctrico
Einstein: $h f = W_{0} + E_{c, ma x}$ ; el potencial de frenado detiene los electrones más rápidos: $q V_{F} = E_{c, ma x}$ .
2. Recta teórica
$V_{F} = \frac{h}{q} f - \frac{W _{0}}{q}$
pendiente $= h / q$
Se compara con la recta dada.
3. Constante de Planck
$h = q \cdot 4, 12 \cdot 1 0^{- 15} = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 4, 12 \cdot 1 0^{- 15}$
$h \approx 6, 59 \cdot 1 0^{- 34}$ J s
Concuerda con $6, 63 \cdot 1 0^{- 34}$ .
4. Frecuencia umbral ( $V_{F} = 0$ )
$f_{0} = \frac{4 , 5}{4 , 12 \cdot 1 0 ^{- 15}} = 1, 09 \cdot 1 0^{15}$
$f_{0} \approx 1, 09 \cdot 1 0^{15}$ Hz
Función de trabajo: $W_{0} = 4, 5$ eV.

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Un puntero láser emite luz monocromática de frecuencia $f = 5, 6 \cdot 1 0^{14}$ Hz con una potencia $P = 5$ mW. ¿Cuál es la energía de un fotón? Calcula cuántos fotones emite el puntero en un minuto. ¿Qué longitud de onda tiene la radiación emitida? Datos: $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s; $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34}$ J s.

1. Energía del fotón
$E = h f = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} \cdot 5, 6 \cdot 1 0^{14} = 3, 71 \cdot 1 0^{- 19}$
$E \approx 3, 71 \cdot 1 0^{- 19}$ J
—
2. Fotones en un minuto
$N = \frac{P t}{E} = \frac{5 \cdot 1 0 ^{- 3} \cdot 60}{3 , 71 \cdot 1 0 ^{- 19}} = 8, 08 \cdot 1 0^{17}$
$N \approx 8, 08 \cdot 1 0^{17}$ fotones
Energía emitida: $0, 30$ J.
3. Longitud de onda
$λ = \frac{c}{f} = \frac{3 \cdot 1 0 ^{8}}{5 , 6 \cdot 1 0 ^{14}} = 5, 36 \cdot 1 0^{- 7}$
$λ \approx 536$ nm
Luz verde.