Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2025 · Ordinaria 2025

1.A2 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
6 resultados comprobados en 2 apartados
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Dos estrellas, A y B, del sistema IK Pegasi se encuentran en la posición indicada en la figura, separadas entre sí una distancia $6 d$ . Calcula razonadamente: Datos: $d = 5 \cdot 1 0^{9}$ m; $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ ; $M_{A} = 3, 3 \cdot 1 0^{30}$ kg; $M_{B} = 2, 3 \cdot 1 0^{30}$ kg.

a)El vector campo gravitatorio total en el punto $P (0, 4 d)$ .
b)La energía potencial de un cuerpo de masa 1 kg situado en el punto $P$ . ¿Qué velocidad mínima deberá tener dicho cuerpo para alejarse indefinidamente del sistema estelar, partiendo del punto $P$ ?

Campo en P (unidades de d): r = 5d para ambas estrellas

Apartado a

1. Distancias de P a cada estrella
$r_{A} = r_{B} = (3 d)^{2} + (4 d)^{2} = 5 d = 2, 5 \cdot 1 0^{10} m$
$r = 5 d$
Pitágoras: catetos $3 d$ y $4 d$ .
2. Vectores unitarios hacia cada estrella
$u_{A} = (- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ , $u_{B} = (\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$
$u_{A}, u_{B}$
El campo gravitatorio apunta hacia la masa que lo crea (desde P hacia A y hacia B).
3. Módulo de cada campo
$g_{A} = \frac{G M _{A}}{( 5 d ) ^{2}} = 0, 352$ , $g_{B} = \frac{G M _{B}}{( 5 d ) ^{2}} = 0, 245 m/ s^{2}$
$g_{A} = 0, 352, g_{B} = 0, 245$
Ley de Newton: $g = GM / r^{2}$ .
4. Suma vectorial (principio de superposición)
$g_{x} = \frac{3}{5} (g_{B} - g_{A}) = - 0, 0640$ ; $g_{y} = - \frac{4}{5} (g_{A} + g_{B}) = - 0, 478$
$g = (- 0, 0640 i - 0, 478 j) m/ s^{2}$
Las componentes x se restan casi por completo (masas parecidas); las y se suman.

Apartado b

1. Energía potencial en P para $m = 1$ kg
$E_{p} = - \frac{G M _{A} m}{5 d} - \frac{G M _{B} m}{5 d} = - \frac{G ( M _{A} + M _{B} ) m}{5 d} = - 1, 49 \cdot 1 0^{10}$
$E_{p} = - 1, 49 \cdot 1 0^{10} J$
Energía potencial del sistema cuerpo-estrellas, cero en el infinito.
2. Velocidad de escape: $E_{c} + E_{p} = 0$ en el infinito
$\frac{1}{2} m v^{2} + E_{p} = 0 \Rightarrow v = \frac{2 G ( M _{A} + M _{B} )}{5 d} = 1, 73 \cdot 1 0^{5}$
$v_{esc} = 1, 73 \cdot 1 0^{5} m/s$
Mínima: llega al infinito con velocidad nula.

1.B2 puntos

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Una estación espacial gira alrededor de un planeta describiendo una órbita circular con una velocidad $v = 6, 7$ km/s. Deduce razonadamente: Datos: $g_{0} = 9$ m s $^{- 2}$ ; $R = 5500$ km.

a)La expresión simbólica de la altura $h$ a la que se encontrará la estación espacial respecto a la superficie del planeta, en función de $v$ , $g_{0}$ y $R$ . Calcula su valor numérico.
b)La expresión simbólica de la aceleración de la gravedad, $g$ , en función de la altura $h$ y de $g_{0}$ . Calcula su valor numérico para la posición en la que se encuentra la estación espacial.

Órbita de radio r = R + h (unidades: 10³ km)

Apartado a

1. Fuerza gravitatoria = fuerza centrípeta
$\frac{GM m}{( R + h ) ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{R + h} \Rightarrow v^{2} = \frac{GM}{R + h}$
$v^{2} = GM / (R + h)$
La gravedad es la única fuerza que mantiene la órbita circular.
2. Eliminar $GM$ con $g_{0} = GM / R^{2}$
$GM = g_{0} R^{2} \Rightarrow R + h = \frac{g _{0} R ^{2}}{v ^{2}}$
$h = \frac{g _{0} R ^{2}}{v ^{2}} - R$
Así solo aparecen las magnitudes dadas.
3. Valor numérico
$h = \frac{9 \cdot ( 5 , 5 \cdot 1 0 ^{6} ) ^{2}}{( 6700 ) ^{2}} - 5, 5 \cdot 1 0^{6} = 5, 65 \cdot 1 0^{5}$
$h \approx 5, 65 \cdot 1 0^{5} m = 565 km$
Unidades SI: $R$ en m, $v$ en m/s.

Apartado b

1. Gravedad a la altura h
$g = \frac{GM}{( R + h ) ^{2}} = \frac{g _{0} R ^{2}}{( R + h ) ^{2}} = g_{0} (\frac{R}{R + h})^{2}$
$g = g_{0} \frac{R ^{2}}{( R + h ) ^{2}}$
Cociente entre $g (h)$ y $g_{0}$ .
2. Valor numérico
$g = 9 (\frac{5 , 5 \cdot 1 0 ^{6}}{6 , 065 \cdot 1 0 ^{6}})^{2} = 7, 40$
$g \approx 7, 40 m/ s^{2}$
Comprobación: $v^{2} / (R + h)$ da el mismo valor.

21.5 puntos

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Una trabajadora de una planta de electrolisis para la producción de cloro realiza tareas de mantenimiento debajo de un cable conductor, por el que circula una corriente de 18 kA que se puede considerar rectilínea e indefinida. El cable se encuentra a 4 m sobre el suelo, como muestra la figura. Calcula el vector campo magnético sobre la cabeza de la trabajadora (a una altura de 1,6 m) y representa dicho vector conjuntamente con la corriente que circula por el cable. Justifica la respuesta, indicando la ley física en que se fundamenta y el significado de cada una de las magnitudes que intervienen. El Real Decreto 299/2016, contra los riesgos relacionados con la exposición a campos electromagnéticos, establece que la exposición a un campo magnético estático no debe superar los 2 T ¿está protegida la trabajadora en base a esta normativa? Dato: $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7}$ T m/A.

Distancia de la cabeza al cable: r = 4 − 1,6 = 2,4 m

1. Ley de Biot y Savart para un hilo indefinido
$B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$ ; dirección: $B ⊥$ hilo y radio vector, sentido por la regla de la mano derecha
$B = μ_{0} I / (2 π r)$
$μ_{0}$ permeabilidad del vacío, $I$ intensidad, $r$ distancia perpendicular al hilo.
2. Distancia
$r = 4 - 1, 6 = 2, 4 m$
$r = 2, 4$ m
Distancia del cable a la cabeza.
3. Módulo
$B = \frac{4 π \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 18000}{2 π \cdot 2 , 4} = 1, 50 \cdot 1 0^{- 3} T$
$B = 1, 5 mT$
Cálculo directo en SI.
4. Dirección y sentido
Corriente hacia $- i$ , punto debajo: $\overset{u}{^} = - j$ ; $(- i) \times (- j) = k$
$B = 1, 5 \cdot 1 0^{- 3} k T$
Con el pulgar según la corriente (izquierda), los dedos giran por debajo hacia fuera del papel. Dibujo: $B$ saliendo del papel (punto) en la cabeza.
5. Normativa
$1, 5 \cdot 1 0^{- 3} T ≪ 2 T$
Sí está protegida
El campo es unas 1300 veces menor que el límite.

3.A1.5 puntos

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Se tiene una carga positiva, $q$ , en el origen de coordenadas y otra $- q$ en el punto $(a, 0)$ con $a > 0$ . Obtén razonadamente, con ayuda de una representación vectorial, el sentido del campo eléctrico total producido por ambas cargas, a la izquierda de la carga positiva ( $x < 0$ ), a la derecha de la carga negativa ( $x > a$ ) y en el tramo comprendido entre las dos cargas ( $0 < x < a$ ).

Sentido del campo total en cada zona

1. Campo de cada carga
$E_{+}$ sale de $+ q$ (se aleja); $E_{-}$ entra en $- q$ (apunta hacia ella). $E = k ∣ Q ∣/ r^{2}$
—
Dibuja los dos vectores en cada zona.
2. Zona $x < 0$
$E_{+}$ hacia $- x$ , $E_{-}$ hacia $+ x$ ; $∣ E_{+} ∣ = \frac{k q}{x ^{2}} > ∣ E_{-} ∣ = \frac{k q}{( a + ∣ x ∣ ) ^{2}}$
Sentido $- i$
La carga positiva está más cerca: domina.
3. Zona $0 < x < a$
Ambos hacia $+ x$ (se alejan de $+ q$ y se acercan a $- q$ )
Sentido $+ i$
Se suman.
4. Zona $x > a$
$E_{+}$ hacia $+ x$ , $E_{-}$ hacia $- x$ ; $- q$ más cerca: $∣ E_{-} ∣ > ∣ E_{+} ∣$
Sentido $- i$
Domina la carga negativa.

3.B1.5 puntos

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Una espira cuadrada de 20 cm de lado se sitúa en el seno de un campo magnético uniforme. El módulo del campo magnético varía en función del tiempo, como se indica en la figura adjunta, y su dirección es perpendicular al plano de la espira. Calcula razonadamente el valor de la fuerza electromotriz inducida en la espira. Dibuja el campo magnético y la corriente inducida sobre la espira, razonando su sentido.

dB/dt = 2 mT / 2 s = 1,0·10⁻³ T/s

Área S = 0,20² = 0,040 m²; el flujo aumenta, la corriente inducida se opone

1. Flujo magnético
$Φ = B S cos 0^{\circ} = B L^{2}$ , con $S = 0, 2 0^{2} = 0, 040 m^{2}$
$S = 0, 040$ m $^{2}$
Campo perpendicular al plano: $B ∥ S$ .
2. Pendiente de la gráfica
$\frac{d B}{d t} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 3} T}{2 s} = 1, 0 \cdot 1 0^{- 3} T/s$
$d B / d t = 1 0^{- 3}$ T/s
Recta: la derivada es constante.
3. Ley de Faraday-Lenz
$ε = - \frac{d Φ}{d t} = - S \frac{d B}{d t} = - 4, 0 \cdot 1 0^{- 5} V$
$∣ ε ∣ = 4, 0 \cdot 1 0^{- 5} V = 40 μ V$
Constante durante los 2 s.
4. Sentido (Lenz)
$B$ crece $\Rightarrow$ el campo inducido se opone al aumento del flujo
Si $B$ entra en el papel, $I$ antihoraria; si sale, horaria
La figura no indica el sentido de $B$ : se razona con uno y se enuncia el otro.

4.A1.5 puntos

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Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje $X$ . Las gráficas muestran la elongación de la onda en el instante $t = 0$ s y en la posición $x = 0$ m. Determina la amplitud de la onda, el periodo, la pulsación o frecuencia angular, la longitud de onda y la velocidad de propagación.

y(x) en t = 0

y(t) en x = 0

1. Amplitud
$A = 6 cm$ (máximo de Y)
$A = 6$ cm
Valor máximo de la elongación en ambas gráficas.
2. Longitud de onda (gráfica Y-x)
Distancia entre dos máximos: $6 - 2 = 4$ cm
$λ = 4$ cm
Periodo espacial.
3. Periodo (gráfica Y-t)
Distancia entre máximos: $3 - 1 = 2$ s
$T = 2$ s
Periodo temporal.
4. Pulsación
$ω = \frac{2 π}{T}$
$ω = π rad/s = 3, 14$ rad/s
—
5. Velocidad de propagación
$v = \frac{λ}{T} = \frac{4}{2}$
$v = 2$ cm/s $= 0, 02$ m/s
También $v = ω / k$ .

4.B1.5 puntos

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Dos compresores de aire acondicionado están separados una distancia de 100 m. El primero emite ruido con una potencia sonora de 4 $μ$ W. El nivel sonoro en el punto equidistante entre ellos es de 25 dB. Calcula en ese punto el nivel sonoro debido a cada uno de los compresores. Calcula la potencia sonora emitida por el segundo compresor. Desprecia la absorción del aire y el efecto de los objetos situados en el entorno. Considera que las ondas sonoras son esféricas. Dato: $I_{0} = 1 0^{- 12}$ W/m $^{2}$ .

Cada compresor contribuye con su intensidad; las intensidades se suman

1. Intensidad total en el punto medio
$25 = 10 lo g \frac{I}{I _{0}} \Rightarrow I = 1 0^{- 12} \cdot 1 0^{2, 5} = 3, 16 \cdot 1 0^{- 10} W/ m^{2}$
$I_{T} = 3, 16 \cdot 1 0^{- 10}$
Nivel sonoro: $β = 10 lo g (I / I_{0})$ .
2. Intensidad del primero (50 m)
$I_{1} = \frac{P _{1}}{4 π r ^{2}} = \frac{4 \cdot 1 0 ^{- 6}}{4 π \cdot 5 0 ^{2}} = 1, 27 \cdot 1 0^{- 10}$
$I_{1} = 1, 27 \cdot 1 0^{- 10} W/ m^{2}$
Onda esférica.
3. Nivel del primero
$β_{1} = 10 lo g \frac{I _{1}}{I _{0}} = 21, 0$
$β_{1} \approx 21, 0$ dB
—
4. Intensidad del segundo
$I_{2} = I_{T} - I_{1} = 1, 89 \cdot 1 0^{- 10}$
$I_{2} = 1, 89 \cdot 1 0^{- 10} W/ m^{2}$
Las intensidades de fuentes incoherentes se suman (los decibelios no).
5. Nivel del segundo
$β_{2} = 10 lo g \frac{I _{2}}{I _{0}} = 22, 8$
$β_{2} \approx 22, 8$ dB
—
6. Potencia del segundo
$P_{2} = I_{2} 4 π r^{2} = 5, 93 \cdot 1 0^{- 6} W$
$P_{2} \approx 5, 9 μ W$
Misma distancia de 50 m.

5.A2 puntos

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La posición de un cuerpo, de masa $m = 1, 5$ g, que oscila respecto a su posición de equilibrio, está descrita por la función $x (t) = 0, 10 cos (10 π t + \frac{π}{2})$ en unidades del Sistema Internacional.

a)¿Qué tipo de movimiento realiza el cuerpo? Calcula el período de oscilación, así como la posición y la velocidad del cuerpo para $t = 1$ s.
b)Calcula la energía mecánica total del cuerpo, su energía cinética y su energía potencial en el instante en que la posición del cuerpo se corresponde con la mitad de la amplitud del movimiento.

x(t) = 0,10 cos(10πt + π/2) (m)

Apartado a

1. Tipo de movimiento
$x = A cos (ω t + φ_{0})$ con $A = 0, 10$ m, $ω = 10 π$ rad/s, $φ_{0} = π /2$
Movimiento armónico simple
La posición es sinusoidal y la aceleración es proporcional y opuesta a $x$ .
2. Periodo
$T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{10 π}$
$T = 0, 20$ s
—
3. Posición en $t = 1$ s
$x (1) = 0, 10 cos (10 π + π /2) = 0, 10 cos (π /2) = 0$
$x (1) = 0$
$10 π$ son 5 vueltas completas.
4. Velocidad
$v = - A ω sin (ω t + φ_{0})$ ; $v (1) = - 0, 10 \cdot 10 π sin (π /2)$
$v (1) = - π = - 3, 14 m/s$
Pasa por el equilibrio con velocidad máxima, en sentido negativo.

Apartado b

1. Energía mecánica
$E = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 5 \cdot 1 0^{- 3} \cdot (10 π)^{2} \cdot 0, 1 0^{2} = 7, 40 \cdot 1 0^{- 3}$
$E \approx 7, 40 \cdot 1 0^{- 3}$ J
$m = 1, 5 \cdot 1 0^{- 3}$ kg.
2. Energía potencial en $x = A /2$
$E_{p} = \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} = E (\frac{x}{A})^{2} = \frac{1}{4} E = 1, 85 \cdot 1 0^{- 3}$
$E_{p} \approx 1, 85 \cdot 1 0^{- 3}$ J
$k = m ω^{2}$ .
3. Energía cinética
$E_{c} = E - E_{p} = \frac{3}{4} E = 5, 55 \cdot 1 0^{- 3}$
$E_{c} \approx 5, 55 \cdot 1 0^{- 3}$ J
Conservación de la energía mecánica.

5.B2 puntos

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Un objeto de 12 cm de altura se sitúa a 15 cm, a la izquierda, de una lente de 4 dioptrías.

a)Dibuja un esquema de rayos con la posición del objeto, de la lente y de la imagen. Calcula la posición de la imagen y su tamaño. Indica las características de la imagen que se forma.
b)¿Qué distancia habrá que mover el objeto y en qué sentido, para que la imagen que se forme sea invertida y de tamaño 4 cm?

Esquema de rayos (cm): los rayos divergen, la imagen es virtual

Apartado a

1. Distancia focal
$P = 1/ f^{'} \Rightarrow f^{'} = 1/4 = 0, 25$ m $= 25$ cm (convergente)
$f^{'} = + 25$ cm
Convenio DIN: objeto a la izquierda, $s = - 15$ cm.
2. Ecuación de la lente
$\frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f ^{'}} \Rightarrow \frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{25} - \frac{1}{15} = - \frac{2}{75}$
$s^{'} = - 37, 5$ cm
Imagen a la izquierda de la lente.
3. Tamaño
$m = \frac{y ^{'}}{y} = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{- 37 , 5}{- 15} = 2, 5 \Rightarrow y^{'} = 30$ cm
$y^{'} = + 30$ cm
—
4. Características
$s = 15 < f^{'}$ , $m > 0$ , $∣ m ∣ > 1$ , $s^{'} < 0$
Virtual, derecha y mayor
Esquema: rayo paralelo al eje que sale por $F^{'}$ ; rayo por el centro sin desviarse; sus prolongaciones se cortan a la izquierda. Es una lupa.

Apartado b

1. Relación de tamaños
Invertida y 4 cm: $y^{'} = - 4$ cm, $m = - 4/12 = - \frac{1}{3}$
$s^{'} = - s /3$ (con $s < 0$ : $s^{'} > 0$ )
Imagen real.
2. Nueva posición del objeto
$\frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{- 3}{s} - \frac{1}{s} = - \frac{4}{s} = \frac{1}{25} \Rightarrow s = - 100 cm$
$s = - 100$ cm
Comprobación: $s^{'} = 33, 3$ cm; $1/33, 3 + 1/100 = 1/25$ .
3. Desplazamiento
$Δ s = 100 - 15 = 85$ cm
85 cm hacia la izquierda (alejándolo)
—

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El $_{84}^{218}$ Po se desintegra con un periodo de semidesintegración de 183 s, emitiendo partículas alfa y se transforma en un isótopo del plomo, $_{a}^{b}$ Pb. Determina razonadamente los números másico y atómico del isótopo del plomo. En un cierto instante, en una muestra se determina que hay 1,0 mg de polonio-218, calcula la masa de polonio-218 que había diez minutos antes.

1. Conservación de $A$ y $Z$
$_{84}^{218} Po \to_{2}^{4} α +_{a}^{b} Pb$ ; $218 = 4 + b$ , $84 = 2 + a$
$b = 214$ , $a = 82$
El plomo es $_{82}^{214}$ Pb ( $Z = 82$ correcto para el Pb).
2. Ley de desintegración
$m = m_{0} 2^{- t / T_{1/2}} \Rightarrow m_{0} = m \cdot 2^{t / T_{1/2}}$ con $t = 600$ s
$t / T_{1/2} = 3, 279$
Diez minutos son 600 s.
3. Masa inicial
$m_{0} = 1, 0 \cdot 2^{3, 279} = 9, 70 mg$
$m_{0} \approx 9, 7$ mg
Equivale a $λ = ln 2/ T_{1/2}$ y $m_{0} = m e^{λ t}$ .

6.B1.5 puntos

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Una nave espacial viaja con velocidad $v = 2, 1 \cdot 1 0^{8}$ m/s desde la Tierra hasta la estrella de Barnard, situada a una distancia $d = 5, 98$ años luz. Se mide la duración del viaje en la Tierra y en la nave, ¿en cuál de estos dos sistemas de referencia inerciales se mide el tiempo propio? ¿Qué duración tiene el viaje en cada uno de estos dos sistemas? Razona las respuestas. Dato: $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s.

Distancia medida en la Tierra: d = 5,98 al

1. Tiempo propio
Es el intervalo entre dos sucesos (salida y llegada) que ocurren en el mismo lugar del sistema
Se mide en la nave
En la nave, salida y llegada ocurren en el mismo punto (ella misma); en la Tierra son dos lugares distintos.
2. Duración en la Tierra
$v = 0, 7 c$ ; $t = \frac{d}{v} = \frac{5 , 98 a.l.}{0 , 7 c} = 8, 54$ años
$t_{T} \approx 8, 54$ años
1 año luz es lo que recorre la luz en 1 año.
3. Factor de Lorentz
$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} = \frac{1}{1 - 0 , 49} = 1, 400$
$γ = 1, 40$
—
4. Duración en la nave (propio)
$t_{0} = \frac{t _{T}}{γ} = 6, 10$ años
$t_{N} \approx 6, 10$ años
Dilatación del tiempo: $t_{T} = γ t_{0}$ . Equivale a contraer la distancia: $d / γ$ a velocidad $v$ .